Двусторонние методы для решения начальных и краевых задач с учетом неустранимой погрешности
Описание результатов решения начальных и краевых задач с учетом неустранимой погрешности. Характеристика круга решаемых задач и преимуществ предложенных методов. Анализ значения учета погрешностей для решения задач повышения надежности устройств.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 24.07.2018 |
| Размер файла | 176,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Двусторонние методы для решения начальных и краевых задач с учетом неустранимой погрешности
погрешность задача надежность устройство
Борзенко Виктория Владимировна, магистр, студент
Лютова Мария Эдуардовна, магистр, студент
Некрасов Сергей Александрович, доктор наук, доцент, профессор
Южно-Российский государственный политехнический университет
В статье описываются результаты, полученные авторами в области решения начальных и краевых задач с учетом неустранимой погрешности. Детально описан круг решаемых задач и преимущества предложенных методов.
Параметры и характеристики математических моделей на практике очень часто известны приближенно. При этом существует значительная потребность в учете влияния погрешности исходных данных на решение задачи. Это связано с требованиями повышения надежности устройств, предотвращения катастроф и аварий.
Другая актуальная задача - синтез оптимальных характеристик материалов и параметров конструкций. Одной из существующих проблем здесь является высокая размерность соответствующих задач.
Классы решаемых задач
Задачи могут быть как линейными, так и нелинейными, стационарными и динамическими.
Основные допустимые области применения:
· линейная и нелинейная алгебраическая оптимизация
· проблема собственных значений
· расчет электрических и электронных схем
· электростатика и электродинамика
· теория теплопроводности, в том числе с фазовыми переходами
· теория упругости и термоупругости
· гидро- и газодинамика, аэродинамика
· задачи оптимального управления
· уравнения химической кинетики
· уравнения Колмогорова
· уравнения механической динамики
· задачи теории композиционных и порошковых материалов
· задачи теории тепло- и массообмена
· практически любые нестандартные комбинированные модели из перечисленного списка
Дополнительные возможности
1. Исследование чувствительности решения задачи к изменению ее коэффициентов.
2. Оптимизация формы и размеров конструкций и учет погрешности их задания.
3. Построение робастных (упрощенных) моделей.
Особые преимущества метода
Количество приближенно заданных параметров неограниченно и практически не влияет на вычислительные затраты и точность метода.
В отличие от методов, основанных на линеаризации или статистическом моделировании, решение находится практически точно независимо от величины варьирования параметров и характеристик.
Важным преимуществом метода является его эффективность для случая функциональных погрешностей, которые более сложно учитывать методами перебора вариантов или методом статистического моделирования (погрешности характеристик материалов и параметров конструкций весьма часто следует рассматривать как функциональные).
Численный метод, на котором основана программа, относительно прост, но весьма эффективен и универсален (детальная информация может быть предоставлена за дополнительную оплату).
Стандартные пакеты (Pscpice, ELCUT, SAMCEF и прочие) не предоставляют пользователю таких возможностей.
Примеры характерных задач
1. Задачи линейного и нелинейного программирования с приближенными коэффициентами.
2. Целевая функция:
Обозначения: x - вектор переменных оптимизации, W - область оптимизации, a - приближенно заданная матрица, b, p - приближенно заданные вектора, A - интервальная матрица , B, P - интервальные векторы.
Учет погрешности характеристик материалов и прочих параметров задачи
Пример 1. Расчет переходных процессов в электрических цепях с учетом погрешности исходных данных. Соответствующая задача Коши для системы уравнений состояния нелинейной электрической цепи: , где x, f и u - вектор-функции: - вектор начальных условий: , x - вектор зависимых переменных состояния, u - вектор параметрических и функциональных погрешностей, описывающий точность задания характеристик элементов схемы: .
Погрешность может быть как параметрической (), так и функциональной .
Результаты решения: интервальные оценки решения или некоторого другого заданного критерия качества - функционала на множестве V.
Пример 2. Расчет потенциала и вектора электрического поля :
,
где M - точка расчетной области V с координатами (x,y,z), - граница области; , , - приближенно заданные диэлектрическая проницаемость, плотность зарядов, значение потенциала на границе области:
.
Результаты решения - соответствующие интервалы значений потенциала и (или) электрического поля E(M) в области: .
Синтез оптимальных характеристик материалов и параметров конструкций
Выбор подходящих свойств материала, обеспечивающих максимум значения показателя качества в заданных точках области.
Пример. Вычисление оптимальных значений параметров задачи для температурного поля:
,
,
где M - точка расчетной области V с координатами (x,y,z), - искомые коэффициент теплопроводности, распределение источников тепла и значений температуры на границе области, которые могут принадлежать некоторым множествам значений:
.
F(u) - некоторый функционал качества: это может быть, например, значение температуры в заданной ответственной точке ; максимальное, минимальное или среднее значение температуры в области - ; интегральный критерий и т.п.
Результаты решения - оптимальные значения характеристик материала и прочих параметров задачи: .
Список литературы
1. Некрасов С.А. Интервальные и двусторонние методы для расчета с гарантированной точностью электрических и магнитных систем. Диссертация на соискание доктора технических наук. Специальность «Теоретическая электротехника». Новочеркасск, 2002.
2. http://www.dissercat.com/content/intervalnye-i-dvustoronnie-metody-dlya-rascheta-s-garantirovannoi-tochnostyu-elektricheskikh
3. Некрасов С.А. Эффективные двусторонние методы для решения задачи Коши в случае больших промежутков интегрирования./ Дифференциальные уравнения, 2003, т. 39, № 7.
4. Некрасов С.А. (с соавторами). Методика косвенной оценки угла смачивания по геометрическим размерам пробной капли/ Матем. моделирование.- 1994.- Т.6, №9. - С.33-40.
5. Некрасов С.А. Интервальные методы и алгоритмы глобальной нелинейной оптимизации и их применение в области проектирования электротехнических устройств, ч. I. - Электричество, 2001, № 8. http://vlib.ustuarchive.urfu.ru/electr/nom08_01.html
6. Некрасов С.А. Методы ускоренного статистического моделирования и их применение в электротехнических задачах/ Изв. вузов. Электромеханика. - 2008. - № 5. - С. 13-19
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Формула для начала счета методом прогонки С.К. Годунова. Метод дополнительных краевых условий. Второй вариант метода переноса краевых условий в произвольную точку интервала интегрирования. Метод переноса в произвольную точку интервала интегрирования.
методичка [325,0 K], добавлен 13.07.2010Методы решения задач с экономическим содержанием повышенного уровня сложности. Выявление структуры экономических задач на проценты. Вывод формул для решения задач на равные размеры выплат. Решение задач на сокращение остатка на одну долю от целого.
курсовая работа [488,3 K], добавлен 22.05.2022Постановка начально-краевых задач фильтрации суспензии с нового кинетического уравнения при учете динамических факторов различных режимов течения. Построение алгоритмов решения задач, составление программ расчетов, получение численных результатов на ЭВМ.
диссертация [1,1 M], добавлен 19.06.2015Понятие "задача" в начальном курсе математики и её решения в начальных классах. Различные подходы к обучению младших школьников решению текстовых задач. Методические приёмы обучения решению простых задач. Разработка фрагментов уроков по данной проблеме.
курсовая работа [367,4 K], добавлен 15.06.2010Анализ особенностей методической деятельности учителя начальных классов при обучении учащихся решению задач с пропорциональной зависимостью. Роль задач в формировании учебной деятельности младших школьников. Виды задач в начальном курсе математики.
курсовая работа [36,0 K], добавлен 07.01.2015Структура текстовой задачи. Условия и требования задач и отношения между ними. Методы и способы решения задач. Основные этапы решения задач. Поиск и составление плана решения. Осуществление плана решения. Моделирование в процессе решения задачи.
презентация [247,7 K], добавлен 20.02.2015Основные понятия математического моделирования, характеристика этапов создания моделей задач планирования производства и транспортных задач; аналитический и программный подходы к их решению. Симплекс-метод решения задач линейного программирования.
курсовая работа [2,2 M], добавлен 11.12.2011Изучение прямых методов решения вариационных и краевых задач математического анализа. Основные идеи методов Ритца и Галеркина для нахождения приближенного обобщенного решения задачи минимизации функционала. Особенности, сходство и отличие данных методов.
презентация [187,9 K], добавлен 30.10.2013Составление четкого алгоритма, следуя которому, можно решить большое количество задач на нахождение угла между прямыми, заданными точками на ребрах многогранника. Условия задач по теме и примеры их решения. Упражнения для решения подобного рода задач.
практическая работа [1,5 M], добавлен 15.12.2013Систематизация различных методов решения планиметрических задач. Обоснование рациональности решения планиметрической задачи методами дополнительных построений, подобия треугольников, векторного аппарата, соотношения углов и тригонометрической замены.
реферат [727,1 K], добавлен 19.02.2014Понятия и термины вариационного исчисления. Понятие функционала, его первой вариации. Задачи, приводящие к экстремуму функционала, условия его минимума. Прямые методы вариационного исчисления. Практическое применение метода Ритца для решения задач.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 08.04.2015Понятия максимума и минимума. Методы решения задач на нахождение наибольших и наименьших величин (без использования дифференцирования), применение их для решения геометрических задач. Использование замечательных неравенств. Элементарный метод решения.
реферат [933,5 K], добавлен 10.08.2014Рассмотрение общих сведений обратных задач математической физики. Ознакомление с методами решения граничных обратных задач уравнений параболического типа. Описание численного решения данных задач для линейно упруго-пластического режима фильтрации.
диссертация [2,8 M], добавлен 19.06.2015Изучение нестандартных методов решения задач по математике, имеющих широкое распространение. Анализ метода функциональной, тригонометрической подстановки, методов, основанных на применении численных неравенств. Решение симметрических систем уравнений.
курсовая работа [638,6 K], добавлен 14.02.2010Рассмотрение основных методов решения школьных задач на движение двух тел в разных и одинаковых направлениях: анализ и синтез, сведение к ранее решенным, математическое моделирование (знаковые, графические модели), индукция, исчерпывающая проба.
презентация [11,8 K], добавлен 08.05.2010Выполнение алгебраических преобразований, логическая культура и техника исследования. Основные типы задач с параметрами, нахождение количества решений в зависимости от значения параметра. Основные методы решения задач, методы построения графиков функций.
методичка [88,2 K], добавлен 19.04.2010Использование метода конечных разностей для решения краевой задачи уравнений с частными производными эллиптического типа. Графическое определение распространения тепла методом конечно-разностных аппроксимаций производных с применением пакета Mathlab.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 06.07.2011Понятие "задача" и процесс ее решения. Технология обучения приемам восприятия и осмысления, поиска и составления плана решения. Методика обучения решению задач различными методами. Сущность, смысл и обозначение дробей, практические способы их сравнения.
методичка [242,5 K], добавлен 03.04.2011Проектирование методов математического моделирования и оптимизации проектных решений. Использование кусочной интерполяции при решении задач строительства автомобильных дорог. Методы линейного программирования. Решение специальных транспортных задач.
методичка [690,6 K], добавлен 26.01.2015Понятие текстовой задачи, ее роль в процессе обучения математике. Изучение основных способов решения текстовых задач, видов их анализа. Применение метода моделирования в обучении решению данных заданий. Описание опыта работы учителя начальных классов.
дипломная работа [69,6 K], добавлен 13.01.2015
