Парадоксы в теории вероятностей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Парадоксы в теории вероятностей

Статья о парадоксах в теории вероятностей, парадокс Монти Холла, парадокс девочки и мальчика, парадокс двух конвертов и т.д.

Теория вероятностей представляет собой область математики, необычайно богатую парадоксами - истинами, настолько противоречащими здравому смыслу, что поверить в них трудно даже после того, как правильность их подтверждена доказательством. Парадоксы в теории вероятностей - различного рода парадоксы, возникающие в теории вероятностей из-за несовершенства аксиоматики, в частности из-за определения вероятности через вероятность, неопределённости понятия «равновероятные события» и иных пробелов в основаниях данного раздела математики. Рассмотрим основания возникновения данных парадоксов. В теории вероятности парадоксы бывают двух типов: первый - когда существует строгое решение в рамках аксиоматики, просто оно не очевидно, и условия задачи таковы, что ведут интуитивное понимание условий в ошибочном ключе, примерами таких парадоксов являются - Санкт-Петербургский парадокс, Парадокс закона больших чисел Бернулли, Парадокс дней рождения; второй тип - парадоксы, которые основываются на неоднозначной интерпретации аксиоматики теории вероятности, её недоопределённости, которую отмечал еще Пуанкаре, их и можно назвать истинными парадоксами. Примеры истинных парадоксов: Проблема Монти-Холла, Парадокс двух конвертов, Парадокс Хемпеля, Парадокс Бертрана. Ценность обоих типов парадоксов в том, что они помогают лучше понять суть теории, область её ограничения, глубже понять основания теории, и иногда исследование парадоксов вело к созданию отдельных разделов математики. Ниже нами будут рассмотрены наиболее популярные и интересные парадоксы.

Парадокс Монти Холла - одна из известных задач теории вероятностей, решение которой, на первый взгляд, противоречит здравому смыслу. Задача формулируется как описание игры, основанной на американском телешоу, и названа в честь ведущего этой передачи. Наиболее распространенная формулировка этой задачи, опубликованная в 1990 году, звучит следующим образом:

представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трех дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями - козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где - козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

После публикации немедленно выяснилось, что задача сформулирована некорректно: не все условия оговорены. Например, ведущий может придерживаться следующей стратегии: предлагать сменить выбор тогда и только тогда, когда игрок первым ходом выбрал автомобиль. Очевидно, что смена первоначального выбора будет вести в такой ситуации к гарантированному проигрышу. Наиболее популярной является задача с дополнительным условием - участнику игры заранее известны следующие правила: автомобиль равновероятно размещен за любой из 3 дверей; ведущий в любом случае обязан открыть дверь с козой и предложить игроку изменить выбор, но только не дверь, которую выбрал игрок; если у ведущего есть выбор, какую из 2 дверей открыть, он выбирает любую из них с одинаковой вероятностью.

Парадокс девочки и мальчика также известен в теории вероятностей, как «Парадокс второго ребенка», «Дети мистера Смита». Впервые задача была сформулирована в 1959-ом году, когда Мартин Гарднер (Martin Gardner) опубликовал один из самых ранних вариантов этого парадокса и сформулировал её следующим образом:

У мистера Джонса двое детей. При этом старший ребёнок - девочка. Какова вероятность того, что оба ребёнка девочки?

У мистера Смита двое детей. При этом хотя бы один ребёнок - мальчик. Какова вероятность того, что оба ребёнка мальчики?

У мистера Джонса двое детей. При этом старший ребёнок - девочка. Какова вероятность того, что оба ребёнка девочки? Выберем случайную семью, соответствующую условиям первого вопроса. Тогда существуют 4 равновероятных исхода.

И только 2 из возможных исходов удовлетворяют критерию, указанному в вопросе. (Это варианты ДД, ДМ). Из-за того, что оба исхода из нового множества элементарных исходов {ДД, ДМ} равновероятны, и только один из исходов содержит 2-х девочек - ДД. Таким образом, вероятность того, что оба ребёнка девочки равна 1/2.

У мистера Смита двое детей. При этом хотя бы один из детей - мальчик. Какова вероятность того, что оба ребёнка мальчики? Второй вопрос похож на первый, однако вместо утверждения о том, что старший ребёнок мальчик в вопросе говорится о том, что хотя бы один из детей мальчик. В ответ на критику со стороны читателей Гарднер соглашается, что из-за "невозможности детально описать процедуру рандомизации" его изначальная формулировка имеет 2 способа интерпретации метода отбора семьи:

1. Из всех семей с двумя детьми, где хотя бы один мальчик, выбрана произвольная семья. В этом случае ответ 1/3.

2. Из всех семей с двумя детьми, один ребёнок выбирается случайным образом, и пол этого ребёнка задан. В этом случае ответ 1/2.

Прекрасным примером служит парадокс с днями рождения. Выберем наугад 24 человека. Какова, по вашему мнению, вероятность того, что двое или большее число из них родились в один и тот же день одного и того же месяца (но, быть может, в разные годы)? Интуитивно чувствуется, что вероятность такого события должна быть очень мала. На самом же деле она оказывается равной 27/50, то есть чуть выше 50%!

Вероятность того, что дни рождения любых двух людей не совпадают, очевидно, равна 364/365. Вероятность несовпадения дня рождения третьего человека с днем рождения любых двух других членов отобранной группы составляет 363/365. Для четвертого человека вероятность того, что его день рождения отличается от дней рождения любых трех людей, равна 362/365 и т. д. Дойдя до двадцать четвертого участника эксперимента, мы увидим, что вероятность несовпадения его дня рождения с днями рождения остальных двадцати трех участников равна 342/365. Таким образом, мы получаем набор из 23 дробей. Перемножив их, мы найдем вероятность того, что все 24 дня рождения различны. Сократив числитель и знаменатель произведения двадцати четырех дробей, мы получим дробь 23/50. Иначе говоря, заключая пари на то, что среди 24 по крайней мере двое родились в один и тот же день, вы будете выигрывать в 27 и проигрывать в 23 случаях из 50.

Санкт-Петербургский парадокс получил известность после публикации Даниилом Бернулли в заметках Академии наук Санкт-Петербурга в 1738 году, однако впервые парадокс упоминается двоюродным братом Даниила, - Николаем Бернулли в 1713 году в письме к математику Монмору. Иногда, ошибочно, парадокс приписывают Эйлеру. Суть парадокса: игроком бросается правильная монета до момента выпадения решки, игрок при выпадении получает 2r рублей, где r - это номер бросания, при котором выпала решка, - при каждом последующем бросании потенциальный выигрыш увеличивается вдвое. Сколько необходимо выплатить игроку за участие в игре с такими условиями, чтобы его средний выигрыш перекрыл выплату за игру. Ответ парадоксален, - математическое ожидание банковских выплат бесконечное. Выигрыш может выпасть при любом из r бросаний, тогда математическое ожидание равняется:

mx=2r=Ѕ*2+1/4*4+1/8*8...=1+1+1...,

где mx - математическое ожидание выигрыша, r - число бросаний.

Этот бесконечный ряд расходится, то есть имеет бесконечную сумму

Парадокс двух конвертов - известный парадокс, демонстрирующий как особенности субъективного восприятия теории вероятностей, так и границы её применимости. В облике двух конвертов этот парадокс предстал в конце 1980-х годов, хотя в различных формулировках известен математикам с первой половины XX века. Есть два неразличимых конверта с деньгами. В одном находится сумма в два раза большая, чем во втором. Величина этой суммы неизвестна. Конверты дают двум игрокам. Каждый из них может открыть свой конверт и пересчитать в нём деньги. После этого игроки должны решить: стоит ли обменять свой конверт на чужой? Оба игрока рассуждают следующим образом. Я вижу в своём конверте сумму X. В чужом конверте равновероятно может находиться 2X или X/2. Поэтому, если я поменяю конверт, то у меня в среднем будет (2X+X/2)/2=(5/4)X, т.е. больше, чем сейчас. Значит обмен выгоден. Однако обмен не может быть выгоден обоим игрокам. Где в их рассуждениях кроется ошибка?

В 1953 году бельгийский математик Морис Крайчик предложил похожую задачу на примере двух галстуков: Каждый из двух лиц утверждает, что его галстук красивее. Чтобы решить спор, они обращаются к третейскому судье. Победитель должен подарить побежденному свой галстук в утешение. Каждый из спорщиков рассуждает следующим образом: «Я знаю, сколько стоит мой галстук. Я могу проиграть его, но могу и выиграть более красивый галстук, поэтому в этом споре преимущество на моей стороне». Как может в одной игре с двумя участниками преимущество быть на стороне каждого из них? Крайчик утверждает, что симметрия в игре существует, но предполагает неправомерность использования вероятности Ѕ при вычислении среднего дохода. С точки зрения обеих сторон игра симметрична и каждый имеет равную вероятность выиграть. Однако вероятность не является объективно данным фактом и зависит от условий задачи. В данном случае разумным является не пытаться оценивать вероятность.

Как и любая другая область науки, математика отражает множество противоречий окружающего нас мира. В связи с этим в истории математики встречается множество различных парадоксов - истинных высказываний, для которых характерны неожиданность, непривычность, оригинальность, противоречивость себе, исходным посылкам, общепринятому, традиционному взгляду или здравому смыслу по содержанию и/или по форме. Математика - история парадоксов. Особенно богата парадоксами теория вероятностей. По мнению Карла Пирсона, в математике нет другого такого раздела, где было бы столь же легко допустить ошибку, как в теории вероятностей. Разрешение же различных парадоксов, связанных со случайностью, способствовало возникновению и развитию теории вероятностей и её приложений. Величайшие открытия порой были результатом разрешения величайших парадоксов. В свою очередь эти открытия становились источниками новых парадоксов. Из всех методов обучения метод, основанный на познании нового через парадоксы (метод Сократа), является самым фундаментальным, т.к. процесс научного познания сам опирается на парадоксы. Следовательно, анализ и пошаговый разбор парадоксов теории вероятностей ведет к более глубокому пониманию предмета и лучшему осознанию сути дела.

теория вероятность математика

Список литературы

1.Лубова, Т. Н. Многомерные статистические методы [Электронный ресурс] : учебное пособие / Т. Н. Лубова ; М-во сел. хоз-ва РФ, Башкирский ГАУ. - Уфа : Изд-во БГАУ, 2015. - 64 с.

2.Лубова, Т. Н. Теория вероятностей и математическая статистика [Электронный ресурс] : учебное пособие / Т. Н. Лубова ; М-во сел. хоз-ва РФ, Башкирский ГАУ. - Уфа : Изд-во БашГАУ, 2015. - 163 с.

3.Исламгулов, Д.Р. Применение корреляционного анализа в агрономии [Текст] / Д.Р. Исламгулов, Т.Н. Лубова // Уральский научный вестник. - 2016. - Т. 4. - № 3. - С. 142-147.

4.Лубова, Т.Н. Принципы статистического прогнозирования при разработке инновационной стратегии региона [Текст] / Т.Н. Лубова // Экономика, экология и общество России в 21-м столетии: Сборник научных трудов: 11-й Международной научно-практической конференции, 19-21 мая 2009 г. / Санкт-Петербургский государственный политехнический университет. - С.-Петербург, 2009. - С. 155-156.

5.Лубова, Т. Н. Многомерная классификация регионов Приволжского федерального округа по уровню финансовой безопасности [Текст] / Т. Н. Лубова // Конкурентоспособность региона в условиях экологических и демографических ограничений: Материалы межрегиональной научно-практической конференции. - Улан-Уде: Изд-во БНЦ СО РАН, 2009. - с. 149-159.

6.Лубова, Т. Н. Классификация регионов Российской Федерации методом кластерного анализа [Текст] / Т. Н. Лубова // Образование, наука, практика: инновационный аспект: Сб. материалов международной научно-практической конференции, посвященной памяти профессора А.Ф. Блинохватова. - Пенза: РИО ПГСХА, 2008. - С.379-381.

Размещено на Allbest.ru