Свойство концентрических окружностей и его применение в делении окружности на равные части

Размещено на http://www.allbest.ru/

Свойство концентрических окружностей и его применение в делении окружности на равные части

Рихсибоев Т.Р.

Аннотация: в данной статье изложена разработанная нами методика деления окружности с высокой точностью на 7 и 9 равных частей, отличная от существующих в практике способов.

Ключевые слова: окружность, деление, равноделитель, угол, свойства, хорда, сектор, дуга-делитель, длина, точность, высокая.

Abstract: in given article is stated, designed by us methods of the fission to circumferences by pinpoint accuracy on 7 and 9 equal parts, than existing in practical person of the ways.

Keywords: circle division is equal divider, corner property, chord, sector, arc-splitter, length, precision, high, correct heptagon nonagon.

Несмотря на давнюю историю, задача деления окружности на равные части еще не потеряла свою актуальность. Мы исходим из того, что деление окружности и дуги на равные части есть одна задача. Если сопоставить длины отрезков, отсекаемых пучком параллельных прямых со сторонами некоторого угла, то можно заметить, что эти отрезки имеют общий делитель, которая делит их на равные части.

Наши исследования показали, что на основе теоремы Фалеса можно выявить следующее свойство угла, которое мы назвали «Темуровым свойством угла»: «Пучок параллельных прямых, отсекаемых сторонами некоторого угла, образует отрезки, имеющие общий делитель, длина которого равна первому отрезку от вершины угла или разнице длин соседних отрезков» [1]. Если рассматривать параллельные прямые в теореме Фалеса как концентрические дуги с бесконечно большими радиусами, то можно использовать вышеуказанное свойство и для деления концентрических дуг окружностей радиусами, отличающихся на одну единицу измерения, как R, 2R, 3R, 4R, 5R и т. д.

На самом деле, длина дуги прямо пропорциональна радиусу. При увеличении или уменьшении радиуса на единицу измерения, на ту же единицу увеличивается или уменьшается длина дуги.

Наши исследования показали, что вышеприведенное свойство угла можно применить и для деления окружностей на равные части. Т. к. длина концентрических окружностей, радиусы которых разнятся на одну единицу измерения R, 2R, ЗR и т. д., соответственно также увеличиваются на одну единицу.

Длины таких окружностей ? = 2рR, ?2 = 2?, ?3 = 3?, ?4 = 4?, ?5 = 5? и т. д. Следовательно, длина второй окружности делится первой на 2 равные части, третья окружность делится на 3 равные части, четвертая - на 4 равные части и т. д. Согласно вышеуказанному свойству, длины соседних окружностей связаны соотношениями, как, например ?5 - ?4= 2рR, т. е. равной на ?.

Можно показать также, что длины концентрических окружностей, радиусы которых последовательно увеличиваются на одну единицы измерения, можно определить прибавлением длины делителя-дуги (? = 2рR) к длине текущей окружности. На основе этого можно установить следующее свойство концентрических окружностей: «Длина концентрических окружностей, радиусы которых последовательно увеличиваются на одну единицу, имеют общий делитель, длина которого равна первой окружности от центра или разнице длин соседних окружностей».

Но на практике при делении окружности на равные части используют длины хорд, опирающихся на дугу. При увеличении кривизны дуги разница длин дуги и хорды, опирающейся на дугу, увеличивается. При уменьшении кривизны длины дуги и хорды начинают приближаться, т. е. при R > ? то, ?хорды ? > ?. В действительности они неравны: ?хорды ? ? ?.

Мы разработали следующую методику деления окружности на равные части высокой точности, основанную на свойствах концентрических окружностей.

1 . Чтобы уменьшить влияние радиуса кривизны на размещение дуги делителя по соседним окружностям, вычертим окружности радиусом 63R, и 64R. Для этого раствором циркуля произвольной величины последовательно размещаем на произвольную прямую линию 65 раз. Используя биссектрису угла, поделим окружность 64R на равные 64 части и определим длину дуги-делителя, которая по свойству концентрических окружностей разделяет на 63 равные части окружность радиусом 63R (Рис. 1).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1. Графические определение длины дуги - равноделителя

Последовательно разместив 7 хорд дуги-делителя ? по окружности радиуса 63R, получим длину хорды, которая делит данную окружность на 9 равных частей. Если разместим 9 хорд, то получим длину хорды, которая делит данную окружность на 7 равных частей.

3. При помощи этих хорд построим семиугольник и девятиугольник. Они оказались правильными, т. е. практически точно построенными.

Для определения достоверности этих выводов сделали компьютерный анализ (с помощью программы AutoCAD 2007) деления окружности 63R на 63 равные части, пользуясь 1/64 от окружности 64R, представляющую длину хорды дуги равно-делителя. Длина хорды этой дуги и размещенной по окружности 63R оказались равными, т. е. 31,40331157 мм (Рис. 2).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2. Определение величины хорды, разделяющей окружность на равные семь и девять частей

Т. к. кривизна окружности 64R и 63R соответственно равно 0,015625 и 0,015873, т. е. их разница равна 0,0002. Поэтому 1/64 и 1/63 хорды окружности 64R и 63R практически равны.

Таким образом, можно практически точно разделить окружность на 7 и 9 равных частей, следовательно, построить правильный семиугольник и девятиугольник при помощи циркуля и линейки.

При помощи этой методики можно разделить окружности произвольного радиуса, например, R1, R2 и R3 на 7 или 9 равных частей (Рис. 3).

На Рис. 3 показано деление этих окружностей на 9 равных частей. Для этого необходимо вычертить с центром этих окружностей окружность радиусом 63R мм. При этом достаточно по вышеуказанной методике определить длину хорды 360/9 и построить её сектор, который, отсекая заданные окружности R1, R2, R3, … , Rn, образует соответствующую длину хорды, делящий окружности на равные 9 частей.

Если необходимо разделить эти окружности на 7 равных частей, то необходимо построить сектор угла равный 360/7. В этом случае, как и в предыдущем, образуется соответствующая длина хорды, которая делит эти окружности на равные 7 частей (Рис. 4).

Разработанная нами методика позволяет делить окружности, как на 7, так и на 9 равных частей с более высокой практической точностью, чем в используемых ранее способах. Поэтому рекомендуем этот способ применить в учебный процесс, а также и в инженерных расчетах.

окружность деление хорда

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 3. Разделение окружности на девять р авных Рис. 4. Разделение окружности на семь равных частей (произвольные окружности) частей (произвольные окружности)

Литература

1. Рихсибаев Т. и др. Универсальный способ деления окружности на приближенные равные части. «Педагогик таълим» 2010/1 , стр. 106-112.

2. Рихсибаев Т. и др. Еще раз о трисекции угла, но не последней. Журнал «Педагогик таълим», 2013/6, стр. 70-74.

3. Рихсибаев Т. и др. Универсальный способ деления окружностей на равные части. XI международная студенческая конференция «Графика XXI века» СевГТУ, г. Севастополь, Украина, 2008, стр. 29-30.

4. Гулямова Н. и др. Некоторые способы деления угла и окружности на равные части. Методическое пособие. ТГПУ, 2008 г.

5. Адлер А. Теория геометрических построений. Учпедгиз. - Л., 1940 г.

Размещено на Allbest.ru