Краевая задача для уравнения второго порядка с отклоняющимся аргументом в ограниченной области
Исследование аналога второй краевой задачи для уравнения в частных производных с дискретным отклонением аргумента. Проведение доказательства разрешимости задачи методом разделения переменных. Условия, при которых задача имеет более одного решения.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 31.07.2018 |
| Размер файла | 479,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова
Краевая задача для уравнения второго порядка с отклоняющимся аргументом в ограниченной области
Бжеумихова Оксана Игоревна, ассистент
Лесев Вадим Николаевич, кандидат наук,
доцент, заведующий кафедрой
В статье исследован аналог второй краевой задачи для уравнения в частных производных с дискретным отклонением аргумента. Доказательство разрешимости задачи проведено методом разделения переменных. Получены условия при выполнении, которых задача не может иметь более одного решения. задача краевой уравнение дискретный
Различные процессы, протекающие в окружающем нас мире, заставляют исследователей все чаще обращаться к моделям, которые способны учитывать состояние систем в последующие или предшествующие моменты времени [1-3].
В отличии от работ [4-6], здесь мы исследуем аналог второй краевой задачи для уравнения в частных производных второго порядка с отклоняющимся аргументом в ограниченной области.
Пусть - односвязная область евклидовой плоскости точек .
В области рассмотрим уравнение:
, (1)
где , , , , - , причем .
Для уравнения (1) в области исследована следующая задача.
Задача 1. Найти решение уравнения (1) из класса , удовлетворяющее условиям
, (2)
где - заданные, достаточно гладкие функции.
Для задачи 1 справедлива следующая
Теорема. Пусть выполнены следующие условия:
1) , , где , ;
2) , , где , ;
3) , , .
Тогда задача 1 разрешима в требуемом классе функций.
Докажем существование решения задачи 1. Для этого будем искать решение в виде суммы , где -- решение задачи (1) при , а - решение задачи при . Дальнейшее изложение проведем для случая однородных граничных условий:
, (3)
, , (4)
. (5)
Решение задачи (3) будем искать в виде:
. (6)
Подставляя (6) в (3), получим
, (7)
где .
Отсюда из (7), с учетом (4), будем иметь
, (8)
, (9)
Нетрудно убедиться, что задача (8), (9) имеет собственные значения , , и соответствующие им собственные функции
,
, (10)
,
где , , , - произвольные постоянные.
Далее остановимся более подробно на случаях собственных значений и , что представляет на наш взгляд наибольший теоретический интерес.
Случай собственных значений исследуется аналогично.
Подставляя собственное значение в (7) приходим к соотношению
.
Общее решение последнего представимо в виде
.
Используя обозначения , , с учетом (6), получим частное решение задачи (3)-(5):
, (11)
где постоянные , будут определены позже.
Подставляя собственные значения в (7), приходим к соотношению
.
Общее решение последнего имеет вид:
, (12)
где , .
Тогда, принимая во внимание (10) и (12), получим:
, (13)
где , -- постоянные нуждающиеся в определении.
Таким образом, из (11), (13), будем иметь:
. (14)
Условия (5) позволяют определить , , , . Действительно, разлагая функции и , в ряд Фурье на интервале , с учeтом условия 1) теоремы, получим
, ,
где
, .
, .
При этом ряды и - сходятся.
Учитывая условия (5), находим
, ,
, .
Подставив значения , , , в (14), получим
. (15)
Для ряда (15) и рядов полученных почленным дифференцированием: , , , , методом сравнения доказана равномерная сходимость.
Функция аналогично функции для различных собственных значении задачи находится в виде сходящихся тригонометрических рядов.
Для доказательства единственности покажем, что однородная задача (1), (2) имеет только тривиальное решение.
Лемма. Если существует решение задачи (1), (2), то оно единственно только тогда, когда
, ,
,
где
, .
В самом деле, пусть
, на , . Тогда, принимая во внимание общий вид полученных решений, а так же учитывая полноту систем
, , ,
легко убедится в справедливости тождества , а следовательно и леммы. Откуда следует единственность задачи 1.
Список литературы
1. Трещёв В.С. Непрерывная зависимость от параметров решений краевых задач для дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Вестник Тамбовского университета. Естественные и технические науки, 2015. Т. 20, №1. С. 62-66.
2. Плышевская Т.К. О разрешимости квазилинеи?ного дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом неи?трального типа // Известия Института математики и информатики УдГУ, 2012. №1 (39). С. 109-110.
3. Bartuљek M., Cecchi M., Doљlб Z., Marini M. Fourth-Order Differential Equation with Deviating Argument // Abstr. Appl. Anal., 2012. V. 2012. P. 1-17.
4. Бжеумихова О.И. Локальная краевая задача для смешанного уравнения с отклоняющимся аргументом // Научное мнение, 2011. №6. С. 138-141.
5. Бжеумихова О.И., Лесев В.Н. Краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа второго порядка с отклоняющимся аргументом // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2011. Т. 18, вып. 5. С. 744-745.
6. Лесев В.Н., Бжеумихова О.И. Применение метода Фурье к исследованию задачи Дирихле для уравнения с отклоняющимся аргументом и оператором Лапласа в главной части // Политематический сетевой электронный научный журнал КубГАУ, 2012. №07(81). С. 1-10.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Метод разделения переменных в задаче Штурма-Лиувилля. Единственность решения смешанной краевой задачи, реализуемая методом априорных оценок. Постановка и решение смешанной краевой задачи для нелокального волнового уравнения с дробной производной.
курсовая работа [1003,8 K], добавлен 29.11.2014Обзор краевых задач для уравнения смешанного эллептико-гиперболического типа. Доказательство существования единственного решения краевой задачи для одного уравнения гиперболического типа со специальными условиями сопряжения на линии изменения типа.
контрольная работа [253,5 K], добавлен 23.04.2014Банаховы функциональные пространства. Постановка краевой задачи и исследование ее однозначной разрешимости и отрицательности функции Грина. Признаки существования решения краевой задачи для нелинейного функционально-дифференциального уравнения.
курсовая работа [440,4 K], добавлен 27.05.2015Последовательность решения линейной краевой задачи. Особенности метода прогонки. Алгоритм метода конечных разностей: построение сетки в заданной области, замена дифференциального оператора. Решение СЛАУ методом Гаусса, конечно-разностные уравнения.
контрольная работа [366,5 K], добавлен 28.07.2013Решение линейной краевой задачи методом конечных разностей (методом сеток). Замена области непрерывного изменения аргументов дискретным множеством узлов (сеток). Сведение линейной краевой задачи к системе линейных алгебраических уравнений (сеточных).
лекция [463,7 K], добавлен 28.06.2009Сущность методов сведения краевой задачи к задаче Коши и алгоритмы их реализации на ПЭВМ. Применение метода стрельбы (пристрелки) для линейной краевой задачи, определение погрешности вычислений. Решение уравнения сшивания для нелинейной краевой задачи.
методичка [335,0 K], добавлен 02.03.2010Основные определения теории уравнений в частных производных. Использование вероятностных, численных и эмпирических методов в решении уравнений. Решение прямых и обратных задач методом Монте-Карло на примере задачи Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона.
курсовая работа [294,7 K], добавлен 17.06.2014Теория инвариантов уравнения линии второго порядка от трех переменных, определение канонического уравнения. Общий пример решения задачи на определение вида и расположения поверхности, заданной относительно декартовой прямоугольной системы координат.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 02.06.2013Метод интегрирования по частям. Задача на нахождение частных производных 1-го порядка. Исследование на экстремум заданную функцию. Нахождение частных производных. Неоднородное линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Условия признака Лейбница.
контрольная работа [90,0 K], добавлен 24.10.2010Особенности решения обыкновенного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с заданными граничными условиями методом конечной разности. Составление трехдиагональной матрицы. Реализация решения в программе Microsoft Office Excel.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 23.12.2013Приведение к системе уравнений первого порядка. Разностное представление систем дифференциальных уравнений. Сеточные методы для нестационарных задач. Особенность краевых задач второго порядка. Разностные схемы для уравнений в частных производных.
реферат [308,6 K], добавлен 13.08.2009Нелокальная краевая задача, которая является некоторым аналогом задачи Бицадзе-Самарского. Единственность ее решения доказывается принципом максимума, а существование решения доказывается сведением задачи к эквивалентному ей интегральному уравнению.
задача [54,3 K], добавлен 13.05.2008Общий вид линейного однородного уравнения. Нахождение производных, вещественные и равные корни характеристического уравнения. Пример решения дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Общее и частное решение неоднородного уравнения.
презентация [206,3 K], добавлен 17.09.2013Способы решения системы линейных алгебраических уравнений: по правилу Крамера, методом матричным и Жордана-Гаусса. Анализ решения задачи методом искусственного базиса. Характеристика основной матрицы, составленной из коэффициентов системы при переменных.
контрольная работа [951,8 K], добавлен 16.02.2012Первая краевая задача и граничное условие 1-го рода. Задачи с однородными граничными условиями. Задача с главными неоднородными условиями и ее вариационная постановка. Понятие обобщенного решения. Основные условия сопряжения и условия согласования.
презентация [71,8 K], добавлен 30.10.2013Исследование общего уравнения линии второго порядка и приведение его к простейшим (каноническим) формам. Инвариантность выражения АС-В2. Классификация линий второго порядка. Уравнения, определяющие эллипс и гиперболу. Директрисы кривых второго порядка.
курсовая работа [132,1 K], добавлен 14.10.2011Метод регуляризующего множителя для решения задачи Гильберта для аналитических функций в случае произвольной односвязной области. Постановка краевой задачи типа Гильберта в классе бианалитических функций, а также решение конкретных примеров задач.
дипломная работа [4,0 M], добавлен 20.05.2013Решение первой задачи, уравнения Пуассона, функция Грина. Краевые задачи для уравнения Лапласа. Постановка краевых задач. Функции Грина для задачи Дирихле: трехмерный и двумерный случай. Решение задачи Неймана с помощью функции Грина, реализация на ЭВМ.
курсовая работа [132,2 K], добавлен 25.11.2011Модельная задача уравнения колебаний струны и деформации системы из трех струн. Вариационные методы решения: экстремум функционала, пробные функции, метод Ритца. Подпространства сплайнов и тестирование программы решения системы алгебраических уравнений.
дипломная работа [1,1 M], добавлен 29.06.2012Понятие о голоморфном решении задачи Коши. Теорема Коши о существовании и единственности голоморфного решения задачи Коши. Решение задачи Коши для линейного уравнения второго порядка при помощи степенных рядов. Интегрирование дифференциальных уравнений.
курсовая работа [810,5 K], добавлен 24.11.2013
