Определение эволюты некруглого колеса
Аналитическое определение профилей зубьев эллиптического колеса. Увеличение эксцентриситета эллиптического колеса эволюты левых и правых профилей. Использование общего способа дифференциальной геометрии для определения эволют профильных кривых колеса.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 30.07.2018 |
| Размер файла | 127,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Зубчатые механизмы
Размещено на http://www.allbest.ru/
54
http://tmm.spbstu.ru
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭВОЛЮТЫ НЕКРУГЛОГО КОЛЕСА
Н.А. ПАДАЛКО, С.О. КИРЕЕВ, А.П. ПАДАЛКО
Значительным вопросом теории зацепления некруглых колес является нахождение эволют профильных кривых, их связи с осуществляемой схемой нарезания зубьев. Эволюта позволяет оценить кривизну профилей зубьев, сравнить достоинства и недостатки различных схем нарезания. Графическое изображение эволюты совместно с центроидой способствует визуальному выявлению тех зубьев некруглого колеса, у которых эволюта близка к центроиде и, следовательно, есть опасность подрезания ножки зуба
Постановка задачи
В дифференциальной геометрии эволютой заданной кривой L называют множество ее центров кривизны [1]. Сама кривая L по отношению к своей эволюте называется эвольвентой. Для круглого зубчатого колеса эволютой эвольвентных профилей зубьев является, как известно, основная окружность и ее определение не вызывает никаких затруднений.
Для некруглого зубчатого колеса определение эволюты профиля значительно сложнее. При нарезании зубьев методом обкатки профильные кривые являются огибающими множества положений режущей кромки при взаимном перекатывании центроид инструмента и колеса.
Переменность кривизны центроиды колеса обусловливает трудность получения аналитической функции, определяющей профильную кривую зуба, и отсюда невозможность определения радиусов кривизны и соответственно центров кривизны, т.е. эволюты. В свое время Ф.Л.Литвиным [2] были получены формулы для расчета точек эволюты эллиптического колеса. При этом был использован достаточно сложный кинематический способ с применением кулисного механизма, в котором звено перекатывается по искомой эволюте.
В настоящей работе для определения эволют профильных кривых колеса произвольной формы используется общий способ дифференциальной геометрии, на наш взгляд, более простой в данном случае. Здесь эволюту рассматриваем как огибающую множества положений профильных нормалей. эллиптический колесо эволюта геометрия
Методика решения
Прежде условимся, что нарезание осуществляется методом обкатки, а инструментом является рейка с прямолинейным профилем и углом профиля . При нарезании прямолинейная центроида рейки N-N (рис. 1) обкатывает без скольжения центроиду эллиптического колеса Ц, т.е. в каждом положении центроида рейки является касательной к центроиде колеса. Тогда любая профильная нормаль рейки, в том числе и нормаль n-n, проходящая через полюс зацепления P0, составляет постоянный угол б с касательной к центроиде колеса в точке P0.
Рис. 1. Профильная нормаль рейки Рис. 2. Профильная нормаль нарезаемого колеса
Зуб рейки и зуб нарезаемого колеса в точке касания имеют общую нормаль, которая проходит через полюс P0. Поэтому, переходя к колесу, можно утверждать, что если схемой нарезания обеспечивается качение прямолинейной центроиды рейки по центроиде колеса, а именно это является условием обкатки при нарезании, то для любой точки B центроиды колеса (рис.2) угол между касательной t-t к центроиде и нормалью n-n зуба колеса, проходящей через эту же точку B, равен профильному углу б инструментальной рейки. К такому же выводу можно прийти и при рассмотрении процесса нарезания долбяком.
Если для центроиды колеса известно уравнение центроиды Ц в выбранной системе координат XY, например, в параметрическом виде
x=x(х), y=y(х),
то угол наклона касательной t-t к оси X, определится известным образом
Угол б2 между осью X и нормалью n-n, проходящей через точку B, составит
б2 =+б1 -б.
Запишем уравнение нормали в общем виде, как уравнение прямой, проходящей через точку B с координатами x, y,
Y-y=K(X-x),
где X,Y- координаты произвольной точки нормали, K=tgб2- угловой коэффициент нормали.
Уравнение (3) можно рассматривать и как уравнение семейства нормалей, проходящих через точки центроиды с координатами x=x(х), y=y(х). Запишем уравнение семейства с параметром х в общем виде
F(X,Y,х)=0.
Здесь фиксированное значение параметра х выделяет из семейства конкретную нормаль, а уравнения (1) определяют отдельную точку на этой нормали.
Для описания огибающей данного семейства прямых, как известно из дифференциальной геометрии, к уравнению (4) нужно добавить еще одно уравнение
.
В системе уравнений (4) и (5) величины X и Y представляют уже координаты точек касания нормалей с эволютой профильной кривой. Поэтому далее будем их обозначать xэ, yэ, как координаты точек эволюты.
Пример применения
Используя общие уравнения эволюты (4),(5), получим уравнения эволюты в каноническом виде для эллиптической центроиды. Координаты точек эллипса, как известно, можно выразить в параметрическом виде
x=bcosш, y=asinш,
где a,b- большая и малая полуоси эллипса, ш- параметр, определяющий отдельную точку эллипса.
По выражению (2) находим угол наклона касательных к эллиптической центроиде
и угловой коэффициент профильных нормалей
K=tgб2=tg[(arctg(-a/b ctgш)-б].
Функция (4) здесь имеет вид F(X,Y,ш)=0, или в развернутом виде
F=Y-asinш-tg [(arctg(-a/b ctgш)+б](X-bcosш)
Найдем производную (5) от функции (6) с заменой X=xэ,Y=yэ. Получим
После преобразований найдем
Подставив (7) в (3), получим вторую координату точек эволюты
yэ=y+K(xэ-x).
Выражения (7), (8) определяют эволюту левых профилей зубьев эллиптического колеса. Подобным образом получены формулы для определения эволюты правых профилей
yэ=y-K(xэ-x).
Как видим, выражения (9),(10) отличаются от (7),(8) лишь знаками.
Итак, рассматривая эволюту как огибающую нормалей к профилю зуба, достаточно просто получить уравнение эволюты некруглого зубчатого колеса в параметрическом виде, как это найдено здесь для профильных кривых эллиптического колеса.
Обсуждение полученных результатов
Как показали компьютерные исследования эволют, с увеличением эксцентриситета эллиптического колеса эволюты левых и правых профилей все более уклоняются друг от друга, но обе приближаются к центроиде в области большой полуоси эллипса, увеличивая опасность подрезания ножек зубьев. На рис.3 приведены: центроида 1 и эволюты левых 2 и правых 3 профилей эллиптического колеса с эксцентриситетом e=0,8 и числом зубьев z=47.
Рис. 3. Пример расчёта центроиды и эволют
Сравнение эволют по приведенным выше формулам с эволютами, построенными по формулам Ф.Л.Литвина, показали их полную идентичность. Более того, преобразованием выражений (7-10) можно перейти непосредственно к формулам Ф.Л.Литвина.
Для наглядного доказательства правильности полученных формул с помощью компьютера построены также касательные к центроиде (t-t) и нормали (n-n) в произвольных точках центроиды. На изображении (рис.4) видно, что нормали действительно являются касательными к эволюте, а эволюта - их огибающей.
Полученные здесь уравнения эволют совместно с разработанной методикой определения профилей [3] позволяют эффективно выполнить проектирование эллиптической зубчатой передачи.
Рис. 4. Пример расчёта центроиды и эволют
Список литературы
1. Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия. - М.: МГУ. 1990.-382с.
2. Литвин Ф.Л. Некруглые зубчатые колеса. Машгиз, М-Л, 1956 г.-312 с.
3. Киреев С.О. Падалко Н.А. Падалко А.П. Аналитическое определение профилей зубьев эллиптического колеса. Изв. Вузов Сев. - Кавк. регион. Техн. Науки 2000. №3, с.31-34.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Свойства куба, тетраэдра, октаэдра. Прямые и наклонные призмы. Учение о многоугольниках Пифагора. Деление циферблата часов. Создание колеса со спицами и астрономических сооружений. Виды и свойства пирамид. Теории построения правильных многоугольников.
презентация [1,4 M], добавлен 26.04.2015Использование метода конечных разностей для решения краевой задачи уравнений с частными производными эллиптического типа. Графическое определение распространения тепла методом конечно-разностных аппроксимаций производных с применением пакета Mathlab.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 06.07.2011Комплексная форма записи простейших преобразований плоскости. Определение, основные свойства комплексного отображения. Использование простейших рациональных функций для выполнения некоторых конформных отображений. Построение профилей Жуковского-Чаплыгина.
курсовая работа [2,0 M], добавлен 03.12.2014Гипербола и ее свойства. Каноническая система координат. Понятие эксцентриситета, его зависимость от отношения мнимой и действительной полуосей. Уравнение директрис. Определение центра, оси, вершин, фокусов, эксцентриситета и асимптоты заданной гиперболы.
презентация [3,9 M], добавлен 02.06.2016Условия возникновения и особенности вычисления функций Матье, характеристика дифференциального уравнения Матье. Алгоритм решения задачи и алгоритмы вычисления радиальных функций эллиптического цилиндра. Определение точности результатов вычисления.
научная работа [73,8 K], добавлен 02.05.2011Основные свойства векторов. Теории кривых и поверхностей. Натуральная параметризация. Формулы Сере-Френе и Эйлера. Уравнение соприкасающейся окружности. Теорема Менье. Индикатриса Дюпена. Индексные обозначения в дифференциальной геометрии поверхностей.
курсовая работа [1,6 M], добавлен 01.02.2014Модель Пуанкаре геометрии Лобачевского: вопрос о ее непротиворечивости. Инверсия, ее аналитическое задание. Преобразование окружности и прямой, сохранение углов при инверсии. Инвариантные прямые и окружности. Система аксиом геометрии Лобачевского.
дипломная работа [1,3 M], добавлен 10.09.2009Определение понятия элементарной, простой и общей поверхности. Аналитическое задание и специальные параметризации поверхности. Первая квадратичная форма поверхности, расчет кривых и угла между ними. Конформное отображение, изометрические площади.
курсовая работа [407,0 K], добавлен 15.12.2011Примеры решения задач по заданию графов. Определение основных характеристик графа: диаметра, радиуса, эксцентриситета каждой вершины. Вычисление вершинного и реберного хроматического числа. Упорядоченность матричным способом и построение функции.
контрольная работа [224,6 K], добавлен 05.07.2014Вид определенного интеграла от непрерывной на заданном отрезке функции. Сущность квадратурных формул. Нахождение численного значения интеграла с помощью методов левых и правых прямоугольников, трапеций, парабол. Выведение общей формулы Симпсона.
презентация [120,3 K], добавлен 18.04.2013Понятие начертательной геометрии, ее сущность и особенности, предмет и методы изучения, история зарождения и развития. Цели и задачи начертательной геометрии, ее структура и элементы. Прямая и варианты ее расположения, разновидности и методы определения
лекция [451,3 K], добавлен 21.02.2009Построение разверток поверхностей. Параллелепипед и его развертка. Чертеж развертки поверхности правильной пирамиды, прямого кругового конуса, прямого кругового цилиндра, правильной призмы, прямого эллиптического цилиндра. Способ нормального сечения.
контрольная работа [1,8 M], добавлен 11.11.2014Роль идей и методов проективной геометрии в математической науке. Закономерности кривых второго порядка и кривых второго класса, основные теоремы Паскаля и Брианшона, описывающие замечательное свойство шестиугольника вписанного в кривую второго порядка.
курсовая работа [1,9 M], добавлен 04.11.2013Приведение уравнения к каноническому виду при помощи преобразований параллельного переноса и поворота координатных осей. Нахождение фокусов, директрис, эксцентриситета и асимптот кривой. Построение графика кривой в канонической и общей системах координат.
контрольная работа [133,5 K], добавлен 12.01.2011Понятие и способы образования плоских и кривых линий. Примеры пересечения алгебраической кривой линии. Поверхность в геометрии. Аргументы вектор-функции. Уравнения семейства линий. Способ построения касательной и нормали в произвольной точке лемнискаты.
контрольная работа [329,5 K], добавлен 19.12.2014Возникновение геометрии как науки о формах, размерах и границах частей пространства, которые в нем занимают вещественные тела. Появление геометрии в Греции к концу VII в. до н. э. Теорема Пифагора и развитие методов аналитической геометрии Гаусса.
реферат [38,5 K], добавлен 16.01.2010Определение дифференциальной функции распределения f(x)=F'(x) и математического ожидания случайной величины Х. Применение локальной и интегральной теоремы Лапласа. Составление уравнения прямой линии регрессии. Определение оптимального плана перевозок.
контрольная работа [149,6 K], добавлен 12.11.2012История возникновения неевклидовой геометрии. Сравнение постулатов параллельности Евклида и Лобачевского. Основные понятия и модели геометрии Лобачевского. Дефект треугольника и многоугольника, абсолютная единица длины. Определение параллельной прямой.
курсовая работа [4,1 M], добавлен 15.03.2011Происхождение Неевклидовой геометрии. Возникновение "геометрии Лобачевского". Аксиоматика планиметрии Лобачевского. Три модели геометрии Лобачевского. Модель Пуанкаре и Клейна. Отображение геометрии Лобачевского на псевдосфере (интерпретация Бельтрами).
реферат [319,1 K], добавлен 06.03.2009Способы вычисления наступления некоторого события. Решение задач, связанных с теорией вероятности. Использование таблицы функции Лапласа для определения теоретических частот нормального закона распределения. Определение исправленной выборочной дисперсии.
контрольная работа [225,3 K], добавлен 14.03.2015
