К определению положений звеньев пространственных механизмов
Исследование и обоснование эффективности метода определения положений звеньев механизмов с одно- и двухподвижными кинематическими парами. Определение положений фигур методом последовательных приближений, порядок проведения соответствующих расчетов.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 30.07.2018 |
| Размер файла | 478,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Геометрия механизмов
Размещено на http://www.allbest.ru/
48
http://tmm.spbstu.ru
Размещено на http://www.allbest.ru/
К определению положений звеньев пространственных механизмов
На рис. 1, а показана кинематическая схема механизма ВЦЦЦ (В-вращательная, Ц - цилиндрическая пары).
Рис. 1, а) Механизм ВЦЦЦ; б) Эквивалентная геометрическая система
На рис. 1, б - эквивалентная геометрическая система. Фигура II представлена треугольником 1, 2, 3 и жёстко связанной c ним линией L2, фигура III - треугольником 4, 5, 6 и линией L3, фигура IV представляет жёстко связанные линии 7, 8 и 9, 10.
К известным параметрам относятся А(xA, yA, zA); a(la, ma, na); B(xB, yB, zB); b(lb, mb, nb), здесь a, b - орты; la, ma, na и lb, mb, nb - направляющие коэффициенты ортов, представленные косинусами углов между координатными осями. Каждая из подвижных фигур системы представлена двумя параметрами: углом в между линиями, составляющими фигуру, и кратчайшим расстоянием д между ними. Так, например, фигура II представлена параметрами в2,д2. Здесь в2 - угол между линиями 1, 2 и L2; д2 - кратчайшее расстояние между ними. Фигура III представлена параметрами в3, д3; фигура IV - в4, д4. Отрезки 2, 3; 5, 6 и 8, 9 определяют положение общего перпендикуляра к скрещивающимся прямым и по модулю равны величинам д2, д3, д4 соответственно.
Степень подвижности системы равна:
,
(1)
В (1) в скобках показаны соприкасающиеся геометрические объекты системы.
За обобщенную координату системы можно принять угол б поворота фигуры II вокруг орта б. Положение фигуры II целесообразно определить первоначально в локальной системе координат , а затем относительно Oxyz.
Строится система (рис. 2).
Рис. 2. К определению положения фигуры II
Ось совмещается с ортом a, следовательно, (la, ma, na). Находится проекция орта a на плоскость Oxy - aпр(lпр, mпр). Из условия перпендикулярности орта aпр и оси определяются направляющие коэффициенты l1, m1, n1 оси :
(2)
Из векторного произведения осей и определяются значения l2, m2, n2 оси [1]:
. (3)
Из (3) следует:
(4)
Здесь направляющие коэффициенты l2, m2, n2 являются также направляющими косинусами оси .
Первоначально фигура II совмещается с плоскостью (рис. 2). При этом координаты точки 3 и параметры линии L2(ld, md, nd) будут иметь вид:
,
. (5)
Система поворачивается вместе с фигурой II вокруг орта a на угол б. Вновь полученная система обозначается (рис. 2). На оси располагается точка Т с координатами:
. (6)
После поворота оси точка Т занимает положение Т1 с координатами:
. (7)
Вычисляются координаты точки Т1 относительно Оxyz:
(8)
Определяются параметры оси :
(9)
Вычисляются координаты точки 3 и параметры линии L2 относительно Оxyz:
(10)
Линия L2 c параметрами, полученными по (10), принимается за неподвижный объект. В результате получается новая геометрическая система, показанная на рис. 3.
Рис. 3. Геометрическая система с нулевой степенью подвижности - ферма
Определяется её степень подвижности:
(11)
Согласно (11) новая система имеет нулевую степень подвижности, т.е. представляет собой ферму.
Из системы, показанной на рис. 3, исключается фигура IV, в результате получается двухподвижная геометрическая система (рис. 4).
Рис. 4. Двухподвижная геометрическая система
Здесь фигура III может совершить два независимых движения: вращение вокруг линии L2 и перемещение вдоль этой линии.
Во время движения фигуры III будут изменяться углы между линиями L3 и L4 и кратчайшее расстояние между ними. В определённый момент эти величины окажутся равными в4 и д4. Такое положение фигуры III и будет соответствовать искомому положению. В этом случае к линиям L3 и L4 возможно присоединить фигуру IV, которая займёт однозначное положение относительно Oxyz.
Задачу по определению положений фигур системы целесообразно решать в два этапа.
1 этап. Точку 5 условно совместить с точкой 3, вращением фигуры III вокруг линии L2 найти положение линии L3, составляющей с линией L4 угол в4.
2 этап. Перемещением фигуры III вдоль линии L2 найти положение линии L3 с кратчайшим расстоянием до линии L4, равным д4.
Первый этап расчёта
Строится новая локальная система координат (рис. 5).
Рис. 5. К определению направления линии L3
Ось 3z совмещается с ортом d, т.е. . Через орт d проводится плоскость параллельно орту b. Положение оси , совпадающей с вектором q(X5, Y5, Z5), находится из векторного произведения ортов d и b. Параметры оси определяются из векторного произведения осей и :
(12)
Через точку 3 проводится орт d и определяется угол между ортами d и b:
. (13)
Через точку 3 проводится орт c под углом в3 к орту d и углом в4 к орту b. Здесь возможны два положения орта c с одинаковым углом наклона к плоскости (, см. рис. 5).
На ортах b, c, d располагаются рёбра многогранника FMKTN. Из треугольников FMK и FNK определяются отрезки FM и FK:
. (14)
Здесь в3пр - проекция угла в3 на плоскость (в4пр - проекция угла в4).
Определяется угол f наклона ребра FM к плоскости :
. (15)
Из фигуры FMKT получают аналогично:
. (16)
Из (15) и (16) находится зависимость углов в3, в4, в3пр, в4пр:
. (17)
Из рис. 5 следует:
. (18)
Значения (18) подставляются в формулу (17):
, (19)
. (20)
Левая и правая части уравнения (20) делятся на cosв3пр:
. (21)
Из (21) находится tgв3пр:
. (22)
Определяются направляющие косинусы орта c относительно . Из рис. 5 следует, что величина nc = cosв3.
Находится величина mc:
. (23)
Для определения величины lc используется проекция орта c на плоскость :
;,
. (24)
В формулу (24) подставляется значение cos f из (15):
. (25)
Таким образом, по (14), (25) определяются направляющие косинусы орта c относительно .
На основе анализа различных вариантов взаимного положения ортов b, c, d, показанных на рис. 5, сделан вывод: область существования тройки ортов возможно отобразить формулой:
. (26)
При этом должны соблюдаться условия, исключающие частные случаи взаимных положений ортов:
. (27)
Из рис. 5 следует, что в случае равенства углов в (26) орт c будет располагаться в плоскости .
Находится положение орта c относительно Оxyz:
(28)
В результате расчёта согласно (23) определяются по формуле (28) два положения орта c, что соответствует двум вариантам сборки геометрической системы.
Первый этап расчёта завершается определением промежуточного положения фигуры III. Точка 5 фигуры совмещается с точкой 3, и вычисляются параметры вектора (l7, m7, n7), перпендикулярного ортам c и d (рис. 6).
Рис. 6. К определению промежуточного положения фигуры III
Находятся координаты точки 6:
(29)
Через точку 6 проводится линия L3, совпадающая с ортом c.
Второй этап расчёта
Строится локальная система координат (рис. 7).
Рис. 7. К определению общего перпендикуляра к ортам c и d
Ось совмещается с ортом b, т.е. . Через ось проводится плоскость параллельно орту c. Параметры оси определяются из векторного произведения ортов c и b. Параметры оси находятся из векторного произведения осей и :
(30)
Вычисляются параметры ортов c, d и координаты точки 6 относительно :
(31)
. (32)
Вычисляются координаты точек Р, Н общего перпендикуляра к ортам b и c (см. рис. 7):
;
. (33)
Здесь точка Е определяет искомое положение линии и точки 6 фигуры III:
, (34)
где - параметр, определяющий проекцию орта d на плоскость .
(35)
где - параметр, определяющий проекцию орта d на плоскость (плоскость V).
Определяются координаты точки Е относительно Оxyz:
(36)
По (36) вычисляют координаты точек Р, Н относительно Oxyz, подставив вместо соответствующие значения.
Через точку Е проводится плоскость Q перпендикулярно орту d и вычисляются координаты точки пересечения линии L2 с этой плоскостью:
;
; ;
. (37)
Таким образом, получены координаты точек, определяющих положение фигур III и IV относительно Oxyz. Для определения положения фигуры III достаточно отрезок 5, 6 совместить с прямой GE, линию L3 - с ортом c, положение фигуры IV определяется совмещением отрезка 8, 9 с прямой НР и отрезка 7, 8 с линией L3.
На основе фермы, показанной на рис. 3, возможно построить самоустанавливающуюся конструкцию 2. Если узел, составленный из деталей III и IV (предварительно зафиксированный фиксатором), опустить на опоры V и VI, то под действием веса узел займёт однозначное положение относительно Oxyz (рис. 8).
Рис. 8. Самоустанавливающаяся конструкция
После установки узла фиксатор убирается. Демонтаж такой конструкции будет заключаться в поднятии узла и переносе его в другое положение.
Рассматривается механизм ВЦВЦВ и эквивалентная геометрическая система, составленная из подвижных фигур II, III, IV, V (рис. 9, а, б).
Рис. 9, а) Механизм ВЦВЦВ; б) Эквивалентная геометрическая система конструкция
Фигуры II и III аналогичны одноимённым фигурам предыдущего примера. Фигура IV представлена треугольником 7, 8, 9 и жёстко связанной с ним линией , фигура V - линиями 10, 11 и 12, 13, связанными общим перпендикуляром 11, 12.
К известным параметрам относятся:
А(xA, yA, zA); a(la, ma, na); B(xB, yB, zB); b(lb, mb, nb)
Подвижные фигуры представлены параметрами: в2, д2 (II); в3, д3 (III); в4, д4 (IV); в5, д5 (V).
Степень подвижности системы равна:
(38)
Аналогично предыдущему примеру за обобщенную координату системы принимается угол и по формулам (2)(10) определяются координаты точки 3 и параметры линии L2, соответствующие заданному углу .
Зафиксировав линию L2 относительно Oxyz, получают ферму, показанную на рис. 10.
Рис. 10. Ферма
Далее из фермы исключается фигура V, в результате получается трёхподвижная система, показанная на рис. 11.
Рис. 11. Трёхподвижная геометрическая система
В рассматриваемом примере положение фигур III, IV, V возможно определить методом последовательных приближений с использованием формул предыдущего примера.
Сущность метода заключается в следующем: фигуру IV поворачивают вокруг линии L3 на угол ж и фиксируют её относительно фигуры III. В результате трёхподвижная система преобразуется в двухподвижную. Далее, перемещая фигуру III относительно орта d, находят по положение, при котором угол между линиями L4 и L5 составляет в5, и кратчайшее расстояние между ними будет равно д5. Вычисляется расстояние между точками Р и В (рис. 12).
Рис. 12. К определению отрезка РВ
Изменением величины и направления угла поворота ж фигуры IV добиваются такого положения, при котором отрезок ВР будет равен нулю или отличаться от него на величину (погрешность приближения).
Промежуточные значения фигуры IV, занимаемые в результате поворота ее на углы д1, определяются в системе , связанной с фигурой III (рис. 13.).
Рис. 13. К определению промежуточного положения L4
Для определения промежуточных положений линии L4 целесообразно воспользоваться расчётными формулами (2)(10), подставив в них вместо величин в2, д2 и отрезка 1, 2 параметры фигуры IV - в4, д4 и отрезок 6, 8. В результате расчёта определяется положение линии L4 относительно 5xyz, соответствующее заданному углу жi - L4(le, me, ne).
В дальнейшем расчёте фигура III представляет жёстко связанные линии 4, 5 и L4. Определяются промежуточные параметры вновь полученной фигуры III: угол в3 и кратчайшее расстояние д3 между линиями 4, 5 и L4:
. (39)
Здесь mпр - параметр, определяющий проекцию орта на плоскость 5yz:
. (40)
кинематический пара пространственный звено
Определение положений фигур III, IV, V методом последовательных приближений состоит из отдельных взаимосвязанных циклов расчётов. Задаются значения углов ж1,ж2=ж1+ж1, и по (2)(10), (39), (40) определяются геометрии фигур, показанных на рис. 13. Далее по (12)(37) вычисляются длины отрезков Р1В, Р2В и определяется их разность
. (41)
При положительном значении 1 цикл повторяется, т.е. задаётся угол ж3 = ж2 + ж1 и вычисляется значение 2, затем 3…n. При отрицательном значении 2(3…n) изменяется направление вращения фигуры IV и уменьшается значения ж1 в два раза. Процесс приближения прекращается при получении неравенства:
. (42)
Положения фигур геометрической системы, вычисленные в последнем цикле приближения, принимаются за искомые.
Список литературы
1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. - М.: Наука, 1973.-С. 216-221.
2. Романцев А.А. Основы кинематической геометрии. - Ульяновск, 2004. - 150 с.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Итерационные методы (методы последовательных приближений) для решения уравнений. Одношаговые итерационные формулы. Метод последовательных приближений Пикара. Возникновение хаоса в детерминированных системах. Методы решения систем алгебраических уравнений.
контрольная работа [166,2 K], добавлен 04.09.2010Характеристика особенностей позиционных звеньев - таких звеньев, в которых выходная и входная величины в установившемся режиме связаны линейной зависимостью. Идеальное усилительное (безинерционное) звено. Устойчивое апериодическое звено 1-го порядка.
реферат [104,4 K], добавлен 07.10.2010Основные виды линейных интегральных уравнений. Метод последовательных приближений, моментов, наименьших квадратов и коллокации. Решение интегральное уравнение методом конечных сумм и методом моментов. Ненулевые решения однородной линейной системы.
контрольная работа [288,4 K], добавлен 23.10.2013Вывод уравнения движения маятника. Кинетическая и потенциальная сила энергии. Определение всех положений равновесия. Исследование на устойчивость. Аналитический и численный расчет траектории системы. Изображение траектории системы разными способами.
контрольная работа [344,2 K], добавлен 12.04.2016Приближенные значения корней. Метод дихотомии (или деление отрезка пополам), простой итерации и Ньютона. Метод деления отрезка пополам для решения уравнения. Исследование сходимости метода Ньютона. Построение нескольких последовательных приближений.
лабораторная работа [151,3 K], добавлен 15.07.2009Задачи нахождения собственных значений и соответствующих им собственных векторов. Математическое обоснование метода итераций. Алгоритм метода Леверрье-Фаддеева, численное решение оценки собственных значений матриц. Листинг программы на языке "Pascal".
курсовая работа [221,8 K], добавлен 05.11.2014Расчет наступления определенного события с использованием положений теории вероятности. Определение функции распределения дискретной случайной величины, среднеквадратичного отклонения. Нахождение эмпирической функции и построение полигона по выборке.
контрольная работа [35,1 K], добавлен 14.11.2010Особенности использования метода секущих плоскостей для создания проекции и разветки пересечения поверхностей фигур. Порядок построения изометрии взаимного пересечения поверхностей фигур. Характеристика процесса создания фигуры с вырезом, опоры и стойки.
реферат [21,3 K], добавлен 27.07.2010Понятие и история возникновения науки нумерологии, особенности русской и китайской нумерологии. Разработка основных положений нынешнего варианта западной нумерологии Пифагором, гармонические числа. Пифагорейская наука о числах. Халдейская нумерология.
реферат [29,9 K], добавлен 20.12.2009Математика Древнего и Средневекового Китая. Правило двух ложных положений. Системы линейных уравнений со многими неизвестными. Начальные этапы развития тригонометрии. Создание позиционной десятичной нумерации. Арифметика натуральных чисел и дробей.
дипломная работа [593,1 K], добавлен 22.12.2012Рассмотрение основ векторных полей, физического смысла дивергенции и ротора. Ознакомление с криволинейными и поверхностными интегралами и методами их вычисления. Изучение основных положений теорем Гаусса-Остроградского и Стокса; примеры решения задач.
реферат [1,5 M], добавлен 24.03.2014Площадь как величина, измеряющая размер площади, ее основные свойства и характеристики. Порядок определения площади треугольника, прямоугольника, четырехугольника, ромба, параллелограмма. Интегральное вычисление как методика определения площади.
презентация [259,4 K], добавлен 13.12.2010Теория малых упругопластических деформаций. Метод последовательных приближений. Метод упругих решений. Подход, основанный на методе дополнительных нагрузок. Теория пластического течения. Упругость объемной деформации. Критерий упрочнения Д. Дракера.
презентация [264,1 K], добавлен 17.07.2015Структурное преобразование схемы объекта и получение в дифференциальной форме по каналам внешних воздействий. Формы представления вход-выходных математических моделей динамических, звеньев и систем, методов их построения, преобразования и использования.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 09.11.2013Характеристика способов решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Описание проведения вычислений на компьютере методом Гаусса, методом квадратного корня, LU–методом. Реализация метода вращений средствами системы программирования Delphi.
курсовая работа [118,4 K], добавлен 04.05.2014Исследование сущности и сфер применения метода итераций. Нелинейные уравнения. Разработка вычислительный алгоритм метода итераций. Геометрический смысл. Составление программы решения систем нелинейных уравнений методом итераций в среде Turbo Pascal.
реферат [183,7 K], добавлен 11.04.2014Теория автоматического управления и виды алгоритмических звеньев. Стационарные и нестационарные САР. Типовые динамические звенья: определение и классификация. Запас устойчивости по модулю и фазе. Показатель колебательности и кривая переходного процесса.
контрольная работа [477,5 K], добавлен 15.07.2014Характеристика и использование итерационных методов для решения систем алгебраических уравнений, способы формирования уравнений. Методы последовательных приближений, Гаусса-Зейделя, обращения и триангуляции матрицы, Халецкого, квадратного корня.
реферат [60,6 K], добавлен 15.08.2009Разработка программного обеспечения для решения нелинейных систем алгебраических уравнений методом дифференцирования по параметру и исследование влияние метода интегрирования на точность получаемого решения. Построение графиков переходных процессов.
курсовая работа [619,3 K], добавлен 26.04.2011Понятие и свойства многогранников. Геометрическое моделирование как неотъемлемая часть современного математического образования. Применение изображений пространственных фигур в преподавании геометрии, роль наглядных средств при изучении многогранников.
дипломная работа [4,7 M], добавлен 28.10.2012
