Построение обобщённого критерия представляет собой процедуру, которая “синтезирует” пару оценок (u, v) в единую числовую оценку; формально обобщённый критерий может быть задан в виде отображения

Ф: R R R. Главное, (и, по - существу, единственное) требование, которое должно быть наложено на это отображение, состоит в том, что это отображение должно “сохранять” отношение доминирования по Парето. Поэтому можно дать следующее определение.

Опр. Под обобщённым критерием будем понимать отображение Ф: RR R , удовлетворяющее условию

(u1, v1) (u2, v2) Ф(u1, v1) > Ф(u2, v2)

Замечание. Иногда рассматривают ослабленный вариант условия (9), состоящий в импликации

(u1, v1)(u2, v2) Ф(u1, v1) Ф(u2, v2)

(Отношение понимается как объединение отношения доминирования по Парето и отношения равенства = ). Например, взвешенная сумма с неотрицательными весовыми коэффициентами удовлетворяет условию (10), а с положительными - более сильному условию.

Поскольку для обобщённого критерия Ф существенным является не сама величина Ф(u, v), а соотношение типа Ф (u1, v1) Ф(u2, v2), введём следующее определение.

Опр. Обобщённые критерии и называются эквивалентными, если для любых векторных оценок (u1, v1) и (u2, v2) выполняется равносильность:

Ф (u1, v1) (u2, v2) (u1, v1) (u2, v2)

Например, обобщённые критерии (u, v) = 2u + 3v, (u, v) = =0,4u+0,6v и (u,v)=эквивалентны между собой. Если Ф - обобщённый критерий, то функция

=

где - произвольная монотонно возрастающая функция, также будет обобщённым критерием, который эквивалентен критерию .

3. Основной задачей является выявление данных, которые требуются для построения обобщённого критерия. Предположим, что обобщённый критерий (u, v) построен. Тогда уравнение Ф(u, v)=с при каждом фиксированном значении константы с определяет на плоскости переменных (u, v) некоторую кривую, которая называется кривой безразличия. Для любых двух точек М1(u1; v1) и М2(u2; v2), принадлежащих одной кривой безразличия, Ф (u1,v1)=Ф(u2, v2), поэтому принимающий решение будет рассматривать векторные оценки (u1, v1) и (u2, v2) как равноценные.

Зафиксируем некоторую точку М(u; v) и проанализируем, что происходит при переходе от точки М к точке при движении по кривой безразличия (рис. 10).

Рис. 10. Кривая безразличия

Положим u = - u, v = - v. При переходе от точки М к точке оценка по первому критерию увеличивается на величину |u|, а оценка по второму критерию уменьшается на величину |v | (заметим, что для точек, лежащих на одной кривой безразличия, u и v всегда имеют разные знаки). Так как лицо, принимающее решение рассматривает векторные оценки (u, v) и как равноценные, то для него потеря |v| единиц по второму критерию компенсируется прибавкой |u| единиц по первому критерию. (В эквивалентной форме это можно выразить ещё так: для лица принимающего решение прибавка |v | единиц по второму критерию компенсирует потерю |u | единиц по первому критерию).

Положительное число -(v/u), указывающее соотношение "потерь-прибавок", зависит, конечно, от того, в какую точку произойдёт смещение из точки М по кривой безразличия. Чтобы исключить зависимость от точки , надо взять "бесконечно малое смещение", т.е. перейти к пределу при условии М; последнее эквивалентно тому, что u 0.

Опр. Положительное число

k = (-)

называется локальным коэффициентом замещения (ЛКЗ) в точке М(u, v).

Конечно, в общем случае ЛКЗ зависит от точки М, т.е. k = k(u, v).

Содержательный смысл локального коэффициента замещения заключается в следующем. Если u мало, то можно считать, что -v ku; приняв u за единицу, получаем |v| = -v k. Таким образом, ЛКЗ приблизительно равен той минимальной прибавке по второму критерию, которая компенсирует для лица принимающего решение потерю единицы по первому критерию (равенство тем точнее, чем меньшей взята единица по первому критерию).

Геометрический смысл ЛКЗ ясен из рис. 10: так как v/u есть тангенс угла наклона секущей Мк оси абсцисс, то, переходя к пределу при u 0, получаем следующее правило.

Правило 1. ЛКЗ в точке М(u; v) равен взятому со знаком “минус” тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной, проведённой к кривой безразличия в точке М.

Пусть Q R2 - некоторое множество векторных оценок. Из определения кривой безразличия следует, что через каждую точку M Q проходит одна кривая безразличия. Опр. Множество всех кривых безразличия составляет карту безразличий в области Q; типичный вид карты безразличий представлен на рис.11

Рис. 11. Карта безразличий

Будем считать, что кривые безразличия являются гладкими (т.е. имеют касательную в каждой точке).

Правило 2. Задание в области Q карты безразличий равносильно заданию ЛКЗ для каждой точки M Q.

Действительно, предположим, что в области Q задана карта безразличий. Тогда для каждой точки М(u; v) Q существует единственная проходящая через неё кривая безразличия. Взятый со знаком “минус” тангенс угла наклона касательной, проведённой к этой кривой безразличия в точке М, даст по правилу 1 ЛКЗ в точке М.

Обратно, пусть для каждой точки М(u; v) Q задан соответствующий ей локальный коэффициент замещения k(u; v). Тогда для каждой точки области Q известен угловой коэффициент касательной к кривой безразличия. В этом случае можно построить (при некоторых ограничениях на функцию k(u; v)) карту безразличий - это хорошо известный в математике способ построения интегральных кривых в заданном поле направлений.

В заключение данного пункта найдём условия, при которых ЛКЗ является постоянным.

Ш Если в области векторных оценок Q R2 ЛКЗ k постоянен, то семейство кривых , составляющих карту безразличий обобщённого критерия Ф, определяется дифференциальным уравнением dv/du = -k, откуда dv=-kdu, а v = -ku + c, т.е. в этом случае карта безразличий представляет собой семейство параллельных прямых, угловой коэффициент которых равен - k.

Ш Пусть в области Q задана карта К, состоящая из семейства параллельных прямых, имеющих отрицательный угловой коэффициент -k. Тогда обобщённый критерий (u, v) = ku + v совместим с картой К (так как его карта безразличий состоит из линий ku+v=с - прямых, имеющих угловой коэффициент -k, т.е. совпадает с картой К). Получаем, что в этом случае обобщённый критерий, совместимый с картой К, может быть представлен в виде взвешенной суммы критериев u и v (с положительными постоянными коэффициентами).

Ш Предположим, что обобщённый критерий представим в виде взвешенной суммы:

Ф(u, v) =u+v

где > 0, > 0 - постоянные.

Тогда кривые безразличия этого обобщённого критерия определяются уравнением

u + v = с

где с - постоянная величина, т.е. являются прямыми с угловым коэффициентом k = -/; по правилу 1 в этом случае ЛКЗ равен / и является постоянным.

Утверждение Следующие три условия эквивалентны между собой для произвольного обобщённого критерия Ф, заданного в области векторных оценок Q.

a) Обобщённый критерий Ф представим в виде взвешенной суммы частных критериев.

b) Карта безразличий обобщённого критерия Ф состоит из семейства параллельных прямых.

c) Локальный коэффициент замещения в области Q постоянен.

В связи с этим, для представимости обобщённого критерия в виде взвешенной суммы частных критериев необходимо и достаточно постоянного ЛКЗ. Это - очень сильное требование, которое в большинстве экономических задач не выполняется.

Таким образом, при заданном в аналитической форме ЛКЗ задача построения карты безразличия сводится к задаче интегрирования дифференциального уравнения (решения дифференциального уравнения - =-k(u, v)).

Замечание. В качестве обобщённого критерия, совместимого с картой К, может быть взята любая функция, имеющая вид суперпозиции с, где - монотонно возрастающая функция одной переменной. Например, взяв (w) = , получаем обобщённый критерий с1(u, v) = u.

Методы последовательной оптимизации.

Недостатки свёртывания нескольких критериев заставляют искать другие подходы к решению задач многокритериального выбора. В данной лекции мы будем рассматривать методы последовательной оптимизации.

К методам последовательной оптимизации относят метод последовательных уступок и как частный случай данного метода - метод главного критерия, лексикографический критерий и метод равенства частных критериев.

Метод главного критерия.