Математичне моделювання процесів у хімічному виробництві: методи розв’язання задач, моделювання масообмінних, гідродинамічних процесів
Загальне диференційне рівняння балансу теплових потоків в електрохімічному апараті. Допустимий розв’язок задачі лінійного програмування - набір значень, який задовольняє системі виробничих обмежень. Математичне моделювання задач хімічної технології.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 22.05.2018 |
| Размер файла | 400,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru
Размещено на http://www.allbest.ru
Вступ
Моделювання -- заміщення досліджуваного об'єкта (оригіналу) його умовним образом, описом або іншим об'єктом (моделлю) і вивчення властивостей оригіналу шляхом дослідження властивостей моделі. З моделями й моделюванням ми зіштовхуємося в нашому житті щодня. У дитинстві дитину оточують іграшки: машинки, ляльки, кубики й т. п. - моделі, що повторюють окремі властивості реально існуючих предметів. Граючи, дитина одержує важливі знання про їх. У процесі мислення людина оперує образами об'єктів навколишнього світу, які є різновидами моделей - когнітивними (уявними) моделями.
Реальна користь від моделювання може бути отримана при виконанні двох головних умов:
- модель повинна бути адекватної оригіналу, у тому розумінні, що повинна з достатньою точністю відображати характеристики оригіналу, які цікавлять дослідника;
- модель повинна усувати проблеми, пов'язані з фізичним виміром якихось сигналів або характеристик оригіналу.
Моделювання може здійснюватися із двома головними цілями:
- для вивчення механізму явищ (пізнавальна мета);
- для керування об'єктом, тобто для виробітку по моделі оптимальних керованих впливів.
В обох випадках модель створюється для визначення й прогнозу характеристик, що цікавлять, або сигналів об'єкта.
Математичні моделі являють собою формалізовані описи об'єкта або системи за допомогою деякої абстрактної мови, наприклад у вигляді сукупності математичних співвідношень або схеми алгоритму. Розрізняють різні виду математичного моделювання: вербальні (словесні), графічні, табличні, аналітичні й алгоритмічні.
Іноді математична модель описується рівняннями, які випливають із розгляду фізичної сутності явища або системи, які моделюються. Однак частіше опис об'єктів і систем, які моделюються, носить чисто формальний характер і базується на тім, що багато явищ часом всілякої природи описуються рівняннями (алгебраїчними, диференціальними й іншими) того самого виду. У цьому випадку говорять про формальні моделі.
На етапі програмної реалізації моделі й плану експериментів необхідний вибір методів рішення завдань моделювання. При цьому використаються три основні групи методів:
- графічні - оцінні наближені методи, засновані на побудові й аналізі графіків;
- аналітичні - рішення, строго отримані у вигляді аналітичних виразів (придатні для вузького кола завдань);
- чисельні - основний інструмент для рішення складних математичних завдань, заснований на застосуванні різних чисельних методів.
1 Математичне вирішення лінійних і нелінійних задач хімічної технології
Лінійне програмування.
Методи розв'язання задач.
Планом або допустимим розв'язком ЗЛП називають набір значень, який задовольняє системі виробничих обмежень та обмеженням невід'ємності (якщо вони є).
Розв'язати ЗЛП означає знайти таке із множини допустимих розв'язки при якому цільова функція досягає максимуму або мінімуму.
Множина називається опуклою, якщо для будь-яких двох точок А,В відрізок, що їх сполучає повністю належить даній множині.
Переріз будь-якої кількості опуклих множин є опукла множина.
Функція називається опуклою на опуклій множині, якщо для будь-яких , з цієї множини і будь-якого виконується нерівність:
і увігнутою, якщо виконується нерівність:
Опукла функція, задана на опуклій множині досягає свого найменшого значення на границі множини, аналогічно увігнута функція досягає свого найбільшого значення на границі множини.
Функція є одночасно опуклою і увігнутою, тому досягає мінімуму та максимуму на границі опуклої множини.
Множина, що задається нерівністю є опуклою множиною.
Таким чином, система виробничих обмежень ЗЛП, заданої в стандартній формі є опуклою множиною, як переріз опуклих множин (якщо цей переріз не є пустою множиною).
Графічний метод розв'язування задач лінійного програмування
Графічний метод застосовується для розв'язання ЗЛП, записаних в стандартній формі, що містять дві змінні.
Нерівність задає на площині півплощину, обмежену прямою.
Півплощина є опуклою областю. Переріз скінченної кількості півплощин може бути: пустою множиною; точкою; відрізком, променем або прямою; обмеженим опуклим многокутником; необмеженим опуклим многокутником.
Розглянемо ЗЛП:
(1)
, (2)
(3)
Множина, яка є перерізом півплощин, заданих нерівностями (1), (2) наз
ивається областю допустимих розв'язків (ОДР).
1) Якщо ОДР є пуста множина, то ЗЛП не має сенсу.
2) Якщо ОДР - одна точка, то максимум і мінімум співпадають.
3) ОДР обмежений многокутник. В цьому випадку цільова функція має обидва оптимуми.
4) ОДР необмежений многокутник. В цьому випадку один із оптимумів не існує (ЗЛП не має розв'язку).
Цільова функція досягає найбільшого і найменшого значення на границі ОДР.
Алгоритм графічного методу.
Крок 1. Будуємо ОДР.
Крок 2. Будуємо вектор цілі . В напрямку цього вектора цільова функція буде зростати.
Крок 3. Будуємо лінію нульового рівня .
Крок 4. Переносимо цю пряму паралельно самій собі, до тих пір доки не з'являться спільні точки з границею області. В цих точках цільова функція досягає мінімуму, якщо така точка одна - то мінімум єдиний, якщо це відрізок або промінь то мінімумів безліч.
Переносячи лінію рівня паралельно далі в напрямку вектора цілі, знаходимо положення, після якого вона вже не буде мати спільних точок з ОДР. В цьому положенні вона має спільні точки тільки з границею області, і в цих точках досягає максимуму, якщо ця точка єдина, то максимум єдиний, якщо це відрізок або промінь, то їх безліч.
Графічний метод можна розповсюдити на випадок трьох змінних.
Симплекс-метод.
Симплекс-метод застосовується для розв'язання задач, записаних в канонічній формі.
Припустимо, що система виробничих обмежень зведена до одиничного базису і при цьому усі невід'ємні (). Наприклад, при переході від стандартної до канонічної форми запису, якщо усі невід'ємні, ми отримаємо ЗЛП саме в такому вигляді. Базисні розв'язки називають ще опорними планами. Геометрично кожен базисний розв'язок відповідає вершині гіпермногогранника.
Тому оптимальний розв'язок ЗЛП необхідно шукати серед базисних розв'язків.
,, ,
Ідея методу полягає в тому, що на кожному етапі (ітерації) здійснюється перехід до такого нового базису, при якому значення цільової функції не зменшується і усі базисні розв'язки не містять від'ємних значень змінних. Оскілки базисних розв'язків скінченна кількість (), то й кількість симплекс-перетворень є скінченною.
Алгоритм симплекс-методу
Крок 1. Записуємо вихідну симплекс таблицю.
Табл. 1
В першому рядку записуємо коефіцієнти цільової функції. В основній частині записуємо матрицю коефіцієнтів системи виробничих обмежень. В останніх двох стовпчиках записуємо базисні змінні і відповідні їм коефіцієнти цільової функції.
Базисний розв'язок:
Крок 2. Нижній рядок називається індексним, або оціночним. Його елементи обчислюються за формулами:
, (4)
з яких видно, що оцінки базисних змінних дорівнюють нулю.
Крок 3. Перевіряємо отриманий розв'язок на оптимальність:
1) Якщо всі оцінки вільних змінних невід'ємні(), то отриманий базисний розв'язок є оптимальним. При чому, якщо всі оцінки додатні(), то даний розв'язок єдиний. Якщо ж серед оцінок вільних змінних є нулі, то оптимальних розв'язків безліч, і отриманий є одним із них.
2) Серед оцінок вільних змінних є від'ємні, але всі елементи стовпчика, що знаходиться над найменшою від'ємною оцінкою недодатні. Тоді ЗЛП розв'язків не має.
3) Серед оцінок вільних змінних є від'ємні, але серед елементів стовпчика, що знаходиться над найменшою від'ємною оцінкою є додатні. Тоді даний розв'язок не є оптимальним і необхідно перейти до нового базисного розв'язку.
Крок 4. Знаходимо розв'язувальний елемент.
Стовпчик з найменшою від'ємною оцінкою називається розв'язувальним. Якщо таких стовпчиків декілька, то розглядаються усі.
Далі, знаходимо відношення елементів стовпчика В до відповідних додатніх елементів розв'язувального стовпчика. Рядок, для якого це відношення найменше, називають розв'язувальним.
Елемент, що знаходиться на перетині розв'язувального рядка і розв'язувального стовпчика називають розв'язувальним елементом. Якщо таких елементів декілька, то обираємо будь-який з них.
Нехай найменша від'ємна оцінка , тоді стовпчик є розв'язувальним. Нехай найменшим буде відношення , тоді рядок є розв'язувальним. Таким чином розв'язувальним буде елемент .
Крок 5. Симплекс - перетворення
Елементи розв'язувального рядка ділимо на розв'язувальний елемент
, , (5)
а всі інші елементи розраховуємо за формулами прямокутників:
, . (6)
В результаті перетворення змінна стане вільною, а - базисною. Всі інші базисні змінні залишаються базисними.
Після цього повертаємось до кроку 2.
2. Методи безумовної оптимізації
Методи першого порядку.
Для вирішення задачі при наявності обмежень на її змінні (задачі умовної оптимізації) використано метод штрафних функцій. Ідея методу - це перехід від задачі параметричної оптимізації із обмеженнями до задачі без обмежень, або задачі безумовної оптимізації.
Для розв'язку задачі безумовної оптимізації було використано метод градієнтного спуску. Основною ідеєю методу є те, щоб здійснювати оптимізацію у напрямку найшвидшого спуску, а цей напрямок задається антиградієнтом.
Задача багатовимірної безумовної оптимізації сформульована наступним чином: знайти мінімум функції , де , при відсутності обмежень на , при цьому - це скалярна цільова функція, безперервно диференційована.
При вирішенні цього класу задач потрібно враховувати такі фактори:
- характер цільової функції розв'язуваної задачі (одно екстремальна або багато екстремальна);
- можливість отримання в процесі оптимізації інформації про похідні цільової функції;
- наявність різних підходів до організації ітеративної процедури пошуку оптимуму (методи, засновані на ітеративному рухі змінних в напрямку, обумовленому тим або іншим способом).
Всі методи розв'язку задачі безумовної оптимізації полягають у побудові послідовність точок так, щоб послідовність функцій була спадною (тобто спуск уздовж функції). На -му кроці визначається вектор , в напрямку якого функція зменшується.
У цьому напрямку робиться крок величиною і отримується нова точка , в якій . Послідовність , що задовольняє цій умові, називається релаксаційною послідовністю, а відповідні методи - методами спуску. Методи рішення поділяються на методи із застосуванням інформації про похідні функції і без використання такої. Різні методи спуску відрізняються вибором напрямку і величиною кроку. Як правило, для знаходження використовується процедура одновимірного пошуку.[4]
Методи безумовної оптимізації:
- Методи прямого пошуку.
- Методи першого порядку.
- Методи 2-го порядку (Ньютонівські методи).
- Методи змінної метрики.
- Методи випадкового пошуку.
Методи 1-го порядку використовують інформацію про похідну функції. Якщо обмежена знизу цільова функція , є диференційованою на множині , то алгоритм пошуку точки її мінімуму можна побудувати, використовуючи інформацію, принаймні, про градієнт цієї функції. Такі методи називаються градієнтними. Градієнтні методи безумовної оптимізації використовують тільки перші похідні цільової функції і є методами лінійної апроксимації на кожному кроці, тому, що цільова функція на кожному кроці замінюється дотичною гіперплоскістю до її графіку в поточній точці.
У всіх цих методах передбачається, що , існують і безперервні. Всі ці методи засновані на ітераційній процедурі, що обумовлена формулою:
, де - величина кроку, - вектор в напрямку . Градієнтні методи розрізняються тільки способом визначення , і зазвичай визначається шляхом вирішення задачі оптимізації в напрямку . Напрямок залежить від того, як апроксимується функція .
До методів першого порядку належать методи: найшвидшого спуску (Коші) та сполучених градієнтів.[1]
3. Математичне моделювання задач хімічної технології
Управляючі параметри.
Завдання математичного моделювання самі мають свою складну структуру. Модель, що описує широкий клас явищ (наприклад, математична модель механічних рухів - закони Ньютона) підрозділяються на приватні класи математичних моделей: механіка точки, системи матеріальних точок, суцільного середовища, твердого тіла > ще більш приватні моделі, наприклад, пружного тіла тощо . на найнижчому рівні - ММ конкретних процесів.
Зазвичай процес побудови моделей часто здійснюється не дедуктивно, а «знизу вгору».
Динамічні моделі стали розвиватися багато в чому завдяки розвитку обчислювальної техніки, так як пов'язані з необхідністю вирішувати велику кількість (сотні) уроавненій за котороткій проміжок часу. Ці рівняння є більш-менш складними математичними описами того, як функціонує досліджувана система і даються вони в формі виразів для "рівнів" різних типів, "темп" зміни яких регулюється керуючими функціями. Рівняння для рівнів описують накопичення в системі таких, наприклад, величин, як вага, кількість енергії, кількість організмів, а рівняння для темпів керують зміною цих рівнів у часі. Керуючі функції відображають правила, що регулюють функціонування системи. У динамічних моделях часто використовуються рівняння нерозривності - співвідношення між потоками змінної в якусь частину системи і з неї зі швидкістю зміни цієї змінної.
Індивідуальні завдання.
Завдання 1.
Бетонна суміш складається з піску і цементу. При приготуванні бетонної маси в суміш вводять воду, кількість якої змінюється в інтервалі, наведеному у таблиці 2.1. Після формування бетонних зразків і їх подальшої витримки протягом 28 діб визначали їх механічну міцність. Змінність між показником вологості бетонних зразків і вологості бетонної маси описується функцією f(х) (таблиця2.1), де х - вологість маси. Знайти екстремум функції, оптимальне значення вологості бетонної маси, яка забезпечує найбільшу міцність бетону.
математичний лінійний моделювання хімічний
Табл. 2
|
№ |
Цільова функція f(х) |
Інтервал [а, b] |
Точність або число експериментів N |
Метод визначення |
|
|
18 |
2х3-12х2-30х+4 |
[0, 5] |
=5*10-3 |
метод хорд |
Розв`язання
Знайдемо корні рівняння.
2x*x*x+12x*x-30x+4 = 0, е = 0.001
Використаємо для цього Метод хорд.
В точці x=x1, y=0, в результаті отримаємо перше приближення кореня.
Перевіримо умови:
1. f(x1)f(b)<0,
2. f(x1)f(a)<0.
Продовжуючи цей процес, отримаємо для n-го приближення
dF/dx = 6-x2+24-x-30
d2F/dx2 = 12-(x+2)
h1 = -10 + 1*(10-(-10))/18 = -8.8888888888889
h2 = -10 + (1+1)*(10-(-10))/18 = -7.7777777777778
Оскільки F(-8.889)*F(-7.778)<0 , то корень лежить в межах
[-8.8888888888889;-7.7777777777778].
a = -8.889
f(-8.889) = -185.849
f''(-8.889) = -82.667
Оскільки f(a)-f''(a) > 0, то x0 = a = -8.889
Табл. 3
|
N |
x |
F(x) |
h = F(x)*(x-a)/(f(x)-f(a)) |
|
|
1 |
-7.7778 |
22.2442 |
-7.8966 |
|
|
2 |
-7.8966 |
4.3758 |
-7.9194 |
|
|
3 |
-7.9194 |
0.8279 |
-7.9237 |
|
|
4 |
-7.9237 |
0.1555 |
-7.9245 |
x = -7.924-(-7.924) = -7.92448398; F(x) = 0.0292
Завдання 2.
Розв'язати технологічну задачу методами лінійного програмування (графічним та з використанням ЕОМ), скласти математичну модель роботи виробництва, навести алгоритм рішення і відобразити поетапне заповнення вікон «Поиск решений». Сформулювати висновок щодо відповідності двох методів розрахунку та обґрунтувати отримані звіти.
Для виготовлення двох марок бетону необхідно 3 види ресурсу (пісок, цемент, гравій), кількість матеріалу, яка необхідна на 1т бетону кожної марки, а також запаси ресурсів та прибуток від реалізації 1т бетонних виробів. Скласти план випуску бетону, що максимізує прибуток підприємства.
Табл. 4
|
Види ресурсу |
Одиниці виміру |
Марки бетону |
Запаси ресурсів |
||
|
Марка 1 |
Марка 2 |
||||
|
Пісок |
т |
3 |
1,8 |
7 |
|
|
Цемент |
т |
2 |
1 |
5 |
|
|
Гравій |
т |
5 |
6 |
18 |
|
|
Прибуток |
грн |
180 |
160 |
Розв`язання
Рис. 1. Формули
Рис. 2. Пошук рішення
Рис. 3. Результат
Завдання 3.
Знайти оптимальну кількість піску, гравію і цементу на 1т бетону першої марки, якщо функція використання піску, гравію і цементу має вигляд (дані наведені в таблиці 2.3) і границя витрат матеріалу знаходиться у межах (дані наведені в таблиці 2.3). Для вирішення задачі використати класичний метод пошуку нелінійної оптимізації (метод множників Лагранжа). З'ясувати максимальне значення витрат піску гравію і цементу на 1 т бетону першої марки.
Функції залежності і обмеження:
f=x12+2x3x2+2x22 -4x3x1+3x32extr
x1-x2 -x3=8
5x1+x2-2x3=0
Розв`язання
X0 = (0; 0; 0)
X0(0; 0; 0)
D1 = a11 = 2
D2 = a11a22 - a21a12 = 8
Відповідь: 2, 8.
Моделювання гідромеханічних процесів.
До гідромеханічних процесів відносять ті процеси, які відбуваються в рідинних (або газових) системах під зовнішнім впливом. Швидкість цих процесів визначається законами гідро- та аеродинаміки.
Гідромеханічні процеси поділяються на процеси утворення неоднорідних рідинних та газових систем (перемішування, диспергування, піноутворення, псевдозрідження, емульгування, гомогенізація) та їх розділення (осадження, фільтрування, центрифугування, мембранні методи, електроосаджування.
Дисперсна - це система, яка складається з двох або декількох фаз, кожна з яких має свою поверхню розділення і може бути механічно відокремлена від другої фази. Дисперсна система складається з внутрішної (дисперсної) і зовнішньої фази (дисперсійного середовища), де знаходяться частинки дисперсної фази. Система в якій зовнішньою фазою є рідина, називається рідиною неоднорідною системою, а система з газовим зовнішнім середовищем - газовою рідиною неоднорідною схемою.
Дисперсна система, в якій розмірок частинок внутрішньої фази є однаковими, називається монодисперсійними системами, а якщо розмір частинок різний - полі дисперсійними. На практиці трапляються виняткові полі дисперсійні системи.
Більшість дисперсних систем нестійкі, тобто мають тенденцію до укрупнення частинок. Укрупнення крапель або бульбашок шляхом їх злиття називають коалесценцією, а укрупнення твердих частинок в наслідок їх злипання коагуляцією.
Моделювання теплообмінних процесів.
Фізичний об'єкт, який моделюється - технологічний процес в будь-якому електрохімічному апараті (електролізері або джерелі струму).
Процес завжди супроводжується появою різних теплових потоків, які або генеруються всередині ЕХА (внутрішні джерела тепла), або переносять тепло між ЕХА та зовнішнім середовищем.
В основу математичної моделі покладено загальне диференційне рівняння балансу теплових потоків в електрохімічному апараті
,
де dt/d - швидкість зміни температури всередині ЕХА. В стаціонарних умовах значення похідної dt/d дорівнює ную, і (1) перетворюється в просте алгебраїчне рівняння балансу теплових потоків.
Індекси потоків в рівнянні відповідають позначенням на рисунку 1, а відповідні параметри визначаються таким чином.
cm - сума добутків теплоємностей (с, кДж/(кгК)) на маси (m, кг) всіх головних конструктивних елементів ЕХА - корпусу, електроліту та електродів. Цей параметр відіграє роль характеристики теплової інерційності системи - чим він більший, тим повільніше нагрівається та охолоджується ЕХА в нестаціонарних умовах.
РДж , кВт - тепло Джоуля, яке виникає при проходженні струму через всі внутрішні опори ЕХА. Підраховується як вхідний (заданий) параметр, за виразом
,
де І- струм в А, U- напруга ЕХА, В. Параметр k1- коефіцієнт навантаження, який показує ефективність використання струму (для гальванічних ванн, в яких струм подається лише при наявності підвіски і тепло Джоуля генерується не безперервно). В дужках наведена сума добутків значень теплової напруги розкладу реакції EН на відповідний вихід за струмом для всіх паралельних реакцій в ЕХА. Значення теплової напруги розкладу визначають через ентальпію реакції кДж/моль
.
Для хімічних джерел струму k=1, а U EН, тому у виразі в квадратних дужках (2) знаки доданків слід змінити на протилежні. Струмоутворююча реакція в ХДС найчастіше практично одна, і для неї ВС=1.
РТО, кВт - потужність внутрішнього теплообмінника, задається як вхідна константа, може мати знак «+» для нагрівача або «-» для холодильника.
Р, кВт - тепловий потік через всі поверхні корпусу ЕХА. Розраховується в програмі окремо для дна, покришки та двох типів стінок корпусу, які відрізняються характером теплообміну.
Для кожного типу поверхні з площею S вирішується нелінійна система рівнянь:
;
;
де Р - тепловий потік теплопровідністю через товщину стінки корпусу ЕХА, РК +РR - сума конвекційної та радіаційної складових теплового потоку від поверхні в навколишнє середовище, та -товщина в см та теплопровідність Вт/(смК) матеріалу двошарового корпусу ЕХА (індекс М- металевий корпус, Ф- захисна футеровка), Р* - коефіцієнт тепловіддачі від поверхні в середовище, кВт/(м2К).
В системі рівнянь програма визначає температуру в трьох точках - внутрішня температура ЕХА tE (на внутрішній поверхні корпусу), на зовнішній поверхні tS і температура навколишнього середовища t0. Коефіцієнти “В” (їх задають як вхідні параметри) враховують умови конвективно-радіаційного теплообміну між стінкою і середовищем. Для відкритої вертикальної стінки значення “В” складає 1, для екранованої стінки - 0.2…0.7, для дна -0.4-0.7, для покришки - більше одиниці.
Рішення системи рівнянь виконується за ітераційним алгоритмом половинного ділення: підбирається така температура зовнішньої поверхні tS , при якій вирівнюються два теплових потоки: Р= f(tE-tS) та РК+РR =f(tS-tO), тобто виконується умова, яка формулюється першим рівнянням в системі (4),
Р= РК+РR.
Р1, Р2, Р3 - теплові потоки з масовими потоками g (кг/год) продуктів на вході в ЕХА та реагентів на виходах 2 і 3. Визначаються всередині програми як добутки N відповідних масових потоків g на їх теплоємності с (кДж/(кГК)) та температури t:
.
В цьому виразі використовується для Р1 - температура вхідного потоку, для потоків Р2 та Р3 - температура ЕХА, k=1…3 - індекс номера потоку.
Суми в квадратних дужках визначають і вводять як три вхідні параметри.
Для розчинів, які поступають в ЕХА або виходять з нього, значення сум можна визначити двома способами.
Перший - підсумовуються або як окремі значення (gc) для всіх n=1…N компонентів (розчинник та компоненти розчину, потоки різні на вході та виході), або як одне число для розчину в цілому, коли відомі його теплоємність та масовий потік.
Для сумарної теплоємності розчину, який складається з N компонентів, діє правило адитивності
де Сn - концентрації в г/л, cn- теплоємності (розчинник є одним з компонентів). Практично в технічних електролітах концентрація води набагато перевищує концентрації інших компонентів, тому теплоємність буде близькою до теплоємності води (4.2 кДж/(кгК)).
Для гальванічних ванн вираз в квадратних дужках в (5) є сумою двох складових - для потоку виробів та для потоку самих підвісок (завантажувальних пристроїв), причому число буде однакове для обох потоків - Р1 та Р2.
В деяких технологічних процесах використовують повітряне перемішування. Тоді в рівнянні потрібно внести додатково відповідний доданок (gc) в потоках Р1 та Р3.
Так же, як і для розчинів, розраховується тепловий потік для газофазних продуктів. При цьому в складі газового потоку 3 в значенні Р3 не враховується водяна пара.
РПАР - потужність , або тепловий потік, пов'язаний з процесами випаровування в ЕХА. Він визначається як сума двох частин - витрати енергії на утворення пари і теплового потоку, який виноситься нагрітою до температури ЕХА парою:
,
де сПАР=1.689 кДж/(кгК) -теплоємність пари, а питома теплота пароутворення апроксимована лініійною залежністю від температури в середині ЕХА:
кДж/кг.
Випаровування в програмі враховується для двох можливих режимів роботи ЕХА.
Режим 1 - нерівноважне випаровування з відкритого дзеркала електроліту. Швидкість випаровування води пропорційна площі електроліту SZ .
Питома швидкість випаровування води gПАР, кг/(м2год) залежить від температури, яка впливає на парціальний тиск водяної пари РВ. Визначається в програмі співвідношенням
,
де ВПАР =0…1 - коефіцієнт (вхідний параметр), який характеризує інтенсивність конвекції атмосфери над відкритою поверхнею електроліту, рЕ, рВ- парціальний тиск водяної пари відповідно над поверхнею електроліту та в повітрі (відрізняються температури), рА - атмосферний тиск. Значення рЕ визначається без урахування впливу складу електроліту, за спрощеною формулою Клапейрона-Клаузіуса для води
,
ТЕ - температура електроліту (К), Т0= 273 К, ВИП = 43.35 кДж/моль - середня питома теплота випаровування води, множник (ВИП/RT0)= 19.1. Вхідними параметрами для розрахунку є температура електроліту ТЕ та емпіричний коефіцієнт ВПАР .
Як видно з (8), формально при ВПАР=0 випаровування відсутнє, і gПАР =0. Така ситуація можлива, коли для зменшення швидкості випаровування поверхню дзеркала електроліту частково або повністю закривають (наприклад, покришкою).
Режим 2 - рівноважне випаровування в газову фазу. Такі умови виникають в закритих ЕХА, де продуктами реакцій є газофазні речовини, наприклад, Cl2 та H2 при електролізі NaCl. Тоді бульбашки газу, перебуваючи в електроліті протягом тривалого часу, приходять в рівновагу з рідинною фазою, i потік пари стає точно пропорційним потоку газофазного продукта:
,
де gG - масові потоки окремих компонентів газової фази в кг/год , MG -молярні маси компонентів, включаючи водяну пару, кг/кмоль. Другий множник - відношення парціальних тисків води і газового компонента, 18 кг/кмоль - молярна маса води. Парціальний тиск води рВ визначається за спрощеним виразом, тому рВ=рЕ .
Сума, відокремлена в дужках, має розмірність кмоль/годину, і є вхідним параметром, який потрібно підрахувати.
Режим кипіння.
В окремих випадках при неточно заданих умовах (наприклад, при значно перевищеній потужності теплових джерел) вхідний потік тепла може перевищувати нормальні можливості його відведення.
В таких випадках електроліт нагрівається до температури кипіння, і на процес пароутворення витрачається надлишок генерованого тепла. В моделі прийнято, що в об'ємі розчину процес кипіння починається з температури 98С, тоді швидкість випаровування при кипінні визначається з виразу
Моделювання масообміних процесів.
Фізичний об'єкт, який моделюється - масообмінні процеси в гальванічній ванні з заданим об'ємом електроліту в режимі роботи з постійним заданим струмовим навантаженням і продуктивністю по покриттю, м2/год. Передбачено періодичне коректування ванни по об'єму (доведення чистою водою до початкового значення).
Математична модель процесів нестаціонарного масообміну в гальванічній ванні складається з 2-х диференційних рівнянь балансу для двох компонентів електроліту - реагента і продукта. Рівняння балансу з граничними умовами мають вигляд:
, ,
де V- об'єм електроліту в ванні; gЕ -швидкість електрохімічного процесу (витрачання реагента), г/год; C- концентрація; JУ2 -швидкість винесення електроліту на поверхні виробів (л/год), gX - швидкість хімічної реакції, г/год, в якій приймає участь балансований компонент; JВ- швидкість механічного випаровування (л/год, винесення в вентиляційну систему КК в складі крапельного туману електроліту, який утворюється при руйнуванні бульбашок газів, що виділяються на електродах).
Об'єм електроліту також змінюється внаслідок нескомпенсованих об'ємних потоків розчину- вихідного JУ2 на поверхні виробів, вхідного потоку води на поверхні JУ1, фізичного JВФ і механічного JВМ випаровування з електроліту:
, .
де А-множник (вхідний параметр), який має значення 0, коли в ванну поступають попередньо висушені вироби, і 1 - якщо вироби поступають після попереднього промивання і вносять в ванну воду на своїй поверхні.
Електрохімічні процеси в гальванічній ванні здійснюються на катоді і аноді. В ваннах металопокрить це процеси розчинення металу на аноді і осадження на катоді, які в загальному випадку ідуть з різними виходами за струмом. Сумарний потік контрольованого компонента-металу можна описати рівнянням, яке містить суму потоків на катоді і аноді:
,
де іЕ- катодна густина струму, SD- площа поверхні виробів на одному завантаженні, NП - кількість завантажень (підвісок), які одночасно обробляються в гальванічній ванні, э- електрохімічний еквівалент контрольовоного компонента, BCA, BCК - виходи за струмом анодної і катодної реакції з участю КК, І- струмове навантаження, FE- числове значення виразу в квадратних дужках. Коефіцієнт FE має розмірність електрохімічного еквівалента г/Агод, і в залежності від співвідношення виходів за струмом на катоді і на аноді може мати різні знаки (зростання кількості КК при BCA BCК, і зменшення при BCA BCК ).
Хімічні процеси в гальванічних ваннах інколи виникають як паралельні (побічні). В окремих випадках, а саме в ваннах хімічного травлення, хімічна реакція взаємодії частково окисленої металевої основи з травильним розчином є основою процесу підготовки поверхні виробів під металеве покриття. Процес взаємодії металу з кислотою можна формально записати як електрохімічну (корозійну) реакцію
Fe + H2SO4 FeSO4 + H2 2e.
Електрохімічна форма представлення реакції дозволяє і швидкість процесу травлення металу задавати як для електрохімічної реакції через умовну еквівалентну “густину струму корозії ” іКО , а також використати однотипну з рівнянням (3) форму запису потоків реагента (кислота) і продукта (солі):
, ,
В цьому рівнянні FK эК і FC эС - параметри, які за змістом формально відповідають електрохімічним еквівалентам кислоти і солі, розрахованим за реакцією (4). В дійсності ця аналогія приблизна, бо в системі можливі декілька різних реакцій взаємодії кислоти із залізом і його сполуками FeO, F2O3, Fe3O4, з утворенням продуктів Fe+2 та Fe+3. Тому можлива деяка невідповідність між значеннями эК та эС , розрахованими з реакції (4), і реальними .
Через те, що швидкість травлення залежить від концентрації кислоти, в кінетичних рівняннях (5) в програмі введено додатковий множник , з двома емпіричними коефіцієнтами А1 та А2 , які дозволяють моделювати якісно різні форми залежності швидкості процесу від концентрації кислоти:
.
Якщо з експериментальних (або довідкових) даних відома форма залежності gKT =f(СК), тоді її можна апроксимувати функцією (5,6), підбираючи відповідні значення коефіцієнтів А1 та А2, наприклад, шляхом вирішення систему з трьох рівнянь (5) для трьох значень СК відносно трьох невідомих - А1, А2, іКО.
В програмі в рівнянні балансу (1) сумуються потоки КК в усіх процесах, тому можливі три комбінації умов при моделюванні технологічного процесу (три типи задач).
1. Моделювання ванни гальванопокриття і розрахунок динаміки лише одного компонента. Задають нульові значення параметрів хімічного процесу (іКО, FK, FC).
2. Моделювання ванни травлення і розрахунок динаміки по двох речовинах - кислоті і продукту (солі). Задають нульовими параметри електрохімічного процесу (іЕ, FЕ). Варіативні параметри - іКО, FK, FC , А1, А2, а також початкова концентрація продукта С20.
3. Моделювання комбінованого процесу, де здійснюються паралельно хімічні і електрохімічні процеси.
Висновки
Процеси хімічної технології - це складні фізико-хімічні системи, що мають подвійну детерміновано-стохастичну природу. Такі системи характеризуються занадто складною взаємодією фаз та компонентів, що їх утворюють. Ключ до вирішення проблеми вивчення хіміко-технологічних процесів надає метод математичного моделювання, що базується на стратегії системного аналізу, зміст якого полягає в уявленні процесу як складної ієрархічної системи, що взаємодіє, із наступним якісним аналізом її структури, розробкою математичного опису і оцінкою невідомих параметрів.
Під математичним моделюванням розуміють вивчення властивостей об'єкту на математичній моделі. Його метою є визначення оптимальних умов протікання процесу, управління їм на основі математичної моделі та перенесення результатів на об'єкт. При цьому математичною моделлю називається приблизний опис деякого явища чи процесу зовнішнього світу, який наданий за допомогою математичної символіки. Частіше це системи рівнянь, нерівностей, алгоритми та інші математичні структури, що описують оригінал.
Математичне моделювання поєднує три взаємозв'язаних етапи:
1) складання математичного опису об'єкту, що вивчається;
2) вибір методу рішення системи рівнянь математичного опису та реалізація його у формі моделюючої програми;
3) встановлення відповідності (адекватності) моделі об'єкту.
Література
1. Бондарь, А.Г. Математическое моделирование в химической технологии [Текст] / А. Г. Бондарь. - К.: Вища школа, 2016. - 280 с.
2. Кафаров, В.В. Математическое моделирование основных процессов химических производств [Текст] / В.В. Кафаров, М.Б. Глебов. - М.: Высшая школа,2015. - 400 с.
3. Кафаров, В.В. Методы кибернетики в химии и химической технологии [Текст] / В.В. Кафаров. - М.: Химия, 2015. - 448 с.
4. Закгейм, А.Ю. Введение в моделирование химико-технологических процессов [Текст] / А.Ю.Закгейм. - М.: Химия, 2015. - 288 с.
5. Гартман, Т.Н. Основы компьютерного моделирования химико- технологических процессов: Учеб. Пособие для вузов [Текст] / Т.Н. Гартман, Д.В. Клушин. - ИКЦ «Академкнига»,2016. - 416 с.
6. Статюха, Г.О. Вступ до планування оптимального експерименту [Текст]: навч. посіб. / Г.О. Статюха, Д.М. Складанний, О.С. Бондаренко. - К.: НТУУ «КПІ», 2015. - 124 с. - 300 пр. ISBN 978-966-622-408-1.
7. Банди, В. Методы оптимизации. Вводный курс [Текст] / В. Банди. - М.: Радио и связь,2018. - 125 с.
8. Ахназарова, С. Л., Методы оптимизации эксперимента в химической технологии. Учеб. пособие [Текст] / С. Л. Ахназарова, В. В.Кафаров. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк, 2015. - 327 с.: ил.
9. Руководство пользователя Mathcad.
10. Руководство пользователя по базовой системе Statistics 20.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Історія розвитку математичної науки. Математичне моделювання і дослідження процесів і явищ за допомогою функцій, рівнянь та інших математичних об`єктів. Функції, їх основні властивості та графіки, множина раціональних чисел. Розв`язання типових задач.
книга [721,3 K], добавлен 01.03.2011Дослідження предмету і сфери застосування математичного програмування в економіці. Класифікація задач цієї науки. Загальна задача лінійного програмування, деякі з методи її розв’язування. Економічна інтерпретація двоїстої задачі лінійного програмування.
курс лекций [59,9 K], добавлен 06.05.2010Послідовність графічного розв'язання задачі лінійного програмування. Сумісна система лінійних нерівностей, умови невід'ємності, визначення півплощини з граничними прямими. Графічний метод для визначення оптимального плану задачі лінійного програмування.
задача [320,6 K], добавлен 31.05.2010Розв'язання завдання графічним способом. Зображення розв'язку системи нерівностей, визначення досягнення максимуму та мінімуму функції. Розв'язання транспортної задачі методом потенціалів та симплекс-методом, формування оціночної матриці з елементів.
задача [134,9 K], добавлен 31.05.2010Етапи розв'язування інженерних задач на ЕОМ. Цілі, засоби й методи моделювання. Створення математичної моделі. Побудова обчислювальної моделі. Реалізація методу обчислень. Розв’язання нелінійних рівнянь методом дихотомії. Алгоритм метода дихотомії.
контрольная работа [86,1 K], добавлен 06.08.2010Поняття математичного моделювання. Форми завдання моделей: інваріантна; алгоритмічна; графічна (схематична); аналітична. Метод ітерацій для розв’язку систем лінійних рівнянь, блок-схема. Інструкція до користування програмою, контрольні приклади.
курсовая работа [128,6 K], добавлен 24.04.2011Вивчення методів розв'язання лінійної крайової задачі комбінуванням двох задач Коші. Переваги та недоліки інших методів: прицілювання, колокацій, Гальоркіна, найменших квадратів та ін. Пошук єдиного розв'язку звичайного диференціального рівняння.
курсовая работа [419,2 K], добавлен 29.08.2010Мережа Петрі як графічний і математичний засіб моделювання систем і процесів. Основні елементи мережі Петрі, правила спрацьовування переходу. Розмітка мережі Петрі із кратними дугами. Методика аналізу характеристик обслуговування запитів на послуги IМ.
контрольная работа [499,2 K], добавлен 06.03.2011Прийоми розв’язання задач в першому і другому степені на Далекому Сході та Греції. Досягнення арабських математиків в області алгебраїчних рівнянь. Розв'язання похідного кубічного рівняння. Найвидатніші теореми про радикали вищих степенів, їх розв’язання.
курсовая работа [536,1 K], добавлен 23.02.2014Методи зведення до канонічної форми задач лінійного програмування. Визначення шляхів знаходження екстремумів функцій графічним способом. Побудова початкового опорного плану методом "північно-західного" напрямку. Складання двоїстої системи матриць.
контрольная работа [262,0 K], добавлен 08.02.2010Етапи розв'язування задачі дослідження певного фізичного явища чи процесу, зведення її до диференціального рівняння. Методика та схема складання диференціальних рівнянь. Приклади розв'язування прикладних задач за допомогою диференціального рівняння.
контрольная работа [723,3 K], добавлен 07.01.2016Історія виникнення відсотків, сутність цього терміна. Розв’язання задач на їх визначення за допомогою пропорцій. Добірка текстових завдань, які розв’язуються шляхом розрахунку розміру складних відсотків. Методи вирішення задач на суміші та сплави.
реферат [72,7 K], добавлен 02.12.2015Розв'язання графічним методом математичної моделі задачі з організації випуску продукції. Розв'язання транспортної задачі методом потенціалів. Знаходження умовних екстремумів функцій методом множників Лагранжа. Розв'язання задач симплекс-методом.
контрольная работа [48,5 K], добавлен 16.07.2010Теорія графів та її використання у різних галузях. У фізиці: для побудови схем для розв’язання задач. У біології: для розв’язання задач з генетики. Спрощення розв’язання задач з електротехніки за допомогою графів. Математичні розваги і головоломки.
научная работа [2,1 M], добавлен 10.05.2009Розв'язок задач лінійного програмування симплексним методом, графічне вирішення системи нерівностей, запис двоїстої задачі: визначення прибутку, отриманого підприємством від реалізації виробів; загальних витрат, пов’язаних з транспортуванням продукції.
контрольная работа [296,0 K], добавлен 28.03.2011Розв'язання системи лінійних рівнянь методом повного виключення змінних (метод Гаусса) з використанням розрахункових таблиць. Будування математичної моделі задачі лінійного програмування. Умови для застосування симплекс-методу. Розв'язка спряженої задачі.
практическая работа [42,3 K], добавлен 09.11.2009Поняття та значення симплекс-методу як особливого методу розв'язання задачі лінійного програмування, в якому здійснюється скерований рух по опорних планах до знаходження оптимального рішення. Розв'язання задачі з використанням програми Simplex Win.
лабораторная работа [264,1 K], добавлен 30.03.2015Задача Коші і крайова задача. Двоточкова крайова задача для диференціального рівняння другого порядку. Види граничних умов. Метод, заснований на заміні розв’язку крайової задачі розв’язком декількох задач Коші. Розв'язування систем нелінійних рівнянь.
презентация [86,2 K], добавлен 06.02.2014Складання плану виробництва при максимальному прибутку. Введення додаткових (фіктивних) змінних, які перетворюють нерівності на рівності. Розв’язування задачі лінійного програмування графічним методом та економічна інтерпретація отриманого розв’язку.
контрольная работа [298,3 K], добавлен 20.11.2009Аналіз математичних моделей технологічних параметрів та методів математичного моделювання. Задачі технологічної підготовки виробництва, що розв’язуються за допомогою математичного моделювання. Суть нечіткого методу групового врахування аргументів.
курсовая работа [638,9 K], добавлен 18.07.2010
