Экстремальные полиномы в теории итерационных процессов

Размещено на http://www.allbest.ru/

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

Экстремальные полиномы в теории итерационных процессов

Сунь Байюй

Минск, 2015

РЕЗЮМЕ

Сунь Байюй

Экстремальные полиномы в теории итерационных процессов

Ключевые слова: экстремальный полином, норма в чебышевской метрике, линия уровня, движение корней экстремальных полиномов, комплексная плоскость, непрерывная функция, равномерная метрика, чебышевский альтернанс.

Целью исследования является разработка эффективных методов построения экстремальных в равномерной метрике полиномов функций действительного и комплексного аргумента. Для достижения этой цели применяются методы математического анализа.

В диссертационной работе получены следующие новые результаты:

1. На базе теоремы об альтернансе получена система уравнений, позволяющая точно или приближенно находить экстремальный полином в чебышевской норме для дифференцируемой вещественнозначной функции, определённой на отрезке . Многочисленные примеры нахождения экстремальных полиномов, приведенные в диссертации, подтверждают эффективность такого алгоритма.

2. Предложен и исследован алгоритм нахождения экстремальных полиномов, основанный на максимизации некоторой функции многих переменных. Такой алгоритм дает возможность получения точных формул в случае, если подпространство приближения является двумерным или трёхмерным.

3. Проведён подробный анализ движения корней экстремальных полиномов второй степени, заданных на прямоугольнике комплексной плоскости. Такой анализ позволяет прогнозировать расположение корней экстремальных полиномов третьей и более высоких степеней.

Полученные результаты имеют как теоретическое значение, так и практическую направленность. Они могут быть применены для конкретных инженерных разработок. Кроме того, они могут быть использованы при чтении курсов по численным методам и теории приближений на математических и физических факультетах университетов.

РЕЗЮМЭ

Сунь Байюй

Экстрэмальныя палiномы ў тэорыі iтэрацыйных працэсаў

Ключавыя словы: экстрэмальны паліном, норма ў чабышоўскай метрыцы, лінія ўзроўню, рух каранёў экстрэмальных паліномаў, комплексная плоскасць, бесперапынная функцыя, раўнамерная метрыка, чэбышоўскі альтэрнанс.

Мэтай даследавання з'яўляецца распрацоўка эфектыўных метадаў пабудовы экстрэмальных ў раўнамернай метрыцы паліномаў функцый сапраўднага і комплекснага аргументу.

У дысертацыйнай працы атрыманы наступныя новыя вынікі:

1. На базе тэарэмы аб альтэрнансе атрымана сістэма раўнанняў, якая дазваляе дакладна ці набліжана знаходзіць экстрэмальны паліном ў чабышоўскай норме для дыферэнцыруемай рэчыўназначнай функцыі, пэўнай на адрэзку. Шматлікія прыклады знаходжання экстрэмальных паліномаў, прыведзеныя ў дысертацыі, пацвярджаюць эфектыўнасць такога алгарытму.

2. Прапанаваны і даследаваны алгарытм знаходжання экстрэмальных паліномаў, заснаваны на максімізацыі некаторай функцыі многіх зменных. Такі алгарытм дае магчымасць атрымання дакладных формул у выпадку, калі падпрастора набліжэння з'яўляецца двухвымернай ці трохвымернай. Знойдзены характарыстычныя мноствы для некаторых выпадкаў набліжэння паліномамі ў комплекснай вобласці.

3. Праведзены падрабязны аналіз руху каранёў экстрэмальных паліномаў другой ступені, зададзеных на прамавугольнік комплекснай плоскасці. Такі аналіз дазваляе прагназаваць знаходжанне каранёў экстрэмальных паліномаў трэцяй і больш высокіх ступеняў. Бо ў комплексным выпадку распрацаваная схема знаходжання экстрэмальных паліномаў дапускае вылічэнне максімальных значэнняў нормы на зададзеным мностве, то дапускаемае месцазнаходжанне каранёў дазваляе вылічыць і максімальнае значэнне нормы палінома, што і зроблена ў дысертацыі для палінома трэцяй ступені.

Атрыманыя вынікі маюць як тэарэтычнае значэнне, так і практычную накіраванасць. Яны могуць ужывацца ў пэўных інжынерных распрацоўках. Апроч таго, яны могуць выкарыстоўвацца пры чытанні курсаў па лікавых метадах і тэорыі набліжэнняў на матэматычных і фізічных факультэтах універсітэтаў.

SUMMARY

Sun Baiyu

Extreme polynomials in the theory of iterative processes

Keywords : extreme polynomial, norm in Chebyshev metric, line level , movement of the roots of extreme polynomials , the complex plane , continuous function, uniform metric, the Chebyshev alternance.

The aim of the study is to develop effective methods for constructing extreme in the uniform metric polynomials of functions of real and complex argument.

In the thesis we have obtained the following new results:

1. Based on the theorem about alternance the system of equations to accurately or approximately finding extremal polynomial in Chebyshev norm for a differentiable real-valued function defined on an interval is built. Numerous examples of finding the extreme polynomials are presented in the thesis confirm the effectiveness of this algorithm.

2. Proposed and investigated an algorithm for finding extremal polynomials based on the maximization of a some function of many variables. This algorithm gives the possibility of obtaining exact formulas in the case that the subspace approximation is a two-dimensional or three-dimensional. Found characteristic of many for some cases of approximation by polynomials in the complex domain.

3. A detailed motion analysis of the extreme roots of polynomials of the second degree, defined on the rectangle of the complex plane. This analysis allows to predict the location of the extreme roots of polynomials of the third and higher degrees. As in the complex case, a scheme is developed for finding the extreme polynomials involves the calculation of the maximum values of the norm on a given lot, the proposed location of the roots allows you to calculate the maximum value of the norm of the polynomial that is made in the thesis for the polynomial of the third degree.

The results have both theoretical importance and practical orientation. They can be applied to specific engineering design. In addition, they can be used in the courses on numerical methods and approximation theory in mathematical and physical faculties of the universities.

Работа выполнена в УО «Витебский государственный университет им. П.М. Машерова».

Научный руководитель - Трубников Юрий Валентинович, доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры геометрии и математического анализа УО «Витебский государственный университет им. П.М. Машерова».

Официальные оппоненты: Кротов Вениамин Григорьевич, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теории функций Белорусского государственного университета;

Вувуникян Юрий Микиртычевич, доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры фундаментальной и прикладной математики УО «Гродненский государственный университет им. Я. Купалы».

Оппонирующая организация - УО «Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины».

Защита состоится 18 сентября 2015 г. в 10.00 часов на заседании совета по защите диссертаций Д 02.01.07 при Белорусском государственном университете по адресу: 220030, г. Минск, ул. Ленинградская, 8 (корпус юридического факультета), ауд. 407.

Телефон ученого секретаря - (017) 209-57-09.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке Белорусского государственного университета.

Автореферат разослан «__» 2015 г.

Ученый секретарь совета по защите диссертаций, доктор физ.-мат. наук профессор Н.В. Лазакович.

ВВЕДЕНИЕ

Настоящая диссертационная работа посвящена развитию конструктивных методов нахождения элемента наилучшего приближения на подпространстве банахова пространства. В частности, такая постановка задачи исследования охватывает многие проблемы теории приближений, например, проблему точного нахождения полиномов наилучшего приближения в чебышевской (равномерной) и других метриках.

Актуальность этого круга вопросов подтверждают многочисленные приложения, в которых применяются результаты, полученные в теории равномерных приближений, а также фамилии известных математиков, которые внесли свой вклад в развитие этого раздела математического анализа.

Основоположником конструктивной теории функций, главным составляющим элементом которой является теория приближений в равномерной норме, является П.Л. Чебышев. Им в 1853 году была поставлена задача: дана непрерывная функция среди всех многочленов степени найти такой многочлен чтобы в заданном отрезке величина была наименьшей. В частности, если то решением данной задачи среди многочленов степени является полином Чебышева

С тех пор равенство (1) вошло почти во все учебники по теории приближений и вызвало восторг многих выдающихся ученых; например, Ж. Бертран назвал его чудом анализа.

Далее в 1854 году П.Л. Чебышевым была сформулирована и доказана теорема об альтернансе, в которой даются необходимые и достаточные условия экстремальности полинома в терминах поведения разности Эта теорема даёт возможность проверить, является ли для заданной непрерывной функции некоторый полином полиномом её наилучшего приближения (экстремальным полиномом). Эффективное же нахождение таких полиномов, а также величины наилучшего приближения представляет собой чрезвычайно трудную задачу.

Для численного решения подобных экстремальных задач применяются существующие на сегодняшний день алгоритмы Ремеза, Лебедева и Пехерсторфера-Шифермайера. Такие алгоритмы требуют больших вычислительных затрат по следующим причинам: решение ищется итерациями в пространстве высокой размерности и норма многочлена - негладкая и трудно вычислимая функция его коэффициентов.

Таким образом, существует необходимость в разработке конструктивных численно-аналитических методов нахождения экстремальных в чебышевской метрике полиномов.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Связь работы с крупными научными программами и темами

Диссертационная работа выполнена на кафедре теоретической физики УО «Витебский государственный университет имени П.М. Машерова» в рамках Государственной программы научных исследований «Конвергенция» (подпрограмма «Математические методы», № госрегистрации 20111879 от 30.06.2011) в соответствии с заданием «Развитие аналитических методов исследования сложных динамических систем».

Цель и задачи исследования

Целью диссертационной работы является разработка конструктивных алгоритмов построения в равномерной (чебышевской) метрике полиномов функций действительного и комплексного аргумента. Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. Разработать эффективный алгоритм аналитического и в некоторых случаях численно-аналитического нахождения экстремальных полиномов для непрерывно дифференцируемой функции на отрезке .

2. Изучить движение корней экстремальных полиномов второй степени с условием (именно такие полиномы представляют интерес для конструирования оптимальных итерационных процессов), определенных на прямоугольнике комплексной плоскости, в зависимости от изменения расположения и параметров прямоугольника;

3. Применить результаты этого исследования для разработки алгоритма построения экстремального полинома третьей степени, определенного на прямоугольнике комплексной плоскости;

Объектом исследования являются алгоритмы точного и приближенного построения экстремальных полиномов для функций действительного и комплексного аргумента, их модификации и обобщения.

Предметом исследования являются: системы линейных и нелинейных уравнений, аналитическое или численно-аналитическое решение которых даёт возможность найти коэффициенты экстремального полинома; поведение корней экстремального полинома второй степени, определённого на прямоугольнике комплексной плоскости; построение экстремального полинома третьей степени, определенного на прямоугольнике комплексной плоскости.

Выбор объекта исследования обусловлен разнообразными приложениями, которые имеет теория и практическое применение чебышевских приближений в различных областях математики и инженерных расчетов.

Научная новизна

Полученные в диссертации результаты являются новыми. Новизна и основное содержание этих результатов заключается в следующем.

1. Впервые проведён анализ и разработаны методы аналитического и численно-аналитического решения систем уравнений, позволяющих найти экстремальный алгебраический полином произвольной степени для дифференцируемой вещественной функции, определенной на отрезке .

2. Для случая, когда приближающее подпространство образовано функциями , получены точные формулы для экстремального полинома.

3. Получены в аналитическом виде траектории движения корней экстремальных полиномов второй степени с условием , определенных на прямоугольнике комплексной плоскости. В одном случае проведено построение экстремального полинома третьей степени, определенного на прямоугольнике комплексной плоскости. При этом применена схема, основанная на субдифференциальных конструкциях.

Положения, выносимые на защиту

1. Алгоритм, позволяющий точно или приближенно находить экстремальный полином в чебышевской норме для дифференцируемой вещественнозначной функции, определённой на отрезке . Многочисленные примеры нахождения экстремальных полиномов, приведенные в диссертации, подтверждают эффективность такого алгоритма.

2. Алгоритм нахождения экстремальных полиномов, основанный на максимизации некоторой функции многих переменных. Такой алгоритм дает возможность получения точных формул в случае, если подпространство приближения является двумерным или трёхмерным. Нахождение характеристических множеств для некоторых случаев приближения полиномами в комплексной области.

3. Подробный анализ движения корней экстремальных полиномов второй степени, заданных на прямоугольнике комплексной плоскости. Такой анализ позволяет прогнозировать расположение корней экстремальных полиномов третьей и более высоких степеней. Так как в комплексном случае разработанная схема нахождения экстремальных полиномов предполагает вычисление максимальных значений нормы на заданном множестве, то предполагаемое расположение корней позволяет вычислить и максимальное значение нормы полинома, что и сделано в диссертации для полинома третьей степени.

Личный вклад соискателя

Основные результаты диссертационной работы и положения, выносимые на защиту, получены автором лично на основе рекомендаций научного руководителя Ю.В. Трубникова. Часть результатов опубликована в соавторстве с научным руководителем и И.А. Ореховой. В них научному руководителю принадлежат постановка задач и общие рекомендации относительно методов их решения, а автору диссертации - реализация этих рекомендаций и доказательства соответствующих результатов. И.А. Орехова участвовала в обсуждении результатов и выполняла некоторые вычисления.

Апробация результатов диссертации

Результаты, вошедшие в диссертационную работу, докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:

· VI Машеровские чтения: материалы международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых, Витебск, 27-28 сентября 2012 г;

· Наука - образованию, производству, экономике: материалы XVIII(65) Региональной научно-практической конференции преподавателей, научных сотрудников и аспирантов, Витебск, 13-14 марта 2013 г.;

· VII Машеровские чтения: материалы международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых, Витебск, 24-25 сентября 2013 г.

· Наука - образованию, производству, экономике: материалы XХ(67) Региональной научно-практической конференции преподавателей, научных сотрудников и аспирантов, Витебск, 12-13 марта 2015 г.

Опубликованность результатов диссертации

Основные результаты диссертации опубликованы в 12 научных работах, из которых 7 - статьи в научных журналах в соответствии с п. 18 Положения о присуждении ученых степеней и присвоении ученых званий в Республике Беларусь (общим объемом 3,4 авторского листа), 5 - статьи в сборниках материалов научных конференций.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, 4 глав, заключения, библиографического списка. Полный объем диссертации составляет 84 страницы. Библиографический список состоит из 72 наименований, включая собственные публикации автора.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ

В первой главе приведен краткий обзор литературы по теме исследования, сформулированы фундаментальные факты теории чебышевских приближений и выделены нерешенные вопросы в рамках исследуемого направления.

Во второй главе построена система уравнений, аналитическое или численно-аналитическое решение которой позволяет найти экстремальный полином для функции

В тех случаях, когда известно, что точки и являются точками альтернанса, точные выражения для коэффициентов экстремального полинома могут быть найдены в результате совместного анализа и решения двух подсистем уравнений, отражающих различные свойства чебышевского альтернанса. Пусть дифференцируемая функция, определенная на отрезке . Наличие альтернанса означает существование, по крайней мере, точек в которых происходит чередование абсолютных максимумов и минимумов разности

(1)

между функцией и экстремальным полиномом. Если предположить, что точки и являются точками альтернанса, то этот факт можно отразить в виде системы уравнений

(2)

содержащей неизвестных Однако во внутренних точках альтернанса имеет место равенство нулю производных разности (1), и этот факт можно отразить в виде еще одной системы

приближенный экстремальный полином чебышевский



состоящей из уравнений. Таким образом, общее число уравнений в системах (2-3) равно

Система уравнений (3) является линейной относительно неизвестных Их можно выразить через точки альтернанса и подставить в систему (2). Решая полученную нелинейную систему относительно точек альтернанса, находим а так как коэффициенты к этому моменту выражены явным образом через точки альтернанса, то они становятся известными. После этого из любых двух уравнений системы (2) находится величина уклонения и коэффициент

Следующий пример иллюстрирует эффективность разработанного метода.

Пример точного аналитического нахождения коэффициентов экстремального полинома.

Проведем соответствующие построения для функции Система уравнений (2) в этом случае будет иметь вид

(3)

(4)

 (5)

(6)

а система уравнений (3) примет вид

(7)

(8)

Вычитая из уравнения (8) уравнение (7), получае

(9)

откуда

(10)

Далее

(11)

После подстановки найденных значений в уравнения (12)-(15) получаем два уравнения, содержащих неизвестные и

(12)

 (13)

Решением полученной подсистемы являются значения

(14)

Подставим найденные значения в систему (12)-(15), тогда

(15)

Например, на отрезке разность между функций и её экстремальным полиномом второй степени имеет вид

(16)

значение

Приведем один из случаев точного нахождения экстремального полинома любой степени.

Теорема 2.1 [11, 12]. Экстремальным полиномом произвольной степени для функции является полином

(17)

где

В диссертации получены конкретные выражения для при

Третья глава посвящена разработке удобного численно-аналитического алгоритма для точного и приближенного нахождения экстремальных полиномов, аппроксимирующих непрерывную вещественную функцию, определенную на отрезке числовой прямой. Алгоритм основан на максимизации некоторой функции многих переменных, полученной применением теоремы об альтернансе.

Эта функция выражается из системы (2) явным образом

(18)

и задача состоит в том, чтобы найти такой набор переменных

(19)

на котором достигается максимальное значение функции d=dmax. Это и будут точки альтернанса.

В связи с этим выявлены некоторые недостатки алгоритма Е.Я. Ремеза, применяющегося на протяжении многих лет для практического построения экстремальных полиномов в чебышевской метрике. Версия алгоритма, предлагаемого в третьей главе, основана на записи точек, находимого в процессе вычислений альтернанса, в виде системы линейных уравнений по отношению к коэффициентам искомого полинома и величины, которая после ее максимизации становится величиной наилучшего уклонения, т.е. расстоянием между функцией и подпространством нахождения элемента наилучшего приближения. Получено эффективное достаточное условие, при выполнении которого в случае проектирования на двумерное подпространство коэффициенты экстремального полинома могут быть найдены точно. Приведены примеры точного нахождения экстремальных полиномов при проектировании на двумерное и трехмерное пространство.

Типичным результатом главы 3 является

Теорема 3.1 [6]. Пусть для непрерывно дифференцируемых функций выполнены следующие условия

1)

2) на интервале (a,b) функция строго возрастает.

Тогда

где - единственный корень уравнения

на интервале .

Коэффициенты экстремального полинома находятся по следующим формулам:

при этом система точек, на которой достигается альтернанс, единственна и имеет вид

В главе 4 проведён анализ движения корней экстремального полинома второй степени, определенного на прямоугольнике комплексной плоскости. Так как вычисление максимума модуля полинома при заданных коэффициентах представляет собой трудную задачу, то информация о поведении корней дает возможность находить максимум модуля в терминах корней, и этот шаг реализован для нахождения экстремального полинома третьей степени. В случае построения полинома третьей степени получена явная система уравнений для нахождения экстремального функционала, что даёт возможность, применяя численные методы, устанавливать экстремальность соответствующего полинома.

В подразделе 4.2 рассматривается задача, связанная с движением корней экстремального полинома второй степени, заданного на прямоугольнике комплексной плоскости.

Пусть и областью D является прямоугольник с вершинами в точках: . Другими словами на этом прямоугольнике требуется найти полином второй степени вида

(20)

с минимальной равномерной (чебышевской) нормой. При h=0 прямоугольник превращается в отрезок [a-?,a+?] и такой полином имеет вид

(21)

Корнями полинома (4.9) являются числа

(22)

Проследим движение корней экстремального полинома при фиксированных а и ? в зависимости от . Для этого обозначим

(23)

Теорема 4.4 [2]. При выполнении неравенства

 (24)

экстремальный полином имеет вид

(25)

где

(26)

т.е. имеет действительные корни, которые при возрастании h на интервале (24) удаляются от точки а.

Норма в этом случае находится по формуле

(27)

При выполнении неравенств

(28)

экстремальный полином имеет вид (25), при этом

(29)

 (30)

Корни такого полинома являются действительными числами, которые при возрастании h на полуинтервале (28) приближаются к точке а. При

(31)

выполняется равенство , т.е. корни и полинома (25) совпадают и равны z1=z2=а.

При ?, удовлетворяющему равенству (31), происходит перестройка поведения корней: корни начинают двигаться в вертикальном направлении.

При выполнении неравенства

(32)

корни расположены вертикально (являются комплексно сопряженными), полином имеет вид

(33)

(34)

(35)

Далее, если выполнено неравенство

(36)

то корни расположены вертикально, полином имеет вид (33), где

а его норма выражается следующим образом:

(37)

И, наконец, если , то полином имеет вид:

(38)

его норма

Начиная со значения ? = 4s1/2, поведение корней существенно меняется.

Зависимость от состоит в том, что корни перемещаются по двум сопряженным кривым, уравнения которых



Прямоугольник комплексной плоскости взят в качестве области определения полинома с минимальной чебышевской нормой в связи с тем, что именно прямоугольник является удобной областью локализации спектра линейного ограниченного оператора, действующего в банаховом пространстве.

В подразделе 4.3 рассматривается один из возможных случаев построения экстремального полинома вида

заданного на прямоугольнике с вершинами в точках: при выполнении условий , и имеющих минимальную чебышевскую норму.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные научные результаты диссертации

1. На базе теоремы об альтернансе получена система уравнений, позволяющая точно или приближенно находить экстремальный полином в чебышевской норме для дифференцируемой вещественнозначной функции, определённой на отрезке . Многочисленные примеры нахождения экстремальных полиномов, приведенные в диссертации, подтверждают эффективность такого алгоритма [4, 6, 7, 12].

2. Предложен и исследован алгоритм нахождения экстремальных полиномов, основанный на максимизации некоторой функции многих переменных. Такой алгоритм дает возможность получения точных формул в случае, если подпространство приближения является двумерным или трёхмерным. Найдены характеристические множества для некоторых случаев приближения полиномами в комплексной области [5, 6, 8, 10].

3. Проведён подробный анализ движения корней экстремальных полиномов второй степени, заданных на прямоугольнике комплексной плоскости. Такой анализ позволяет прогнозировать расположение корней экстремальных полиномов третьей и более высоких степеней. Так как в комплексном случае разработанная схема нахождения экстремальных полиномов предполагает вычисление максимальных значений нормы на заданном множестве, то предполагаемое расположение корней позволяет вычислить и максимальное значение нормы полинома, что и сделано в диссертации для полинома третьей степени [2, 3, 8, 9]. Сравнение трудностей, возникающих при гладких и негладких приближениях, проведено в [1] на примере обобщенной задачи Аполлония.

Рекомендации по практическому использованию результатов

Полученные результаты имеют как теоретическое значение, так и практическую направленность. Они могут быть применены для конкретных инженерных расчетов при проектировании электротехнических приборов. Результаты диссертации могут быть использованы для нахождения оптимальных итерационных параметров в случае приближенного нахождения решений операторных уравнений в банаховых пространствах. Кроме того, они могут быть использованы при чтении курсов по численным методам и теории приближений на математических и физических факультетах университетов. Автор настоящей диссертации собирается применить полученные результаты для дальнейшей научной работы в КНР.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ СОИСКАТЕЛЯ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в научных журналах

1. Трубников, Ю.В. Многомерный аналог задачи Аполлония/ Ю.В. Трубников, И.А. Орехова, Сунь Байюй // Веснік Віцебскага дзяржаўнага універсітэта. - 2011. - №6. - С. 21-25.

2. Трубников, Ю.В. Движение корней экстремальных полиномов / Ю.В. Трубников, И.А. Орехова, Сунь Байюй // Веснік Віцебскага дзяржаўнага універсітэта. - 2012. - №3. - С. 5-14.

3. Трубников, Ю.В. Экстремальные полиномы третьей степени комплексного аргумента / Ю.В. Трубников, И.А. Орехова, Сунь Байюй // Веснік Віцебскага дзяржаўнага універсітэта. - 2012. - №6. - С. 13-19.

4. Трубников, Ю.В. Формула для точного вычисления при равномерном приближении / Ю.В. Трубников, И.А. Орехова, Сунь Байюй // Веснік Віцебскага дзяржаўнага універсітэта. - 2014. - №1(79). - С. 18-22.

5. Трубников, Ю.В. Приближенное построение экстремальных полиномов произвольной степени / Ю.В. Трубников, И.А. Орехова, Сунь Байюй // Веснік Гродзенскага дзяржаўнага універсітэта. Серия 2 - 2014. - № 1 (170). - С. 6-11.

6. Сунь Байюй. О точном нахождении экстремальных полиномов на двумерном подпространстве / Байюй С. // Веснік Віцебскага дзяржаўнага універсітэта. - 2014. - №2(80). - С. 34-38.

7. Трубников, Ю.В. Конструктивный алгоритм нахождения экстремальных полиномов в чебышевской норме / Ю.В. Трубников, Сунь Байюй // Веснік Віцебскага дзяржаўнага універсітэта. - 2015. - № 2-3 (86-87). - С. 22-28.

Статьи в сборниках материалов научных конференций

8. Орехова, И.А. Об экстремальных полиномах на отрезке комплексной плоскости / И.А. Орехова, Сунь Байюй // VI Машеровские чтения: материалы международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых, Витебск, 27-28 сентября 2012 г. / УО ВГУ им. П.М. Машерова; редакционный совет: А.П. Солодков [и др.]. - Витебск,2012.

9. Трубников, Ю.В. Особенности применения алгоритма Вейерштрасса для возвратных алгебраических уравнений / Ю.В. Трубников, О.В. Пышненко, Сунь Байюй // Наука - Образованию, производству, экономике: материалы XVIII(65) Региональной научно-практической конференции преподавателей, научных сотрудников и аспирантов, Витебск, 13-14 марта 2013 г./ УО ВГУ им. П.М. Машерова; редакционный совет: А.П. Солодков [и др.]. - Витебск,2013. - С. 46-48.

10. Орехова, И.А. О некоторых методах построения экстремальных полиномов произвольной степени / И.А. Орехова, Сунь Байюй // VII Машеровские чтения: материалы международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых, Витебск, 24-25 сентября 2013 г./ УО ВГУ им. П.М. Машерова; редакционный совет: А.П. Солодков [и др.]. - Витебск,2013. - С. 58-59.

11. Пышненко, О.В. Нахождение кратных корней алгебраических многочленов в терминах дробно-рациональных функций от коэффициентов / О.В. Пышненко, И.А. Орехова, Сунь Байюй // VII Машеровские чтения: материалы международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых, Витебск, 24-25 сентября 2013 г./ УО ВГУ им. П.М. Машерова; редакционный совет: А.П. Солодков [и др.]. - Витебск, 2013. - С. 59-60.

12. Трубников, Ю.В. Конструктивный алгоритм нахождения экстремальных полиномов в чебышевской норме / Ю.В. Трубников, О.В. Пышненко, Сунь Байюй // Наука - Образованию, производству, экономике: материалы XХ(67) Региональной научно-практической конференции преподавателей, научных сотрудников и аспирантов, Витебск, 12-13 марта 2013 г./ УО ВГУ имени П.М. Машерова; редкол.: И.М. Прищепа [и др.]. - Витебск, 2015. - С. 19-21.

Размещено на Allbest.ur

...