Монотонные бикомпактные схемы для уравнений гиперболического и параболического типов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени

кандидата физико-математических наук

Монотонные бикомпактные схемы для уравнений гиперболического и параболического типов

Специальность 01.01.07 - «Вычислительная математика»

Михайловская Маргарита Николаевна

Москва -- 2011

Работа выполнена на кафедре математического моделирования Московского физико-технического института (государственного университета).

Научный руководитель: доктор физико-математических наук доцент Рогов Борис Вадимович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук профессор Петров Игорь Борисович

доктор физико-математических наук профессор Толстых Андрей Игоревич

Ведущая организация: Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, факультет ВМК

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертационной работы

В настоящее время широкое распространение получили двухслойные разностные схемы повышенной точности для сквозного расчета разрывных решений гиперболических систем законов сохранения (Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. 2001; Холодов А.С. 2008; Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. 2008). При построении таких схем основным принципом является известная теорема об ограничении порядка аппроксимации двухслойных монотонных линейных схем (Годунов С.К. 1959). Среди схем повышенной точности большой популярностью пользуются компактные схемы (Толстых А.И. 1990; Tolstykh A.I. 1994; Adams N.A., Sharif K. 1996, Shen Y.-Q., Zha G.-C. 2011), построенные для каждого пространственного направления на двух- или трехточечном шаблоне, вследствие их экономичности и удобства постановки граничных условий. Компактные схемы обладают свойством консервативности (Tolstykh A.I. 1994; Толстых А.И. 2002). Схемы с нецентрированными пространственными аппроксимациями (Толстых А.И. 1990; Tolstykh A.I. 1994), ориентированными против потока, являются устойчивыми и диссипативными при подходящей аппроксимации производных по времени. Однако, для точного воспроизведения структуры скачков искомых функций с помощью этих схем нечетного порядка аппроксимации по пространственным переменным приходится прибегать к монотонизаторам в виде ограничителей потоков (Толстых А.И., Широбоков Д.А. 1996; Tolstykh A.I., Lipavskii M.V. 1998). Для подавления осцилляций численных решений, полученных с помощью компактной схемы, вблизи скачков в схему добавляют искусственную вязкость (Остапенко В.В. 2000, 2002), однако этот способ полностью не устраняет немонотонность численного решения вблизи скачков. Другим подходом для построения неосциллирующих вблизи разрывов схем является применение процедур ENO и WENO для расчета потоков через границы разностных ячеек (Adams N.A., Sharif K. 1996, Shen Y.-Q., Zha G.-C. 2011). Однако и этот подход также полностью не устраняет немонотонность численного решения. Кроме того, процедуры ENO и WENO достаточно трудоемки.

В связи с этим актуальным является развитие подходов к построению монотонных высокоточных разностных схем сквозного счета, которые, с одной стороны, являются экономичными, а, с другой стороны, не используют искусственную вязкость и какие-либо ограничители потоков. Иными словами, в настоящее время очень важным является построение монотонных схем, у которых собственная диссипация полностью подавляет внутреннюю дисперсию и порождаемые ею осцилляции в области сильных изменений решения.

Цели и задачи диссертационной работы

Целями диссертационной работы являются:

Построение и исследование свойств бикомпактных разностных схем четвертого порядка аппроксимации по пространственной переменной на минимальном (двухточечном) шаблоне для уравнений и систем уравнений гиперболического и параболического типов.

Построение монотонизированных схем высокого порядка аппроксимации по времени; исследование их свойств, включая монотонность и точность.

Сравнение результатов численного моделирования решения нестационарных гиперболических и параболических задач математической физики, полученных с использованием разработанных бикомпактных разностных схем и известных существенно неосциллирующих схем высокого порядка аппроксимации.

Применение бикомпактных схем к решению задач газовой динамики.

Научная новизна диссертационной работы

В диссертационной работе предложен оригинальный способ построения гибридных монотонных высокоточных экономичных разностных схем для уравнений гиперболического и параболического типов. Основные этапы этого способа: 1) построение двухслойной монотонной бикомпактной разностной схемы четвертого порядка аппроксимации по пространственной координате и первого порядка аппроксимации по времени с помощью интегро-интерполяционного метода и метода прямых; 2) построение двухслойных диссипативных бикомпактных схем третьего порядка аппроксимации по времени на основе специальных диагонально-неявных трехстадийных методов Рунге-Кутты; 3) оригинальный метод построения гибридных нелинейных монотонных бикомпактных схем повышенного порядка точности по времени на основе базовых разностных схем, полученных на первых двух этапах. Построенные на основе этого способа разностные схемы обладают уникальным набором свойств. Они являются высокоточными, экономичными, консервативными, монотонными в широкой области значений локального числа Куранта.

В работе предложен новый способ построения бикомпактных разностных схем четвертого порядка аппроксимации по пространственной переменной на минимальном (двухточечном) шаблоне для уравнений и систем уравнений гиперболического типа. В отличие от известных в мировой литературе способов построения разностных схем с использованием продолженной системы, исходное уравнение для искомой функции дополнялось не уравнением для пространственных производных от этой функции, а уравнением для первообразной от функции. Преимущество предложенного подхода очевидно в случае построения разностных схем для сквозного расчета разрывных решений, поскольку первообразная от функции имеет на единицу большую гладкость, чем сама искомая функция. Благодаря компактности шаблона, схемы не требуют вспомогательных граничных условий и решаются либо бегущим счетом, либо двухточечной прогонкой.

Предложен новый способ построения компактных разностных схем четвертого порядка аппроксимации по пространственной переменной на двухточечном шаблоне для квазилинейных уравнений гиперболического типа. Суть данного способа состоит в получении двух независимых консервативных разностных уравнений на двухточечном пространственном шаблоне, используя дифференциальные следствия исходной системы уравнений. Из этих уравнений определяются значения искомой сеточной функции в целом рассчитываемом узле и полуцелом вспомогательном узле. В результате построенная разностная схема четвертого порядка аппроксимации по пространственной координате по существу является бикомпактной схемой для определения искомой сеточной функции в целых узлах сетки и решается методом бегущего счета.

Теоретическая и практическая ценность

Разработанные в диссертации методы построения бикомпактных разностных схем высокого порядка аппроксимации с уникальным набором свойств (экономичность, монотонность, консервативность) могут служить основой для конструирования разностных схем для решения широкого класса прикладных задач, описываемых уравнениями и системами уравнений гиперболического и параболического типа.

Построенные в работе высокоточные бикомпактные разностные схемы для уравнений гиперболического и параболического типов, благодаря свойству монотонности и консервативности, могут быть использованы для решения нестационарных задач аэродинамики высоких скоростей, а благодаря хорошим дисперсионным свойствам - для решения задач аэроакустики. Экономичность построенных схем благоприятна для их использования при решении различных трудоемких нестационарных многомерных задач гиперболического и параболического типа.

На защиту выносятся следующие положения:

Новый подход к построению монотонных высокоточных схем для уравнений и систем уравнений гиперболического типа. Новые двухточечные по пространственной переменной и двухслойные по времени высокоточные разностные схемы для линейного уравнения переноса и гиперболических систем квазилинейных законов сохранения со следующими свойствами: абсолютно устойчивы, монотонны в широком диапазоне значений локального числа Куранта, сохраняют консервативность и порядок точности на неравномерной сетке, решаются методом бегущего счета, могут быть использованы для решения жестких задач. Результаты исследования монотонности и точности разработанных схем.

Новый подход к построению монотонных консервативных высокоточных схем для параболических уравнений на примере уравнения теплопроводности. Новые двухточечные по пространственной переменной и двухслойные по времени высокоточные разностные схемы для уравнения теплопроводности со следующими свойствами: абсолютно устойчивы, монотонны, сохраняют консервативность и порядок точности на неравномерной сетке, решаются двухточечной прогонкой, могут быть использованы для решения жестких задач. Результаты исследования монотонности и точности разработанных схем.

Апробация работы

Результаты работы докладывались, обсуждались и получили одобрение специалистов на следующих научных конференциях и семинарах:

Международный молодёжный научный форум «Ломоносов - 2011», секция «Вычислительная математика и кибернетика» (Москва, 2011);

49-я, 50-я и 51-я научные конференции МФТИ (Долгопрудный, 2006-2008);

Семинары кафедры информатики МФТИ (Москва, 2010-2011);

Семинар кафедры вычислительных методов ВМК МГУ (Москва, 2011).

Публикации

Результаты исследований по теме диссертации изложены в 6 печатных работах, все работы опубликованы в изданиях из списка, рекомендованного ВАК РФ.

В работах с соавторами лично соискателем выполнено следующее: [1] - построение бикомпактных высокоточных схем для линейного уравнения теплопроводности, анализ их устойчивости, монотонности и реального порядка точности, выполнение расчетов; [2] - построение бикомпактных схем четвертого порядка аппроксимации по пространственной переменной для расчета гладких решений уравнений и систем уравнений гиперболического типа, анализ реальной точности предложенных схем; [3, 4] - построение монотонной высокоточной бикомпактной схемы бегущего счета для линейного уравнения переноса, исследование свойств бикомпактной схемы (устойчивость, монотонность, диссипативные и дисперсионные свойства), проведение расчетов; [5] - построение монотонной высокоточной бикомпактной схемы бегущего счета для квазилинейных уравнений гиперболического типа, исследование свойств схемы (устойчивость, монотонность), выполнение расчетов; [6] - построение монотонной высокоточной бикомпактной схемы бегущего счета для многомерного линейного уравнения переноса, проведение расчетов.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии. Объем диссертации - 92 страницы. Список использованных источников содержит 82 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении содержится обоснование актуальности выбранной темы, характеристика особенностей построения схем высокого порядка аппроксимации для уравнений гиперболического и параболического типов, приводится обзор литературы по тематике диссертационной работы, представлены положения, выносимые на защиту, а также описаны научная новизна, теоретическая и практическая значимость полученных результатов.

В первой главе приведены ключевые понятия и методы построения бикомпактных схем высокого порядка аппроксимации для нестационарных задач. Выполнено и подробно описано построение бикомпактных схем для уравнений гиперболического типа. Рассмотрены примеры линейных и квазилинейных уравнений. Показана монотонность бикомпактной схемы первого порядка аппроксимации по времени, продемонстрировано построение различных вариантов монотонизированных схем высокого порядка аппроксимации по времени.

В первом параграфе первой главы диссертационной работы подробно описано построение бикомпактной схемы четвертого порядка для решения смешанной задачи Коши для линейного одномерного уравнения переноса.

В кратком изложении методика построения компактных консервативных разностных схем на двухточечном шаблоне (т.е. бикомпактных схем) состоит из следующих основных этапов: 1) введение пространственной первообразной функции в качестве дополнительной искомой функции с целью получения четвертого порядка аппроксимации пространственной производной на двухточечном шаблоне; 2) использование интегро-интерполяционного метода, квадратурной формулы Эйлера-Маклорена и дифференциального следствия исходного уравнения для построения эволюционной бикомпактной дифференциально-разностной схемы (метод прямых); 3) применение специальных A- и L-устойчивых диагонально-неявных методов Рунге-Кутты для интегрирования дифференциально-разностной схемы по времени.

Монотонные нелинейные бикомпактные схемы повышенного порядка точности по времени строятся на основе двух базовых («опорных») бикомпактных схем: схемы A - монотонной чисто неявной схемы точности O(), схемы B - немонотонной диссипативной либо A- либо L-устойчивой трехстадийной диагонально-неявной схемы Рунге-Кутты точности O(3), в которую вложена схема A. Здесь - шаг по времени. Результирующее решение получается методом гибридизации по формулам

бикомпактный уравнение гиперболический

(1)

с весовыми коэффициентами

(2)

где j - номер пространственного узла сетки на рассчитываемом временном слое, - основная искомая сеточная функция и ее первообразная на этом временном слое; и - решения, полученные по схемам A и B, соответственно; константа C > 0 подбирается в зависимости от задачи.

Показано, что бикомпактная схема A точности O() является монотонной. Исследованы диссипативно-дисперсионные свойства бикомпактных схем. Построенные монотонизированные высокоточные схемы являются абсолютно устойчивыми, консервативными и могут решаться методом бегущего счета.

Проведено сравнение расчетов по данным схемам и известным существенно неосциллирующим схемам высокого порядка аппроксимации, которое показало преимущество предлагаемых в настоящей работе бикомпактных схем.

Во втором параграфе первой главы диссертационной работы подробно описано построение бикомпактной схемы четвертого порядка аппроксимации по пространственной координате для решения квазилинейного одномерного гиперболического уравнения, записанного в дивергентной форме:

(3)

Бикомпактная схема четвертого порядка аппроксимации по пространству и первого порядка по времени, построенная для (3) по предложенной в работе методике, имеет вид:

(4)

Здесь верхний индекс n+1 при значениях сеточных функций на рассчитываемом слое t = tn+1 опущен; r = /h, h - пространственный шаг, wj(t)= uj1/2(t) - вспомогательная функция. Схема первого порядка по времени является абсолютно монотонной для искомой сеточной функции, определенной в целых узлах сетки.

Отмечено, что методика построения бикомпактных схем для скалярного гиперболического уравнения (3) без изменений переносится на случай системы уравнений гиперболического типа

(5)

где u(x, t) - искомая вектор-функция c m компонентами, f(u) - заданная вектор-функция размерности m.

Монотонные нелинейные бикомпактные схемы повышенного порядка точности по времени строятся методом гибридизации на основе двух базовых («опорных») бикомпактных схем: схемы A - чисто неявной схемы точности O(), схемы B -диссипативной трехстадийной диагонально-неявной схемы Рунге-Кутты точности O(3), в которую вложена схема A.

Методом разложения сеточного решения по элементарным ступенчатым функциям показано, что схема A является абсолютно монотонной в случае линейной функции f(u):

 , (6)

Если эту схему использовать для расчета решения в целых узлах. Если же использовать схему А для расчета решения и в целых, и в полуцелых узлах, то она монотонна при числе Куранта 0.25. Монотонность схемы A в случае, когда функция f(u) нелинейна, исследована с помощью численного эксперимента на примере квазилинейного уравнения Хопфа.

Исследованы диссипативно-дисперсионные свойства построенных бикомпактных схем. Разработанные монотонизированные высокоточные разностные схемы являются абсолютно устойчивыми, консервативными и могут решаться методом бегущего счета.

Проведено сравнение расчетов по данным схемам и известным существенно неосциллирующим схемам высокого порядка аппроксимации, которое показало преимущество предлагаемых в настоящей работе бикомпактных схем.

В третьем параграфе первой главы описанный подход к построению схем повышенной точности распространен также на многомерные задачи. Бикомпактная схема для многомерного линейного уравнения переноса строится путем покоординатного расщепления многомерного дифференциального оператора на одномерные операторы. Получающиеся в результате расщепления одномерные задачи численно решаются с использованием монотонной бикомпактной схемы для линейного одномерного уравнения переноса. Обобщение бикомпактной схемы на многомерный случай проиллюстрировано на примере двумерного линейного уравнения переноса

(7)

с начальными данными

(8)

и граничными условиями

(9)

Предложенная многомерная схема является абсолютно устойчивой и монотонной. Приводятся оценки реальной точности многомерной схемы путем расчета на сгущающихся сетках для тестовой задачи с известным точным решением. Эффективные порядки сходимости схемы составляют 3.98 для сходимости по h и 2.97 для сходимости по и близки к теоретическим порядкам одномерной схемы точности . Проведены также расчеты на неравномерных пространственных сетках, которые подтвердили сохранение порядка сходимости бикомпактной схемы при переходе от равномерной сетки к неравномерной сетке.

На рис.1 показаны результаты расчета распространения двумерного прямоугольного импульса со скоростями , имеющего единичную амплитуду и сосредоточенного в начальный момент времени в области . Расчет проведен по гибридной схеме, являющейся нелинейной комбинацией бикомпактных схем первого и третьего порядка аппроксимации по времени. Форма импульса на рис.1 для момента времени иллюстрирует монотонность разностной схемы.

Рис.1. Результаты расчета распространения двумерного прямоугольного импульса для момента времени при , b числа Куранта .

Во второй главе изложен оригинальный способ построения гибридных монотонных высокоточных экономичных разностных схем для уравнений параболического типа. Он проиллюстрирован примером начально-краевых задач для нестационарных одномерных линейных и квазилинейных уравнений теплопроводности. Построенные на его основе двухслойные компактные схемы имеют четвертый порядок аппроксимации по пространственной координате на двухточечном шаблоне и третий порядок аппроксимации по времени на гладких решениях уравнений теплопроводности.

В кратком изложении методика построения компактных консервативных разностных схем на двухточечном шаблоне (т.е. бикомпактных схем) состоит из следующих основных этапов: 1) введение пространственной производной в качестве дополнительной искомой функции с целью сведения уравнения высокого порядка к системе уравнений первого порядка; 2) использование квадратурных формул Симпсона и Эйлера-Маклорена для построения эволюционной дифференциально-разностной схемы (метод прямых); 3) применение специальных A- и L-устойчивых диагонально-неявных методов Рунге-Кутты для интегрирования дифференциально-разностной схемы по времени; 4) использование формул четвертого порядка точности, определяющих значения искомой функции и ее пространственных производных в полуцелых узлах сетки через значения функции и ее производных в целых узлах, для того, чтобы исключить указанные величины в полуцелых узлах из дифференциально-разностной схемы.

Монотонные нелинейные бикомпактные схемы повышенного порядка точности по времени получаются методом гибридизации аналогично схемам для уравнений гиперболического типа.

В первом параграфе второй главы подробно описано построение высокоточных бикомпактных схем для нестационарного одномерного линейного уравнения теплопроводности. В качестве модельной задачи, для которой строятся бикомпактные схемы и анализируются их свойства, рассмотрена начально-краевая задача с разрывными начальными данными. При построении схем методом прямых для уравнения теплопроводности пространственная производная аппроксимируется по формуле компактного дифференцирования четвертого порядка точности на двухточечном шаблоне. Для решения получающейся при этом эволюционной системы ОДУ рассмотрены различные неявные одношаговые двух- и трехстадийные схемы второго и третьего порядка точности. Проведено сравнение решений, полученных на основе этих схем, друг с другом, с точным решением, а также с решениями, полученными на основе одностадийной комплексной схемы Розенброка и монотизированными A- или L-устойчивыми трехстадийными диагонально-неявными схемами Рунге-Кутты.

Во втором параграфе второй главы подробно описано построение высокоточной бикомпактной схемы для нестационарного одномерного квазилинейного уравнения теплопроводности. В качестве модельной задачи, для которой строятся бикомпактные схемы и анализируются их свойства, рассмотрена автомодельная задача о температурной волне (Самарский А.А., Соболь И.М. 1963). Проведено сравнение решений, полученных c использованием монотизированных высокоточных бикомпактных схем, с точным решением и с решением, полученным на основе одностадийной комплексной схемы Розенброка.

В третьей главе приведены примеры применения монотонных бикомпактных схем к решению известных нестационарных одномерных тестовых задач газовой динамики.

Проводится сравнение расчётов по предложенным в работе бикомпактным схемам и известным существенно неосциллирующим схемам высокого порядка аппроксимации, среди которых имеются такие популярные схемы как PPM (the piecewise parabolic method), и WENO5. Тестирование бикомпактных схем выполнено на системе одномерных тестовых задач газовой динамики, которая всесторонне отражает трудности, которые возникают при численном моделировании нестационарных течений газа.

Гиперболическая система законов сохранения массы, импульса и энергии, в декартовой системе координат может быть представлена в дивергентной форме , где

,

где безразмерные величины , u, e и p обозначают плотность, скорость, удельную внутреннюю энергию и давление, соответственно, а - показатель адиабаты.

Одной из задач, рассматриваемых автором в рамках тестирования, является задача Римана о распаде сильного разрыва со следующими начальными условиями:

где значения газодинамических величин слева от разрыва, расположенного в точке x = X0, помечены нижним индексом L, справа от разрыва - индексом R. Задача Римана решается в области x [0, 1] на отрезке времени t [0, tf].

Рис.2. Распределение внутренней энергии для тестовой задачи Римана о распаде сильного разрыва.

В результате распада разрыва образуются две волны разрежения, разбегающиеся друг от друга. В центре между ними образуется область очень низкой плотности и давления. На рис.2 показано сравнение расчетов с использованием известных схем и с помощью бикомпактной схемы повышенного порядка точности по времени с характеристическим расщеплением. Все рассмотренные разностные схемы для h =0.01 дают решения, которые имеют в центре расчетной области так называемый энтропийный след. Видно, что результаты расчета по бикомпактной схеме меньше отклоняются от точного решения в норме C, чем результаты расчетов по схемам WENO5 точности O(3 + h5), PPM точности O(3 + h3), JT (симметричная схема с ограничителем) точности O (3 + h2) (Liska R., Wendroff B. 2001,2003).

В общей сложности в диссертационной работе приводятся результаты девяти численных экспериментов на задачах с различными начальными условиями, в том числе таких тестов как:

blast wave problem - взаимодействие двух ударных волн, образующихся после распада двух сильных разрывов,

Noh problem - течение, содержащее две расходящиеся ударные волны очень большой интенсивности,

peak problem - течение, содержащее сильную ударную волну, волну разряжения и контактный разрыв между ними.

Результаты численных экспериментов показывают преимущество предлагаемых в диссертационной работе схем.

В заключении приведены основные результаты и выводы работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Предложен новый подход к построению монотонных консервативных высокоточных схем, основанный на интегро-интерполяционном методе и методе прямых, для уравнений и систем уравнений гиперболического типа. На его основе построены и исследованы экономичные консервативные высокоточные компактные разностные схемы четвертого порядка аппроксимации по пространственной координате и третьего порядка аппроксимации по времени для линейного и квазилинейного уравнений переноса, системы уравнений газовой динамики. Разработанные схемы являются двухслойными по времени и двухточечными по пространственным переменным, абсолютно устойчивыми, консервативными, монотонными в широком диапазоне значений локального числа Куранта и могут быть использованы для решения жестких задач. Построенные разностные схемы сохраняют консервативность и порядок точности на неравномерной сетке и не требуют вспомогательных начальных и граничных условий. Они решаются методом бегущего счета.

Предложен новый подход к построению монотонных консервативных высокоточных схем, основанный на интегро-интерполяционном методе и методе прямых, для параболических уравнений. На его основе построены и исследованы новые двухточечные по пространственной переменной и двухслойные по времени высокоточные разностные схемы для уравнения теплопроводности со следующими свойствами. Они имеют четвертый порядок аппроксимации по пространственной переменной и третий порядок аппроксимации по времени, абсолютно устойчивы, монотонны, сохраняют консервативность и порядок точности на неравномерной сетке, решаются двухточечной прогонкой и могут быть использованы для решения жестких задач.

Все теоретические оценки свойств (устойчивости, монотонности, консервативности) построенных разностных схем проверены с помощью численных экспериментов на представительной системе принятых в мировой литературе тестов.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Рогов Б.В., Михайловская М.Н. О сходимости компактных разностных схем // Математическое моделирование. 2008. Т.20. №1. С.99-116.

2. Рогов Б.В., Михайловская М.Н. Монотонные бикомпактные схемы для линейного уравнения переноса // Математическое моделирование. 2011. Т.23. №6. С.98-110.

3. Рогов Б.В., Михайловская М.Н. Бикомпактные схемы четвертого порядка аппроксимации для гиперболических уравнений // ДАН. 2010. Т.430. №4. С.470-474.

4. Рогов Б.В., Михайловская М.Н. Монотонные бикомпактные схемы для линейного уравнения переноса // ДАН. 2011. Т.436. №5. С.600-605.

5. Рогов Б.В., Михайловская М.Н. Монотонная высокоточная компактная схема бегущего счета для квазилинейных уравнений гиперболического типа // ДАН. 2011. Т.440. №2. С.172-177.

6. Михайловская М.Н., Рогов Б.В. Бикомпактные монотонные схемы для многомерного линейного уравнения переноса. // Математическое моделирование. 2011. Т.23. №10. С.107-116.

Размещено на Allbest.ru