Численное исследование транспортных потоков на основе гидро-динамических моделей

Размещено на http://www.allbest.ru/

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Численное исследование транспортных потоков на основе гидродинамических моделей

Морозов Иван Игоревич

Москва - 2011

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики 

Московского физико-технического института 

(государственного университета) 

Научный  руководитель:

Кандидат физико-математических наук

ХОЛОДОВ Ярослав Александрович

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор 

НУРМИНСКИЙ Евгений Алексеевич 

Кандидат физико-математических наук 

ЧЕХОВИЧ Юрий Викторович  

Ведущая организация:

Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН 

Защита состоится « _23_ » декабря 2011 года в _11.30 час. на заседании диссертационного совета Д 212.156.05 при Московском физико-техническом институте (государственном университете) по адресу: 141700, г. Долгопрудный Московской обл., Институтский пер. д.9, ауд. 903 КПМ. 

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФТИ 

Автореферат разослан «_22_» ноября 2011 г. 

Ученый секретарь диссертационного совета О.С.Федько

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы

В 50-ые годы прошлого века наблюдалось бурное развитие газовой динамики. Были найдены обобщенные решения законов сохранения, предложены устойчивые разностные схемы расчета решений. Тогда же появились первые макроскопические (гидродинамические) модели, в которых транспортный поток уподобляется потоку “мотивированной” сжимаемой жидкости (М. Лайтхилл и Дж. Уизем, П. Ричардс), и первые микроскопические модели (следования за лидером), в которых явно выписывается уравнение движения каждого автомобиля (А. Рёшель, Л. Пайпс и др.). В модели Лайтхилла - Уизема (- Ричардса) (1955), транспортный поток уподобляется потоку сжимаемой жидкости и описывается законом сохранения количества (погонной плотности) автомобилей. При этом в модели постулируется существование функциональной зависимости в виде уравнения состояния между величиной потока автомобилей (скорость x плотность) и плотностью. Эту зависимость часто называют фундаментальной диаграммой.

В последующие годы класс микро- и макромоделей был значительно расширен. В современном макроскопическом подходе (А. Эйв и М. Раскл, 2000) транспортный поток часто описывается нелинейной системой гиперболических уравнений (для плотности и скорости потока) с диффузией (Х. Пэйн, Р. Кюне, Б. Кернер и П. Конхойзер). При этом уравнение состояния входит во второе уравнение этой системы как стремление водителей двигаться с желаемой скоростью.

Несмотря на то, что с момента появления первых фундаментальных работ прошло более полувека, по мнению ряда известных специалистов в области математического моделирования дорожного движения (К. Нагель, Х. Махмасани, М. Шрекенберг и др.), проблема образования предзаторных и заторных ситуаций еще до конца не изучена (и сродни проблеме описания турбулентных течений). Используя терминологию, предложенную Б.С. Кернером, можно сказать, что на данный момент нет общепринятого подхода, описывающего поведение движения автотранспорта в области синхронизированного потока. Иначе говоря, если автомобильный поток уподобляется потоку жидкости, то наиболее сложная для моделирования ситуация - это “замерзающая жидкость”. Подтверждением вышесказанному может служить тот факт, что разные коллективы, занимающиеся моделированием транспортных потоков, как правило, используют разные модели: начиная от модели Лайтхилла - Уизема (А.Б. Куржанский и др.), заканчивая моделями, в которых каждый водитель описывается своим вариационным принципом (И.А. Лубашевский и др.). Важным атрибутом многих современных зарубежных работ, в которых предлагаются математические модели транспортного потока, является проверка предложенных моделей на возможность описания ими трех фаз Кернера транспортного потока, наблюдаемых в многочисленных эмпирических (измеренных) данных.

Из-за сильной неустойчивости решений уравнений (при достаточно больших плотностях), описывающих транспортные потоки, задача получения достоверного прогноза загрузки транспортной сети по имеющимся данным на час вперед сродни задаче получения достоверного прогноза погоды на неделю вперед. При этом вычислительные мощности современных высокопроизводительных кластеров (триллион и выше операций типа умножения чисел с плавающей точкой в секунду) позволяют просчитывать реальную ситуацию по Москве (в которой, напомним, порядка трех миллионов автомобилей) со значительным опережением реального времени. Другими словами, основной проблемой при моделировании транспортных потоков является не ограничение на вычислительные мощности (ресурсы памяти), а большая чувствительность описываемой реальной транспортной системы к входным данным (характеристикам источников и стоков автомобилей) и невозможность собрать достаточно полную информацию о входных данных.

Цель и задачи работы

Целью данной работы является обобщение макроскопических гидродинамических моделей, описывающих автомобильное движение, с помощью алгоритма построения адекватного реальным наблюдаемым условиям уравнения состояния, определяемого по экспериментальным данным (возможно, с использованием параметрических решений модельных уравнений)

Помимо достижения этой цели необходимо решение следующих задач:

1. расчет динамики транспортной системы крупного мегаполиса на основании предложенных обобщённых моделей, использования высокоточных численных методов и реализации их в виде комплекса программ;

2. всестороннее тестирование программного комплекса и его апробация на прикладных задачах;

3. разработка удобного интерфейса для представления и визуализации результатов расчетов;

4. уточнение и развитие известных математических моделей транспортных потоков и соответствующих численных методов с целью повышения их эффективности. При этом корректировке подлежит не только техническая сторона моделирования, но и общий подход к нему, а состав и структура разрабатываемого программного обеспечения должны быть детально проанализированы с целью возможности его дальнейшего развития.

Научная новизна

Для гидродинамической модели, описывающей автомобильное движение, построен алгоритм получения адекватного реальным транспортным потокам уравнения состояния, определяемого по экспериментальным данным (иногда с использованием параметрических решений модельных уравнений).

Доказано, что именно вид уравнения состояния, замыкающего систему модельных уравнений и полученного из экспериментально наблюдаемого вида фундаментальной диаграммы, _ зависимости интенсивности транспортного потока от его плотности - полностью определяет все свойства исследуемой феноменологической модели.

Построен универсальный алгоритм формирования систем уравнений граничных условий в точках ветвления графа транспортной сети (во внутренних узлах или на перекрестках) и замыкания краевых условий на всем графе транспортной сети. Полученные с учетом организации дорожного движения системы уравнений в узлах графа транспортной сети обеспечивают сквозную связь рассчитываемых переменных на всех его ребрах.

Научная и практическая ценность

На основе разработанной вычислительной модели реализованы в виде комплекса программ эффективные высокоточные численные алгоритмы решения задач моделирования динамики транспортных потоков для транспортных сетей мегаполисов.

Проверена работоспособность программного комплекса на реальных дорожных данных. В качестве примера транспортной сети использовалась одна из наиболее загруженных магистралей США _ автострада I-80 в районе залива Сан-Франциско. Для этого выбирался день, когда по данным системы PeMS (www.openstreetmap.org) количество неисправных датчиков было минимальным, а качество измерений, соответственно, наилучшим. Полученные результаты показали, что разработанная модель хорошо воспроизводит реальную ситуацию на дороге.

На основе разработанного комплекса программ впервые выполнены численные расчеты динамики транспортных потоков города Москвы внутри графа Садового кольца, при изменении организации движения транспорта по Садовому кольцу с двухстороннего на одностороннее _ против часовой стрелки. Проведенные расчеты показали, что наблюдается эффект увеличения пропускной способности транспортной сети внутри графа Садового кольца на 30%.

Апробация работы

Результаты работы докладывались, обсуждались и получили одобрение специалистов на следующих научных конференциях:

· 50-ая и 51-я научные конференции МФТИ. Москва-Долгопрудный, 2007, 2008 г.г.

· XV Конференция «Математика. Компьютер. Образование». Дубна, 2008 г.

· V Всероссийская межвузовская конференция молодых ученых. Санкт-Петербург, 2008 г.

· EUROEM - 2008, European Electromagnetics, EPFL. Lausanne, Switzerland, 2008.

· Traffic and Granular Flow '11. Москва, 2011.

Публикации

По теме диссертации автором опубликовано шесть работ, три из которых [4,5,6] - в изданиях из списка, рекомендованного ВАК РФ.

Личный вклад автора.

Все научные результаты, вынесенные на защиту, получены лично автором.

Постановка задачи, результаты расчетов и результаты обсуждались с Холодовым. Я.А.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованных источников. Объем диссертации составляет 115 страниц, список использованных источников включает 90 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность исследуемых проблем, сформулированы цели и задачи диссертационной работы. Описаны научная новизна, научная и практическая значимость, апробация работы.

В главе 1 приводятся основные (как с исторической точки зрения, так и с точки зрения возможных приложений) макроскопические модели транспортных потоков. Основное внимание уделяется гидродинамическим аналогиям. Транспортный поток уподобляется сжимаемой жидкости с мотивацией, которая присутствует, например, в уравнении состояния транспортного потока (зависимости скорости потока от плотности). Ключевым понятием этого раздела является обобщенное решение начальной задачи Коши для закона сохранения, описывающего транспортный поток. При этом разрывы обобщенного решения интерпретируются как границы заторов (переход от свободного движения к заторному).

В 1955 г. была предложена, по-видимому, первая макроскопическая (гидродинамическая) модель однополосного транспортного потока, получившая впоследствии название модели Лайтхилла - Уизема (Уитема) - Ричардса (LWR), в которой поток автотранспортных средств (АТС) рассматривается как поток одномерной сжимаемой жидкости (часто эту модель называют моделью Лайтхилла _ Уизема).

В модели LWR предполагается, что

1) существует взаимно однозначная зависимость (уравнение состояния) между скоростью и плотностью (погонной) потока;

2) выполняется “закон сохранения массы” (количества АТС).

Один из способов определения зависимости был предложен в 1963 г. Танака и др. Рассматривается однополосный поток АТС. Пусть скорость АТС не может превышать . Плотность

,

Где

транспортный мегаполис численный программный

,

есть среднее (безопасное) расстояние между АТС при заданной скорости движения потока, - средняя длина АТС, - время, характеризующее реакцию водителей, - коэффициент пропорциональности тормозному пути.

Следующим шагом (упомянутым еще в 1955 г., и окончательно предложенным в 1974 г. Дж. Уиземом) был учет “дальнозоркости” водителей:

.

Откуда с учётом закона сохранения количества АТС:

получим уравнение типа Бюргерса (закон сохранения с нелинейной дивергентной диффузией):

.

Появившиеся в правых частях новые диффузионные слагаемые соответствуют тому, что водители снижают скорость при увеличении плотности потока АТС впереди и увеличивают при уменьшении.

Следующим важным шагом стали модель Пэйна (1971), модель Пэйна - Уизема (см. п. 1.3). Эту модель можно понимать как закон сохранения

,

в котором уже не предполагается зависимость скорости от плотности (уже не предполагается, что желаемая скорость устанавливается мгновенно). Для скорости выписывается уравнение

стремления реальной скорости к желаемой скорости

,

причём (меньше 1 сек.) характеризует скорость стремления. В электротехнической терминологии - время релаксации; если же уподоблять транспортный поток сжимаемой неньютоновской (максвелловской) жидкости, то параметр характереризует максвелловское затухание.

Учитывая недостатки гидродинамической модели Пэйна-Уизема, Эйв и Раскл (Aw-Rascle) разработали новую модель, исходя из следующих принципов:

1. Система должна быть гиперболической.

2. При решении задачи Римана с произвольными неотрицательными граничными условиями значения скорости и плотности в результате расчета остаются неотрицательными и ограниченными сверху.

3. При решении задачи Римана с произвольными данными собственные значения не превосходят скорости потока. Это означает, что машины, едущие сзади, не могут воздействовать на едущих впереди (анизотропия транспортного потока).

4. Решение задачи Римана должно качественно согласовываться с тем, что каждый водитель наблюдает каждый день. А именно, торможение вызывает волны сжатия, скорости которых могут быть как отрицательными, так и неотрицательными, в то время как ускорение вызывает волны разрежения. При этом по-прежнему должно выполняться третье условие.

5. Решение задачи Римана должно быть чувствительно к начальным данным в случае малой плотности. Другими словами, при не должно быть непрерывной зависимости решения от начальных данных.

Исходя из этих предположений, для описываемой системы были заданы следующие уравнения:

Вв 2002-м Чзан (Zhang) году предложил свой вариант второго уравнения гидродинамической системы уравнений для транспортного потока:

, где .

Сиебель и Маузер (Siebel-Mauser) рассматривали модификацию модели Эйв-Раскла-Гринберга (Aw-Rascle-Grinberg), в свою очередь получающеюся дополнением модели Эйв-Раскла правой частью:

Отметим также, что большое количество исследований сосредотачивается на изучении транспортного потока на отдельном прямолинейном участке транспортной сети с простейшими начально-краевыми условиями, в то время как причиной заторов (согласно К. Даганзо) часто являются «узкие места» (перекрестки, въезды). Поэтому особенно важно (для приложений) создать целостную модель транспортных потоков, адекватную имеющимся данным, включающую в себя описание источников, стоков АТС и поведение АТС в вершинах графа транспортной сети (перекрестки, въезды, съезды и т.п.).

Глава 2 посвящена исследованию сетевой модели интенсивного дорожного движения в мегаполисе. Для макромоделирования автомобильного движения используются различные математические модели, в том числе основанные на дифференциальных уравнениях в частных производных, в частности, гидродинамические модели, аналогичные уравнениям течения сжимаемой многокомпонентной жидкости с мотивацией, о чем подробно говорилось выше в первой главе. Рассматривается разработанная в диссертации вычислительная математическая модель интенсивного уличного движения в мегаполисе, основанная на решении соответствующих краевых задач для уравнений в частных производных гиперболического типа. За основу берется гидродинамическая модель, являющаяся обобщением модели Пэйна на случай произвольного уравнения состояния , замыкающего систему уравнений, записанную в дивергентной форме. Уличная сеть мегаполиса представлена в виде перекрестков _ узлов графа транспортной сети с номерами, связанных между собой ребрами _ автодорогами.

Гиперболическая система уравнений, описывающая автомобильное движение на ребре графа транспортной сети, представляет собой дифференциальные законы сохранения (изменения) «массы» и «импульса» на автодорогах (по аналогии с гидродинамикой), записанные в дивергентной форме. Как уже говорилось выше, за основу берется гидродинамическая модель, являющаяся обобщением модели Пэйна на случай произвольного уравнения состояния , замыкающего систему уравнений:

.

Здесь

есть замыкающее систему уравнение состояния (зависимость давления от плотности), _ возможные источники или стоки «массы» (въезжающие на дорогу автомобили из не учитываемых явно элементов уличной сети, останавливающиеся или начинающие движение автомобили и т.п.), учитывает импульс сил, действующих на систему.

Далее проводилось обобщение гидродинамических моделей движения АТС, описанных в главе 1, с помощью алгоритма построения адекватного реальным транспортным потокам уравнения состояния, определяемого по экспериментальным данным (иногда с использованием параметрических решений модельных уравнений).

Исследовался вид уравнения состояния , полученного из экспериментально наблюдаемого вида фундаментальной диаграммы и замыкающего систему модельных уравнений, и доказывалось, что им полностью определяются все свойства данной феноменологической модели.

Разработан алгоритм формирования систем уравнений граничных условий в точках ветвления графа транспортной сети (во внутренних узлах или на перекрестках) для замыкания краевых условий на всем графе транспортной сети.

Число граничных условий на свободных концах ветвей графа дорожной сети зависит от знаков собственных чисел матрицы Якоби исследуемой системы уравнений. Их количество на входах может быть равным двум при положительных , что полностью определяет параметры такого узла, одному при или нулю при отрицательных . На выходах их число может быть равным нулю при положительных , единице при или двум при отрицательных .

В соответствии с этим, на входах-выходах из дорожной сети в качестве граничных условий могут быть заданы как функции времени значения интенсивности потока автомобилей или величина плотности потока (при ), для расчета таких узлов в качестве второго уравнения привлекается одно из условий совместности вдоль идущих внутрь области интегрирования характеристик. Если необходимо задавать два граничных условия обе эти переменные задаются одновременно. Также возможна ситуация, когда граничные узлы рассчитываются через значения во внутренних точках дороги, тогда задавать граничные условия не требуется. На выходах иногда используют неотражающие граничные условия _ нулевые производные:

,

что, вообще говоря, является корректным лишь при положительных .

Помимо граничных условий для исходной системы уравнений необходимо задать также некоторые начальные условия:

В точках ветвления графа (во внутренних узлах или на перекрестках) необходимо также учитывать, что постановка граничных условий существенно зависит от организации движения (учитывается ли многополосное движение на дороге или рассматривается осредненное по направлению движение, учитывается ли наличие светофоров или рассматриваются более длительные временные масштабы и т.д.).

В главе 3 приводится программный комплекс, структурная схема организации работы и взаимодействия модулей которогопредставлена на рис. 1.

Рис. 1. Структура программного комплекса для моделирования дорожного движения.

Глава 4 посвящена численной реализация модели и описанию результатов расчётов. Трудность реализации предлагаемой модели связана, прежде всего, со сложной структурой графа уличной сети, значительной неопределенностью определяющих параметров, констант “уравнения состояния” и процессов регулирования (многопараметричность задач), поэтому полномасштабная их реализация требует значительных вычислительных ресурсов и усилий по идентификации определяющих параметров (“калибровка модели”). Структура искомого решения в таких системах может иметь очень сложный характер из-за взаимодействия многочисленных волн разгона - торможения друг с другом и с узлами графа, в том числе иметь разрывный характер. Это требует специальных исследований и предъявляет очень жесткие требования к выбору численных методов, пригодных для решения данного класса задач.

Исследуемая математическая модель была реализована в виде комплекса программ, представленного в главе 3, с использованием высокоточных численных методов и алгоритмов и протестирована на ряде задач.

Определяющими функционирование описанной выше динамической модели уличного движения параметрами, прежде всего, являются характеристики графа уличной сети и уравнения состояния . Для оценки влияния неопределенности на их выбор (по имеющимся в литературе экспериментальным данным) были проведены тестовые расчеты автомобильного движения. Они примерно соответствовали условиям натурных измерений. Использовались уравнения состояния, полученные на основании опубликованных ранее экспериментальных данных. По представленным в этих работах данным на входе (без учета участников движения с поперечных автодорог) были проведены расчеты и получены результаты, качественно сопоставимые с экспериментальными данными на выходном измерительном пункте, представленные на рис. 2.

Была проведена проверка работоспособности исследуемой модели на реальных дорожных данных. В качестве примера транспортной сети использовалась одна из наиболее загруженных магистралей США _ автострадау I-80 в районе залива Сан-Франциско. Чтобы проверить правильность работы исследуемой модели, выбирался день, когда по данным системы PeMS (http://pems.eecs.berkeley.edu) количество неисправных датчиков было минимальным, а качество измерений, соответственно, наилучшим. Примером такого дня может служить суббота, 9 мая 2009 года, как прототип среднестатистической субботы на западном направлении автострады I-80. В том, что исследуемая модель хорошо воспроизводит реальную ситуацию на дороге, имевшую место 9-го мая 2009 года, можно убедиться, глядя на сравнительные графики зависимости средней по количеству полос интенсивности транспортного потока от времени (в АТС/км) для измерений и расчетов, где значения берутся с интервалом в 5 минут, приведённые на рис. 2.

Рис. 2. Синими точками показаны зависимости интенсивности транспортного потока от его плотности, полученные в различные моменты времени. Красными точками показаны те же зависимости для участка дороги, на котором реализуется свободный («сверхзвуковой») поток. Черные линии _ характеристики первого семейства, фиолетовые линии - ударные адиабаты.

Рис. 3. Сравнительные графики зависимости средней по количеству полос интенсивности транспортного потока от времени (АТС/км) для измерений (красные крестики) и расчетов (голубая кривая).

Также для проверки работоспособности разработанной вычислительной модели на разветвленной транспортной сети были сделаны численные расчеты поведения транспортной системы города Москвы внутри графа Садового кольца имеющего 105 узлов и 212 ребер. В начальный момент времени на входах на Садовое кольцо задавались постоянные значения потоков, полученные из данных экспериментальных замеров, сделанных в 2005 г. в центральной части г. Москвы, на выходах задавались неотражающие граничные условия. В результате расчетов были получены стационарные распределения потоков и скоростей движения автомобилей за трехчасовой интервал с момента начала движения. Затем граф данной транспортной системы перестраивался так, чтобы движение по Садовому кольцу становилось односторонним _ против часовой стрелки, и расчет проводился заново, стартуя с аналогичных исходных данных по значениям транспортных потоков на входах в транспортную сеть. В результате был получен эффект увеличения пропускной способности транспортной сети на 30%, что может быть вполне объяснимо, если исходить из того, что ширина дорог выросла в два раза при том, что средний пробег между любыми двумя точками увеличился меньше, чем вдвое, из-за хорошей связности графа транспортной сети внутри Садового кольца. Результаты рассчитанных значений потоков [АТС/с] приведены на рис. 4.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 4. Результаты рассчитанных значений потоков [АТС/с] на Садовом кольце г. Москвы: слева _ для двустороннего движения; справа _ для одностороннего.

В заключении приведены основные результаты работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Проведено обобщение макроскопических гидродинамических моделей, описывающих автомобильное движение, с помощью алгоритма построения адекватного действительности уравнения состояния, определяемого по экспериментальным измерениям (возможно, с использованием параметрических решений модельных уравнений).

2. Доказано, что именно вид уравнения состояния, замыкающего систему модельных уравнений и полученного из экспериментально наблюдаемого вида фундаментальной диаграммы _ зависимости интенсивности транспортного потока от его плотности, полностью определяет все свойства исследуемой феноменологической модели.

3. Построен универсальный алгоритм формирования систем уравнений, необходимых для постановки граничных условий и замыкания краевых условий на всем графе транспортной сети в точках ветвления графа транспортной сети (во внутренних узлах или на перекрестках). Полученные с учетом организации дорожного движения системы уравнений в узлах графа транспортной сети обеспечивают сквозную связь рассчитываемых переменных на всех его ребрах.

4. На основе разработанной вычислительной модели реализованы в виде комплекса программ эффективные высокоточные численные алгоритмы решения задач моделирования динамики транспортных потоков для транспортных сетей мегаполисов.

5. Проверена работоспособность комплекса программ на реальных дорожных данных. В качестве примера транспортной сети использовалась одна из наиболее загруженных магистралей США _ автострада I-80 в районе залива Сан-Франциско. Полученные результаты показали, что разработанная модель хорошо воспроизводит реальную ситуацию на дороге.

6. С использованием разработанного программного комплекса впервые выполнены численные расчеты поведения транспортной системы города Москвы внутри графа Садового кольца при изменении организации движения по Садовому кольцу с двухстороннего на одностороннее _ против часовой стрелки.

Дальнейшее развитие данной работы подразумевает решение задач оптимизации и управления транспортными потоками через адаптивное регулирование светофоров, расположенных в узлах графа исследуемой транспортной сети.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Морозов И.И. Моделирование электрических энергосетей, поиск установившегося режима, определение управляющих воздействий // Труды 50-й научной конференции МФТИ, Часть VII, Том 2 / МФТИ - М.-Долгопрудный, 2007,- С. 135-136.

2. Морозов И.И. Холодов Я.А. Моделирование режимов глобальных электрических сетей // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО.- Санкт-Петербург, 2008,- № 47,- С. 170-178.

3. Морозов И.И., Холодов Я.А. Моделирование динамики транспортных потоков // Труды 51-й научной конференции МФТИ, Часть VII, Том 2 / МФТИ - М.-Долгопрудный, 2008,- С. 128-129.

4. А.К. Бордонос, Я.А. Холодов, А.С. Холодов, И.И. Морозов. Численное моделирование глобальных энергетических сетей. // Математическое моделирование.- 2009, Т 21, № 6,- С. 3-16.

5. И.И. Морозов, Я.А. Холодов, Д.А. Крылов, О.В. Геллер. Моделирование режимов глобальных электроэнергетических систем // Труды МФТИ.- 2010,- Т. 2. № 3(7)-. С. 46-52.

6. Я.А. Холодов, А.С. Холодов, А.В. Гасников, И.И. Морозов, В.Н. Тарасов. Моделирование транспортных потоков - актуальные проблемы и перспективы их решения // Труды МФТИ,- 2010- Т. 2. № 4(8).- C. 64-74.