Равновесные решения дифференциальных уравнений движения ограниченной задачи четырёх тел и их устойчивость

Размещено на http://www.allbest.ru/

Белорусский государственный университет

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Равновесные решения дифференциальных уравнений движения ограниченной задачи четырёх тел и их устойчивость

Будько Дмитрий Александрович

Минск, 2012

Работа выполнена в учреждении образования «Брестский государственный университет имени А.С. Пушкина».

Научный руководитель - Прокопеня Александр Николаевич, кандидат физико-математических наук, доцент, профессор кафедры физики учреждения образования «Брестский государственный технический университет».

Официальные оппоненты:

Лаптинский Валерий Николаевич, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник государственного научного учреждения «Институт технологии металлов НАН Беларуси»;

Соболевский Станислав Леонидович, доктор физико-математических наук, доцент, директор государственного учреждения образования «Институт непрерывного образования Белорусского государственного университета».

Оппонирующая организация - учреждение образования «Гродненский государственный университет имени Янки Купалы»

Учёный секретарь совета по защите диссертаций доктор физико-математических наук, профессор Н.В. Лазакович

Краткое введение

лагранж уравнение равновесный

Задача многих тел была сформулирована И. Ньютоном для изучения строения и эволюции Солнечной системы и описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений, записанной на основе принципа Гамильтона и закона всемирного тяготения. Известно, что общее решение этой системы до сих пор найти не удалось и, по-видимому, уравнения движения в задаче многих тел не могут быть проинтегрированы в конечном виде. В этой связи представляет интерес поиск точных частных решений уравнений движения и исследование их устойчивости.

Как известно, ещё в XVIII в. Эйлером и Лагранжем были найдены точные частные решения задачи трёх тел, определяющие движение тел по круговым орбитам вокруг центра масс системы. При этом в случае Лагранжа три тела в любой момент времени образуют равносторонний треугольник, известный в литературе как треугольник Лагранжа, и при некоторых значениях масс тел такая конфигурация является устойчивой. Заметим, что конфигурации, близкие к треугольнику Лагранжа, реализуются даже в Солнечной системе. Например, группа астероидов, называемых Троянцами, образует равносторонний треугольник вместе с Солнцем и Юпитером. К настоящему времени исследователи обнаружили «троянцев» не только вблизи треугольных точек либрации Солнца и Юпитера, но и в соответствующих окрестностях Марса и Нептуна. Поскольку массы астероидов различны, можно выделить наиболее массивный астероид и считать, что именно он, например, вместе с Солнцем и Юпитером образует треугольную конфигурацию. Пренебрегая массами остальных астероидов, можно считать, что они не влияют на движение трёх массивных тел и движутся в гравитационном поле, генерируемым этими тремя телами. Тогда проблема состоит в том, чтобы исследовать движение одного из «безмассовых» астероидов. Такая ограниченная задача четырёх тел является обобщением знаменитой ограниченной круговой задачи трёх тел и может использоваться в качестве простейшей модели, позволяющей исследовать устойчивость Троянской группы астероидов, что представляет большой интерес для приложений в небесной механике. При этом проводимый в диссертации анализ устойчивости по Ляпунову равновесных решений дифференциальных уравнений движения ограниченной задачи четырёх тел способствует построению теории движения астероидов в окрестности треугольных точек Лагранжа, что также обуславливает практическую значимость работы.

Исследование устойчивости по Ляпунову решений систем дифференциальных уравнений небесной механики является одной из сложнейших проблем качественной теории дифференциальных уравнений по той причине, что эти уравнения могут быть записаны в гамильтоновой форме. Устойчивость решений гамильтоновых систем относится к критическому случаю по Ляпунову и никогда не может быть асимптотической. Более того, первый и второй методы Ляпунова не могут быть применены, и проблему устойчивости следует решать в строгой нелинейной постановке на основании теорем КАМ-теории (теория условно-периодических решений на многомерных торах).

При этом проблема устойчивости решений представляется особенно важной, поскольку в окрестности устойчивых положений равновесия могут существовать периодические решения уравнений движения, нахождение которых способствует решению общей задачи многих тел. По этой причине задачи, рассматриваемые в диссертации, являются весьма актуальными.

1. Общая характеристика работы

Связь с крупными научными программами (проектами) и темами

Исследования проводились на кафедре математического анализа и дифференциальных уравнений математического факультета учреждения образования «Брестский государственный университет имени А.С. Пушкина» в соответствии с заданиями научных программ, выполнявшихся в рамках:

- кафедральной научной темы «Дифференциальные уравнения и космическая динамика»;

- научной темы «Компьютерное моделирование нелинейных динамических систем», зарегистрированной в Государственном реестре НИОКР (№ госрегистрации 20100498, дата регистрации 06.04.2010).

Тема диссертации соответствует приоритетному направлению фундаментальных научных исследований Республики Беларусь на 2006 - 2010 годы «Математическое и физическое моделирование систем, структур и процессов в природе и обществе, информационные технологии, создание современной информационной структуры», раздел 6.1 «Математические модели и их применение к анализу систем и процессов в природе и обществе».

Цель и задачи исследования

Целью диссертационной работы является поиск равновесных решений круговой ограниченной задачи четырёх тел, сформулированной на основе треугольных решений Лагранжа, и анализ их устойчивости в смысле Ляпунова. Цель исследования обусловила постановку следующих задач исследования:

- получить дифференциальные уравнения движения ограниченной задачи четырёх тел; вывести функциональные уравнения, определяющие равновесные конфигурации; разработать и реализовать алгоритмы поиска точных частных решений ограниченной задачи четырёх тел; найти области существования равновесных решений и определить их количество в ограниченной задаче четырёх тел;

- выделить области линейной устойчивости равновесных решений на плоскости параметров системы; построить границы таких областей и доказать теоремы об устойчивости в первом приближении и неустойчивости в смысле Ляпунова равновесных решений плоской круговой ограниченной задачи четырёх тел;

- построить цепочку канонических преобразований Биркгофа, нормализующую функцию Гамильтона системы в окрестности положения равновесия плоской круговой ограниченной задачи четырёх тел с точностью до шестого порядка включительно по возмущениям; сформулировать и доказать теоремы об устойчивости в смысле Ляпунова или неустойчивости равновесных решений;

- построить нормализующее преобразование членов гамильтониана в пространственной ограниченной задаче четырёх тел; получить необходимые и достаточные условия устойчивости для большинства начальных условий равновесных решений пространственной ограниченной задачи четырёх тел.

Объект исследования - системы многих тел, динамика которых определяется законами и постулатами классической механики.

Предмет исследования - системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих динамику естественных и искусственных космических объектов.

Положения, выносимые на защиту

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Найдены области существования равновесных решений на орбитальной плоскости и определено их количество в ограниченной задаче четырёх тел.

2. Выделены области линейной устойчивости равновесных решений на плоскости параметров системы; построены границы таких областей и доказаны теоремы об устойчивости в первом приближении и неустойчивости в смысле Ляпунова равновесных решений плоской круговой ограниченной задачи четырёх тел.

3. Получено выражение для нормальной формы функции Гамильтона системы в окрестности положения равновесия плоской круговой ограниченной задачи четырёх тел с точностью до шестого порядка включительно по возмущениям. Доказаны теоремы об устойчивости в смысле Ляпунова или неустойчивости равновесных решений.

4. Получены необходимые и достаточные условия устойчивости для большинства начальных условий равновесных решений пространственной ограниченной круговой задачи четырёх тел.

Личный вклад соискателя

Все основные результаты, приведенные в диссертации и выносимые на защиту, получены автором лично. Роль научного руководителя А.Н. Прокопени состояла в постановке задач, рассматриваемых в работе, и анализе полученных соискателем результатов. В совместных работах научный руководитель формулировал цели и задачи исследования, а также принял участие в выборе методов и обсуждении полученных результатов.

Апробация результатов диссертации

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на:

- международной математической конференции «Еругинские чтения - XI» (Гомель, 2006);

- международной конференции «Conference of young scientists Computer algebra in scientific computing » (CYS CASC'2006) (Кишинёв, Молдова, 2006);

- международной конференции «Computer algebra systems in teaching and research», CASTR (Седльце, РП) (2007, 2009, 2011);

- международной конференции «Mathematical Modelling and Analysis» (MMA, 2007) (Тракай, Литва, 2007);

- международной конференции «Актуальные проблемы математики и компьютерного моделирования» (APMCM 2007) (Гродно, 2007);

- республиканской конференции «Современные проблемы математики и вычислительной техники» (Брест, 2007, 2009);

- республиканской научно-методической конференции молодых учёных (Брест, 2008, 2009, 2010, 2011);

- международной математической конференции «Математическое моделирование и дифференциальные уравнения» (Минск, 2009);

- международной конференции «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений» (AMADE 2011) (Минск, 2011);

- международной конференции «Computer Algebra in Scientific Computing» (CASC 2011) (Кассель, Германия, 2011);

- международной конференции «7^th International Symposium on Classical and Celestial Mechanics» (CCMECH'2011) (Сельце, РП, 2011);

- научном семинаре «Функциональный анализ и его приложения» (научные руководители - профессор, доктор физ.-мат. наук А.Б. Антоневич, профессор, доктор физ.-мат. наук П.П. Забрейко и член-корреспондент НАН РБ, профессор, доктор физ.-мат. наук Я.В. Радыно) (Минск, 2010, 2011).

Опубликованность результатов диссертации

Основные результаты диссертации опубликованы в 26 научных работах, из которых 6 - статьи, соответствующие пункту 18 Положения о присуждении ученых степеней и присвоении ученых званий в Республике Беларусь (общим объёмом 5,1 авторского листа), 1 статья в журнале «Вестник БрГТУ» Серия «Физика, математика, информатика», 2 статьи сборниках научных трудов, 8 статей в сборниках материалов научных конференций, 9 тезисов докладов научных конференций.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, трёх глав, заключения, библиографического списка и двух приложений. Первая глава содержит аналитический обзор литературы по теме диссертации и описание объекта и методов исследования. Основные результаты приводятся во второй и третьей главах. Полный объём диссертации составляет 124 страницы, в том числе 20 рисунков занимают 8 страниц, 2 приложения - 31 страницу. Библиографический список состоит из 99 наименований, включая публикации соискателя.

2. Основное содержание работы

Первая глава содержит аналитический обзор литературы по теме исследования, в котором на основе проведённого анализа литературных источников формулируются цель и основные задачи диссертационной работы. Также в этой главе описаны объект и методы исследования.

В диссертации рассмотрена математическая модель - круговая ограниченная задача четырёх тел, сформулированная на основе треугольных решений Лагранжа задачи трёх тел. В рамках этой модели три тела , обладающие массами , движутся по круговым орбитам вокруг общего центра масс системы, образуя равносторонний треугольник в любой момент времени. Треугольник вращается равномерно вокруг своей оси, проходящей через центр масс системы перпендикулярно к его плоскости. Во второй и третьей главах исследуется движение четвёртого тела пренебрежимо малой массы в гравитационном поле, создаваемом тремя телами в предположении, что все тела движутся в одной плоскости. Этот случай соответствует постановке плоской круговой ограниченной задачи четырёх тел. В последнем параграфе третьей главы предполагается, что на четвёртое тело в начальный момент времени действуют не только плоские возмущения, но и возмущения, выводящие его из орбитальной плоскости тел . Этой постановке соответствует пространственная ограниченная круговая задача четырёх тел.

Физическим объектом исследования является система четырёх материальных точек, взаимодействующих друг с другом в соответствии с законом всемирного тяготения Ньютона, описанная выше. Соответствующая ей автономная гамильтонова система нелинейных дифференциальных уравнений и их равновесные решения представляют собой предмет исследования. При анализе равновесных решений в диссертации использовались классические методы качественной теории дифференциальных уравнений, фундаментальные результаты теории устойчивости Ляпунова и теории условно-периодических решений на многомерных торах (КАМ-теории). В частности, применялись теорема Арнольда-Мозера и теоремы А.П. Маркеева для доказательства устойчивости или неустойчивости равновесных решений для автономных гамильтоновых систем дифференциальных уравнений, обладающих двумя степенями свободы.

Вторая глава состоит из двух разделов. В разделе 2.1 получены дифференциальные уравнения движения ограниченной задачи четырёх тел; выведены функциональные уравнения, определяющие равновесные конфигурации на орбитальной плоскости

(1)

,

где определяются формулами и .

Разработаны и реализованы алгоритмы поиска точных частных решений ограниченной задачи четырёх тел [2]; найдены области существования равновесных решений на орбитальной плоскости и определено их количество в ограниченной задаче четырёх тел. Основные результаты данного раздела приведены в виде теорем 2.1 и 2.2.

Теорема 2.1. (Необходимые условия существования решения).

Точка является положением равновесия в ограниченной задаче четырёх тел, сформулированной на основе треугольных решений Лагранжа только в том случае, если она принадлежит одной из областей, определяемых неравенствами

(2)

Теорема 2.2 Ограниченная задача четырёх тел, сформулированная на основе треугольных решений Лагранжа, имеет ровно восемь равновесных решений при достаточно малых значениях параметров .

Доказательство утверждения теоремы 2.2 получено, используя геометрическую интерпретацию решений системы, а также с помощью представления решений системы в виде степенных рядов, разложенных по одному из малых параметров, например, по .

В разделе 2.2 проведён полный анализ устойчивости равновесных решений в первом приближении. В окрестности каждого найденного равновесного решения функция Гамильтона разложена в ряд Тейлора в окрестности равновесного решения по возмущениям

 (3)

Построена линеаризованная система уравнений возмущённого движения с гамильтонианом

, (4)

где коэффициенты выражены только через координаты равновесного решения и параметры .

Для такой линейной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами найдены характеристические показатели, и определено необходимое и достаточное условие устойчивости решений в первом приближении

(5)

Получена нормальная форма квадратичной части гамильтониана путём построения соответствующего вещественного канонического преобразования, и доказано, что она не является знакоопределённой. Следовательно, проблема устойчивости равновесных решений, относящаяся к критическому случаю по Ляпунову, может быть решена только в строгой нелинейной постановке на основе теорем КАМ-теории.

Выделены области линейной устойчивости равновесных решений на плоскости параметров системы; построены границы таких областей и доказаны теоремы об устойчивости в первом приближении и неустойчивости в смысле Ляпунова равновесных решений плоской круговой ограниченной задачи четырёх тел.

Доказано, что все равновесные решения , принадлежащие области являются неустойчивыми по Ляпунову. Пять положений равновесия являются неустойчивыми в смысле Ляпунова при любых значениях параметров из области, определяемой неравенством . Остальные три положения равновесия являются устойчивыми в первом приближении при малых значениях параметров из областей, указанных на соответствующих рисунках в диссертации.

Также в конце второй главы определены все резонансные соотношения до шестого порядка включительно, которые имеют место в рассматриваемой ограниченной задаче четырёх тел. На плоскости параметров системы построены кривые, в точках которых выполняются соответствующие резонансные соотношения для всех равновесных решений.

В третьей главе исследована устойчивость по Ляпунову равновесных решений плоской круговой ограниченной задачи четырёх тел в строгой нелинейной постановке на основе теорем КАМ-теории. Получено выражение для нормальной формы функции Гамильтона системы в окрестности положения равновесия плоской круговой ограниченной задачи четырёх тел с точностью до шестого порядка включительно по возмущениям. Для этого построена цепочка канонических преобразований, приводящих функцию Гамильтона к форме, допускающей применение теорем, которые приведены в первой главе.

В разделе 3.1 исследована устойчивость по Ляпунову положений равновесия при наличии резонанса третьего порядка , построено каноническое преобразование, нормализующее форму третьего порядка гамильтониана, и доказана теорема о неустойчивости положений равновесия на основе теоремы А.П. Маркеева. При условии на устойчивость влияют члены порядка выше третьего, поэтому следующим шагом является нормализация гамильтониана членов четвёртого порядка. В разделе 3.2 получено выражение для нормальной формы гамильтониана

.

Данное выражение позволяет применить известную теорему Арнольда-Мозера, которая гарантирует устойчивость по Ляпунову положений равновесия при отсутствии резонансов до четвёртого порядка включительно, а также при . Поэтому отдельно рассмотрен случай, когда выполняется резонансное соотношение четвёртого порядка . В этом случае нормальная форма гамильтониана имеет вид

,

и устойчивость или неустойчивость положений равновесия доказана в диссертации с помощью теоремы А.П. Маркеева.

В разделе 3.3 проведено исследование устойчивости положений равновесия при условии . В этом случае на устойчивость системы влияют члены разложения гамильтониана пятого и шестого порядков. Отметим, что выполняемые процедуры нормализации функции Гамильтона сопровождаются чрезвычайно громоздкими аналитическими преобразованиями. Доказаны теоремы об устойчивости в смысле Ляпунова равновесных решений плоской ограниченной задачи четырёх тел, сформулированной на основе треугольных решений Лагранжа при условии .

Основные результаты разделов 3.1, 3.2, 3.3 представлены в виде итоговой теоремы.

Теорема 3.3. Положение равновесия ограниченной круговой задачи четырёх тел, сформулированной на основе треугольных решений Лагранжа является устойчивым в смысле Ляпунова для всех значений параметров из области линейной устойчивости, кроме точек, принадлежащих резонансным кривым , , а также, ещё двух точек пересечения кривой с резонансными кривыми пятого и шестого порядков (,). Положение равновесия является устойчивым в смысле Ляпунова для всех значений параметров из области линейной устойчивости, кроме точек, принадлежащих резонансной кривой и кривой , если .

В разделе 3.4 третьей главы рассмотрена пространственная круговая ограниченная задача четырёх тел, сформулированная на основе треугольных решений Лагранжа. Так как к настоящему времени для автономных гамильтоновых систем с тремя степенями свободы нет теорем об устойчивости положений равновесия по Ляпунову, аналогичных теореме Арнольда-Мозера для систем с двумя степенями свободы, то исследована их устойчивость для большинства начальных условий. Доказана следующая теорема. Теорема 3.4. Положения равновесия , пространственной круговой ограниченной задачи четырёх тел, сформулированной на основе треугольных решений Лагранжа, являются устойчивыми для большинства начальных условий для всех значений , кроме тех, которые удовлетворяют резонансам частот вида , .

Заключение

Основные научные результаты диссертации

В диссертации рассмотрена плоская и пространственная круговые ограниченные задачи четырёх тел, сформулированные на основе треугольных решений Лагранжа задачи трёх тел.

1. Получены дифференциальные уравнения движения ограниченной задачи четырёх тел в инерциальной и вращающейся системах координат. Выведены функциональные уравнения, определяющие равновесные конфигурации. Разработаны и реализованы символьно-численные алгоритмы поиска решений этих уравнений [2]. Доказаны теорема об областях существования полученных равновесных решений, теорема о количестве решений. Приведено обоснование единственности линейно устойчивых решений в соответствующих областях. Проведён полный анализ устойчивости в первом приближении. Выделены области линейной устойчивости равновесных решений на плоскости параметров системы; построены границы таких областей и доказаны теоремы об устойчивости в первом приближении и неустойчивости в смысле Ляпунова равновесных решений плоской ограниченной задачи четырёх тел [4].

2. Проведено полное исследование устойчивости равновесных решений в строгой нелинейной постановке плоской круговой ограниченной задачи четырёх тел [5]. Получено выражение для нормальной формы функции Гамильтона системы в окрестности положения равновесия плоской круговой ограниченной задачи четырёх тел с точностью до шестого порядка включительно по возмущениям. Доказаны теоремы об устойчивости в смысле Ляпунова или неустойчивости равновесных решений в случаях резонанса третьего () [1] и четвёртого () [3] порядков, а также в случае [6]. Рассмотрена пространственная круговая ограниченная задача четырёх тел, сформулированная на основе треугольных решений Лагранжа. Получены необходимые и достаточные условия устойчивости для большинства начальных условий равновесных решений пространственной ограниченной круговой задачи четырёх тел. Таким образом, исследована проблема устойчивости равновесных решений ограниченной задачи четырёх тел, сформулированной на основе треугольных решений Лагранжа [5].

Рекомендации по практическому использованию результатов

Полученные результаты имеют приложения в небесной механике при описании движения астероидов, а также при планировании траекторий искусственных спутников в космическом пространстве. Результаты исследований могут быть также использованы в гамильтоновой динамике, теории устойчивости, разделах математической и теоретической физики, связанных с нелинейными эволюционными уравнениями.

Также результаты диссертации могут использоваться в учебном процессе при чтении курсов дифференциальных уравнений, небесной механики, теории устойчивости и качественной теории динамических систем.

Список публикаций соискателя по теме диссертации

1. Будько, Д.А. Анализ устойчивости равновесных решений ограниченной задачи четырёх тел в случае резонанса третьего порядка / Д.А. Будько // Вестник Брестского университета. Серия естеств. наук. - 2009. - № 1. - С. 9-16.

2. Будько, Д.А. Символьно-численный анализ равновесных решений в ограниченной задаче четырёх тел / Д.А. Будько, А.Н. Прокопеня // Программирование. - 2010. - № 2 (36). - С. 68-75.

3. Будько, Д.А. Анализ устойчивости равновесных решений ограниченной задачи четырёх тел в случае резонанса четвёртого порядка / Д.А. Будько, А.Н. Прокопеня // Вестник БГУ. Серия 1. - 2010. - № 2. - С. 99-103.

4. Будько, Д.А. Равновесные решения и их линейная устойчивость в ограниченной задаче четырёх тел / Д.А. Будько // Вести БГПУ. Серия 3 - 2011. - № 2. - С. 11-15.

5. Budzko, D.A. On the stability of equilibrium positions in the circular restricted four-body problem / D.A. Budzko, A.N. Prokopenya // Lecture Notes in Computer Science. -Berlin, Heidelberg, 2011. - Vol. 6885: Computer Algebra in Scientific Computing 2011. - P. 88-100.

6. Будько, Д.А. Исследование устойчивости равновесных решений ограниченной задачи четырёх тел / Д.А. Будько // Вести НАН Беларуси. Серия физ.-мат. наук. - 2011. - № 4. - С. 55-59.

7. Будько, Д.А. Построение резонансных кривых для линейной гамильтоновой системы с периодическими коэффициентами / Д.А. Будько // Актуальные проблемы математики и компьютерного моделирования: сб. науч. тр. / ГрГУ им. Я. Купалы ; редкол.: Ю.М. Вувуникян [и др.]. - Гродно: ГрГУ, 2007. - С. 172-175.

8. Будько, Д.А. Квадратичная нормализация гамильтониана в ограниченной задаче четырёх тел / Д.А. Будько, Ж.А. Вейль, А.Н. Прокопеня // Вестник БрГТУ: Физика, математика, информатика. - 2009. - Т. 59, №5. - С. 82-85.

9. Budzko, D.A. Stability analysis of equilibrium solutions in planar circular restricted four-body problem/ D.A. Budzko, A.N. Prokopenya // Computer Algebra Systems in Teaching and Research. Differential Equations, Dynamical Systems and Celestial Mechanics; Eds.: L. Gadomski [and others]. - Siedlce, 2011. - P. 141-159.

10. Будько, Д.А. Об одном эффективном алгоритме вычисления границ областей неустойчивости уравнения Матье / Д.А. Будько // Дифференциальные уравнения и системы компьютерной алгебры: мат. межд. конференции "DE&CAS'2005", Брест, Беларусь, Окт. 5-8, 2005 г.: в 2ч. / Брест. гос. ун-т. - Минск, 2005. - Ч. 2. - С. 184-186.

11. Budzko, D.A. Computing the stability boundaries for the Hill's equation / D.A. Budzko // Computer algebra in scientific computing: proc. of the international conference of young scientists CYS CASC'2006, Chisinau, Moldova, Sept. 11-15 2006 / Technical university of Moldova; Eds.: E.A. Grebenikov [and others]. - Chisinau, 2006. - P. 15-20.

12. Budzko, D.A. Determination of the stability boundaries for the fourth order Hamiltonian system / D.A. Budzko // Computer Algebra Systems in Teaching and Research: proc. of the 4th International Workshop CASTR'2007, Siedlce, Poland, Jan. 31-Feb. 3, 2007 / University of Podlasie ; Eds.: L. Gadomski [and others]. - Siedlce, 2007. - P. 30-33.

13. Будько, Д.А. Об одном методе определения резонансных кривых для дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами / Д.А. Будько // Современные проблемы математики и вычислит. техники: мат. респ. науч. конф. мол. учёных и студентов, Брест, 28-30 ноября 2007 г. / БрГТУ. - Брест, 2007. - С. 147-150.

14. Budzko, D.A. Linear stability analysis of equilibrium solutions of restricted planar four-body problem / D.A. Budzko // Computer Algebra Systems in Teaching and Research: proc. of the 5th International Workshop CASTR'2009, Siedlce, Poland, 28-31 Jan. 2009 / University of Podlasie ; Eds.: L. Gadomski [and others]. - Siedlce, 2009. - P. 28-36.

15. Будько, Д.А. Нормализация систем линейных гамильтоновых уравнений / Д.А. Будько // Современные проблемы математики и вычислительной техники: мат. VI респ. науч. конф. молодых учёных и студентов, Брест, 26-28 ноября 2009 г.: в 2 ч. / БрГТУ. - Брест, 2009. - Ч. 2. - С. 116-119.

16. Будько, Д.А. Об одной ограниченной задаче четырёх тел / Д.А. Будько // ХII респ. научно-метод. конф. мол. учёных: сб. мат., Брест, 14 мая 2010 г.: в 2 ч. / М-во образования респ. Беларусь, Брест. гос. ун-т им. А.С. Пушкина; редкол.: С.А. Марзан [и др.]. - Брест, 2010. - Ч. 2 - С. 103-105.

17. Будько, Д.А. О нормализации функции Гамильтона в ограниченных задачах многих тел / Д.А. Будько // ХIII респ. научно-метод. конф. молодых учёных: сб. мат., Брест, 13 мая 2011 г.: в 2 ч. / М-во образования респ. Беларусь, Брест. гос. ун-т им. А.С. Пушкина; редкол.: В.В. Зданович [и др.]. - Брест, 2011. - Ч. 1. - С. 159-162.

18. Будько, Д.А. Исследование устойчивости уравнения Хилла численными методами / Д.А. Будько // Еругинские чтения - 2006: тез. докладов межд. матем. конф. по диф. уравнениям, Гомель, 24-26 мая 2006 г. / НАН Беларуси, Ин-т математики. - Минск, 2006. - С. 67-68.

19. Budzko, D.A. Stability analysis of linear Hamiltonian systems with periodic coefficients/ D.A. Budzko, A.N. Prokopenya // Mathematical Modelling and Analysis: abstracts of the 12th International conference MMA'2007, Trakai, Lithuania, May 30 - June 2 2007 / VGTU Press “Technika”; Eds.: R. Chiegis [and others]. - Vilnius, 2007. - P. 21.

20. Будько, Д.А. Об уравнениях возмущённого движения в ограниченной задаче четырёх тел / Д.А. Будько // Х респ. научно-метод. конф. мол. учёных: сб. тез. докл., Брест, 15-16 мая 2008 г. / БрГУ им. А.С. Пушкина. - Брест, 2008. - С. 7.

21. Будько, Д.А. Численные исследования устойчивости решений линейных гамильтоновых систем дифференциальных уравнений / Д.А. Будько, Е.А. Гребеников // «НИРС 2007»: сб. науч. работ студентов высших учебных заведений Респ. Беларусь / Белор. гос. ун-т; редкол.: А.И. Жук (пред.) [и др.]. - Минск, 2008. - С. 30.

22. Будько, Д.А. Об устойчивости равновесных решений плоской ограниченной задачи четырёх тел в случае резонанса третьего порядка / Д.А. Будько // Современные проблемы матем. моделирования и новые образовательные технологии в математике: мат. респ. науч.-практ. конф., Брест, 22-23 апр. 2009 г.: в 2 т. / БрГУ им. А.С. Пушкина; редкол.: И.Г. Кожух [и др.]. - Брест, 2009. - Т. 1. - С. 74.

23. Будько, Д.А. Об устойчивости равновесных решений плоской ограниченной задачи четырёх тел в случае резонанса четвёртого порядка / Д.А. Будько // ХI респ. научно-методическая конф. молодых учёных: сб. мат., Брест, 15 мая 2009 г.: в 2 ч. / М-во образования Респ. Беларусь, Брест. гос. ун-т имени А.С. Пушкина; редкол.: К.К. Красовский [и др.]. - Брест, 2009. - Ч. 1.- С. 6-7.

24. Будько, Д.А. Об устойчивости равновесных решений плоской ограниченной задачи четырёх тел в случае резонанса третьего порядка / Д.А. Будько, А.Н. Прокопеня // Вторая международная конференция «Математическое моделирование и дифференциальные уравнения»: тез. докладов второй межд. науч. конф., Минск, 24_28 августа 2009 г.: в 2 ч. / Институт математики НАН Беларуси. - Минск, 2009. - Ч. 2. - С. 133-134.

25. Будько, Д.А. Об устойчивости равновесных решений в ограниченной задаче четырёх тел / Д.А. Будько, А.Н. Прокопеня // Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений: тез. докл. междунар. конф. AMADE-2011, Минск, 12_17 сент. 2011 г. / НАН Беларуси, Ин-т математики; редкол.: С.В. Рогозин [и др.]. - Минск, 2011. - С. 32-33.

26. Budzko, D.A. Equilibrium Positions and Stability in the Circular Restricted Four-Body Problem / D.A. Budzko, A.N. Prokopenya // 7th International Symposium on Classical and Celestial Mechanics: book of abstracts of int. conf. CCMECH`2011, Siedlce, 23_28 Oct. 2011 / Rus. Ac. of Sciences, Dorodnitsyn Computing Centre of RAS, Lomonosov Moscow State University, Moscow State Aviation Institution, Collegium Mazovia in Siedlce; Eds.: V.V. Rumiantsev [and others]. - Siedlce, 2011. - P. 18-19.

Размещено на Allbest.ru