Системы дифференциальных уравнений с обобщенными коэффициентами в прямом произведении алгебр мнемофункций

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Системы дифференциальных уравнений с обобщенными коэффициентами в прямом произведении алгебр мнемофункций

КРАТКОЕ ВВЕДЕНИЕ

уравнение коши алгебра мнемофункция

В настоящей диссертационной работе исследуются системы дифференциальных уравнений с обобщенными коэффициентами.

Как правило, такие системы содержат произведение недостаточно гладкой функции на обобщенную функцию. При решении подобных систем, возникает необходимость корректного определения указанного произведения, поскольку получаемое решение существенно зависит от используемого способа определения произведения. П. Антосиком, П.К. Дасом, С.Т. Завалищиным, Я. Курцвейлем, Я. Микусинским, А.Н. Сесекиным и др. были предложены различные трактовки произведения недостаточно гладкой функции на обобщенную функцию, при этом все подходы приводят к различным решениям.

В том случае, когда правая часть системы представляет собой разрывную функцию, исходную задачу приходится рассматривать в рамках теории дифференциальных включений. Здесь возникают проблемы, связанные с продолжением решения или с тем, что получаемое естественным образом решение не удовлетворяет исходной системе уравнений. Развитием данной теории занимались М.А. Айзерман, Ю.И. Алимов, Е.А. Барбашин, С.К. Зарембо, А.А. Леваков, А.А. Толстоногов, А.Ф. Филиппов и др.

В настоящее время одно из направлений исследования дифференциальных уравнений с обобщенными коэффициентами предполагает их изучение в рамках теории алгебр новых обобщенных функций или мнемофункций. Данная теория, предложенная Ж. Коломбо, получила развитие в работах Ю.В. Егорова, Н.В. Лазаковича, М. Обергуггенбергера, Э. Розингера и др. Общий метод построения таких алгебр и термин "мнемофункция", были предложены А.Б. Антоневичем и Я.В. Радыно.

Дифференциальные уравнения с обобщенными коэффициентами в алгебре мнемофункций исследовали Н.В. Бедюк, В.В. Грушевский, А.Н. Ковальчук, В.Г. Новохрост, Е.Б. Розин, О.Л. Яблонский и др.

В настоящей диссертационной работе исследуются системы дифференциальных уравнений с обобщенными коэффициентами и впервые системы дифференциальных включений с обобщенной правой частью в прямом произведении алгебр мнемофункций.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Связь работы с крупными научными программами и темами

Исследования проводились на кафедре функционального анализа Белорусского государственного университета в рамках государственной программы фундаментальных исследований «Исследование математических моделей и их применение к анализу систем, структур и процессов в природе и обществе» по теме № ГР20063401 «Дифференциально-операторные модели на тополого-алгебраических и неархимедовых структурах», 2006 - 2010.

Цель и задачи исследования

Целью диссертационной работы является описание ассоциированных решений систем дифференциальных уравнений с обобщенными коэффициентами в прямом произведении алгебр мнемофункций. Основные задачи исследования:

1. Описать все ассоциированные решения задачи Коши для систем уравнений в дифференциалах в прямом произведении алгебр мнемофункций, соответствующих системам дифференциальных уравнений с правой частью, содержащей произведение липшицевых функций и обобщенных производных функций ограниченной вариации.

2. Дать определение решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений с правой частью, содержащей произведение разрывных функций и обобщенных производных непрерывных функций ограниченной вариации. Найти достаточные условия существования решения, в смысле введенного определения. Описать ассоциированные решения задачи Коши для соответствующих систем в дифференциалах в прямом произведении алгебр мнемофункций.

3. Определить решения задачи Коши для системы автономных дифференциальных уравнений с правой частью, содержащей произведение разрывных функций и обобщенных производных кусочно-постоянных функций. Исследовать ассоциированные решения задачи Коши для соответствующих систем в дифференциалах в прямом произведении алгебр мнемофункций.

Объектом исследования диссертационной работы являются системы дифференциальных уравнений с разрывной и обобщенной правыми частями. Предметом исследований являются ассоциированные решения задачи Коши для соответствующих им систем в дифференциалах в прямом произведении алгебр мнемофункций.

Положения, выносимые на защиту

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Полная классификация ассоциированных решений задачи Коши для систем уравнений в дифференциалах в прямом произведении алгебр мнемофункций, соответствующих диагональным системам дифференциальных уравнений с правой частью, содержащей произведение липшицевых функций и обобщенных производных функций ограниченной вариации.

2. Построение ассоциированных решений задачи Коши для систем уравнений в дифференциалах в прямом произведении алгебр мнемофункций, соответствующих диагональным системам дифференциальных уравнений с правой частью, содержащей произведение разрывных функций и обобщенных производных непрерывных функций ограниченной вариации.

3. Определение решений задачи Коши для диагональных систем дифференциальных уравнений с правой частью, содержащей произведение разрывных функций и обобщенных производных кусочно-постоянных функций. Описание ассоциированных решений задачи Коши для соответствующих систем в дифференциалах в прямом произведении алгебр мнемофункций.

Все результаты, изложенные в диссертации, являются новыми.

Личный вклад соискателя

Все основные результаты, приведенные в диссертации и выносимые на защиту, получены автором лично. Роль научного руководителя Н.В. Лазаковича состояла в постановке задач, рассматриваемых в работе, и анализе полученных результатов. Результаты, опубликованные совместно с В.Г. Новохрост, В.В. Грушевским, принадлежат авторам на паритетных началах.

Апробация результатов диссертации

Основные результаты диссертации докладывались на:

- международной математической конференции AMADE-2006 (Минск, 2006), AMADE-2009 (Минск, 2009);

? международных математических конференциях «Еругинские чтения -XII» (Минск, 2007), «Еругинские чтения - XIII» (Пинск, 2009);

- 65-й научной конференции студентов и аспирантов (Минск, 2008);

- X Белорусской математической конференции (Минск, 2008);

- международной математической конференции «Актуальные проблемы анализа» (Гродно, 2009).

Результаты работы также докладывались на научном семинаре «Функциональный анализ и его приложения» (научные руководители - профессор, доктор физ.-мат. наук А.Б. Антоневич, профессор, доктор физ.-мат. наук П.П. Забрейко и член-корреспондент НАН Беларуси, профессор, доктор физ.-мат. наук Я.В. Радыно).

Опубликованность результатов диссертации

Основные результаты диссертации опубликованы в 13 научных работах, из которых 6 - статьи в соответствии с п. 18 Положения о присуждении ученых степеней и присвоении ученых званий в Республике Беларусь (общим объемом 1,02 авторского листа), а так же 1 статья в сборнике научных трудов, 2 статьи в сборниках материалов научных конференций и 4 тезисов докладов.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, четырех глав, заключения и библиографического списка. Первая глава содержит обзор литературы и основных методов исследования по теме диссертации. Основные результаты диссертации приводятся во второй, третьей и четвертой главах. Общий объем диссертации _ 98 страниц, список использованных библиографических источников состоит из 89 наименований, включая собственные публикации автора (на 9 страницах).

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе приводится обзор литературы по теме диссертационной работы. Изложены основные методы исследования систем дифференциальных уравнений, содержащих в правой части произведение обобщенных функций или разрывные функции.

Во второй главе рассматривается задача Коши для системы дифференциальных уравнений с правой частью, содержащей произведение липшицевых функции и обобщенные производные непрерывных справа функций ограниченной вариации

(1)

Всюду далее задача (1) будет рассматриваться в прямом произведении алгебр мнемофункций. Этот метод связан с переходом от задачи Коши для системы дифференциальных уравнений к соответствующей задаче в дифференциалах в прямом произведении алгебр мнемофункций, при этом обычные функции заменяются на ассоциирующие их мнемофункции.

Автономный аналог задачи (1) для дифференциального уравнения в алгебре мнемофункций исследовали А.Н. Ковальчук, В.Г. Новохрост. Неавтономную задачу в алгебре мнемофункций рассматривали Н.В. Бедюк, О.Л. Яблонский, В.В. Грушевский, в случае, когда кусочно-постоянные функции ограниченной вариации, задача (1) исследовалась в работах Е.Б. Розина.

Вторая глава состоит из четырех разделов. В разделе 2.1 излагаются конструкции алгебры мнемофункций и прямого произведения алгебр мнемофункций. Приводятся условия существования и единственности решений системы уравнений в дифференциалах в прямом произведении алгебр мнемофункций, которая соответствует системе (1).

Рассмотрим расширенную прямую¹¹⁾ Егоров, Ю.В. К теории обобщенных функций / Ю.В. Егоров // Успехи мат. наук. ? 1990. ? Т.45, №5.? С. 3?40.⁾ и выделим из множества следующее подмножество

.

Через обозначим алгебру мнемофункций вида

, где , а , - прямое произведение алгебр .

На алгебре введем понятие обобщенного дифференциала²²⁾ Лазакович, Н.В. Стохастические дифференциалы в алгебре обобщенных случайных процессов /Н.В. Лазакович // Доклады НАН Беларуси. ? 1994. ? Т.35, №5. ? С. 23?27.⁾

,

где

, , , .

Алгебра была построена Ю.В. Егоровым¹⁾. Аналогично ей строится алгебра .

Определение 2.1. [1,11] Мнемофункция

ассоциирует элемент , если последовательности сходятся к в ,.

Аналогичное определение дается и для мнемофункций из алгебры .

Учитывая введенные выше понятия, в алгебре задаче (1) можно поставить в соответствие систему уравнений в дифференциалах относительно функции

(2)

где мнемофункции , , ассоциируют функции , и соответственно, .

Задача Коши (2) на уровне представителей имеет вид конечно-разностной задачи с осреднением

(3)

Далее под решением задачи Коши (1) будем понимать ассоциированное решение задачи (2).

Таким образом, возникает вопрос о существовании и единственности решения системы уравнений в дифференциалах в прямом произведении алгебр мнемофункций.

Теорема 2.1.³³⁾ Розин, Е.Б. Уравнения в дифференциалах, содержащие обобщенные случайные процессы Леви : автореф. дис. канд. физ.-мат. наук 01.01.02 / Е.Б. Розин ; Белорус. гос. ун-т. - Минск, 2005. - 21 с.⁾ Решение задачи (2) существует и единственно тогда и только тогда, когда для любых представителей , , , , , выполняется ,

(4)

(в нуле предполагается наличие конечных односторонних производных всех порядков).

В работе в качестве представителей , , рассматриваются свертки функций , , , со стандартными шапочками, т.е.

,

, ,(2.4)

где , , supp, , , , , ,

supp, , .

Здесь - некоторая монотонно возрастающая функция, при .

В разделе 2.2 приводится ряд вспомогательных утверждений, которые используются в дальнейшем при доказательстве основных результатов.

Для описания предельного поведения решений задачи Коши (3) используется следующая система интегральных уравнений

(5)

Учитывая определение для и интегралов⁴⁴⁾Лазакович, Н.В. Предельное поведение итовских конечных сумм с осреднением / Н.В. Лазакович, О.Л. Яблонский // Теор. вер. и ее прим. ? 2005. ? Т.50, №4. ? С. 711?732.⁾, можно доказать, что решение -го уравнения системы (5), , есть решение интегрального уравнения

,

если интеграл понимается в смысле -интеграла и есть решение уравнения

где находят из следующего интегрального уравнения

,(6)

если интеграл понимается в смысле -интеграла.

Заметим, что если липшицевы функции, непрерывные справа функции ограниченной вариации, , то решение системы интегральных уравнений (5) существует и единственно⁵⁵⁾ Groh, J. A nonlinear Volterra-Stieltjes integral equation and a Gronwall inequality in one dimension / J. Groh // Illinois journal of Mathematics. - 1980. -Vol. 24, № 2. - P. 244-263.⁾. В разделе 2.3 исследуется предельное поведение решений конечно-разностной задачи с осреднением (3). Вид ассоциированного решения задачи (2) существенно зависит от связи между и , и . Теорема 2.2 показывает, при какой связи между и , и имеет смысл исследовать предельное поведение решений задачи (3) при .

Теорема 2.2. [10] Пусть - непрерывные справа функции ограниченной вариации и для любых липшицевых функций , , , решение задачи (3) при сходится в , тогда

1) ;

2) .

Приведенная ниже теорема дает полную классификацию ассоциированных решений задачи (2) в том случае, когда в качестве представителей функций , , , , берутся свертки со стандартными шапочками.

Теорема 2.3. [1] Пусть , - липшицевы функции, - непрерывные справа функции ограниченной вариации, , справедливы условия (4) и

, .(7)

Тогда ассоциированное решение задачи Коши (2):

1) является решением системы (5), если при , выполняется , ;

2) является решением системы (5), если при , выполняется , ;

3) является решением системы (5), если при , выполняется , ;

4) является решением системы (5), если при , выполняется , .

Под , , и системами интегральных уравнений понимается система (5), в которой стоят соответствующие интегралы.

В разделе 2.4 рассматривается задача Коши (1), когда для аппроксимации функций используются комбинированные свертки, .

Пусть имеет вид

,

Для описания предельного поведения решения задачи (3) в этом случае используется следующая система интегральных уравнений

(8)

Замечание 2.1. Если липшицевы функции, непрерывные справа функции ограниченной вариации, , то решение системы интегральных уравнений (8) существует и единственно⁵⁾.

Замечание 2.2. Система интегральных уравнений (8) не может быть записана с использованием только одного интеграла или .

Теорема 2.4. [3] Пусть , - липшицевы функции, - непрерывные справа функции ограниченной вариации, и при , выполнено условие (7). Тогда при , так, что и для всех решение системы (3) покоординатно сходится к решению системы интегральных уравнений (8).

Теорема 2.5. [3] Пусть , - липшицевы функции, - непрерывные справа функции ограниченной вариации, справедливы условия (4) и (7). Тогда ассоциированное решение задачи Коши (2) является решением системы интегральных уравнений (9).

В третьей главе исследуется задача Коши (1) когда функции , функции имеют линии разрыва соответственно, непрерывные функции ограниченной вариации, i = 1,2.

Выделим два подхода к решению указанной задачи.

Первый предполагает переход от исходной системы дифференциальных уравнений к соответствующим дифференциальным включениям, что позволяет ввести корректное определение решения системы дифференциальных уравнений с разрывной правой частью. Данный подход представлен в работах М.А. Айзермана, Ю.И. Алимова, Е.А. Барбашина, А.А. Левакова, Е.С. Пятниц-кого, А.А. Толстоногова, А.Ф. Филиппова, и др.

Второй подход связан с рассмотрением систем дифференциальных уравнений с разрывной правой частью в прямом произведении алгебр мнемофункций. В одномерном случае он описан в работах В.В. Грушевского, В.Г. Новохрост.

В разделе 3.1 рассматривается задача Коши (1) в случае когда , .

В разделе 3.2 решается задача (1), когда непрерывные функции ограниченной вариации, .

Для описания предельного поведения решений задачи Коши (3) используется следующая система дифференциальных включений

(9)

где - многозначные функции, полученные методом простейшего выпуклого доопределения функций соответственно, ⁶⁶⁾ Филиппов, А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / А.Ф. Филиппов - М.: Наука, 1985. - 224 с.⁾.

Определение 3.1. [2, 11] Функция является решением системы дифференциальных включений (9), если для функций , , существуют следующие интегральные представления

,

где для всех , называются селектором многозначного отображения .

Определение 3.2. Будем считать, что функции удовлетворяют условию в , если и ограничены, имеют линии разрыва , , соответственно, где , , , , непрерывно продолжимы из каждой области непрерывности на ее границу G_i и в каждой области непрерывности удовлетворяют условию Липшица.

Здесь

,

,

области и определяются аналогичным образом, - -окрестности графиков линий разрыва в , .

Введем следующие обозначения

, , .

Установим связь между решениями задач (3) и (9). Отметим, что для решений исследуемых систем, понимаемых в смысле дифференциальных включений, характерны два вида поведения при попадании их на линии разрыва функций , . Первый - когда решение переходит из одной области непрерывности в другую, второй - когда решение приходит на линию разрыва и остается на ней.

Рассмотрим случай, когда решение переходит из одной области непрерывности в другую.

Теорема 3.1. [2, 11] Пусть функции - удовлетворяют условию , - непрерывные функции ограниченной вариации, . Тогда решение задачи (9) существует.

Теорема 3.2. [2, 11] Пусть функции - удовлетворяют условию , - монотонные, непрерывные функции, , выполнены условия (7) и

1)

, , ;

2) ,

3) .

Тогда при , для всех покоординатно сходится к , где - решение задачи (9), а - решение задачи (3).

Теорема 3.3. [2] Пусть выполнены условия теоремы 3.2 и условие (4). Тогда ассоциированное решение системы в дифференциалах (2) является решением задачи Коши для системы дифференциальных включений (9).

Отметим, что при выполнении условий теоремы 3.2 решение дифференциального включения (9) является решением следующей системы интегральных уравнений

Теперь рассмотрим случай, когда решение задачи (9) идет по графику линии разрыва G₂. Случай, когда решение задачи (9) идет по графику линии разрыва рассматривается аналогично.

Теорема 3.4. [2, 11] Пусть функции - удовлетворяют условию , - монотонные, непрерывные функции, , выполнены условия (7) и



, ;

1) ;

2) ,

3) , .

Тогда при , для всех покоординатно сходится к , где - решение задачи (9), а - решение задачи (3).

Теорема 3.5. [2, 11] Пусть выполнены условия теоремы 3.4. и условиe (4). Тогда ассоциированное решение системы в дифференциалах (2) является решением задачи Коши для системы дифференциальных включений (9).

При выполнении условий теоремы 3.4 решение дифференциального включения (9) является решением следующей системы

Замечание 3.1. При выполнении условий теорем 3.4 и 3.5 решения соответствующих дифференциальных включений существуют и единственны.

В четвертой главе исследуется задача Коши для систем дифференциальных уравнений (1) в случае, когда функции и разрывны, .

Вопросы существования решения подобного рода задач исследовались в работах Г. Биркгофа, П.П. Забрейко, М.А. Красносельского, А.В. Соболева и др. В алгебре мнемофункций автономный аналог задачи (1) для дифференциального уравнения исследовался в работах В.Г. Новохрост, задача для неавтономного дифференциального уравнения рассмотрена в работах В.В. Грушевского.

Будем рассматривать задачу Коши (1), где функции имеют линии разрыва, кусочно-постоянные, непрерывные справа функции с конечным числом точек разрыва.

В разделе 4.1 исследуется предельное поведение решений конечно-разностной задачи с осреднением (3) при указанных функциях и . Предварительно учитывается связь между и , а именно или при , (см. раздел 2.2).

Рассмотрим задачу (1) с функциями разрывными на прямой

, ,

Прямая делит плоскость на две полуплоскости. Полуплоскость, в сторону которой направлен вектор нормали , назовем , вторую полуплоскость .

Определение 4.1. [6, 13] Функции являются -решением задачи Коши (1), если выполняется

(10)

где - точки разрыва обеих функций , занумерованные одним индексом в порядке возрастания,

Определение 4.2. Будем говорить, что функции удовлетворяют условию в , если и ограничены, имеют линию разрыва , непрерывно продолжимы из каждой области непрерывности на ее границу и в каждой области непрерывности удовлетворяют условию Липшица.

Теорема 4.1. [6] Пусть функции - удовлетворяют условию , , - непрерывные справа, кусочно-постоянные функции с конечным числом точек разрыва , :

1) ,;

2) , , выполняется условие (7) и

.

Тогда при , так, что

где - решение конечно-разностной задачи с осреднением (3), - - решение задачи (10).

Теорема 4.2. [6] Пусть выполняются условия теоремы 4.1 и условие (4). Тогда ассоциированное решение задачи (2) является - решением системы (10).

Подобные теоремы справедливы и для -решения.

Далее рассмотрим случай, когда функции , , разрывны на кривой , где - некоторая монотонная непрерывная функция.

Теорема 4.3. [5] Пусть выполняются следующие условия:

1) функции , удовлетворяют условию , не убывает;

2) не убывает (не возрастает) по первой переменной и не возрастает по второй переменной, непрерывна справа, кусочно-постоянна и не убывает (не возрастает);

3) не возрастает по первой переменной и не убывает (не возрастает) по второй переменной, непрерывна справа, кусочно-постоянна и не убывает (не возрастает);

4) выполнено условие (7), и ,

, .

Тогда при так, что

,

где решение конечно-разностной задачи с осреднением (3), ? - решение системы (10).

Теорема 4.4. [5] Пусть выполняются условия теоремы 4.3 и условие (4). Тогда ассоциированное решение задачи (2) является - решением системы (10).

Подобные теоремы справедливы и для -решения.

В разделе 4.2 исследуется предельное поведение решений конечно-разностной задачи с осреднением (3) с разрывными функциями и . Предварительно учитывается связь между и , а именно при , .

Будем рассматривать задачу (1) с функциями разрывными на прямой .

Определение 4.3. [13] Функция является S-решением задачи Коши (1), если справедливы равенства

,(11)

где - решение вспомогательного интегрального уравнения

,(12)

а интегрируемые функции удовлетворяют включениям , для почти всех по мере Лебега.

Теорема 4.5. [13] Пусть функции , удовлетворяют условию , , ? непрерывные справа, кусочно-постоянные с конечным числом точек разрыва функции;

1) существует , что и ;

2) выполняется условие (7).

Тогда при , так, что для всех покоординатно сходится к , где - S решение задачи (1), а - решение задачи (3).

Теорема 4.6. [13] Пусть выполнены условия теоремы 4.5 и условие (4). Тогда ассоциированное решение системы в дифференциалах (2) является S-решением системы (11).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

уравнение коши алгебра мнемофункция

Основные научные результаты диссертации

Диссертационная работа посвящена изучению диагональных систем дифференциальных уравнений с обобщенными коэффициентами в прямом произведении алгебр мнемофункций.

В результате проведенных исследований по теме диссертационной работы получены следующие результаты:

1. Дана полная классификация ассоциированных решений задачи Коши для систем уравнений в дифференциалах в прямом произведении алгебр мнемофункций, соответствующих диагональным системам дифференциальных уравнений с правой частью, содержащей произведение липшицевых функций и обобщенных производных функций ограниченной вариации [1, 3, 8, 9, 10].

2. Построены ассоциированные решения задачи Коши для систем уравнений в дифференциалах в прямом произведении алгебр мнемофункций, соответствующих диагональным системам дифференциальных уравнений с правой частью, содержащей произведение разрывных функций и обобщенных производных непрерывных функций ограниченной вариации [2, 4, 7, 11, 12].

3. Введены определения решений задачи Коши для диагональной системы дифференциальных уравнений с правой частью, содержащей произведение разрывных функций и обобщенных производных кусочно-постоянных функций. Описаны ассоциированные решения задачи Коши для соответствующих систем в дифференциалах в прямом произведении алгебр мнемофункций [5, 6, 13].

Рекомендации по практическому использованию результатов

Основные результаты диссертации имеют теоретический характер. Полученные результаты могут быть применены для исследования явлений, которые можно описать при помощи систем автономных дифференциальных уравнений с обобщенными коэффициентами.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ СОИСКАТЕЛЯ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в научных журналах

1. Лазакович, Н.В. Системы дифференциальных уравнений с обобщенными коэффициентами в прямом произведении алгебр мнемофункций / Н.В. Лазакович, Е.В. Шлыков // Доклады НАН Беларуси. - 2007. - Т. 51, № 6. - С. 17-21.

2. Шлыков, Е.В. Ассоциированные решения систем в дифференциалах с разрывной правой частью в прямом произведении алгебр мнемофункций / Е.В. Шлыков // Весцi НАН Беларусi. Серыя фiз.-мат. навук. - 2009. - № 4. - С. 43-49.

3. Шлыков, Е.В. Задача Коши для систем с обобщенной правой частью в алгебре мнемофункций / Е.В. Шлыков // Весці БДПУ. Серыя 3. - 2009. - № 4. - С. 6-11.

4. Новохрост, В.Г. Системы дифференциальных уравнений с правой частью, разрывной на прямой, в прямом произведении алгебр мнемофункций / В.Г. Новохрост, Е.В. Шлыков // Труды Ин-та математики НАН Беларуси. - 2009. - T. 17, № 2. - С. 56-64.

5. Грушевский, В.В. Задача Коши для системы дифференциальных уравнени с обобщенными правыми частями в прямом произведении алгебр мнемофункций / В.В. Грушевский, Е.В. Шлыков // Вестник БГУ. Серия 1. Физика. Математика. Информатика. - 2010. - № 1. - С. 87-92.

6. Новохрост, В.Г. I - решения систем дифференциальных уравнений с обобщенной правой частью в прямом произведении алгебр мнемофункций / В.Г. Новохрост, Е.В. Шлыков // Вестник БГУ. Серия 1. Физика. Математика. Информатика. - 2010. -№ 2. - С. 82-87.

Статьи в сборниках научных трудов

7. Новохрост, В.Г. Неединственные решения дифференциальных уравнений с обобщенной правой частью в алгебре мнемофункций / В.Г. Новохрост, Е.В. Шлыков // AMADE-2006: Труды 4-й Междунар. конф.: в 3-х т., Минск, 13-19 сентября 2006 г. / Ин-т математики НАН Беларуси; редкол.: А.А. Килбас [и др.]. - Минск, 2006. - Т. 3. Дифференциальные уравнения - С. 111-117.

8. Лазакович, Н.В. Системы дифференциальных уравнений с обобщенными коэффициентами в прямом произведении алгебр мнемофункций / Н.В. Лазакович, Е.В. Шлыков // Еругинские чтения -XII: Труды XII Междунар. науч. математической конф., Минск, 16-19 мая 2007 г. / Ин-т математики НАН Беларуси, Белорус. гос. ун-т; редкол.: В.В. Амелькин [и др.]. - Минск, 2007. - С. 107-112.

9. Лазакович, Н.В. Дифференциальные уравнения с обобщенными коэффициентами в прямом произведении алгебр мнемофункций / Н.В. Лазакович, Е.В. Шлыков // Актуальные проблемы математики: сб. науч. трудов / ГрГУ им. Я. Купалы; редкол.: Е.А. Ровба [и др.]. - Гродно, 2008. - С. 85-100.

Тезисы докладов

10. Lazakovich, N.V. Systems of differential equations with generalized coefficients in direct product of algebras of mnemofunctions / N.V. Lazakovich, E.V. Shlykov // Еругинские чтения -XII: тез. докл. Междунар. матматической конф., Минск, 16 - 19 мая 2007 г. / Ин-т математики НАН Беларуси, Белорус. гос. ун-т; редкол.: В.В. Амелькин [и др.]. - Минск, 2007. - С. 104-105.

11. Шлыков, Е.В. Системы дифференциальных уравнений с разрывной правой частью в прямом произведении алгебр мнемофункций / Е.В. Шлыков // X Белорусская математическая конференция: тез. докл. междунар. математической конф., Минск, 3-7 ноября 2008 г. / Ин-т математики НАН Беларуси, Белорус. гос. ун-т; редкол.: С.Г. Красовский [и др.]. - Минск, 2008. - С. 78-79.

12. Новохрост, В.Г. Автономные системы дифференциальных уравнений с разрывной правой частью в прямом произведении алгебр мнемофункций / В.Г. Новохрост, Е.В. Шлыков // Еругинские чтения -XIII: тез. докл. Междунар. математической конф., Пинск, 26-29 мая 2009 г. / Ин-т математики НАН Беларуси, Белорус. гос. ун-т, Полес. гос. ун-т; редкол.: В.В. Амелькин [и др.]. - Минск, 2009. - С. 138-139.

13. Новохрост, В.Г. Многомерные задачи Коши с разрывной правой частью / В.Г. Новохрост, Е.В. Шлыков // AMADE-2009: Тез. докл. междунар. конф., Минск, 14-19 сентября 2009 г. / Ин-т математики НАН Беларуси, Белорус. гос. ун-т; редкол.: А.А. Килбас [и др.]. - Минск, 2009. - С. 119-120.

Размещено на Allbest.ru

...