Стационарное распределение вероятностей состояний сетей массового обслуживания с групповыми перемещениями

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

Стационарное распределение вероятностей состояний сетей массового обслуживания с групповыми перемещениями

Коробейникова Евгения Васильевна

Минск, 2013

Работа выполнена в учреждении образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины».

Научный руководитель - Малинковский Юрий Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой экономической кибернетики и теории вероятностей УО «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины».

Официальные оппоненты: Егоров Александр Дмитриевич, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник отдела нелинейного и стохастического анализа ГНУ «Институт математики НАН Беларуси»;

Кравченко Светлана Витальевна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры информационно - вычислительных систем УО «Белорусский торгово- экономический университет потребительской кооперации».

Оппонирующая организация - Учреждение образования «Белорусский государственный университет транспорта».

ВВЕДЕНИЕ

Теория массового обслуживания находит широкое применение в различных областях человеческой деятельности, таких как хранение и передача информации, телефонной и телеграфной связи, медицине, промышленности. Результаты, полученные в рамках теории массового обслуживания, находят также применение при имитационном моделировании.

Работа любой системы массового обслуживания состоит в обработке поступающего на нее потока требований или заявок. Заявка обслуживается некоторое время, а затем на ее место поступает следующая заявка. Система может иметь несколько каналов, что позволяет успешно справляться с потоком заявок. Предметом теории массового обслуживания является прогнозирование поведения систем и сетей массового обслуживания и установление зависимости между характером потока заявок, числом каналов, производительностью каналов и эффективностью обслуживания. В качестве характеристик эффективности могут выступать различные величины: среднее число обслуженных заявок, среднее время ожидания в очереди, среднее время простоя и др.

Важным разделом теории массового обслуживания является теория сетей массового обслуживания. Сеть массового обслуживания представляет собой совокупность систем массового обслуживания, между которыми происходит обмен заявками по заданному правилу. В работе Дж. Р.Джексона было введено понятие открытой сети, в которой заявки могут поступать в сеть, а также и покидать ее. В работе В.Гордона и Г.Ньюэлла была рассмотрена замкнутая сеть, в которой число заявок постоянно. В таких сетях нет поступления заявок в сеть и ухода из нее. В дальнейшем в работах Мура было показано, что с помощью сетей массового обслуживания можно адекватно описывать функционирование информационно-вычислительных сетей. С этого момента теория сетей начала бурно развиваться. Появилось множество модификаций сетей Джексона и Гордона-Ньюэлла, которые позволили решать задачи, связанные с обработкой и передачей информации в вычислительных системах. Большой вклад в развитие сетей массового обслуживания внесли Г.П.Баширин, А.В.Боровков, Э.Геленбе, Дж.Джексон, В.А.Ивницкий, Ф.П.Келли, Д.Кениг, Л.Кленрок, Ю.В.Малинковский, М.А. Маталыцкий, Г.А.Медведев, Б.Меламед, Р.Мюнтц, М.Миязава, С.Е.М.Перс, П.К.Поллетт, А.Н.Рыбко, Р.Серфозо, Ю.М.Сухов, П.Тейлор, А.Л.Толмачев, Д.Тоусли, П.Уитл, ДЖ.Уолренд, Г.И.Фалин, Ф.Хендерсон, Ч.Чао и другие. Для сетей массового обслуживания, ввиду их сложности, аналитические выражения для вероятностей состояний в настоящий момент можно найти только в форме произведения множителей стационарных вероятностей отдельных систем сети. В связи с этим актуальным является нахождение условий мультипликативности для данной сети.

Большой интерес представляют сети, в которых заявки поступают группами и обслуживаются также группами. При описании таких сетей возникают существенные математические трудности, не позволяющие находить стационарное распределение вероятностей. Поэтому стационарное распределение вероятностей ищут в заданном виде, например, в виде произведения геометрических распределений. При этом для существования такого распределения требуется введение дополнительного потока групп заявок, который поступает в систему, когда в нем нет заявок. Сети с групповыми перемещениями заявок рассматривались в работах Х.Чао, М. Пинедо, Д. Шоу, Е. Геленбе, У. Хендерсона, Ю.В. Малинковского, А.Н. Дудина, П.Г. Тейлора, М. Миязава, А. Экономоу и др. Однако наличие дополнительного потока заявок является несколько искусственным, поэтому актуальной является задача нахождения стационарного распределения вероятностей без дополнительного потока. Настоящая диссертация посвящена проблеме нахождения необходимых и достаточных условий, при которых стационарное распределение вероятностей сетей массового обслуживания с групповыми перемещениями имеет форму произведения смещенных геометрических распределений.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Связь работы с крупными научными программами, темами

Диссертационная работа связана с научными программами учреждения образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» и является частью следующих тем:

- государственной программы фундаментальных исследований

«Исследование основных математических структур и проблем математического моделирования» (задание «Методы исследования сетей массового обслуживания») -2004/2005г., ГБЦМ 01-53F, № госрегистрации 20011312;

- государственной программы фундаментальных исследований «Математические модели» (задание «Математические модели стахостических сетей») с 2006/2011г. ГЦБМ 06-033, № госрегистрации 20061474.

- государственной программы фундаментальных исследований «Математические модели» (задание «Стационарное распределение стохастических сетей») с 2012г. по настоящее время. ГПНИ 11-41, № госрегистрации 20111163.

Цель и задачи исследования

Целью работы является нахождение необходимых и достаточных условий существования стационарного распределения сетей массового обслуживания с групповыми перемещениями заявок в форме произведения смещенных геометрических распределений. Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

1. Для открытой экспоненциальной сети массового обслуживания с групповым поступлением заявок и групповым ассамблейно-трансферным обслуживанием устанавливаются достаточные условия существования стационарного распределения в форме произведения смещенных геометрических распределений.

2. Для открытых экспоненциальных сетей массового обслуживания с передачей сообщений о формировании поступающих групп, и групповым ассамблейно-трансферным обслуживанием устанавливаются необходимые и достаточные условия существования стационарного распределения в форме произведения смещенных геометрических распределений.

3. Анализируется робастность сети массового обслуживания с передачей сообщений о формировании поступающих групп, и групповым ассамблейно-трансферным обслуживанием, при отклонении значений исходных параметров, изменение которых влечет за собой нарушение условий квазиобратимости.

Объектом исследования являются марковские процессы изменения состояний открытых сетей с групповыми перемещениями заявок.

Предметом исследования является стационарное распределение вероятностей открытых сетей с групповыми перемещениями заявок. В работе использовались методы математического анализа, теории вероятностей, теории марковских процессов, теории сетей массового обслуживания. Исследования основывались на методе обращения времени марковского процесса и методе локального баланса.

Положения, выносимые на защиту

1. Стационарное распределение открытых экспоненциальных сетей массового обслуживания с групповым поступлением и асамблейно-трансферным групповым обслуживанием имеет форму произведения смещенных геометрических распределений, если размеры поступающих групп и выбираемых для обслуживания групп имеют геометрическое распределение.

2. Стационарное распределение открытых экспоненциальных сетей массового обслуживания с передачей сообщений о формировании поступающих групп, и групповым ассамблейно-трансферным обслуживанием имеет форму произведения смещенных геометрических распределений, если размеры формируемых в системах групп имеют геометрическое распределение.

Личный вклад соискателя

Все результаты, приведенные в диссертации, получены автором самостоятельно. В совместных работах постановка задачи и обсуждение результатов, принадлежат научному руководителю, вклад соискателя определяется рамками представленных в диссертации результатов.

Апробация результатов диссертации

Основные результаты диссертации докладывались на VI Республиканской научной конференции молодых ученых и студентов «Современные проблемы математики и вычислительной техники» (Брест, 2009г.), I международной конференции «Математическое моделирование и дифференциальные уравнения» (Минск, 2007г.), V Республиканской научной конференции молодых ученых и студентов «Современные проблемы математики и вычислительной техники» » (Брест, 2007г.), IX Республиканской научной конференции студентов и аспирантов «Новые математические методы и компьютерные технологии в проектировании, производстве и научных исследованиях»(Гомель, 2006г.), XIV Республиканской научной конференции студентов и аспирантов «Новые математические методы и компьютерные технологии в проектировании, производстве и научных исследованиях» (Гомель, 2011г.), XV Республиканской научной конференции студентов и аспирантов «Новые математические методы и компьютерные технологии в проектировании, производстве и научных исследованиях» (Гомель, 2012г.), международной конференции «Теория вероятностей, математическая статистика и их приложения», посвященная 75- летию профессора, доктора физико-математических наук Г.А.Медведева (Минск, 2010г.), VIII международной научно-практической конференции молодых исследователей «Содружество наук» (Барановичи, 2012).

Опубликованность результатов

Результаты диссертационного исследования опубликованы в 12 научных работах, из них 4 статьи в научных журналах, соответствующих п.18 Положения о присуждении ученых степеней и присвоении ученых званий в Республике Беларусь (общим объемом 2 авторских листа), 3 статьи в сборниках материалов научных конференций, 5 тезисов.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из перечня условных обозначений, введения, общей характеристики работы, четырех глав, библиографического списка, приложения. Основные результаты разбиты на главы следующим образом: в главе 2 исследуется модель с групповым поступлением и групповым ассамблейно -трансферным обслуживанием; в главе 3 исследуется модель с передачей сообщений о формировании поступающих групп заявок и групповым ассамблейно-трансферным обслуживанием; в главе 4 исследуется робасность стационарного распределения вероятностей состояний в форме произведения для модели описанной в главе 3. Полный объем диссертации составляет 97 страниц. Диссертация содержит 15 рисунков на 7 страницах, 1 приложение на 14 страницах. Библиографический список содержит 116 наименований, включая собственные публикации автора.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ

В первой главе диссертации приведен краткий обзор литературы по теории сетей массового обслуживания. Сформулирована актуальная задача установления необходимых и достаточных условий существования стационарного распределения в форме произведения смещенных геометрических распределений для сетей массового обслуживания с групповыми перемещениями.

Во второй главе сначала рассматривается однолинейная система массового обслуживания с групповым поступлением и ассамблейно-трансферным групповым обслуживанием. В систему поступает стационарный пуассоновский поток групп заявок интенсивности . На обслуживание поступает группа заявок, которая обслуживается целиком, при этом обслуживание - экспоненциальное с интенсивностью . Процессы поступления и обслуживания независимы. Пусть - размер i-й поступающей группы, - размер i-ой группы, требующей обслуживания. Предполагается, что - взаимно независимые неотрицательные целочисленные случайные величины с произвольными функциями распределения ,, функциями вероятностных масс , производящими функциями и конечными математическими ожиданиями и соответственно. Если сразу после окончания обслуживания группы в системе остается заявок, а размер разыгрываемой для обслуживания группы , то прибор начинает обслуживать группу из заявок. Если же , то прибор захватывает на обслуживание неполную группу из заявок. В этой модели и во всей диссертационной работе рассматривается так называемое ассамблейно-трансферное обслуживание, при котором размер выбираемой на обслуживание группы определяется не в момент начала, а в момент окончания обслуживания группы. Это гарантирует, что процесс, описывающий состояние рассматриваемых систем и сетей массового обслуживания, будет марковским.

Пусть - число заявок в системе в момент времени t. Семейство случайных величин является цепью Маркова. Интенсивности ее переходов равны

Введем обозначение . Уравнения равновесия для стационарных вероятностей процесса имеют вид

(1)

, (2)

Доказано что решение (1-2) существует в виде смещенного геометрического распределения , где

(3)

где с - корень уравнения

. (4)

Лемма 2.1 [3, с.100] Если , то уравнение (4) имеет единственный корень . Этот корень находится в промежутке .

По лемме 2.1, если решение уравнений равновесия (1), (2) в форме (3) существует, то должно выполняться .

Производящая функция размеров поступающих групп равна

(5)

Раскладывая (5) в степенной ряд увидим, что распределено по геометрическому закону

, где . (6)

Необходимым и достаточным условием эргодичности цепи Маркова является

. (7)

Теорема 2.1 [3, с.102] Пусть выполнено (7). Для того чтобы стационарное распределение имело форму смещенного геометрического распределения (3) необходимо и достаточно, чтобы и существовала абсолютно монотонная функция , удовлетворяющая и равенству (5). Тогда будет задавать производящую функцию размеров поступающих групп.

Для квазиобратимости цепи Маркова необходимо и достаточно выполнения условий

сеть массовое обслуживание

(8)

(9)

(10)

Откуда следует что , а параметр геометрического распределения размеров поступающих групп равен

.

Пусть размеры групп, выбираемых на обслуживание, имеют геометрическое распределение с параметром , т.е.,

.

Теорема 2.2 [3, с.103] Если размеры групп потока, поступающего в систему, с параметром и размеры групп потока, поступающего на обслуживание, с параметром имеют геометрическое распределение и выполняется условие , то размеры групп потока, выходящего из системы, распределены по тому же закону, что и входящего и оба потока имеют одинаковую интенсивность.

Данная теорема 2.2 говорит о том, что уходящий поток распределен по тому же закону, и с той же интенсивностью, что и поступающий.

Теорема 2.3[3, c.103 ] Пусть выполнено условие эргодичности (7). Для того, чтобы цепь Маркова была квазиобратимой, а ее стационарное распределение имело форму смещенного геометрического распределения (3), необходимо и достаточно чтобы выполнялись соотношения , размеры поступающих групп имели геометрическое распределение с параметром , а размеры обслуживаемых групп имели геометрическое распределение с параметром

, ,

где - корень уравнения .

В пункте 2.2 рассматривается открытая сеть массового обслуживания с конечным множеством систем . В системы сети поступают независимые стационарные пуассоновские потоки групп заявок с параметром для -ой системы. Длительности обслуживания групп в системах сети независимы и имеют показательное распределение с параметром для -ой системы. Размеры поступающих и требуемых для обслуживания групп - независимые положительные целочисленные случайные величины. Размеры поступающих в -ую систему групп имеют геометрическое распределение с параметром , размеры требуемых для обслуживания в -ой системе групп имеют геометрическое распределение с параметром . Если сразу после окончания обслуживания группы в -ой системе остается заявок, а размер разыгрываемой для обслуживания группы , то прибор начинает обслуживать группу из заявок. Если же , то прибор захватывает на обслуживание неполную группу из заявок. Предположим также, что размеры поступающих и требуемых для обслуживания групп в -ой системе имеют конечные математические ожидания и соответственно. Группа заявок, обслуженная в i-ой системе, мгновенно с вероятностью направляется в j-ую систему, а с вероятностью покидает сеть (

).

Интенсивности перехода равны

, ,

- -мерный вектор, i-я координата которого равна 1, а остальные 0.

Необходимым и достаточным условием эргодичности является

,

где - положительное решение уравнения трафика

. (11)

Существование и единственность положительного решения (11) гарантированы, если расширенная матрица маршрутизации неприводима.

Обозначим , и пусть - корни уравнений , . Теорема 2.4. [3, c.104] Пусть выполнены условия . Если а размеры поступающих групп имеют геометрическое распределение с параметром , где - корень уравнения и размеры групп обслуживаемых заявок имеют геометрическое распределение с параметрами , , то стационарное распределение имеет форму произведения смещенных геометрических распределений

,

где . В равновесии выходящие из сети потоки являются стационарными независимыми пуассоновскими потоками, а рассматриваемая сеть сама квазиобратима, т.е. ее текущее состояние не зависит от прошлых уходов заявок из сети.

Построен алгоритм проверки существования и вычисления стационарного распределения процесса в форме произведения смещенных геометрических распределений при отсутствии терминальных систем и в пункте 2.3 найдены условия существования стационарного распределения для изолированной системы в форме произведения двойных смещенных геометрических распределений.

В третьей главе рассмотрена однолинейная система массового обслуживания с групповым поступлением и групповым ассамблейно-трансферным обслуживанием. В систему поступает стационарный пуассоновский поток сообщений с интенсивностью . В момент поступления сообщения мгновенно формируется группа заявок случайного размера (-

номер -го по счету поступившего сообщения). Эта группа заявок присоединяется к очереди, если в системе есть другие заявки, в противном случае из заявок этой группы формируется группа заявок, которая сразу начинает обслуживаться. Механизм формирования требуемой для обслуживания группы точно такой, как описанный ниже механизм формирования группы на обслуживание после окончания обслуживания очередной группы. Предполагается, что - последовательность независимых неотрицательных одинаково распределенных целочисленных случайных величин с конечным математическим ожиданием и вероятностными значениями Пусть - производящая функция . В момент окончания обслуживания очередной группы производится решение о размере этой группы, которая является случайной величиной . Эта группа обслуживается целиком, при этом обслуживание - экспоненциальное с интенсивностью (- номер -ой по счету обслуженной группы). Если в момент окончания обслуживания очередной группы размер требовавшейся для обслуживания группы строго больше числа оставшихся заявок в системе, то на обслуживание выбирается некомплектная группа из всех оставшихся в системе заявок. Предполагается, что - последовательность независимых неотрицательных одинаково распределенных целочисленных случайных величин с конечным математическим ожиданием и вероятностями значений Пусть также - производящая функция . Процессы поступления и обслуживания предполагаются независимыми. Размеры поступающих групп и размеры выбираемых на обслуживание групп также независимы.

Теорема 3.1 [2, с.212, 4, с.48] Пусть выполнено условие эргодичности (7). Для того что бы цепь Маркова была квазиобратимой, а ее стационарное распределение имело форму смещенного геометрического распределения (3) необходимо и достаточно, чтобы , , а размеры формируемых при поступлении сообщений групп имели геометрическое распределение с параметром

,

где - корень уравнения .

В пункте 3.2 рассмотрена открытая сеть массового обслуживания, склеенная из систем того же типа, как система, рассмотренная в разделе 3.1. Обслуженная в -ой системе группа заявок мгновенно покидает сеть, посылая сообщение в -ую систему с вероятностью , а с вероятностью не посылая никаких сообщений (). Система линейных уравнений трафика имеет вид

(12)

и имеет единственное строго положительное решение. Эта система выражает сохранение интенсивности потоков сообщений при прохождении систем сети. Условие эргодичности для сети имеет вид

(13)

Так как рассматриваемая сеть получается с помощью стандартной операции склеивания систем, описанных в разделе 1, то, по теореме Келли, если системы в сети будут квазиобратимыми, то стационарное распределение будет иметь форму

, (14)

где - стационарное распределение изолированной системы, на которую направляется стандартный пуассоновский поток сообщений интенсивности , где - строго положительное решение линейных уравнений трафика (13).

Лемма 3.3 [4, с.50] Если нетерменальные системы в сети квазиобратимы, то стационарное распределение будет иметь форму (14).

Также доказано, что если стационарное произведение имеет форму (14), где i-й множитель в произведении зависит только от состояния -ой системы, то нетерминальные системы в сети квазиобратимы.

Лема 3.4 [4, с.53] Если стационарное распределение процесса представляется в форме (14), где каждый множитель зависит только от состояния -ой системы , то каждый множитель удовлетворяет уравнению равновесия для изолированного -ой системы, на который поступает пуассоновский поток параметром .

Лема 3.5 [4, с.54] Если стационарное распределение процесса представляется в форме (14), где каждый множитель зависит только от состояния -ой системы , то нетерминальные системы сети квазиобратимы, а в терминальных системах каждый множитель удовлетвыоряет уравнению равновесия для изолированной -ой системы, на который поступает пуассоновский поток с параметром

Объединяя лемы (3.3) и (3.5) получим следующий основной результат.

Теорема 3.2 [4, с.54] При выполнении условия (13) процесс эргодичен. Для этого чтобы его стационарное распределение представлялось в форме произведения (14), в котором каждый множитель зависит только от состояния -ой системы (), необходимо и достаточно, чтобы нетерминальные системы в сети были квазиобратимыми. При этом выходящие из сети из квазиобратимых систем потоки групп заявок являются независимыми и пуассоновскими, а в терминальных системах каждый множитель удовлетворяет уравнению равновесия для изолированной -й системы, на которую поступает пуассоновский поток с параметром

Построен алгоритм проверки существования и вычисления стационарного распределения процесса в форме произведения смещенных геометрических распределений при отсутствии терминальных систем.

В главе четыре ставится задача проанализировать робастность решения системы массового обслуживания, при отклонении значений исходных параметров, изменение которых влечет за собой нарушение условий квазиобратимости, для модели с групповыми перемещениями, описанной в главе 3. Для решения данной задачи был разработан алгоритм и создан программный комплекс, написанный на языке программирования Delphi, который позволяет оценить влияние изменения исходных параметров на точность решения для сети, состоящей из двух систем. С использованием программного комплекса проведен численный эксперимент, который позволяет оценить влияние параметров геометрического распределения размеров поступающих в системы групп на отклонение решения глобальных уравнений равновесия в форме произведения от решения полученного по аналитическим формулам.

Разработанный алгоритм проверки робастности решения глобальных уравнений равновесия в форме произведения к отклонению от исходных параметров можно применять для любой сети массового обслуживания, для которой существует решение в мультипликативной форме. Следует отметить, что даже при незначительных изменениях в исходных параметрах, влияющих на точность выполнения условий квазиобратимости, значения вероятностей могут сильно отличаться от полученных аналитическим путем по формуле произведения вероятностей. Поэтому проверка робастности решения глобальных уравнений равновесия в форме произведения, позволяет нам определить диапазон изменения исходных параметров, при котором решение остается устойчивым.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные научные результаты диссертации

Получены следующие новые результаты:

1. Для открытой экспоненциальной сети массового обслуживания с групповым поступлением заявок и ассамблейно-трансферным групповым обслуживанием найдены достаточные условия существования стационарного распределения вероятностей в форме произведения смещенных геометрических распределений, если размеры поступающих групп и групп поступающих на обслуживание имеют геометрическое распределение. Эти результаты опубликованы в [3, 12].

2. Для открытых экспоненциальных сетей массового обслуживания с

передачей сообщений о формировании поступающих групп, и групповым ассамблейно-трансферным обслуживанием установлены необходимые и достаточные условия существования стационарного распределения в форме произведения смещенных геометрических распределений. Эти результаты опубликованы в [2,4,8].

Для каждой из вышеперечисленных моделей сетей массового обслуживания с групповыми перемещениями заявок разработан эффективный алгоритм поиска стационарного распределения в форме произведения смещенных геометрических распределений.

Рекомендации по практическому использованию результатов

Работа носит теоретический характер. Результаты исследований, полученные в работе, могут найти применение при рассмотрении широкого круга практических задач, связанных с проектированием, моделированием, эксплуатацией, а также анализом эффективности функционирования реальных объектов, поскольку на практике часто возникает необходимость обслуживать заявки группами, при этом поступление заявок также может быть групповым. Это определяет актуальность изучения стационарного функционирования сетей с групповыми перемещениями. Актуальным также является вопрос исследования сетей, в которых система после обслуживания очередной группы заявок посылает сообщение на другую систему для формирования группы заявок, которая присоединяется к очереди. Потенциальная экономическая ценность работы состоит в возможности применения полученных результатов исследований для анализа и оценки эффективности стационарного функционирования реальных сетей. Результаты работы позволяют определять характеристики стационарного функционирования как отдельной системы, так и всей сети в целом.

Подчеркнем, что трактовка рассматриваемых моделей как сетей с групповыми перемещениями интересна еще и тем, что позволяет обобщить ряд результатов, полученных для сетей массового обслуживания с заявками различных типов, имеющих целый ряд практических приложений. Результаты исследований применяются в учебной деятельности на математическом факультете учреждения образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ СОИСКАТЕЛЯ

1. Коробейникова, Е.В. Мультипликативность стационарного распределения в открытых сетях с многорежимными стратегиями обслуживания и с обходом узлов заявками / Е.В.Коробейникова// Известия Гомельского государственного университета им. Ф. Скорины. - 2005. - № 5. - С. 145-149.

2. Коробейникова, Е.В. Стационарное распределение сети с групповыми перемещениями в мультипликативной форме / Е.В.Коробейникова,Ю.В.Малинковский // Известия Гомельского государственного университета им. Ф. Скорины. - 2008. - № 6. - С. 210-213

3. Коробейникова, Е.В. Стационарное распределение в форме произведения смещенных геометрических распределений / Е.В.Коробейникова, Ю.В.Малинковский// Весцi НАН Беларусi. Серыя физика-матэматычных навук-2009. - № 2. - С.100-105.

4. Коробейникова, Е.В. Характеризация стационарного распределения сетей с групповым перемещениями в форме произведения смещенных геометрических распределений / Е.В.Коробейникова, Ю.В.Малинковский // Автоматика и телемеханика. - 2010. - №12. -С. 43-56.

5. Коробейникова, Е.В. Стационарное распределение сети сгрупповыми перемещениями в обобщенной мультипликативной форме/ Е.В.Коробейникова //Современные проблемы математики и вычислительной техники: материалы VI Республиканской научной конференции молодых ученых и студентов, Брест, 26-28 ноября 2009г./ Брест. гос. ун-т; редкол.: В.А. Головко [и др.]. -Брест, 2009. - С. 142-146.

6. Коробейникова, Е.В. Мультипликативность для сети с групповыми перемещениями в обобщенной форме / Е.В.Коробейникова // Теория вероятностей, математическая статистика и их приложения: материалы Междунар. конф., посвящ. 75-летию профессора, доктора физ.-мат. наук Г.А. Медведева, Минск, 22-25 февр. 2010 г.) / Бел. гос. ун-т. - Минск: РИВШ, 2010. - Вып. 3. - С. 167-173.»

7. Коробейникова, Е.В. Анализ устойчивости решения модели с групповыми перемещениями к нарушению условий квазиобратимости/ Е.В.Коробейникова //Содружество наук: материалы VIII международной научно-практической конференции молодых исследователей, Барановичи, 23-24 мая 2012г./ Бар. гос. ун-т; редкол.: А.В. Никитишева [и др.]. -Барановичи, 2012. - С. 125-127.

8. Коробейникова, Е.В. Мультипликативность в открытых сетях с групповыми поступлениями и групповым обслуживанием заявок / Е.В. Коробейникова // Новые математические методы и компьютерные технологии в проектировании, производстве и научных исследованиях: материалы IX Респ. научной конф. студентов и аспирантов, Гомель, 13-15 марта 2006 г. / Гомел. гос. ун-т; редкол.: О.М. Демиденко [и др.]. -Гомель, 2006. - С. 191-192.

9. Коробейникова, Е.В. Мультипликативность в открытых сетях с групповым поступлением в виде 2-х независимых потоков и групповым обслуживанием заявок в форме произведения смещенных геометрических распределений / Е.В.Коробейникова // Математическое моделирование и дифференциальные уравнения: материалы первой международной конференции, Минск, 2-5 октября 2007г./ Институт математики НАН Беларуси; редкол.: В.И. Корзюк [и др.]. -Минск, 2007. -С.30-31.

10. Коробейникова, Е.В. Мультипликативность в открытых сетях с многорежимными стратегиями обслуживания и обходом узлов заявками/ Е.В.Коробейникова // Современные проблемы математики и вычислительной техники: материалы V Республиканской научной конференции молодых ученых и студентов, Брест, 28-30 ноября 2007 г./ Брест. гос. техн. ун-т; редкол.: В.А. Головко [и др.]. -Брест, 2007. -С.171-172.

11. Коробейникова, Е.В. Проверка устойчивости решения СМО с групповыми перемещениями к нарушению условий квазиобратимости / Е.В. Коробейникова // Новые математические методы и компьютерные технологии в проектировании, производстве и научных исследованиях: материалы XIV Респ. научной конф. студентов и аспирантов, Гомель, 21-23 марта 2011 г. / Гомел. гос. ун-т; редкол.: О.М. Демиденко [и др.]. -Гомель, 2011. - С. 232-233.

12. Коробейникова, Е.В. Стационарное распределение в виде двойных смещенных геометрических распределений для изолированного узла. / Е.В. Коробейникова // Новые математические методы и компьютерные технологии в проектировании, производстве и научных исследованиях: материалы XV Респ. научной конф. студентов и аспирантов, Гомель, 26-28 марта 2012 г. / Гомел. гос. ун-т; редкол.: О.М. Демиденко [и др.]. -Гомель, 2012. - С.9-11.

РЕЗЮМЕ

Коробейникова Евгения Васильевна

СТАЦИОНАРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СОСТОЯНИЙ СЕТЕЙ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ГРУППОВЫМИ ПЕРЕМЕЩЕНИЯМИ

Ключевые слова: сети массового обслуживания, групповые перемещения заявок, интенсивности переходов, уравнения трафика, стационарное распределение, эргодичность.

Цель работы ? поиск необходимых и достаточных условий существования стационарного распределения сетей массового обслуживания с групповыми перемещениями в форме произведения смещенных геометрических распределений.

В работе использовались методы математического анализа, теории вероятностей, теории марковских процессов, теории массового обслуживания. Исследования основывались на методе обращения времени марковского процесса и методе локального баланса.

Получены следующие новые научные результаты:

1. Стационарное распределение открытых экспоненциальных сетей массового обслуживания с групповым поступлением и ассамблейно-трансферным групповым обслуживанием имеет форму произведения смещенных геометрических распределений, если размеры поступающих групп и групп поступающих на обслуживание имеют геометрическое распределение.

2. Стационарное распределение открытых экспоненциальных сетей массового обслуживания с передачей сообщений о формировании поступающих групп, и групповым ассамблейно-трансферным обслуживанием имеет форму произведения смещенных геометрических распределений, если размеры формируемых в системах групп имеют геометрические распределения.

Все полученные результаты новые. Работа носит теоретический характер. Практическая значимость результатов определяется возможностью применения их к достаточно широкому классу задач при проектировании, моделировании, эксплуатации, а также анализе эффективности функционирования реальных сетей с групповыми перемещениями заявок.

РЭЗЮМЭ

Карабейнiкава Яўгенiя Васiльеўна

СТАЦЫЯНАРНАЯ РАЗМЕРКАВАННЕ ВЕРАГОДНАГА СТАНУ СЕТАК МАСАВАГА АБСЛУГОЎВАННЯ З ГРУПАВЫМI ПЕРАМЯШЧЭННЯМI

Ключавыя словы: сеткі масавага абслугоўвання, групавыя перамяшчэннi заявак, інтэнсіўнасці пераходаў, раўнанні трафіку, стацыянарнае размеркаванне, эргадычнасць.

Мэта працы - пошук неабходных і дастатковых умоў існавання стацыянарнага размеркавання сетак масавага абслугоўвання з групавымі перамяшчэннямi у форме здабытку змешчаных геаметрычных размеркаванняў.

У працы выкарыстоўваліся метады матэматычнага аналізу, тэорыі iмавернасцяў, тэорыі маркаўскіх працэсаў, тэорыі масавага абслугоўвання. Даследванні грунтаваліся на метадзе звароту часу маркаўскага працэсу і метадзе лакальнага балансу.

Атрыманы наступныя новыя вынiкi:

1. Стацыянарнае размеркаванне адкрытых экспаненцыяльных сетак масавага абслугоўвання з групавым паступленнем і асамблейна-трансферным групавым абслугоўваннем мае форму здабытку змешчаных геаметрычных размеркаванняў, калі памеры паступаючых груп і груп паступаючых на абслугоўванне маюць геаметрычнае размеркаванне.

2. Стацыянарнае размеркаванне адкрытых экспаненцыяльных сетак масавага абслугоўвання з перадачай паведамленняў аб фарміраванні паступаючых груп і групавым асамблейна-трансферным абслугоўваннем мае форму здабытку змешчаных геаметрычных размеркаванняў, калі памеры зфарміраваных у сістэмах груп маюць геаметрычныя размеркаваннi.

Усе атрыманыя вынікі новыя. Праца носіць тэарэтычны характар. Практычная значнасць вынікаў вызначаецца магчымасцю прымянення іх у досыць шырокiм класе задач пры праектаванні, мадэляванні, эксплуатацыі, а таксама аналізе эфектыўнасці функцыянавання рэальных сетак з групавымі перамяшчэннямi заявак.

SUMMARY

Korobeinikova Eugenia Vasilyevna

STATIONARY DISTRIBUTION OF PROBABILITIES OF COMMON-USER NETWORK STATES WITH GROUP SHIFTS

Keywords: common-user networks, group shifts of claims, shift intensity, traffic equation, stationary distribution, ergodicity.

The Aim of the work: is to find the required and sufficient conditions for the stationary distribution existence in the common-user networks with group shifts in the form of the product of shifted geometrical distributions.

The present work has employed the methods of mathematical analysis, the theory of probability, theory of Markovian processes. queuing theory. The investigations were based on the method of time reversal of Markovian processes and the local balance procedure.

The novel scientific results have been obtained, namely:

1. The stationary distribution of the open exponential common-user networks with a group entry and ensemble-transferred group service is of the form of the product of the shifted geometrical distributions in the case the sizes of the entering groups and the groups received for service are having geometrical distribution.

2. The stationary distribution of the open exponential common-user networks with the message transfer on formation of the entry groups, and a group ensemble-transferred service is of the form of the product of shifted geometrical distributions in the case the sizes of the formed in the systems groups are having geometrical distribution.

All the results obtained are novel. The work is of a theoretical character. The practical value of the results depends upon the possibilities of their application in a wide-range of problems dealing with design, simulation, operation and analysis of operation effectiveness of a real network with a group shift of claims.

Размещено на Allbest.ru

...