Выявление незначительных отклонений значений и составление частотной карты временного ряда с помощью кратномасштабного вейвлет-преобразования

Размещено на http://www.allbest.ru/

Выявление незначительных отклонений значений и составление частотной карты временного ряда с помощью кратномасштабного вейвлет-преобразования

В.С. Семёнов¹, А.П. Лушавин²Семенов Владимир Семеонвич - д. т. н., профессор.

Лушавин Андрей Петрович -аспирант.

¹ Самарский государственный технический университет,

443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244

² Открытое акционерное общество «Тяжмаш»

446010, Сызрань, ул. Гидротурбинная, 13

Аннотация

Рассматривается способ контрольного анализа временного ряда при применении кратномасштабного вейвлет-анализа с разложением по функциям Хаара. Даются рекомендации к применению матриц Адамара в разложении.

Ключевые слова: кратномасштабный вейвлет-анализ, коэффициенты Хаара, матрица Адамара.

линейный алгебра матрица адамар

Сравнение протекания технологических процессов, представленных в виде временных рядов, как анализ эталонных и фактических значений представляет важный практический интерес как с позиции обеспечения качества, так и с позиции предотвращения возможных аварийных ситуаций на производстве. Реальные временные ряды технологических процессов представляют, как правило, сложные нестационарные зависимости, для которых исследование с помощью Фурье-преобразования имеет ряд существенных ограничений [4, 7, 8]. Преодолеть эти ограничения возможно с помощью новых функций - вейвлетов [4].

Основная часть

Рассматриваемые ряды взяты как пример из работы [1]. В статье будут рассмотрены два ряда - ряд С (отсчёт температур химического процесса каждую минуту) и ряд D (отсчёт вязкости химического процесса каждый час). Таблицы рядов довольно объёмные: ряд С включает 226 наблюдений, ряд D - 310, поэтому эти таблицы можно посмотреть в работе [1, стр. 388-397].

Проведём сравнительный анализ рядов D и С на хаотичность и, как следствие, возможность прогнозирования (табл. 1).

Составление частотной карты технологического процесса (в конкретном случае - химического, ряд С - отсчёты температур химического процесса каждую минуту) может осуществляться по следующим шагам:

1. Выбирается уровень разложения (в данном случае 4).

2. Осуществляется разложение до уровня 4 (на квартили).

3. Получаем четыре ряда коэффициентов: первый - это коэффициенты аппроксимации, показывающие усреднение четырёх квартилей; три других - детализирующие коэффициенты: первый - разность между средними значениями первой и второй квартили, между первыми двумя и третьей, между первыми тремя и четвёртой.

4. При помощи преобразования Фурье находим интенсивность частотного спектра и строим их графики - получаем частотную карту технологического процесса, которая может быть использована для контроля протекания технологического процесса. Особенность частотной карты будет заключаться в том, при помощи какого вейвлета получены коэффициенты и какой уровень разложения выбран, - возможно выбрать более высокий уровень, чем 4. По частотной карте для каждого периода можно выделить (если они есть) характерные частоты этого периода.

Таблица 1. Сравнительные данные для рядов D и C

Сделаем сравнительный анализ численных (статистических) характеристик вейвлет-коэффициентов исходного и модифицированного рядов с изменением значений с исходного 22,8 на 23 и 23,3 соответственно. Будут вычислены среднеквадратичные отклонения, средние абсолютные отклонения и максимальные отклонения (табл. 2).

Таблица 2

Статистические характеристики (ряд C) по уровням разложения

Выполненные преобразования основаны на использовании кратномасштабного анализа и использовании фильтров. Первым типом вейвлетов, для которого была доказана возможность такого анализа, как раз и был вейвлет Хаара [4, стр. 107]. Система Хаара известна с 1910 г. [8, стр. 386]. Выбор вейвлетов Хаара объясняется тем, что можно понять смысл коэффициентов разложения. Впрочем, ничто не препятствует выбору другого типа вейвлета. В литературе по вейвлетам часто приводятся примеры кратномасштабного разложения вейвлетов Котельникова - Шеннона [7, стр. 205] и вейвлета Добеши 4 [4, стр. 123]. Подробное изложение теоретической методики кратномасштабного вейвлет-разложения можно найти в работе [7]. Здесь приводятся лишь результаты преобразований и даются практические рекомендации по нахождению масштабирующих фильтров.

Частотные функции удовлетворяют свойству унитарности матрицы:

.

Решением будет построение матрицы порядка Nc ортогональными строками, первая строка которой есть вектор Можно, например, взять матрицу Адамара (в этом случае должно выполняться условие построения таких матриц, а именно: её порядок N должен быть кратен 4 и N, N/12 или N/20 должно быть степенью 2). Можно взять следующую матрицу порядка N:

,

А затем провести нормировку строк. Стоит отметить, что методика нахождения кратномасштабного разложения Хаара не является единственной. Другие методики разложения вейвлетов Хаара и других вейвлетов (в частности, Котельникова - Шеннона, Кантора, Добеши 4) можно найти в работе [7, стр. 193-241]. Более полное описание с позиции теоретического базиса математики представлено в работе [8]. Практические рекомендации по нахождению масштабирующих фильтров могут использоваться для проведения кратномасштабного вейвлет-анализа в СКМ Matlab, т.к. для этого необходимо составление программного кода с применением функций Matlab и с заданием конкретных значений масштабирующих фильтров.

Но в этом случае проведение какого-либо спектрального анализа для сравнения, скорее всего, вообще не имеет смысла, так как такая большая разница в данных (значение 121-го наблюдения изменилось на 31,58%) будет хорошо заметна в виде «всплеска» и на графиках фактических наблюдений. В начале статьи был произведён анализ рядов С и D на хаотичность («изрезанность») ряда. Показатель Херста сейчас активно изучается для оценки хаотичности («изрезанности») ряда. Применению такого критерия, как показатель Херста, посвящено несколько научных статей, где рассматривается обоснованность его использования (в частности, [6]). Использование показателя Херста объясняется тем, что этот показатель является устойчивым, требует минимальных предположений об изучаемой системе, может отделять случайный ряд от неслучайного, даже если случайный ряд не является гауссовским. Стоит отметить, что до сих пор не существует строгого математического доказательства изложенных выше свойств показателя Херста, тем не менее вычисление этого показателя уже включено в такую популярную СКМ, как MatLab, в виде отдельной функции. При анализе исследуемых рядов значение показателя Херста H для ряда D либо меньше 1/2, либо около 1/2, что означает его бульшую хаотичность. Такие ряды очень трудно поддаются прогнозированию с помощью известных на данных момент методов (например, ARIMA или искусственными нейронными сетями). Поэтому для таких процессов в качестве контроля можно предложить описанный в этой статье способ контроля и сравнивания протекания технологического процесса с эталонным с привлечением средств кратномасштабного вейвлет-анализа.

Применение для сравнения разности эталонного и сравниваемого рядов не совсем корректно по следующим соображениям: необходимо разработать методику, по которой эта разность будет оцениваться, простое выявление различий в этом случае неприемлемо, т.к. любой технологический процесс имеет некоторый диапазон разброса значений («допуск» в терминологии машиностроения), в рамках которого протекание процесса может считаться нормальным. С помощью кратномасштабного вейвлет-анализа можно задать граничные значения в статистических значениях детализирующих коэффициентов, при выходе из которых можно сделать вывод о выходе процесса из допустимых рамок значений. Продемонстрированная чувствительность кратномасштабного вейвлет-анализа при этом может дать необходимую точность и оперативность контроля.

Применение кратномасштабного вейвлет-анализа даёт возможность «тонкого контроля» протекания технологических процессов, описанных в виде временных рядов.

Библиографический список

1. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. Вып. 1. - M.: Мир, 1974. - 406 c.

2. Боровиков В.П. Прогнозирование в системе STATISTICA в среде Windows: основы теории и интенсивная практика на компьютере. - М.: Финансы и статистика, 2006. - 368с.

3. Дьяконов В.П., Круглов В.В. MATLAB 6.5 SP1/7/7 SP1/7 +Simulink 5/6. Инструменты искусственного интеллекта и биоинформатики. Сер. Библиотека профессионала. - М.: СОЛОН-ПРЕСС, 2006. - 456 с.: ил.

4. Дьяконов В.П. Вейвлеты. От теории к практике. - М.: СОЛОН-Пресс, 2004. - 400 c.

5. Кетков Ю.Л., Кетков А.Ю., Шульц M.M.MATLAB 7: программирование, численные методы. - CПб.: БХВ-Петербург, 2005. - 752 c.

6. Калуш Ю.А., Логинов В.M. Показатель Хёрста и его скрытые свойства // Сибирский журнал индустриальной математики. - Октябрь-декабрь, 2002. - Том 5. - № 4(12).

7. Смоленцев Н.К. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в MATLAB. - М.: ДМК Пресс, 2008. - 448c.

8. Фрейзер M. Введение в вейвлеты в свете линейной алгебры/ M. Фрейзер; пер. с англ. - M.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. - 487 с.

Размещено на Allbest.ru