Определение, построение и анализ системы целочисленных последовательностей

целочисленный последовательность транзакционный управление

Таблица 1. Числовой образ семейства ?(N)

Теперь нам предстоит показать, что числовой образ семейства L(N) является системой целочисленных последовательностей S(M, ). Анализируя элементы a(i,j) табл. 1, определим рекурсивную функцию (2).

(2)

Например: a(25,14)=a(24,13)+a(19,11)=6+10=16. Формула (2) может использоваться для циклической записи. Следует помнить, что для больших значений N использование рекурсивной формулы требует значительной памяти и времени.

Рассмотрим ребра, исходящие из вершин уровня i в вершины уровня i+1 для каждой из входящих в семейство L(N) решеток L(n). Подсчитанное таким образом количество ребер представим в табл. 2.

Таблица 2. Количество ребер в решетках семейства L(N)

Анализируя табл. 2, зададим (3) для вычисления ее элементов d(i,n). Пример: d(20,13)=d(19,12)+d(12,9)=56+9.

(3)

Укажем известные в [10, 11] числовые последовательности, имеющиеся в табл. 1 и 2.

- разбиения без повторений. Здесь .

- разбиения с повторениями.

- число ребер в решетке L(n).

- максимальное уровневое число в p(n).

- сумма произведений уровневых чисел p(n) на количество частей разбиения. Пример: A006128(4)=1*1+2*2+3*1+4*1=12.

- уровневые числа решетки разбиений. Например: последовательность A008284(8)=(1,4,5,5,3,2,1,1).

- сумма элементов семейства N решеток p(n).

где - число ребер, исходящих из вершин уровня i на уровень i+1 семейства L(N) решеток разбиений.

Введем новые последовательности щ₁(i,N) и щ₂(i,N), отсутствовавшие на момент написания статьи в [10, 11].

где . Заметим, что щ₁(i,N)=A000009(i,N) для

где . Заметим, что щ₂(i,N)=A096678(i,N) для В табл. 1 последовательности щ₁(i,N) и щ₂(i,N) для i>N выделены жирным шрифтом.

Анализируя табл. 1 и 2, установим тождество ₁ и ₂ соответственно:

Рассмотрим свойство ₃:P(i,N) элементов последовательности щ₁. Пусть

На рис. 2 показаны графики функции P(i,N) для N=20, 50, 80. Для P(i,N) определим

и дисперсию

Функция P(i,N) имеет сходство с логнормальным распределением (4) с параметрами и [6] и распределением Максвелла (5).

(4)

(5)

Рассмотрим формулу (5) для кислорода. Здесь молекулярная масса M=0.032, m=M/Na - масса частиц, Na=6.02214199*10²³ - число Авогадро, постоянная Больцмана k=1.380658*10^-23, Т - температура в град. Кельвина, Переменная i означает скорость m/sec молекул.

Конечный выбор функции аппроксимации для P(i,N) зависит от величин RL для (4) и RM для (5) достоверности аппроксимации:

,

где

Результаты - в табл. 3.

Таблица 3. Результаты численных экспериментов с функцией P(i,N)

Значения RL и RM говорят в пользу (4). На рис. 3 жирной линией показан график P(i,N) в сравнении с логнормальным X(i,N) распределением (слева) и с распределением f(i,T) Максвелла (справа) для N=100.

Рис. 3. Функция P(i,N) в сравнении с логнормальным распределением и распределением Максвелла

Несмотря на то, что гипотеза о принадлежности к распределению Максвелла дает не такие убедительные результаты, как гипотеза о логнормальном распределении, следует задуматься над некоторыми системными выводами. Молекулярная физика оперирует конечными объектами - молекулами. Распределение их скоростей в замкнутом пространстве также имеет конечное значение. И сходство в данном случае вряд ли случайное.

Итак, мы установили, что =(A000009, A000041, A000097, A002569, A006128, A008284, A026905, A096778, щ₁, щ₂). Интегративные свойства В=(₁, ₂, ₃). Этого достаточно, чтобы представленные в табл. 1 последовательности рассматривать как систему S(M,) целочисленных последовательностей. Поскольку за основу взята функция p(n) разбиений, то назовем S(M, ) системой разбиений.

Практика и возможные пути использования системы разбиений S(M, ). В практике встречаются транзакционные системы, структура информационного взаимодействия которых является деревом с числом уровней не более двух. Например, сети платежных терминалов или информационное взаимодействие кредитной организации с платежными агентами. В последнем случае на самом верхнем уровне находится кредитная организация, на следующем уровне - поставщики услуг и/или агенты. Нижний уровень структуры занимают только поставщики услуг. Можно предположить, что число уровней будет больше, однако на практике такие «посредники» встречаются редко. Далее в данной статье под термином «структура» понимается описанное выше двухуровневое дерево.

Установим правило однозначного соответствия элементов рассмотренного ранее семейства L(N) множеству структур. Количество цифр в обозначении элементов L(N) определяет количество ребер (веток), исходящих из корневой вершины соответствующего дерева. Сами цифры определяют количество листьев на каждой соответствующей ветке. Если на ветке один лист, то он не изображается.

На рис. 4 слева показано семейство ?(N) решеток разбиений L(n), где n=1…N=6. Цифры слева от рис. 4 равны 2N-i. Цифры справа от рисунка показывают уровневые числа или сумму вершин ?(N).

Рассмотрим произвольный маршрут E=(e₁,e₂…e_2N-1) из 0 в 1 на ?(N). Справа на рис. 4 показаны корневые деревья, соответствующие обозначенным вершинам ?(N), принадлежащим E=(1, 11, 111, 1111, 11111, 111111, 21111, 2211, 222, 42, 6).

Пусть множество структур ограничено множеством E. В каждый дискретный промежуток времени листья в дереве могут быть добавлены или удалены. Для определения вероятности миграции от одной структуры к другой, когда добавление или удаление листьев равновероятно, воспользуемся [3, стр. 34] формулой (6) для одномерного случайного дискретного блуждания.

(6)

где W(k,M) означает вероятность перехода от уровня i до уровня ik за M шагов.

Предположим, в некоторый момент времени транзакционная система имела структуру, соответствующую элементу (111111). Тогда вероятность перехода через 4 шага к структуре, соответствующей элементу (2211), равна W(2,4)=0,25.

Таблица 4. Вероятности миграции структуры за M шагов на уровень k

В табл. 4 в затененных ячейках указаны вероятности W(k,M) перехода системы в одну из структур из множества E, вычисленные по формуле (6). Отсутствие затенения означает, что W(k,M)=0, и за указанное число M шагов нельзя получить соответствующую структуру.

На практике данная модель означает либо привлечение, либо уход клиента (в нашем случае поставщика услуг) за определенный период времени, например, неделю или месяц.

Если ограничений на использование множества структур нет, то модель становится сложнее, и следует дополнительно применить предложенные соотношения для P(i,N).

Рассмотренный подход позволяет спрогнозировать поведение транзакционной системы, определить вероятность возникновения новой структуры в определенный момент времени, что необходимо для планирования интеллектуальных, финансовых и т.п. ресурсов. Программная среда, обслуживающая такие структуры, должна обеспечивать переход от одной структуры к другой без потери истории переходов и системной информации (описания структуры системы в произвольный момент времени).

Выводы