О периодических решениях краевой задачи для квазилинейных интегральных уравнений Вольтерра

Размещено на http://www.allbest.ru/

О ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА

Джээнбаева Г.А.



1. Рассмотрим для интегрального уравнения Вольтерра (ИУВ) второго рода

, (1)

где K(t, s) - квадратная матричная функция; а - вектор-функция определенные и непрерывные соответственно в областях -? < S, t< ?, -? < t< ?, причем

(2)

Вопросы существования периодических решений. Как известно, для систем дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами

(3)

если x(t) - решение, то функция тоже является ее решением. Этот факт лежит в основе методов исследования проблемы периодических решений систем вида (3). Для ИУВ (1) такое явление не имеет места, так как интегральный оператор Вольтерра не всегда отображает периодический вектор в периодический [5, C. 57], т.е. в случае ИУВ не для всякого решения u(t)будет его решением и функция . В силу не периодичности оператора Вольтерра очень важна проблема выделения такого класса ИУВ, для которых существуют периодические решения.

Теорема 1. Наряду с u(t) будет решением ИУВ (1), (2) и функция в том, и только в том случае, когда для u(t) выполняется условие



(4)

тождественно по .

Доказательство. 1) Докажем сначала необходимость условий (4) теоремы. Пусть u = u(t)некоторое щ периодическое решение (1), т.е.

(5)

Отсюда в силу (1) имеем

.

Далее, учитывая (2) и преобразуя интеграл с левой стороны, получим

.

Сделаем замену во втором интеграле левой стороны равенства: . Находим пределы интегрирования:

При и при

.

Из последнего равенства в силу (2), (5) имеем (4).

2) Докажем теперь достаточность условий (4). Предположим, что выполнено (4) и пусть u(t) - решение (1). Тогда в силу (2), (4) имеем



Последнее соотношение показывает, что функция также является решением уравнения (1). Что и требовалось доказать.

Замечание 1. В силу произвольности t в (4) в слагаемом можно опустить щ, но по соображениям дальнейших удобств мы сохраняем такую форму. Кроме того, для краткости в дальнейшем будем пользоваться символом .

Условие (4) представляет собой неявное ограничение на ядро .

Замечание 2. Теорема остается справедливой и для ИУВ первого рода

(6)

при выполнении условий (2).

Следуя методике, приведенной в [3], покажем справедливость замечания 2. Пусть u(t) - некоторое периодическое решение (6), т.е. т.е. уравнение (6) превращено в тождество. Из теории чисел известно, что для любого найдется натуральное число и величина , что

.

Поэтому, заменяя в полученном тождестве (6) и учитывая (2) получим

(7)



Так как, во-первых,

где в последнем переходе второй интервал преобразован с помощью подстановки и использованы периодичность ядра и решения; во-вторых, тождество (3.4.7) верно и при n=0, то

(8)

В свою очередь, так как

(9)

где сначала проведено преобразование и использовано свойство ядра из (2), а затем учтено, что соотношение (8) в силу произвольности n верно и для n-1. Имеем

Отсюда, учитывая (9) имеем

,



или, так как , отсюда имеем (4).

Таким образом, для существования щ-периодического решения ИУВ второго (первого) рода с периодическим ядром и свободным членом, необходимо и достаточно выполнения условия (4). Необходимость этого условия, видимо, впервые было обнаружено Г.Вахабовым [4], при исследовании интегро-дифференциальных систем. Условие (4) было активно использовано в [3], [4] при обосновании метода построения периодических решений интегро-дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.

Пример 1. Для ИУВ второго рода

(10)

выполнены все условия (2), где . Уравнение (10) имеет решение , период которой . Условие (4) в данном случае запишется в виде

,

и оно выполнено (ортогональность функций ).

Пример 2. Для ИУВ первого рода

(11)



также выполнены условия (2), где . Уравнение (11) имеет решение , период которой . В силу замечания 1, для проверим выполнение условия (4):

.

1. II. Рассмотрим векторно-матричное нелинейное ИУВ с периодическими коэффициентами

, (12)

где непрерывная квадратная матричная функция, n-мерная вектор функция определена и непрерывна в области причём

(13)

Пусть решение периодической краевой задачи для интегрального уравнения (12), (13). Обозначим периодическое продолжение на всю ось. Поставим вопрос: при выполнении каких условий щ-периодическая функция будет решением интегрального уравнения (12), (13).

Так как есть щ периодическое продолжение справедливо соотношение



(14)

Поскольку для любого и заданного всегда найдётся единственное натуральное число n такое, что (14) можно представить в виде

(15)

Имеет место [4, C. 53]

Лемма. Если для и произвольного в выполнено условие

, (16)

то для и натурального m справедливо соотношение

. (17)

Эта лемма позволяет доказать следующее предложение:

Теорема 2. Периодическое продолжение решения периодической краевой задачи для интегрального уравнения (12) с периодическими коэффициентами (13) будет решением того же уравнения тогда и только тогда, когда для выполнено условие (16).

Необходимость. Так как - решение задачи (12), (13), то справедливо тождество



(18)

Откуда в силу (12), (15)

(19)

для произвольного t имеем

здесь можно положить .

Достаточность. Предположим, что выполнено условие (16) и покажем, что удовлетворяет интегральному уравнению (12). Составим выражение

(20)

Положим в (20) и учитывая (13), (15) имеем



(21)

Рассмотрим интегральную часть

Первое слагаемое в силу леммы есть нуль (m=0). Преобразуем второе слагаемое с помощью подстановки и учитывая (13), (15) получим

(22)

Преобразуем (21) с помощью (22) и учитывая, что при есть решение (12), имеем

(23)

Из сравнения (20) и(23) следует, что есть решение интегрального уравнения (12). Теорема 2 полностью доказана.

III. Далее рассмотрим квазилинейную систему ИУВ

(24)



Где

.

Кроме того, вектор-функция аналитична по векторному u и скалярному s аргументам при . Наряду со сказанным будем предполагать

(25)

В данном пункте исследуется проблема периодических решений для (24), (25).

Уравнение

(26)

получающееся из (24) при е=0, называется порождающим. Предположим, что для оно имеет щ-периодическое решение, т.е.

(27)

Ставим задачу. Найти решения периодической краевой задачи для (24), которые при стремятся к решению периодической краевой задачи для порождающего уравнения (26), (27).

Для решения задачи предположим, что для системы (24), также выполнено условие (16).

Из аналитичности F по u следует, что она удовлетворяет условию Липшица

(28)

Пусть и для определим оператор :

, (29)

(30)

К операторному уравнению (29) применим принцип сжатых отображений. Очевидно, что т.е. оператор A отображает .

Далее покажем, что для достаточно малых q и оператор отображает и является оператором сжатия.

Из тождества

(31)

и неравенства Липшица (28) имеем

(32)

Из (30), (31) получим



(33)

где .

Если теперь удастся выбрать так, чтобы выполнялось неравенство

(34)

то будет для таких и, но, полагая в левой части е=0 и учитывая (34) будем иметь

(35)

при этом должно быть . Поэтому (35) в определенном смысле является ограничением на f и ядро .

Кроме того, оператор Au будет сжимающим в . Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что

(36)

В силу (36) можем сказать, что Au - действительно оператор сжатия на так как условия (34) совместна.

Поэтому в существует единственная неподвижная точка оператора Au. Ясно, что аналитичность функции по е следует из аналитичности F по е и u.

Тем самым, доказано.

Теорема 3. Пусть порождающая система (26) для имеет периодическое решение, тогда найдутся постоянные такие, что в области существует и притом единственное решение периодической краевой задачи (24), (27), такое, что - решение периодической краевой задачи для порождающего уравнения (26), (27).

интегральный уравнение вольтерр



Список литературы

1. Алымбаев А.Т. О нахождении периодических решений автономных систем интегро-дифференциальных уравнений / Алымбаев А.Т. // Иследования по интегро-дифф. уравн. - Фрунзе: Илим, 1983, вып.16. - С. 226-233.

2. Алымкулов К. О периодических решениях неавтономных систем диф. уравнений / Алымкулов К. // Илим, 1962, вып.5. - С. 177-182.

3. Боташев А.И. Периодические решения интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра / Боташев А.И. // М.: Издательство МФТН, 1998. - 88 с.

4. Вахабов Г. Численно-аналитический метод исследования периодических систем интегро-дифференциальных уравнений / Вахабов Г. // УМЖ. 1969. - № 5. - С. 75-83.

5. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений / Еругин Н.П. // Минск: Наука и техника, 1979. - 743 с.

6. Иманалиев М.И. Математические исследования / Иманалиев М.И., Боташев А.И. // Изв.АН Кирг. ССР, Сер.физ.-тех.и мат. науки. - 1990. - №2. - С. 3-20.

7. Иманалиев М.И. Интегральные уравнения / Иманалиев М.И, Хведелидзе Б.В., Боташев А.И. и др. // Дифф. уравнения. - 1982. - Т. 18, № 12. -С. 2050-2069.

8. Иманалиев М. Колебание и устойчивость решений сингулярно-возмущенных интегро-дифференциальных систем / Иманалиев М.И. // Фрунзе: Илим, 1974. - 352 с.

9. Байзаков А.Б. Об одном условии существования периодических решений интегральных уравнений Вольтерра / Байзаков А.Б. // Исследования по интегро-диф. уравнениям. - Бишкек: Илим, 2004. - вып. 33. - С. 222-226.

10. Байзаков А.Б. О разрешимости начальной задачи сингулярно-возмущенной интегро-дифференциальных уравнений в частных производных третьего порядка / Байзаков А.Б., Джээнбаева Г.А. // Международная научно-практическая конференция. - Актюбинск, - С. 100-106

Размещено на Allbest.ru

...