Междисциплинарные связи в разделах математики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Междисциплинарные связи в разделах математики

Андреев-Твердов Андрей Игоревич, к.т.н., доцент

Боровиков Иван Федорович, к.т.н., доцент

Хуснетдинов Тимур Рустямович

Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана

В статье предложен оригинальный прием построения касательной к заданным дугам окружностей для двух вариантов в зависимости от расположения точки пересечения касательной и прямой, соединяющей центры дуг. Проведен анализ, подтверждающий сокращение объема построений и повышение точности при определении точек пересечения при новом способе построения по сравнению с традиционным. Показан пример установления междисциплинарных связей графического решения задачи с аналитическим решением. Предложенные решения задачи двумя вариантами сопровождаются подробным описанием и наглядными графическими изображениями. графический математика задача

Ключевые слова и фразы: окружность; прямая; касательная; сопряжение; точка сопряжения; отрезок; центр дуги; радиус.

The paper proposes an original method of construction of a tangent to the given arcs of circles for two variants depending on the location of the point of intersection of the tangent line and the straight line connecting the arcs centres. The authors carry out an analysis confirming the reduction in the volume of constructions and the increase in the accuracy of the determination of the intersection points in a new construction method in comparison with the traditional one. An example of the formation of interdisciplinary connections of the graphic solution of the problem with an analytical solution is shown. The proposed solutions of the problem in two variants are accompanied by detailed description and illustrative graphics.

Key words and phrases: circle; straight line; tangent line; conjugation; conjugation point; segment; arc centre; radius.

Переход на Болонскую систему преподавания, сокращение часов на технические дисциплины (даже в высших технических заведениях), увеличение количества часов на самостоятельную работу студентов за счет аудиторного времени заставляют преподавателей разрабатывать новые программы курсов, объединять уже существующие, дабы не потерять их совсем. На примере технических дисциплин это возможно сделать путем установления междисциплинарных связей, например, в начертательной геометрии, инженерной графике, аналитической геометрии, в курсе теории машин и механизмов и многих других, что, несомненно, вызовет интерес у студентов.

Цель работы - еще раз показать наличие междисциплинарных связей между начертательной геометрией, инженерной графикой, компьютерной графикой, аналитической геометрией и другими разделами математики [4; 8].

В современной инженерной деятельности почти все построения выполняются с помощью систем автоматизированного проектирования (САПР) [6; 11].

Однако исходными данными для создания подобных систем были аналитические вычисления и геометрические построения, полученные с помощью линейки и циркуля. В свою очередь, аналитические способы приводят к погрешностям из-за округления полученных промежуточных вычислений [15].

Начертательную геометрию иногда противопоставляют аналитической, выраженной в виде или формул, или компьютерных алгоритмов, реализуемых ЭВМ [12-14].

Для образовательного процесса очень важно показать решение задач различными способами, тем самым связать графические, аналитические, компьютерные методы решения задач между собой [3].

В примере ниже приведена задача на построение касательных к двум окружностям, сводимая в классическом решении с помощью линейки и циркуля к построению прямого угла. Также она решена и аналитически, а проиллюстрирована с помощью графического пакета САПР [11].

Рассмотрим более подробно построение касательных к двум окружностям.

Под сопряжением линий на плоскости понимают плавный переход одной линии в другую. Такой переход может быть осуществлен непосредственно от одной линии к другой или через дугу сопряжения [1; 2; 5; 7; 10].

Рассмотрим случай, когда две дуги окружности сопрягаются отрезком прямой. Точки сопряжения N1; N2 расположены по одну сторону от прямой, соединяющей центры O1; O2. Заданы положения центров - (O1; O2) и радиусы - R1; R2 (Рис. 1).

Рисунок 1. Построение касательной к двум окружностям классическим способом. Точки сопряжения находятся по одну сторону от прямой, соединяющей центры

В классическом варианте решения (Рис. 1) на первом этапе строят вспомогательную окружность, концентрическую с окружностью (O1; R1) и радиусом Rв=R2-R1.

Далее отрезок O1O2 делят пополам точкой А, которую принимают за центр дуги окружности с радиусом R=AO1. Эта дуга пересекает вспомогательную окружность в точке Nв.

Затем строят нормаль O1Nв и находят точку сопряжения N1 - это общая точка касательной и дуги. Через нее проходит перпендикуляр к касательной, выходящий из центра окружности. Вторую точку сопряжения N2 находят, используя параллельность прямых O2N2 || O1N1.

Предлагаемый способ построения (Рис. 2) начинаем с определения места вспомогательной точки B (внешний центр подобия окружностей). Точка B принадлежит прямой О1О2 и удалена от точки О1 на расстояние ВО1 = R1?R2 Ч О1О2. Размеры R1; R2; О1O2 - исходные, поэтому могут быть приняты к определению BO1 без предварительных расчетов.

Рисунок 2. Построение касательной к двум окружностям новым способом. Точки сопряжения находятся по одну сторону от прямой, соединяющей центры

Далее по известной схеме (например, см. Рис. 1) строим точку сопряжения N1 окружности O1R1 и касательной.

Точку сопряжения N2 находим, проведя перпендикуляр к прямой BN1 из точки O2.

Схожие построения точек сопряжения можно применить, когда точки сопряжения N1; N2 расположены по разные стороны от прямой, соединяющей центры O1; O2.

Как и в предыдущем случае, заданы центры O1; O2 и радиусы R1; R2.

В традиционном варианте решение начинают с проведения вспомогательной окружности с центром O2 и радиусом R1+R2. Затем, разделив отрезок [O1O2] точкой А пополам, проводят дугу с центром в точке А и радиусом R=O1A. Вспомогательная точка Nв лежит в пересечении вспомогательных дуги и окружности (Рис. 3).

N2 - общая точка отрезка NвО2 и заданной окружности О2R2. N1 строят по условию параллельности О1N1 и NвО2.

Рисунок 3. Построение касательной к двум окружностям классическим способом. Точки сопряжения находятся по разные стороны от прямой, соединяющей центры

Для тех же исходных данных и условия расположения касательной в новом варианте сначала строим точку В (внутренний центр гомотетии окружностей), выдерживая соотношение О1В = R1(Рис. 4).

Далее находим N2 и проводим касательную N2B. Перпендикуляр к ней, проведенный из точки О1, определит место точки сопряжения - N1.

Рисунок 4. Построение касательной к двум окружностям новым способом. Точки сопряжения находятся по разные стороны от прямой, соединяющей центры

Предлагаемый способ проведения касательной к заданным дугам окружностей позволяет при некотором сокращении объема чертежных работ повысить точность построения. Для данных Рис. 1 и Рис. 2 соотношение систематических ошибок тем больше при построении точки сопряжения N1, чем меньше разница радиусов R1 и R2. Проведение перпендикуляров к найденным направлениям касательных повышает точность нахождения точки сопряжения N2 (Рис. 2) и N1 (Рис. 4).

Стоит также отметить предпочтительность графических форм предъявления информации по сравнению с вербальной формой [9].

Решение подобных задач различными способами позволит привлечь большее внимание к теме установления междисциплинарных связей, а особенно в математических дисциплинах, а также может помочь студентам развивать пространственное мышление при решении геометрических задач.

Пример подобных задач представлен на Рис. 5-8. На Рис. 5 представлено построение прямой m как прямой, проходящей через вершины внешних касательных к трем окружностям.

Рисунок 5. Иллюстрация теоремы Монжа для случая внешнего касания прямых трех окружностей

Эта задача была сформулирована Жаном Д'Аламбером, а доказана Гаспаром Монжем [16; 17].

Теорема: Для трёх произвольных окружностей, каждая из которых не лежит целиком внутри другой, точки пересечения общих внешних касательных к каждой паре окружностей лежат на одной прямой.

Доказательство этой теоремы выходит из плоскости в трехмерное пространство.

Из доказательства линия m является прямой пересечения плоскости, проведенной через центры сфер, с плоскостью, касательной к трем этим сферам. Все сферы находятся по одну сторону от касательной к ним плоскости.

Рисунок 6. Иллюстрация теоремы Монжа для случая смешанного касания прямых трех окружностей (вариант 1)

Из доказательства линия p является прямой пересечения плоскости, проведенной через центры сфер, с плоскостью, касательной к трем этим сферам. На Рис. 6 малая сфера находится по одну сторону от касательной плоскости, а две другие - по другую сторону. На Рис. 7 и 8 представлены аналогичные решения для средней и большой сфер с прямыми n и q.

Рисунок 7. Иллюстрация теоремы Монжа для случая смешанного касания прямых трех окружностей (вариант 2)

Рисунок 8. Иллюстрация теоремы Монжа для случая смешанного касания прямых трех окружностей (вариант 3)

Установление междисциплинарных связей позволит студентам лучше понять изучаемые дисциплины, увидеть их общность. В рамках графических и математических курсов междисциплинарные связи помогают развить пространственное мышление, необходимое для обучения в высших технических заведениях и в дальнейшей инженерной деятельности в целом.

Список источников

1. Андреев-Твердов А. И., Боровиков И. Ф., Головачева Л. И. Построение сопряжений при заданной точке сопряжения // Альманах современной науки и образования. 2016. № 5. С. 10-13.

2. Геометрические построения плоских фигур / сост. А. Ю. Горячкина, И. А. Горюнова. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2012. 45 с.

3. Головнин А. А. Базовые алгоритмы компьютерной графики // Проблемы качества графической подготовки студентов в техническом вузе: традиции и инновации. 2016. Т. 1. С. 13-30.

4. Иванов Г. С.,Дмитриева И. М. Принцип двойственности - теоретическая база взаимосвязи синтетических и аналитических способов решения геометрических задач // Геометрия и графика. 2016. Т. 4. № 3. C. 3-10. DOI: 10.12737/21528.

5. Левицкий В. С. Машиностроительное черчение и автоматизация выполнения чертежей. М.: Высшая школа, 2000. 422 с.

6. Полубинская Л. Г., Федоренков А. П., Юдин Е. Г. AutoCAD для машиностроителей: учеб. пособие. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2012. 79 с.

7. Рабочая тетрадь по инженерной графике / сост. О. Г. Мелкумян, В. И. Серегин, Н. Г. Суркова. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2013. 47 с.

8. Сальков Н. А. Начертательная геометрия - база для геометрии аналитической // Геометрия и графика. 2016. Т. 4. № 1.

C. 44-54. DOI: 10.12737/18057.

9. Тестов В. А.Основные проблемы реализации концепции развития математического образования // Математические методы и модели: теория, приложения и роль в образовании. Ульяновск, 2014. № 3. С. 278-287.

10. Федоренко В. А., Шошин А. И. Справочник по машиностроительному черчению. М.: Машиностроение, 1981. 416 с.

11. Федоренков А. П., Полубинская Л. Г. Autodesk Inventor: шаг за шагом. М.: Эксмо, 2008. 329 с.

12. Хейфец А. Л. Геометрическая точность компьютерных алгоритмов конструктивных задач // Проблемы качества графической подготовки студентов в техническом вузе: традиции и инновации. 2016. Т. 1. С. 367-387.

13. Хейфец А. Л. Начертательная геометрия как «бег в мешках» // Проблемы качества графической подготовки студентов в техническом вузе: традиции и инновации. 2015. Т. 1. С. 298-325.

14. Хейфец А. Л. Сравнение методов начертательной геометрии и 3D компьютерного геометрического моделирования по точности, сложности и эффективности // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Строительство и архитектура. 2015. Т. 15. № 4. С. 49-63. DOI: 10.14529/build150408.

15. Хуснетдинов Т. Р., Полубинская Л. Г., Максутова Р. А., Павлов А. Ю. Применение систем 3D моделирования в обучении студентов дисциплинам кафедры РК-1 «Инженерная графика» [Электронный ресурс] // Инженерный вестник. 2016. № 11. URL: http://engsi.ru/doc/851407.html (дата обращения: 18.01.2018).

16. Walker W. Monge's Theorem in Many Dimensions // The Mathematical Gazette. Vol. 60. № 413. P. 185-188.

17. Wells D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. L., 1991. 304 p.

Размещено на Allbest.ru