Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 622.24:681.3

Алгоритми ідентифікації з адаптивною математичною моделлю процесу буріння

Горбійчук М. І.

ІФНТУНГ, м. Івано-Франківськ, вул. Карпатська, 15



Решение задач адаптивного управления процессом бурения скважин основывается на информации о параметрах математической модели . Для их непрерывного определения предложен адаптивный алгоритм, который относится к классу градиентных. Определены условия его схождения; эффективность алгоритма подтверждена реальными промысловыми данными. буріння математичний управління

Ключевые слова: бурение, математическая модель, адаптация, алгоритм, промысловые данные



The problem solving of adaptive process control of well boring is grounded on the information about the parameters of mathematical model. For their continuum definition the adaptive algorithm is proposed. The conditions of its convergence are defined; the performance of algorithm is affirmed by real industrial datas.

Key words: boring, mathematical model, adapting, algorithm, craft datas.



Постановка задачі

Аналіз параметрів математичної моделі процесу поглиблення свердловини показав, що вони не є постійними, а змінюються від рейсу до рейсу, і відповідно інформація, отримана в процесі одного довбання, втрачає свою цінність для наступного. Тобто процес поглиблення свердловини як об'єкт ідентифікації є нестаціонарним об'єктом, який потребує періодичного (для кожного довбання) уточнення параметрів моделі.

Моделі, які коректуються в процесі роботи об'єкта, отримали назву адаптивних [1]. Застосування таких моделей є принципово необхідним при керуванні нестаціонарними об'єктами [2].

Для побудови адаптивних моделей застосовують алгоритми ідентифікації з адаптивною моделлю, або просто алгоритми адаптації [3], [4]. Можна виділити два класи [5] таких алгоритмів - безпошукові і пошукові.

При використанні безпошукових алгоритмів адаптації вся необхідна інформація для організації ітераційного процесу обчислень в масштабі реального часу вміщується у вхідних і вихідних сигналах.

В пошукових алгоритмах адаптації також вимірюються вхідні і вихідні сигнали, але, крім цього, ведеться пошук в просторі параметрів моделі, що вимагає значно більших затрат часу і відповідно матеріальних ресурсів. З огляду на те, що тривалість одного довбання обмежена в часі, пошукові алгоритми навряд чи можна використати для побудови адаптивних моделей процесу буріння свердловин.

У відповідності з прийнятою стратегією ідентифікації [6] всі параметри математичної моделі визначаються для кожної пачки порід, що розбурюються. Із всіх параметрів моделі виділені лінійні, які доцільно уточнювати для чергового рейсу буріння за формулами



, (1)

. (2)

Оскільки параметри моделі , ; , та вхідні сигнали F, N_д - осьове навантаження на долото та швидкість його обертання відомі, то для обчислення параметрів і необхідно мати інформацію про початкову швидкість та про швидкість зміни оцінки стану озброєння долота . Для цієї мети найбільш доцільно застосувати принцип адаптації і на його основі синтезувати алгоритми обчислень значень і . Синтез таких алгоритмів повинен спиратись на співставленні виходів об'єкта і моделі. Мірою такого співставлення вибирають функціонал вектора параметрів моделі [1, 7] який в явній формі невідомий.

, (3)

де - функція нев'язки, яка визначається як різниця між обчисленим значенням вихідної величини і її значенням, що отримане в результаті експериментального дослідження.

Це означає, що густина розподілу вихідної величини об'єкта невідома, а відома лише реалізація , яка залежить від y та параметрів моделі . Оскільки явна форма функціоналу (3) невідома, то його замінюють реалізацією [7]. Нехай

,

де […] - оператор, що згладжує (усереднює) квадрат функції нев'язки.

Задача полягає у визначенні оцінки параметрів , які забезпечують мінімум функціоналу (3).

Алгоритми адаптації математичної моделі процесу поглиблення свердловин

При постійних значеннях осьового навантаження на долото F і швидкості його обертання зміна проходки на долото як функції часу t визначається розв'язком системи диференціальних рівнянь

, (4)

, (5)

з початковими умовами , ,

де - оцінка стану озброєння долота.

Цей розв'язок буде таким:

. (6)

Функцію нев'язки будемо формувати як різницю між дійсним значенням проходки в момент часу t і її значенням, що обчислюється за формулою (6)

, (7)

де ; , .

Отже, для уточнення параметрів моделі (6) необхідно розв'язати задачу



min: , (8)

де усереднення квадрата похибки ведеться за часом для конкретної реалізації .

Ідейною основою розв'язку задачі (8) є метод стохастичної апроксимації, який був узагальнений [4, 8] на знаходження мінімуму функції (8).

Цей алгоритм є точним аналогом детермінованої градієнтної процедури, в якій градієнт функції (3) замінено його реалізацією , тобто:

, (9)

де - деяка матриця, вибір якої здійснюється із умов збіжності алгоритму.

Якщо врахувати значення , то

, (10)

де […] = […] = - оператор усереднення з дискретним часом ; - крок дискретності;

.

Алгоритм адаптації (10) дістав назву модифікованого алгоритму [7], в якому на відміну від немодифікованого. Одночасно з оцінюванням вектора параметрів відбувається усереднення випадкової послідовності .

Оператор згладжування має властивість [7], що

.

Це означає, що алгоритм адаптації (10) забезпечує збіжність послідовності до дійсного значення вектора параметрів моделі (6) з ймовірністю, що дорівнює одиниці при , тобто:

.

Дійсне (оптимальне) значення вектора визначається з умови

.

При реалізації алгоритму адаптації (10) центральною проблемою є вибір матриці , від якої значною мірою залежить швидкість збіжності алгоритму.

Загалом задача вибору матриці зводиться не тільки до виконання умов збіжності, але й до умов, при виконанні яких алгоритм (10) був би найкращим в певному розумінні [4].

Якість алгоритму адаптації можна оцінити деякою мірою функціоналом на траєкторіях алгоритму [9]. Такому алгоритму буде відповідати така матриця , при якій цей функціонал досягне свого екстремуму. Такою мірою якості могло би бути середнє квадратичне відхилення біжучого значення від його оптимального значення [4]



. (11)

Але використання функціоналу (11) для знаходження оптимальних алгоритмів вимагає значення вектора , який в даній задачі є невідомим, крім того, невідоме розподілення випадкової послідовності .

Як альтернативу можна використати підхід [9], коли матриця - діагональна матриця

, (12)

де: А[…] - оператор, що переводить вектор в діагональну матрицю з елементами ; - символ Кронекера.

Тоді для визначення значень слід розв'язати допоміжну задачу

. (13)

Для розв'язку цієї задачі алгоритм адаптації (10) подамо у такому вигляді:

, (14)

де - матриця Якобі; - матриця-стовбець, елементи якої - значення функції нев'язки в дискретні моменти часу i, .

Тоді співвідношення (13) буде таким:

.(15)

Переходячи до необхідних умов існування мінімуму функціоналу (15) за вектор-змінною , отримуємо

. (16)

Рівняння (16) є нелінійним і його неможливо розв'язати відносно в явній формі. Але, якщо припустити, що норма вектора мала, то значення може бути знайдене в явній формі. Для цього функцію розкладемо в ряд Тейлора, обмежившись тільки лінійними членами розкладу.

Оскільки , то з врахуванням значення у відповідності з (14) будемо мати

(17)

де ; - матриця Гесса.

Прирівнюючи праву частину співвідношення (17) до нуля, знаходимо

. (18)



Розглянути можливість спрощення співвідношення (18), спираючись на припущення про те, що доданок є домінуючим порівняно з доданком . Це припущення буде мати місце, якщо нев'язки будуть невеликими. В цьому випадку

(19)

Алгоритм адаптації (10), в якому матриця обчислюється у відповідності з формулою (19), має ту перевагу над алгоритмом, отриманим в [1], що відпадає потреба в обчисленні матриці Гессе .

Алгоритм адаптації (14) можна спростити, якщо , що визначається формулою (19), підставити в рекурентне співвідношення (14). Після перемноження відповідних матриць приходимо до висновку, що

. (20)

Якщо спочатку йде накопичення інформації і для цього застосовується і - перших значень проходки, то

.

Отримані алгоритми є субоптимальними, оскільки їх збіжність буде мати місце при малому значенні норми вектора .

Відомо, що матриця Фішера , навіть при непогано обумовленій матриці , може бути погано обумовленою. Це приводить до некоректної задачі обчислення матриці .

Аналіз рекурентної процедури (20) свідчить, що для її реалізації необхідно обчислити дисперсійну матрицю

. (21)

Регуляризувати цю задачу можна за допомогою сингулярного розкладу матриці у відповідності з формулою

,

де: L і Q квадратні ортогональні матриці розміром і ; N - кількість дослідів; - кількість параметрів моделі; R - діагональна матриця, для якої при і ; - сингулярні числа.

Тоді . Оскільки , то . Матрицю R подамо у вигляді двох блочних матриць , де - діагональна квадратна матриця розміром , і обчислимо . Оскільки, то . Знайдемо . Для обчислення матриці використаємо властивість ортогональних матриць . Помноживши останню рівність на і враховуючи те, що , знаходимо , а .

Звідси випливає, що

. (22)



При реалізації алгоритму адаптації (10) виникає питання правила зупину обчислювального процесу.

Характерною особливістю алгоритму (10) є те, що він одночасно з оцінкою параметрів моделі усереднює випадкову послідовність . Тому можна вважати, що правило зупину визначає те значення , при перевищенні якого послідовність , ,… набуває стаціонарного характеру. Це правило формулюється у вигляді такої умови:

, (23)

де - додатне число, що визначає точність обчислень.

Алгоритм обчислення початкового наближення параметрів моделі

Алгоритм адаптації (10) з матрицею , де величина обчислюється за формулою (9), є субоптимальним, і його збіжність залежить від початкового наближення вектора параметрів .

Початкові наближення величин і обчислимо, замінивши в формулах (4), (5) диференціали відповідними приростами. Тоді

.

і , то

При регулярному квантуванні в часі з постійним кроком маємо і

, (24)

. (25)



Як показали дослідження [10, 11], величини і спостерігаються на фоні значних шумів, із-за особливостей подачі бурового інструменту, тому конкретні реалізації і можуть мати значну дисперсію, що, природно, може привести до зниження збіжності алгоритму (10), або навіть до його розбіжності. Тому замість і слід обчислювати їх усереднені значення, використовуючи для цього перших значень . Для цього будемо використовувати формули

, ,

. (26)

, , .

Тепер обчислити середні значення величин і можна за загальновідомими формулами

, .

Але більш доцільним є використання алгоритмів адаптації, які дають можливість, по-перше, спростити процес обчислень , , а по-друге, визначити необхідне число членів останньої послідовності.

Для обчислення значень і скористаємося алгоритмом [1,2]

, і=1,2, (27)

де: - постійний коефіцієнт, який змінюється в межах . Якщо , то середнє значення не змінюється (детермінований процес) і немає необхідності враховувати нову інформацію. Значення означає, що немає “довіри” до минулої інформації і використовується тільки її біжуче значення.

Із (27) неважко отримати формулу

, ,

яка виражає усереднене значення параметра через його біжучі величини .

Знайдемо математичне сподівання для кінцевого значення . Якщо прийняти гіпотезу, що випадковий процес є стаціонарним, то для будемо мати

.

Обчислення суми дає [2]

. (28)

Якщо , то при , тобто оцінка є незміщеною. Для кінцевих значень зміщення оцінки визначається величиною .

Поставимо задачу - знайти таке , щоб зміщення не перевищувало задану величину , тобто:



.

Із останнього співвідношення знаходимо

. (29)

Можна показати [1,2], що дисперсія оцінки середнього при виражається формулою

, (30)

де - дисперсія біжучого значення .

Із співвідношення (30) випливає, що чим ближче до нуля, тим менша дисперсія середнього , але, з другої сторони, малі значення , як це випливає з формули (29), ведуть до збільшення часу спостережень, а це, по-перше, збільшує втрати від несвоєчасного прийняття рішення про оптимальне керування, а, по-друге, при великих треба рахуватися з тим, що швидкість буріння не є постійною величиною, а змінюється з плином часу. Для умов буріння можна рекомендувати . При цьому граничне відношення дисперсій буде лежати в межах 0.053 / 0.33. Якщо має кінцеве значення, то дисперсія виражається формулою [2]

, (31)

тобто значення визначається не тільки дисперсією біжучого значення , але й математичним сподіванням оцінки середнього.

Обчислення параметрів і адаптивної моделі (6) здійснюється в такій послідовності:

Sp.1. Задати зміщення математичного очікування параметрів і значення величини ; за формулою (29) обчислити .

Sp.2. Використовуючи перших значень послідовностей і , визначити їх початкові наближення у відповідності з формулою (27).

Sp.3. Визначити наступне значення , j=1,2,... у відповідності з рекурентною процедурою (10).

Sp.4. Перевірити правило зупину, якщо воно виконується, то зупинитися; інакше - збільшити j на одиницю і перейти до Sp.3.

Моделювання алгоритмів ідентифікації параметрів математичної моделі на ЕОМ

Ефективність і збіжність алгоритму адаптації дослідимо, використовуючи результати промислових досліджень, які отримані при бурінні однієї із свердловин Прикарпаття обертовим способом.

Для результатів експериментального дослідження, які показані на рис.1, роботу алгоритму адаптації ілюструє рис. 2. Були отримані такі значення: м/год і год. Для визначення початкових значень і використовувались формули (24) і (25). На певному інтервалі часу, який визначався величиною , середні значення і величин і визначались за формулою (27).

Рисунок 1 - Графік зміни проходки h(t) в часі t



Рисунок 2 - Ітераційний процес наближення і до дійсних значень і

Размещено на Allbest.ru

...