Исследование проблемы оптимального управления в динамической односекторной экономической модели с дискретным временем и общими граничными условиями на основе метода динамического программирования
Задачи управления с дискретным временем, исследуемые методом динамического программирования. Метод Беллмана в моделях оптимального управления и транспортного процесса. Численный алгоритм решения уравнения, нахождение оптимальной стратегии управления.
| Рубрика | Математика |
| Вид | дипломная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 15.09.2018 |
| Размер файла | 1,3 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.Allbest.ru/
Размещено на http://www.Allbest.ru/
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
Национальный исследовательский университет
Высшая школа экономики
Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова
Образовательная программа бакалавриата: «Прикладная математика»
Выпускная квалификационная работа
Тема:
Исследование проблемы оптимального управления в динамической односекторной экономической модели с дискретным временем и общими граничными условиями на основе метода динамического программирования
Студентка: Рудак А.О.
Руководитель: к.ф.н.,
доцент Шнурков П.В.
Москва - 2018
Аннотация
В данной работе исследуется новая постановка задачи оптимального управления в динамической односекторной экономической модели с дискретным временем. В полученной задаче состояниями являются значения удельного капитала. Роль управления играет функция, представляющая собой долю удельного продукта, направляемого на инвестирование. Исследование проводится на основе метода динамического программирования. Получены уравнения Беллмана для поставленной задачи. Доказана оптимальность управлений, удовлетворяющих уравнениям Беллмана. Создан и подробно описан алгоритм, позволяющий численно решить функциональные уравнения Беллмана и найти оптимальное решение для поставленной задачи.
Abstract
In the paper, a new formulation of the problem of optimal control in a dynamic single-sector economic model with discrete time is investigated. In the obtained problem, the states are the values of the specific capital. The role of management is played by a function representing the share of a specific product directed toward investment. The study is based on the dynamic programming method. Bellman equations for the problem are obtained. The optimality of controls satisfying Bellman's equations is proved. An algorithm has been created and described in detail that makes it possible to numerically solve Bellman's functional equations and find the optimal solution for the problem posed.
Оглавление
- Введение
- 1. Классические задачи управления с дискретным временем, исследуемые методом динамического программирования
- 1.1 Метод Беллмана в модели оптимального управления
- 1.2 Метод Беллмана в моделях транспортного процесса
- 2. Исследование задачи управления в экономической динамической модели с дискретным временем методом динамического программирования
- 2.1 Общая задача оптимального управления с дискретным временем
- 2.2 Описание односекторной динамической экономической модели с дискретным временем
- 2.3 Новая постановка задачи управления в односекторной модели
- 2.4 Численный алгоритм решения уравнения Беллмана и нахождения оптимальной стратегии управления
- 2.5 Задача управления в двухсекторной экономике
- Заключение
- Список литературы
Введение
Проблема оптимизации -- это одна из главных проблем в технических и экономических науках. Для решения этой проблемы был предложен метод динамического программирования американским математиком Ричардом Беллманом. Данный метод позволяет увеличить диапазон возможностей решения задачи оптимизации. Основные теоретические результаты метода динамического программирования изложены в ряде книг [1], [2], [3].
Динамическим программированием называется метод, который позволяет решить задачи управления. Данный метод используется для решения оптимального управления с граничными условиями. Примеры решения таких задач подробно изложены в классической теории [3].
Целью дипломной работы является изучение метода Беллмана и теоретических основ его использования, исследование классических задач математической экономики и получение алгоритма ее численного решения.
Актуальность работы заключается в том, что была получена новая постановка задачи оптимального управления в экономики. Для решения полученной задачи был предложен численные алгоритм, состоящий из двух этапов.
В данной работе объектом исследования является модель оптимального управления в классической экономической задаче с дискретным временем и граничными условиями.
1. Классические задачи управления с дискретным временем, исследуемые методом динамического программирования
1.1 Метод Беллмана в модели оптимального управления
Рассмотрим модель оптимального распределения ресурсов с дискретным временем. В изложении данной задачи будем следовать работе [2].
Пусть задана экономическая система, которая состоит из различных подсистем, каждой и которой соответствует функция полезности, показывающая зависимость дохода от выделенных ресурсов на определенную подсистему.
Обозначим через - количество ресурсов, которые направлены на i подразделение, где и i = 1, …, N; через - доход от подсистемы, показывающего эффективность i-го подразделения.
Предполагаем, что процессы независимы и функция аналитически задана.
Целевая функция в задаче с оптимальным распределением ресурсов описывается аддитивным показателем:
или
Предполагаем, что в системе имеется только ограниченное количество ресурсов. Данное условие можно записать следующим образом:
1.
2.
Постановка задачи имеет следующий вид:
(1.1)
В результате получена конечномерная задача оптимизации.
Динамический процесс распределения ресурсов с дискретным временем можно описать следующим образом:
1. В начальный момент - состояние системы , где x некоторое фиксированное значение. При этом решение в начальный момент предполагается равным , где - это объем вложения в подразделение N;
2. В следующий момент состояние системы совпадает с оставшимся объемом ресурса , а решение представляет собой объем вложения в подразделение N-1.
3. Рассмотрим произвольный момент времени с номером Тогда состояние в указанный момент оставшийся объем ресурсов в момент n). Решение в соответствующий момент представляет собой объем вложения в подразделение с номером n.
В момент n получаем состояние . При этом решение совпадает с остаточным объемом ресурса . Таким образом, управляемый процесс представляет собой две последовательности: последовательность принятых решений на каждом шаге процесса:
И последовательность состояний системы:
При этом дискретный параметр n имеет смысл времени или номера шага динамического процесса.
Выпишем уравнение Беллмана для задачи с оптимальным распределением ресурсов [2]:
(1.2)
Увидим, что если n = 1, то функция Беллмана совпадает с эффективностью одной отрасли:
(1.3)
Для численного решения проводится дискретизация модели. При этом состояния и решения принимают только дискретные значения. Аналог уравнения Беллмана для данного варианта имеет вид:
(1.4)
В соотношении (4) аргумент играет роль состояния = x, - фиксировано и , где . Величины k и s зависят от номера n. В дальнейшем будем обозначать (-состояние, - решение, - шаг разбиения, n - параметр времени)
Рассмотрим численный алгоритм, который позволяет решить уравнения Беллмана. Алгоритм включает в себя два этапа:
Первый этап: Анализ дискретных аналогов уравнения Беллмана, подготовка вспомогательных массивов данных.
Будем последовательно рассматривать значения параметра n = 1,…,N.
Пусть n = 1, тогда. Получаем значения функции
Теперь пусть n = 2, тогда дискретный аналог уравнения Беллмана принимает вид:
(1.5)
Нужно построить цикл изменений по . Считаем, что . Для каждого фиксированного ищем максимум выражения по . Обозначим через значение, на котором достигается максимум данного выражения. Положим:
(1.6)
Последнее соотношения определяет значение функции Беллмана. Таким образом, для фиксированного мы определили значения , которые ему соответствуют, и функции Беллмана. Получили следующие массивы данных: при этом массив значений определяется для всех для .
Для произвольного n = 3,…,N производим те же действия, что и для n = 2. Теперь перейдем ко второму этапу, в котором формируется оптимальное распределение ресурсов с использованием вспомогательных массивов.
1) Пусть n = N, где N-условный начальный момент. Пусть начальное состояние задано = a. По значению состояния = a определяем в массиве решений . Считаем, что решение в момент n = N.
2) Определяем состояние в следующий момент n = N-1. . По значению определяем в массиве решений.
Дальнейшая процедура осуществляется аналогично.
Рассмотрим задачу, в которой имеется два типа ресурсов.
Пусть x и y - это два типа ресурсов, и - количества данных ресурсов, которые выделены для i-ой подсистемы, где i = 1, …, N.
Доход i-го подразделения, при отпущении и ресурсов первого и второго типа обозначим через .
При наличии двух типов ресурсов, целевая функция с 2N переменными имеет следующий вид:
(1.7)
с соответствующими ограничениями:
1. , при i = 1, …, N;
2. , при i = 1, …, N;
Введем последовательность функций Беллмана :
, где n = 1,2, …(1.8)
Максимум в правой части определяется по множеству пар, удовлетворяющих ограничениям
С помощью принципа оптимальности имеем равенство для:
(1.9)
Численное решение и нахождение оптимальных ресурсов производится аналогично одномерному случаю.
1.2 Метод Беллмана в моделях транспортного процесса
Применение метода динамического программирования для транспортной задачи подробно изложено в книге Беллман Р., Дрейфус С. «Прикладные задачи динамического программирования» [2].
Существуют склады (или, другими словами, источники), в которых сосредоточен некоторый ресурс, и пункты потребления (стоки), в которых имеется спрос на эти ресурсы.
Пусть - это запасы ресурса на i-ом складе при ; - спрос на ресурс в j-ом пункте потребления при .
Предполагаем, что общий объем запасов равен общему объему спроса:
(1.10)
Обозначим через количество ресурсов, которые отправляются из i склада в j пункт потребления. Стоимость осуществления передачи ресурсов из источника в сток описывает функция
Величины должны удовлетворять следующим трем ограничениям, которые являются естественными для прикладных задач:
1. Количество ресурсов не может быть отрицательной величиной:
2. Общее количество ресурсов, которое отправляется со склада, должно совпадать с количеством ресурсов, которые есть на складе, т.е. выполняется соотношение: при ,
3. Общее количество ресурсов, которые отправляются в сток, должно совпадать со спросом на ресурс в данном пункте потребления: при .
Целевая функция в данной модели представляет собой суммарную стоимость перемещения ресурсов из всех исходных источников во все пункты потребления:
(1.11)
Тогда математическая задача оптимизации с указанной целевой функцией и описанными выше ограничениями (1-3), принимает следующий вид:
(1.12)
Рассмотрим транспортную задачу, когда имеются два склада (, i = 1,2) и N пунктов потребления (.
Чтобы применить метод функциональных уравнений, нужно статистический процесс превратить в динамический. Решение будет начинаться с пункта которой переходит к пункту и так до пункта то есть спрос нужно удовлетворять по очереди, начиная с самого последнего.
Введем функцию Беллмана , определенную для N = 1,2,3, …, и которая представляет собой величину суммарных затрат (целевую функцию) при использовании оптимальной политики. равно при фиксированных потребностях в пунктах потребления
При удовлетворении спроса в N-ом стоке будет происходить увеличение затрат и уменьшение количества запасов . Для получения рекуррентного соотношения используем принцип оптимальности
(1.13)
Для , есть двумерная область, которая задается следующими условиями:
Численное решение задачи оптимизации в модели транспортного процесса аналогичен методу решения задачи оптимального распределения ресурсов.
2. Исследование задачи управления в экономической динамической модели с дискретным временем методом динамического программирования
2.1 Общая задача оптимального управления с дискретным временем
Рассмотрим общую модель управления с дискретным временем. В изложении данной задачи будем следовать работе [4]. Пусть имеется множество значений параметра времени , , где
- состояния, - управления (принимаемое решение в каждый момент времени)
Необходимо задать набор функций:, где функция определяет динамику системы в момент времени i. Начальное состояние предполагается фиксированным . Предполагается, что состояние, находящееся в момент времени i+1, зависит от состояния и управления в момент времени i. Таким образом, имеет место соотношение:
Зададим набор функций, описывающих эффективность функционирования системы: , а - это функция, определяющая эффективность в конечный момент эволюции системы, которая зависит только от конечного состояния .
Целевая функция имеет вид:
В данной задаче предполагается, что начальное состояние фиксировано
,
, - показатель эффективности управления в рассматриваемой задаче .
Определение 1: Пара конечных последовательностей , для которых выполняется соотношения , называется управляемым процессом.
Математическая постановка задачи управления имеет следующий вид:
(2.1)
Пара , для которого выполняются все ограничения данной задачи, называется допустимым управляемым процессом.
Согласно теории динамического программирования [4] вводится функция Беллмана, которая представляет собой оптимальное значение целевой функции при заданных ограничениях. В данной задаче функция Беллмана определяется следующим образом:
(2.2)
Теорема Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.:
Функции Беллмана удовлетворяют следующей системе функциональных соотношений, которые называются уравнениями Беллмана:
(2.3)
(2.4)
Докажем, что если управляемый процесс удовлетворяет всем ограничениям исходной задачи и уравнениям Беллмана (2.3)-(2.4), то этот процесс является оптимальным в данной задаче [2], [4].
По определению функции Беллмана:
По определению:
Следовательно:
Обозначим . Получаем
Таким образом, уравнение Беллмана доказано для всех значений параметра
Рассмотрим отдельно вариант . Введем дополнительное предположение , . Смысл данного предположения заключается в следующем: эффективность управления за время совпадает с терминальным членом исходной задачи при любом значении аргумента , где конечное состояние, управления в момент - не существует.
При этом
Рассмотрим вариант в момент
Как следует из определения функции Беллмана
При , получим:
Если предположить, что , то:
В результате получено уравнение Беллмана при . Исходная теорема доказана.
Вышеизложенная теория будет использоваться для решения задачи управления в динамической односекторной экономической модели.
2.2 Описание односекторной динамической экономической модели с дискретным временем
Будем рассматривать односекторную экономическую систему, в которой произведенный продукт делится на две части: инвестиции и потребление. Такие классические модели известны в теории [3], [5].
Рассмотрим экономическую систему, состояние которой зависит от дискретного параметра времени . Обозначим через удельный капитал или фондовооруженность в момент времени , где - капитал в момент i, - число рабочей силы в момент i. Обозначим через удельное потребление в момент времени , где - общий объем потребления в момент i, то есть объем произведенного продукта, используемого для непосредственного удовлетворения потребностей. В классической односекторной модели предполагается, что удельный объем произведенного продукта или производительность труда задается формулой
=
Известно [3], что динамическое соотношение, описывающее изменение состояние системы, имеет следующий вид:
,(2.5)
i = 0, 1, …, N-1
где - коэффициент выбывания основных фондов (заданная величина для всех i). Смысл соотношения (2.5) можно пояснить следующим образом: состояние системы (удельный капитал) в момент i+1 определяется как сумма удельного капитала в момент i с учетом выбывания фондов и основных инвестиций в производство в тот же момент, которые составляют величину . Состояние (2.5) является специальным случаем общего динамического соотношения для данной модели.
В классической теории управления экономическими моделями [3], [5] в качестве целевого функционала используется следующий
Первое слагаемое выражает накопленный показатель потребления в данной системе, а второе слагаемое - терминальная функция определяет влияние удельного капитала в конечный момент времени.
- дисконтирующий множитель, описывающий влияние инфляции.
- функция полезности, которая задана. Данная функция определяет качество потребления в любой момент времени как функцию от удельного потребления. Обычно предполагается, что монотонно возрастающая строго выпуклая вверх функция.
динамический программирование дискретный управление беллман
2.3 Новая постановка задачи управления в односекторной модели
Сформулируем новую постановку задачи оптимального управления в рассматриваемой экономической модели.
Обозначим через - долю удельного продукта, направляемого на инвестирование в общем объеме удельного произведенного продукта. В дальнейшем будем рассматривать в качестве параметра управления. При этом
- есть доля продукта, идущая на потребление.
Из данного определения следует, что параметр управление может принимать следующие значения: Последнее соотношение представляет собой ограничения на управление.
Рассмотрим задачу управления, в которой состояниями являются значения удельного капитала , а управлениями - значения Такая задача может быть представлена следующим образом:
(2.6)
(2.7)
где начальное состояние фиксировано
(2.8)
(2.9)
- ограничения на управления.
В итоге получена математическая постановка задачи оптимального управления в форме (2.6)-(2.9).
Для решения поставленной задачи будем использовать классический метод теории управления, а именно метод динамического программирования, изложенный в главе 1.
Введем функцию Беллмана для рассматриваемой задачи (2.6)-(2.9):
(2.10)
По аналогии с теоремой 1 для общей задачи управления с дискретным временем, приведенной в первой части данной главы, можно получить следующее утверждение.
Теорема 1 Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.:
Функция Беллмана в рассматриваемой задаче (2.6)-(2.9) удовлетворяет следующей системе соотношений (уравнениям Беллмана):
(2.11)
Доказательство:
Зафиксируем номер (начальный момент времени для соответствующей задачи) и значение как состояние в начальный момент. Воспользуемся определением функции Беллмана
Представим операцию взятия максимума по всем ограничениям задачи в виде повторного максимума. При этом внешний максимум будет определяться только по аргументу управления . Заметим, что при фиксированном начальном значении можно заменить аргумент на x в выделенном первом члене суммы. Тогда
(2.12)
Учтем теперь, что при состояние в момент j+1 выражается формулой
=
Отсюда (2.12) можно записать в виде
(2.13)
Заметим теперь, что по определению функции Беллмана:
(2.14)
С учетом (2.14) соотношение (2.13) принимает вид
,
где (2.15)
Заменяя обозначение x на , получаем уравнение Беллмана в форме (2.11). Заметим, что проведенные рассуждения справедливы для всех значений .
Рассмотрим отдельно случай .
По определению функции Беллмана при получаем
(2.16)
При условии имеем
(2.17)
Из (2.16) с учетом (2.17) получаем
Положим, что , получим для любого значения аргумента
, т.е. выполнено соотношение . Тогда:
Заменяя x на , получаем уравнение Беллмана для из системы (2.11). Таким образом, все функциональные соотношения, входящие в систему (2.11), доказаны.
В теории динамического программирования известен общий результат. Если управляемый процесс удовлетворяет всем ограничениям исходной задачи и уравнениям Беллмана, то этот процесс является оптимальным в исходной задаче. [2]
Докажем соответствующий результат для рассматриваемой динамической экономической модели.
Теорема 2 Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.:
Предположим, что управляемый процесс
(
удовлетворяет ограничениям исходной задачи (2.7)-(2.9) и уравнениям Беллмана (2.11). Тогда этот процесс является оптимальным.
Доказательство:
Поскольку по условию управляемый процесс () удовлетворяет уравнениям Беллмана (2.11), при подстановке эти уравнения обращаются в следующие равенства
(2.18)
В то же время, управляемый процесс () удовлетворяет ограничениям исходной задачи и, в частности, динамическим соотношениям (2.7). Отсюда получаем
(2.19)
Перепишем соотношение (2.18) с учетом (2.19)
(2.20)
Воспользуемся равенствами (2.20) последовательно, начиная с . Заметим при этом, что (фиксированное граничное условие)
(2.21)
Теперь используем равенство (2.20) при i = 1 и подставим в (2.21)
(2.22)
Продолжая последовательно применять соотношение (2.20), получим для некоторого произвольного
(2.23)
Подставим в (2.23) выражение для из (2.20)
(2.24)
Таким образом, соотношение (2.24) доказано для всех Следовательно, при получим
(2.25)
Учитывая уравнение Беллмана при
Можно переписать (2.25) в виде
(2.26)
Правая часть равенства (2.26) представляет собой значение целевой функции на процессе ()
(2.27)
Поскольку функция Беллмана по определению совпадает с максимальным значением целевой функции при заданных ограничениях, соотношение (2.27) означает, что пара доставляет максимум целевой функции и при этом удовлетворяет ограничениям исходной задачи. Следовательно, управляемый процесс является оптимальным. Теорема 2 доказана.
2.4 Численный алгоритм решения уравнения Беллмана и нахождения оптимальной стратегии управления
Обозначим, как и раннее, - функция Беллмана,
Алгоритм включает в себя два основных этапа:
1. Анализ дискретных аналогов уравнения Беллмана, подготовка вспомогательных массивов данных.
2. Формирование оптимальной стратегии решений с использованием вспомогательных массивов.
Для численного алгоритма решения уравнения Беллмана произведем дискретизацию модели. При этом состояния и решения принимают только дискретные значения.
Пусть - множество возможных значений параметра управления ;
- множество возможных значений параметра состояния .
Дискретные аналоги указанных множеств имеют вид:
заданное число,
, заданное число
1 этап: Предварительный анализ, подготовка необходимых массивов данных.
Фиксируем , где a - шаг разбиения,
Дискретный аналог уравнения Беллмана с произвольным номером имеет следующий вид:
(2.28)
1) Вычисляем функцию в каждой точке
(2.29)
Получаем значения функции во всех точках множества A.
2) Рассматриваем произвольное i, где . В частности,
2.1 Фиксируем аргумент функции Беллмана
2.2 Для заданного находим максимум правой части равенства (2.28) по параметру . Таким образом, необходимо найти максимум выражения
(2.30)
Обозначим через значение, на котором достигается максимум в соотношении (2.30).
2.3 Полагаем, что функция Беллмана в точке определяется равенством
2.4 Переходим к следующему значению аргумента ( для того же номера i и повторяем действия, описанные в пунктах 2.2-2.3.
В результате получаем для заданного i следующие массивы чисел:
возможное значение управления, текущее значение, состояния, функция Беллмана, в заданной точке где .
2.5 Получаем соответствующие массивы для всех значений параметра i,
Полученные данные используются на втором этапе реализации численного алгоритма.
2 этап: Формирование оптимального распределения ресурсов с использованием вспомогательных массивов.
1) Фиксируем начальное состояние (соотношение 2.8). Параметр задается в постановке исходной задачи.
2) Из табличных значений массива выбираем значение, соответствующее конкретному состоянию :
,
3) Вычисляем состояние в момент i = 1, используя динамическое соотношение (2.7) исходной задачи. В дискретном варианте исходной задачи динамическое соотношение при i = 0 выглядит следующим образом:
(2.31)
С учетом дискретизаций состояний и управлений
Соотношение (2.31) принимает вид
(2.32)
Таким образом, определяется значение состояния
4) Используя таблицу значений массива , определяем управлением в момент времени i = 1, то есть элемент указанного массива, соответствующий состоянию
5) Дальнейшая процедура производится аналогично. Получаем последовательно значения состояний и управлений
Полученные наборы
образуют оптимальный управляемый процесс, так как он удовлетворяет всем ограничениям исходной задачи и уравнениям Беллмана.
2.5 Задача управления в двухсекторной экономике
Сформулируем постановку задачи в двухсекторной модели.
Пусть - удельный капитал, тогда динамические уравнения в задаче двухсекторной экономике:
где -заданные величины;
- заданные функции или, другими словами, производительность;
Рассмотрим задачу управления, в которой параметр состояния - а параметр управления - . Целевая функция выглядит следующим образом:
(2.33)
(2.34)
Начальное состояние фиксировано
(2.35)
(2.36)
ограничения на управления.
Получаем новую постановку задачи управления в двухсекторной экономике.
Для решения задачи введем функцию Беллмана, которая представляет собой оптимальное значение целевой функции при заданных ограничениях:
Согласно вышеизложенной теории выпишем уравнения Беллмана для задачи в двухсекторной экономике:
Заключение
Динамическое программирование позволяет найти оптимальное решение для задачи управления. Исследована классическая задача математической экономики получена новая постановка односекторной модели, основанная на классической теории; выведено и доказано уравнение Беллмана в форме теоремы (теорема о выполнении уравнения Беллмана); доказано утверждение об оптимальности процесса, удовлетворяющего уравнениям Беллмана; разработан и детально изложен численный алгоритм, позволяющий решить уравнения Беллмана и определить управляемый процесс, который является оптимальным.
Список литературы
1. Белман Р. Динамическое программирование. М.: Издательство иностранная литература, 1960.
2. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. М.: Наука, 1965.
3. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория М.: Айрис-Пресс, 2002.
4. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.
5. Ашманов С.А. Математические модели и методы в экономике. М.: Издательство Московского Университета, 1980.
6. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматгиз, 1969.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Составление уравнения Эйлера, нахождение его общего решения. Нахождение с использованием уравнения Эйлера-Лагранжа оптимального управления, минимизирующего функционал для системы. Использование метода динамического программирования для решения уравнений.
контрольная работа [170,3 K], добавлен 01.04.2010Описание газлифтного процесса с помощью системы дифференциальных уравнений с частными производными гиперболического типа. Конечно-разностная аппроксимация производных функций и решение дискретной линейно-квадратичной задачи оптимального управления.
статья [41,4 K], добавлен 17.10.2012Общая постановка задачи динамического программирования как метода оптимизации, приспособленного к операциям, в которых процесс принятия решения может быть разбит на этапы (шаги). Принцип оптимальности и уравнения Беллмана. Задача распределения ресурсов.
реферат [74,6 K], добавлен 30.01.2014Понятие и виды задач математического линейного и нелинейного программирования. Динамическое программирование, решение задачи средствами табличного процессора Excel. Задачи динамического программирования о выборе оптимального распределения инвестиций.
курсовая работа [126,5 K], добавлен 21.05.2010Синтез вариационного исчисления и метода функций Ляпунова в основе принципа динамического программирования. Метод знакопостоянных функций Ляпунова в решении задач о стабилизации и синтезе управления для нелинейной и автономной управляемых систем.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 17.06.2011Задачи оптимального управления и ее разновидности. Вычислительные аспекты динамического программирования. Дифференциальное и интегральное исчисление в образах: функции, последовательности, ряды. Транспортная задача, модель-Леонтьева, задачи на повторение.
курсовая работа [1,5 M], добавлен 20.06.2012Синтез оптимального управления при осуществлении разворота. Разработка математической модели беспилотных летательных аппаратов. Кинематические уравнения движения центра масс. Разработка алгоритма оптимального управления, результаты моделирования.
курсовая работа [775,3 K], добавлен 16.07.2015Наличие некоторого динамического объекта, т.е. объекта, меняющегося во времени, характерного для задачи управления. Линейная задача быстродействия. Свойства экспоненциала матрицы. Линейные дифференциальные уравнения с управлением, пример интегрирования.
контрольная работа [547,7 K], добавлен 13.03.2015Составление гамильтониан Н с учетом необходимых условий оптимальности для задачи Майера. Определение оптимального управления из условия максимизации. Получение конической системы уравнений и ее разрешение. Анализ необходимых условий оптимальности.
курсовая работа [113,1 K], добавлен 13.09.2010Особенности решения обыкновенного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с заданными граничными условиями методом конечной разности. Составление трехдиагональной матрицы. Реализация решения в программе Microsoft Office Excel.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 23.12.2013Сущность графического метода нахождения оптимального значения целевой функции. Особенности и этапы симплексного метода решения задачи линейного программирования, понятие базисных и небазисных переменных, сравнение численных значений результатов.
задача [394,9 K], добавлен 21.08.2010Решение задачи об оптимальном направлении капиталовложений в строительную отрасль и оптимизации поставки грузов. Применение симплекс-метода для оптимальной организации ремонтно-строительных работ. Изучение методов динамического программирования.
контрольная работа [2,2 M], добавлен 08.01.2011Теория динамического программирования. Понятие об оптимальной подструктуре. Независимое и полностью зависимое множество вершин. Задача о поиске максимального независимого множества в дереве. Алгоритм Брона-Кербоша как метод ветвей, границ для поиска клик.
реферат [224,1 K], добавлен 09.10.2012Математическое программирование - область математики, в которой изучаются методы решения задач условной оптимизации. Основные понятия и определения в задачах оптимизации. Динамическое программирование – математический метод поиска оптимального управления.
презентация [112,6 K], добавлен 23.06.2013Управляемые линейные динамические объекты (ЛДО). Оптимальное управление ЛДО с фиксированным временем и терминальным критерием качества. Задача линейного предельного быстродействия. Линейная задача теории оптимального управления как проблема моментов.
учебное пособие [1,3 M], добавлен 05.07.2010Методы нахождения минимума функций градиентным методом наискорейшего спуска. Моделирование метода и нахождение минимума функции двух переменных с помощью ЭВМ. Алгоритм программы, отражение в ней этапов метода на языке программирования Borland Delphi 7.
лабораторная работа [533,9 K], добавлен 26.04.2014Решение дифференциального уравнения методом Адамса. Нахождение параметров синтезирования регулятора САУ численным методом. Решение дифференциального уравнения неявным численным методом. Анализ системы с использованием критериев Михайлова и Гурвица.
курсовая работа [398,2 K], добавлен 13.07.2010Нахождение решения уравнения с заданными граничными и начальными условиями, система дифференциальных уравнений. Симметричное преобразование Фурье. Решение линейного разностного уравнения. Допустимые экстремали функционала. Уравнение Эйлера-Лагранжа.
контрольная работа [51,5 K], добавлен 05.01.2016Последовательность решения линейной краевой задачи. Особенности метода прогонки. Алгоритм метода конечных разностей: построение сетки в заданной области, замена дифференциального оператора. Решение СЛАУ методом Гаусса, конечно-разностные уравнения.
контрольная работа [366,5 K], добавлен 28.07.2013Решение линейной краевой задачи методом конечных разностей (методом сеток). Замена области непрерывного изменения аргументов дискретным множеством узлов (сеток). Сведение линейной краевой задачи к системе линейных алгебраических уравнений (сеточных).
лекция [463,7 K], добавлен 28.06.2009
