"Есть вещи, которые нельзя объяснить. Вот вы подходите к пустой скамейке и садитесь на нее. Где вы сядете - посередине? Или, может быть, с самого края? Нет, скорее всего, не то и не другое. Вы сядете так, что отношение одной части скамейки к другой, относительно вашего тела, будет равно примерно 1,62. Простая вещь, абсолютно инстинктивная…. Садясь на скамейку, вы произвели "золотое сечение". О золотом сечении знали еще в древнем Египте и Вавилоне, в Индии и Китае. Великий Пифагор создал тайную школу, где изучалась мистическая суть "золотого сечения". Евклид применил его, создавая свою геометрию, а Фидий - свои бессмертные скульптуры. Платон рассказывал, что Вселенная устроена согласно "золотому сечению". А Аристотель нашел соответствие "золотого сечения" этическому закону. Высшую гармонию "золотого сечения" будут проповедовать Леонардо да Винчи и Микеланджело, ведь красота и "золотое сечение" - это одно и то же. А христианские мистики будут рисовать на стенах своих монастырей пентаграммы "золотого сечения", спасаясь от Дьявола. При этом ученые - от Пачоли до Эйнштейна - будут искать, но так и не найдут его точного значения. Бесконечный ряд после запятой - 1,6180339887… Странная, загадочная, необъяснимая вещь: эта божественная пропорция мистическим образом сопутствует всему живому. Неживая природа не знает, что такое "золотое сечение". Но вы непременно увидите эту пропорцию и в изгибах морских раковин, и в форме цветов, и в облике жуков, и в красивом человеческом теле. Все живое и все красивое - все подчиняется божественному закону, имя которому - "золотое сечение". Так что же такое "золотое сечение"?… Что это за идеальное, божественное сочетание? Может быть, это закон красоты? Или все-таки он - мистическая тайна? Научный феномен или этический принцип? Ответ неизвестен до сих пор. Точнее - нет, известен. "Золотое сечение" - это и то, и другое, и третье. Только не по отдельности, а одновременно…. И в этом его подлинная загадка, его великая тайна".(Анхель де Куатьэ)

Золотое сечение часто встречается в математике и искусстве, но самое замечательное состоит в том, что оно часто встречается в природе.

Людей с давних времён волновал вопрос, подчиняются ли такие неуловимые вещи как красота и гармония, каким-либо математическим расчётам. Можно ли "проверить алгеброй гармонию?" - так сказал А.С. Пушкин.

Цель настоящей работы состоит в том, чтобы на многочисленных примерах показать, где и в каких формах оно встречается в природе и как архитекторы, подражая природе, заимствуют у неё идеи расположения целого и его частей, которые часто связаны с золотым сечением.

Задачи:

1. Дать определение золотому сечению и выявить его свойства.

2. Ввести понятие о ряде Фибоначчи и указать его связь с золотым сечением.

3. Исследовать как золотое сечение и связанная с ним последовательность Фибоначчи проявляются в пропорциях тела и периодах развития человека, в животном и растительном мире и как в архитектуре используются идеи, заимствованные в природе.

Общие понятия про золотое сечение

Золотое сечение является иррациональным числом, которое мы будем o6oзнaчaть греческой 6yквoй фu (Ф). Оно 6ылo открыто древними греками, и его документированная история начинается с одной из самых известных и много раз переиздаваемых книг всех времен и народов "Начало" Евклида, написанной около 300 г. до н. э.

"Начала" состоят из 13 книг. Первые шесть посвящены элементарной геометрии, книги с седьмой по десятую - вопросам чисел, a с одиннадцатой по тринадцатую - стереометрии. Шестая книга содержит текст, с которого началась история золотого сечения:

Рисунок 1: Деление отрезка в отношении золотого сечения

"Разделить прямую линию в крайнем и среднем отношении, значит разделить ее на два таких отрезка, чтобы отношение всей линии к 6oльшему отрезку равнялось отношению большего отрезка к меньшему".

Или, выражаясь более кратко: "Целое относится к большей части, как большая часть к меньшей ".

= или 1 + = , где (a + b) = c -

весь отрезок, b - большая её часть, a - меньшая её часть. Если мы примем весь отрезок за 1, а = Ф, то получим следующее равенство = Ф - 1 или - Ф - 1 = 0. Корнями его являются = и = 1.61803 (число золотого сечения).

Крайнее и среднее отношение является тем самым числом, которое впоследствии стало известно как золотое сечение и которому в 1509 г. Лука Пачоли посвятил целый трактат под названием "O божественной пропорции". Современное обозначение золотого сечения фu, Ф, появилось значительно позже, в начале ХХ века, когда американец Марк Бaрр предложил использовать первую 6yквy имени Фидий, архитектора Парфенона в Афинах.

Ряд Фибоначчи и золотое сечение

Существует числовая последовательность, известная как ряд Фибоначчи, и она имеет особое отношение к числу Ф. Основное свойство золотого сечения представляет собой следующее равенство:

= +

Изменяя значения n можно получить следующие равенства:

= Ф + 1

= + Ф = Ф + 1 + Ф = 2Ф + 1

= + = 2Ф + 1 + Ф + 1 = 3Ф + 2

= + = 3Ф + 2 + 2Ф + 1 = 5Ф + 3

= + = 5Ф + 3 + 3Ф + 2 = 8Ф + 5

= + = 8Ф + 5 + 5Ф + 3 = 13Ф + 8

и т. д.

В этих равенствах коэффициенты при Ф образуют последовательность: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,… - это и есть последовательность Фибоначчи.

Впервые эту числовую последовательность указал средневековый математик Леонардо Пизанский(Фибоначчи). Последовательность Фибоначчи, математическая последовательность, каждый член которой является суммой двух предыдущих.

Её первый член = 1, второй член = 1, = + . Наблюдается следующая связь данной последовательности с числом золотого сечения = Ф.

В природе последовательность Фибоначчи можно проследить на примерах спирального развития сегментов раковины, количества спирали на сосновой шишке и количества спиралей у подсолнуха, расположение веток и листьев у некоторых растений.

Нам не обязательно проводить расчеты Ф. Просто смотрите:

1/1=1, 2/1=2, 3/2=1.5, 5/3=1.66, 13/8=1.625, 21/13=1.615, 34/21=1.619, 55/34=1.617, 89/55=1.6181. Чем дальше мы будем продолжать считать, тем ближе будете подходить к числу фи. Конечно, мы никогда не дойдём до него, потому что у него нет арифметического решения, но мы будем бесконечно приближаться к нему. сечение число иррациональный

Тело человека и золотое сечение

Все кости человека выдержаны в пропорции золотого сечения.

Пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека считается идеально сложенными.

Если принять центром человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступней человека и точкой пупа за единицу измерения, то рост человека эквивалентен числу 1.618.

Расстояние от уровня плеча до макушки головы и размера головы равно 1:1.618.

Расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы равно 1:1.618.

Расстояние точки пупа до коленей и от коленей до ступней равно 1:1.618.

Расстояние от кончика подбородка до кончика верхней губы и от кончика верхней губы до ноздрей равно 1:1.618 .

Собственно точное наличие золотой пропорции в лице человека и есть идеал красоты для человеческого взора.

Расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618

Расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618.

Достаточно лишь приблизить сейчас вашу ладонь к себе и внимательно посмотреть на указательный палец, и вы сразу же найдете в нем формулу золотого сечения.

Каждый палец нашей руки состоит из трех фаланг. Сумма двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца и дает число золотого сечения (за исключением большого пальца).

Кроме того, соотношение между средним пальцем и мизинцем также равно числу золотого сечения.

У человека 2 руки, пальцы на каждой руке состоят из 3 фаланг (за исключением большого пальца). На каждой руке имеется по 5 пальцев, то есть всего 10, но за исключением двух двухфаланговых больших пальцев только 8 пальцев создано по принципу золотого сечения. Тогда как все эти цифры 2, 3, 5 и 8 есть числа последовательности Фибоначчи.

Также следует отметить тот факт, что у большинства людей расстояние между концами расставленных рук равно росту.

Особенность бронхов, составляющих легкие человека, заключена в их асимметричности. Бронхи состоят из двух основных дыхательных путей, один из которых (левый) длиннее, а другой (правый) короче.

Было установлено, что эта асимметричность продолжается и в ответвлениях бронхов, во всех более мелких дыхательных путях.

Причем соотношение длины коротких и длинных бронхов также составляет золотое сечение и равно 1:1,618.

Во внутреннем ухе человека имеется орган Cochlea ("Улитка"), который исполняет функцию передачи звуковой вибрации. Эта костевидная структура наполнена жидкостью и также сотворена в форме улитки, содержащую в себе стабильную логарифмическую форму спирали = 73? 43'.

Давление крови изменяется в процессе работы сердца. Наибольшей величины оно достигает в левом желудочке сердца в момент его сжатия (систолы). В артериях во время систолы желудочков сердца кровяное давление достигает максимальной величины, равной 115-125 мм ртутного столбца у молодого, здорового человека. В момент расслабления сердечной мышцы (диастола) давление уменьшается до 70-80 мм рт.ст.

Отношение максимального (систолического) к минимальному (диастолическому) давлению равно в среднем 1,6, то есть близко к золотой пропорции.

Если взять за единицу среднее давление крови в аорте, то систолическое давление крови в аорте составляет 0,382, а диастолическое - 0,618, то есть их отношение соответствует золотой пропорции. Это означает, что работа сердца в отношении временных циклов и изменения давления крови оптимизированы по одному и тому же принципу - закону золотой пропорции.

Во Вселенной некоторые известные человечеству галактики существуют в форме спиралей, соответствующих золотому сечению.

Золотое сечение в природе

Изучая конструкции раковин, ученые обратили внимание на целесообразность форм и поверхностей раковин: внутренняя поверхность гладкая, наружная - рифленая. Внутри покоится тело моллюска - внутренняя поверхность должна быть гладкой. Наружные ребра увеличивают жесткость раковины и, таким образом, повышают ее прочность. Форма раковин поражает своим совершенством и экономичностью средств, затраченных на ее создание. Идея спирали в раковинах выражена не приближенно, а в совершенной геометрической форме, в удивительно красивой, "отточенной" конструкции. У большинства улиток, которые обладают раковинами, раковина растет в форме логарифмической спирали, которая точно соответствуют "золотой пропорции".

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции - длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.

Это цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок. Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий - 38, четвертый - 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции.

Большой интерес представляет исследование форм птичьих яиц. Их всевозможные формы колеблются между двумя крайними типами: один из них может быть вписан в прямоугольник золотого сечения, другой - в прямоугольник с модулем 1,272 (корень золотой пропорции). Такие формы птичьих яиц не являются случайными, поскольку в настоящее время установлено, что форме яиц, описываемых отношением золотого сечения, отвечают более высокие прочностные характеристики оболочки яйца.

Бивни слонов и вымерших мамонтов, когти львов и клювы попугаев являют собой логарифмические формы и напоминают форму оси, склонной обратиться в спираль.

Спиралевидную форму можно увидеть и в расположении семян подсолнечника, и в шишках сосны, в ананасах, кактусах, строении лепестков роз и т.д.

В живой природе широко распространены формы, основанные на "пентагональной" симметрии (морские звезды, морские ежи, цветы). Пяти-лепестковыми являются цветы кувшинки, шиповника, боярышника, гвоздики, груши, черемухи, яблони, земляники и многих других.

Также можно встретить золотую пропорцию в разрезе яблока (пентаграмма).

Молекула ДНК состоит из двух вертикально переплетенных между собой спиралей. Длина каждой из этих спиралей составляет 34 ангстрема, ширина 21 ангстрема. (1 ангстрем - одна стомиллионная доля сантиметра).

Так вот 21 и 34 - это цифры, следующие друг за другом в последовательности чисел Фибоначчи, то есть соотношение длины и ширины логарифмической спирали молекулы ДНК несет в себе формулу золотого сечения 1:1,618.

Так же совершенна форма стрекозы, которая создана по законам золотой пропорции: отношение длин хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста.

Многие насекомые (например, бабочки, стрекозы) в горизонтальном разрезе имеют простые асимметричные формы, основанные на золотом сечении.

Золотое сечение присутствует в строении всех кристаллов, но большинство кристаллов микроскопически малы, так что мы не можем разглядеть их невооруженным глазом.

Однако снежинки, также представляющие собой водные кристаллы, вполне доступны нашему взору.

Все изысканной красоты фигуры, которые образуют снежинки, все оси, окружности и геометрические фигуры в снежинках также всегда без исключений построены по совершенной четкой формуле золотого сечения.

Оказывается, что расположение листьев на стеблях также носит строгий математический характер и это явление называется в ботанике "филлотаксисом".

Суть филлотаксиса состоит в винтовом расположении листьев на стебле растений (ветвей на деревьях, лепестков в соцветьях и т.д.).

В явлении филлотаксиса используются более сложные понятия симметрии, в частности понятие "винтовая ось симметрии". Рассмотрим, например, расположение листьев на стебле растения (справа). Мы видим, что листья находятся на различных высотах стебля вдоль винтовой линии, обвивающейся вокруг его поверхности. Для того чтобы перейти от нижележащего листа к следующему, приходится мысленно повернуть лист на некоторый угол вокруг вертикальной оси стебля, а затем поднять его на определенный отрезок вверх. В этом и состоит суть "винтовой симметрии.

А теперь рассмотрим характерные "винтовые оси", которые возникают на стеблях растений (Рис слева). На Рисунке изображен стебель растения с винтовой осью симметрии третьего порядка. Проследим линию листорасположения на этом рисунке. Для того, чтобы перейти от листа 1 к листу 2, следует повернуть первый вокруг оси стебля на 120° против часовой стрелки (если смотреть снизу) и затем передвинуть листок 1 вдоль стебля по вертикали до тех пор, пока он не совместится с листком 2. Повторяя подобную операцию, перейдем от листа 2 к листу 3, а затем к листу 4. Обратим внимание на то, что листок 4 лежит над листком 1 (как бы повторяет его, но этажом выше) и что, идя от листа 1 к листу 4, мы трижды совершили поворот на угол 120°, т.е. осуществили полный оборот вокруг оси стебля (120° х 3 = 360°).

Угол поворота винтовой оси у ботаников называется "углом расхождения листьев". Вертикальная прямая, соединяющая два листа, расположенные друг над другом на стебле, именуется "ортостихой". Отрезок 1-4 ортостихи соответствует полной трансляции винтовой оси. Число оборотов вокруг оси стебля для перехода от нижнего листа к выше лежащему, расположенному в точности над нижним (по ортостихе), может равняться не только единице, но и двум, трем и т.д. Это число оборотов называется "листовым циклом". В ботанике принято характеризовать винтовое листорасположение с помощью дроби, числителем которой является число оборотов в листовом цикле, а знаменателем - число листьев в этом цикле. В рассмотренном нами случае мы имеем винтовую ось типа 1/3.

Заметим, что существуют и более замысловатые оси, например, типа 3/8, 5/13 и т.д.

Дробь 1/2 свойственна злакам, березе, винограду.

1/3 - осоке, тюльпану, ольхе.

2/5 - груше, смородине, сливе.

3/8 - капусте, редьке, льну.

5/13 - ели, жасмину и т.д.

Ботаники утверждают, что дроби, характеризующие винтовые оси растений, образуют строгую математическую последовательность, состоящую из отношений соседних чисел Фибоначчи.

То есть: 1/2, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13, 8/21, 13/34,…

Вспомним, что ряд Фибоначчи есть следующая последовательность чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,…

Какова же "физическая" причина, лежащая в основе "законов филлотаксиса"?

Ответ очень прост. Оказывается, что именно при таком расположении листьев достигается максимум притока солнечной энергии к растению. Практически все соцветья и плотно упакованные ботанические структуры (сосновые и кедровые шишки, ананасы, кактусы, головки подсолнечников и многие другие) также строго следуют числам Фибоначчи (Семечки в головке подсолнуха располагаются по спиралям, при этом отношение числа левых и правых спиралей равно отношению соседних чисел Фибоначчи).

В биологическом и растительном мире вступает в действие принцип экономии материи, который не действует в неорганическом мире.

Ярким примером этому служит стремление живых организмов к экономии костной субстанции при распределении материи, дающее максимум прочности во всех нужных направлениях.

Кроме этого, живые организмы проявляют лишь одним им свойственный феномен - феномен роста. Неорганические кристаллы увеличиваются путем присоединения идентичных элементов; живой организм растет путем "всасывания", идущего изнутри и направляющегося наружу.

Отвечая на вопрос: "Где граница между живой и мертвой природой?" многие известные специалисты в области симметрии и кристаллографии обращают внимание на то, что это различие состоит в использовании в живых организмах так называемой "пятерной" или "пентагональной" симметрией, связанной с золотым сечением.

Периоды жизни человека

Давно замечено, что жизнь человека протекает неравномерно. В ней четко прослеживается периодичность различных процессов, наличие переломных и кризисных моментов, качественных скачков. При этом периодичность жизненного процесса не может быть сведена к движению по кругу, когда мы все время возвращаемся к исходной точки, а скорее всего, напоминает движение по спирали, когда как будто происходит также возвращение, но каждый раз на новом уровне.

Закономерность Фибоначчи прослеживается уже при эмбриональном развитии ребенка, которое завершается в нормальных условиях на 266-е сутки после оплодотворения яйцеклетки.

График роста массы эмбриона в зависимости от возраста имеет несколько изломов, соответствующих примерно 24, 100, 200 суткам. Эти изломы характеризуют различные фазы перестройки в развитии эмбриона.

В возрасте 24 сутки происходит переход от клеточного развития к организменным механизмам регуляции.

В возрасте примерно 100 суток заканчивается период перестройки и наступает фаза устойчивого развития организма эмбриона.

На 200-е сутки завершается формирование всех органов ребенка и рождение ребенка после этого срока не исключает его дальнейшего нормального развития.

Рассмотрим, как можно выразить через золотую пропорцию все указанные критические точки в развитии эмбриона. Для этого напомним, что величину можно разделить "золотым сечением" двояко, разделив на золотую пропорцию 1,618 или на квадрат золотой пропорции 2,618 или даже куб золотой пропорции 4,236. Если число 266 (период эмбрионального развития ребенка) разделить на квадрат золотой пропорции, то получим число 101,6, которое соответствует критической точке 100 суток. Если число 101,6 разделить на куб золотой пропорции, то получим число 24, которое соответствует еще одной критической точке в развитии эмбриона (24 суток). Наконец, интервал 266 - 101,6 = 164,4, деленный золотой пропорцией, дает число 202,6, что соответствует третьей критической точке 200 суток.

Архитектура и золотое сечение, встречающееся в природе

Человек еще в древности начал "подсматривать" за достижениями естественного мира и применять их в создании мира искусственного, более комфортного для него. Наука, обобщившая эти накопленные столетиями знания, получила название биомиметика. Активно развиваясь за рубежом, в России она пока малоизучена.

Био-тек или бионика - название современной "нео-органической" архитектуры, где выразительность конструкций достигается заимствованием природных форм. Нередко противопоставляется хай-теку.

Элементы бионики присущи зданиям немецкого экспрессионизма 1920-х гг. и структурного экспрессионизма 1960-х. Как было установлено ещё экспрессионистами, прямое копирование природных форм не приносит положительных результатов, так как в архитектурном сооружении появляются нефункциональные зоны. Концепция биоурбанистики предполагает не только опосредованное, но и прямое использование форм живой природы в архитектуре (в виде элементов природного ландшафта, живых растений).

Этот архитектурный стиль находится в процессе активного становления, в результате чего его теоретическая и исследовательская компонента преобладает над градостроительной практикой. Главное противоречие архитектурной бионики: консервативная прямоугольная планировка и конструктивная схема зданий противостоит биоморфным криволинейным формам, оболочкам, самоподобным фрактальным формам. Достойное эстетическое и экономически оправданное решение этого противоречия - одна из основных задач био-тека.

Заимствовал человек у природы и Божественную пропорцию - "Золотое сечение", применив его в архитектуре. Примерами его использования являются такие архитектурные объекты, как:

1. Памятник III Интернационалу. "Башня Татлина"

Так и не построенная башня Татлина должна была стать чем-то абсолютно новым и невиданным. Ее проект родился как синтез смелых творческих и в то же время утилитарных и монументальных форм. Основой памятника были три стеклянных "башенки", установленные друг на друга с помощью сложной системы спиралей и стержней. Несмотря на то, что изначально помещения были отдельными, все вместе они создавали уникальную композицию из сочетания разных геометрических форм. Башня III Интернационала Татлина была амбициозной затеей еще и потому, что, согласно плану авторского объединения, каждая часть постройки должна была получить новейшие механизмы. Они позволили бы помещениям двигаться вокруг своей оси, что было инженерным вызовом для той эпохи.

2. Школа Хайнц-Галински

Еврейская школа The Heinz Galinski School в Берлине, построенная архитектором Zvi Hecker. Этот проект был навеян формой подсолнуха и имеет спиральную конструкцию, так что все фасады, выходящие на улицу, выглядят по-разному. Внешние стены образуют дворы неправильной формы, используемые для школьных нужд.

Рисунок 17: Школа The Heinz Galinski School

1. "Мир математики. Золотое сечение. Математический язык простоты". Москва 2013 г.;

2. Гика М. - "Эстетика пропорций в природе и искусстве". Издательство Всесоюзной академии архитектура, 2011г.;

3. "Геометрия и искусство Д. Пидоу" под редакцией И.Я. Яглома. Издательство "Мир" Москва 2011г.;

Размещено на Allbest.ru