Синтез плоской антенной решетки с использованием полиномов Цернике

Размещено на http://www.allbest.ru/

Синтез плоской антенной решетки с использованием полиномов цернике

С.Е. Мищенко, Ростовский военный институт ракетных войск

Аннотация

антенная решетка цернике функция

В работе предложен метод амплитудно-фазового синтеза плоской антенной решетки на основе двумерных полиномов Цернике. Достоинством метода является возможность упрощения вычислительной процедуры в случае, когда заданная диаграмма направленности описывается двумерной функцией, имеющей только радиальную зависимость. При этом в разложении такой функции по полиномам Цернике от нуля отличаются лишь несколько коэффициентов, вычисляемых с помощью однократных интегралов.

Решение задач синтеза двумерных антенных решеток (АР) по сравнению с линейными антеннами требует существенного увеличения вычислительных затрат. Это обусловлено большим количеством дискретных отсчетов функций, описывающих диаграммы направленности (ДН) излучателей решетки и требования к форме ДН АР. Еще более существенными вычислительные затраты становятся в том случае, когда в процессе функционирования антенны требуется изменять такие параметры ДН, как ширину луча, уровень боковых лепестков и т.д. В этом случае возрастает актуальность применения для решения задач синтеза эффективных в вычислительном отношении методов, которые будут реализовываться в специализированном вычислителе АР.

В работе [1] был предложен метод синтеза плоской АР, основанный на применении двумерного косинусного преобразования. Вычислительная эффективность данного метода становится заметной при использовании алгоритмов быстрого преобразования Фурье. Однако для решения задачи синтеза данным методом потребуется вычислить по крайней мере M коэффициентов двумерного косинусного преобразования (M - число излучателей плоской АР).

В данной работе предлагается метод решения задачи синтеза плоской антенной решетки по заданной ДН, основанный на использовании двумерных полиномов Цернике [2]. Вычислительная эффективность данного метода становится заметной при формировании симметричной ДН, что обусловлено особенностью выбранной системы полиномов.

Рассмотрим плоскую АР, состоящую из M излучателей, ДН которой описывается выражением

, (1)

где - вектор-столбец комплексных амплитуд возбуждения излучателей АР; - ДН направленности m-го излучателя АР.

Функции (m =1,2,…,M ) принадлежат к классу целых функций конечной степени [3]. Данные функции являются непрерывными и не имеют разрывов на всей области определения, т.е. являются дифференцируемыми на всей области определения. Это позволяет аппроксимировать их с заданной точностью конечным набором любых линейно независимых функций, которые также относятся к классу целых функций конечной степени.

В частности, в качестве таких функций могут быть использованы полиномы Цернике. Данные функции являются ортогональными в круге и в декартовой системе координат представляют собой двумерные степенные многочлены. Как правило, они используются при построении математической модели оптических аберраций в атмосферной оптике [2].

В полярной системе координат данные полиномы могут быть вычислены с использованием выражений вида

(2)

где

; ;

j - порядковый номер полинома;

n - радиальная степень;

l - азимутальная повторяемость.

Величины n и l всегда целые и удовлетворяют условию и - четное число. Это условие определяет изменение порядкового номера j при возрастании радиальной степени и азимутальной повторяемости. В таблице 1 приведены значения данных параметров при увеличении j для нескольких первых полиномов Цернике. При четным номерам j соответствуют полиномы, вычисляемые в соответствии с первым выражением в (2), а нечетным - вторым выражением. Так, при l=n=1 получаем

; .

Заметим, что часть полиномов Цернике не зависит от угла азимута, как видно из выражения (2), поэтому для аппроксимации функций, не имеющих зависимости по углу достаточно использовать только полиномы при l=0.

Для того, чтобы с использованием полиномов Цернике, описать объемную ДН, заданную в пределах верхней полусферы видимых углов, обозначим . Тогда коэффициенты разложения ДН излучателей по полиномам Цернике могут быть вычислены с точностью до постоянного коэффициента по формуле

. (3)

Следует заметить, что для тех коэффициентов, которые связаны с полиномами, не имеющими зависимости по азимуту, двукратный интеграл заменяется однократным. Поэтому вычисление данных коэффициентов требует меньших вычислительных затрат.

Общее количество коэффициентов J разложения определяется требованиями к точности аппроксимации, однако для решетки M излучателей необходимо чтобы .

Пусть требуется решить простейшую задачу амплитудно-фазового синтеза плоской АР по заданной ДН , то есть требуется найти вектор-столбец комплексных амплитуд возбуждения излучателей решетки, обеспечивающий формирование ДН АР такой, что величина среднеквадратического уклонения не превышает заданной величины . При этом допустим, что требования к функции ограничиваются заданными уровнем боковых лепестков и шириной диаграммы направленности по уровню половинной мощности и по уровню нулей. Максимум ДН АР ориентирован в направлении нормали к плоскости излучающего раскрыва. Такие требования позволяют выбрать в качестве заданной ДН функцию, в которой отсутствует зависимость от угла азимута .

Коэффициенты разложения заданной ДН по полиномам Цернике в данном случае описываются выражением вида

(4)

Подставляя в интеграл (4) последнее выражение из (2), легко увидеть, что ненулевые коэффициенты представляют собой сумму интегралов произведения функции на степенную функцию, то есть

(5)

где

.

Из анализа выражения (5) следует, что заданную ДН также целесообразно задавать в виде степенного ряда, тогда коэффициенты разложения заданной ДН будут вычисляться аналитически.

Общее количество коэффициентов разложения функции достаточно положить равным величине J, которая ограничивает количество коэффициентов аппроксимации функций (m =1,2,…,M ). Действительно, если при аппроксимации функций отброшены несущественные коэффициенты, то в разложении синтезированной ДН АР, которая определяется выражением (1) эти коэффициенты будут также иметь незначительный вес. Введем обозначение вектора-столбца , содержащего коэффициенты разложения заданной ДН по полиномам Цернике.

Для решения задачи синтеза с использованием предложенного метода необходимо также найти разложения функций в ряд по полиномам Цернике. Соответствующие коэффициенты образуют прямоугольную матрицу (j =1,2,…,J; m =1,2,…,M ), m-ый столбец которой составляют коэффициенты при полиномах Цернике разложения ДН m-го излучателя.

С учетом введенных обозначений по аналогии с методом [1] система уравнений для решения сформулированной задачи синтеза будет иметь вид

. (6)

В общем случае система уравнений (6) является переопределенной, так как . Решение данной системы уравнений по методу наименьших квадратов позволит определить вектор , обеспечивающий минимальное среднеквадратическое уклонение между полиномиальными разложениями заданной ДН и синтезированной ДН при использовании J коэффициентов разложения. Если величины (m =1,2,…,M ) представляют собой величины среднеквадратического уклонения полиномиального разложения ДН излучателей и соответствующих функций , а - величина среднеквадратического уклонения заданной ДН от ее же разложения в ряд по полиномам Цернике, то суммарное среднеквадратическое уклонение решения задачи будет иметь вид

. (7)

В соответствии с требованиями задачи полученное решение будет считаться приемлемым при условии . При этом, если , то имеет место случай некорректно поставленной задачи синтеза и необходимо изменять ее условия, в том случае, когда , то разность квадратов данных величин определяет требования к точности аппроксимации, а, следовательно, к числу .

Рассмотрим в качестве примера решение задачи синтеза 64-х элементной АР изотропных излучателей, которые размещены в узлах прямоугольной сетки 8x8 с шагом . В этом случае функции определяются выражениями вида

,

где - координаты m-го излучателя; k - волновое число.

Пусть ширина главного луча ДН по уровню половинной мощности задана равной 18 градусам, а по уровню нулей - 48 градусов. Максимальный уровень боковых лепестков ограничим величиной -20 дБ. Данным требованиям удовлетворяет функция , которая может быть представлена в виде разложения по полиномам Цернике

. (8)

Для выполнения требований к форме ДН достаточно задать только 6 коэффициентов , номерам j которых соответствует случай l=0. Все остальные коэффициенты тождественно равны нулю. В данном примере B ₀ =0,9; B ₃ = -1,0; B ₁₀ = 0,9; B ₂₁ = -1,2; B ₃₆ = 0,9; B ₅₅ = -0,5. При этом заданная ДН зависит лишь от угла места и не зависит от угла азимута.

Проведенные численные исследования показали, что для рассматриваемой АР точность аппроксимации ДН излучателей достаточна уже при , и дальнейшее увеличение параметра J применительно к данной задаче практически не имеет смысла. Продолжая ряд, представленный в таблице 1, можно получить, что 64-му номеру полинома соответствует полином Цернике с радиальной степенью равной 10, т.е. данный полином представляет собой степенной полином двух переменных 10-й степени.

При решении задачи синтеза параметр J выбирался в диапазоне от 64 до 208 для того, чтобы оценить его влияние на качество решения. При этом в рассматриваемом примере величина , характеризующая уклонение синтезированной ДН от заданной, изменялась в пределах от до соответственно. Таким образом, качество практически не зависело от параметра J, что позволило выбрать его наименьшим, т.е. J = 64.

Следует также отметить, что у сформированной ДН АР практически остуствовала зависимость по углу азимута. На рис. 1 приведены сечение заданной ДН (кривая 1) и два сечения синтезированной ДН, в которых наиболее заметны отличия в характере бокового излучения. Кривая 2 обозначает сечение синтезированной ДН АР , а кривая 3 - ДН АР . Как видно из рисунка, отличия кривой 2 от кривой 3 можно считать несущественными.

В качестве решения задачи синтеза было получено спадающее АР (рис. 2). Синтезированная АР возбуждалась синфазно, исключая угловые излучатели, в которых фазовая задержка относительно других излучателей составляла 180 градусов. Так как амплитуды возбуждения данных излучателей достаточно малы, можно полагать, что возбуждение АР является полностью синфазным.

Таким образом, предлагаемый метод позволяет решать задачи синтеза двумерных антенных решеток. Его применение может быть наиболее полезным для систем управления лучом двумерных АР, в которых при изменении требований к форме ДН не будет возникать требований, вносящих азимутальную зависимость в заданную ДН. При отсутствии такой зависимости у заданной ДН для определения амплитудно-фазового распределения потребуется вычислить лишь несколько интегральных коэффициентов, составляющих вектор-столбец . Следует заметить, что, если заданная ДН представляется степенной функцией, то данные коэффициенты могут быть вычислены аналитически. Это позволяет реализовать очень быстрое вычисление требуемого амплитудно-фазового распределения. В том случае, когда азимутальная зависимость в заданной ДН все-таки присутствует, предлагаемый метод также является работоспособным, но его быстродействие будет соизмеримо с другими методами, использующими двумерные преобразования [1]. Данный метод также может быть полезен для решения задач синтеза двумерных АР со сложной конфигурацией раскрыва, в частности, для синтеза плоских АР, излучатели которых размещены вдоль концентрических окружностей.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (кодыпроектов № 01-01-00030 и 02-01-06362).

Список литературы

1. Мищенко С.Е. // РЭ, 2001, Т.46, №8, С.914-917.

2. Noll R.J. Zernike polynomials and atmospheric turbulence // J. Opt. Soc. Amer., 1976, Vol.66, # 3, p.207.

3. Зелкин Е.Г., Соколов В.Г. Методы синтеза антенн: Фазированные антенные решетки и антенны с непрерывным раскрывом. М.: Сов. радио, 1980, 296с.

Размещено на Allbest.ru