Abstract

In this paper there are shown some ways to establish the connections between two mathematical subjects in content, in forms of proof the theorems and solution of the problems.

Keywords: Mathematical Analysis, Elementary Mathematics, between-subject connections, definitions, proof, problem.

В последние годы в учебный план ряда вузов на I курсе был включён повторительный курс элементарной математики. Цель курса - не только повторение конкретных знаний основных фактов школьного курса и укрепление элементарных навыков математических преобразований. Предполагалось с помощью такого курса поднять уровень общего математического и логического мышления, научить основным правилам построения определения понятий, формулировки и доказательства теорем, сформировать умение устанавливать зависимость одних фактов от других, использовать при решении задач и доказательстве теорем основные правила эвристики и теоретические знания, анализировать изучаемый материал.

Особенно остро необходимость осуществления сформулированных целей проявляется при изучении математических дисциплин, в частности математического анализа.

Поэтому представляется естественным при прохождении нового курса рассмотреть имеющиеся связи и точки соприкосновения элементарной математики и математического анализа, выявить общность структуры математических предметов, формулировок определений и теорем, методов доказательств, зависимость успехов в понимании и усвоении математических фактов от предшествующей подготовки; проиллюстрировать единый подход к поиску решений задач, к «открытию» новых математических утверждений, обобщающих известные.

Для осуществления намеченных межпредметных связей было выделено несколько направлений.

1. Построение определений основных понятий и формулировок теорем.

Студенты сравнивали определения понятий, относящихся к какой-либо теме математического анализа или элементарной математики, сформулированные в различных учебниках, справочниках, энциклопедиях; устанавливали, к какому виду эти определения относятся; приводили примеры ошибочных определений, например, с порочным логическим кругом или с нарушением соразмерности определяемого и определяющего понятий. Для упражнений в построении формулировок теорем студенты выполняли задания, в каждом из которых давалась пара конкретных утверждений А и В, например:

1) А: ,

В: - нечетная функция;

2) А: число делится на 9,

В: сумма цифр числа делится на 9.

В задании требовалось сформулировать прямую теорему, приняв за неё «Если А, то В», обратную теорему и теорему, противоположную обратной; установить, является ли А достаточным, необходимым условием утверждения В; каким условием утверждения А является В. Нужно было также построить формулировки теоремы, содержащие условия А и В, с использованием слов «необходимо и достаточно», «тогда и только тогда». В случае необходимости следовало изменить условия А и В так, чтобы сформулированные в предложенной форме теоремы оказались истинными.

2. Единый подход к изучению доказательств теорем и к их анализу.

В первую очередь целесообразно обратить внимание на имеющиеся аналогии между теоремами математического анализа и элементарной геометрии. При изучении в курсе анализа геометрических приложений определённого интеграла легко установить связь между выводами формул для вычисления длины окружности и площади круга в школе и для длины дуги плоской кривой и площади криволинейной трапеции в вузе. При изучении основных теорем дифференциального исчисления можно сравнить переход от теоремы Ролля к теоремам Лагранжа и Коши в вузе с переходом от теоремы Пифагора к теореме косинусов в школе [8, с. 75-81] как составление обобщения математического утверждения. Единство применяемых методов проявляется, например, в использовании метода математической индукции при изучении прогрессий в школе и при вычислении суммы рядов или интегральных сумм в вузе.

Для облегчения усвоения доказательств теорем студентам был предложен примерный список советов и вопросов, ответы на которые при изучении любой теоремы не только облегчат её усвоение, но и (что важнее) дадут возможность поупражняться в выполнении ряда логических операций. Для более осознанного и прочного усвоения доказательства студенты должны уметь выявить его основную идею, составить план; установить, какие определения и теоремы использовались в доказательстве, где использовался каждый элемент условия; проверить утверждение теоремы на каких-либо примерах, привести контрпримеры для случаев, когда какие-либо условия не выполняются. На семинарах студенты упражнялись в изложении доказательств теорем элементарной геометрии и математического анализа, учились задавать вопросы по доказательству. Рассматривались утверждения, для доказательства или опровержения которых достаточно привести пример или контрпример, использовать метод доказательства «от противного».

3. Преобразование алгебраических и тригонометрических выражений в технике дифференцирования и интегрирования.

При изучении в курсе анализа приёмов интегрирования элементарных функций целесообразно одновременно на занятиях по элементарной математике повторить необходимые для интегрирования алгебраических дробей методы (1) разложения многочлена на множители, (2) выделения целой части из неправильной дроби, (3) преобразования квадратного трехчлена в сумму или разность квадратов; показать, что один из способов решения этих задач - метод неопределенных коэффициентов, с которым студенты знакомятся при разложении правильной дроби на простейшие. Этот же метод можно использовать для упрощения интегрирования с заменой его на дифференцирование угадываемого результата с неопределенными коэффициентами, например:

Повторение квадратного трехчлена позволяет показать богатство свойств этой простой функции, решить множество связанных с ней оригинальных задач (отсутствие рациональных корней уравнения , если p и q - целые нечетные числа; свойство модулей корней уравнения быть меньше 1, если таким свойством обладают модули корней уравнений и ; задачи в картинках [11, №380] и [3, с. 62]; свойство середин параллельных хорд параболы, доказываемое с помощью теоремы Лагранжа; площадь параболического сегмента, которую можно вычислить как предел интегральных сумм или с помощью определенного интеграла).

Интересные примеры на преобразование алгебраических и тригонометрических выражений появляются в курсе анализа при упрощении результатов дифференцирования [2, №570, 571, 760].

Повторение основных тригонометрических тождеств необходимо в период изучения методов интегрирования тригонометрических выражений. При этом для иллюстрации многообразия связей в математике интересно доказательство некоторых тождеств и теорем провести приёмами, отличными от традиционных. Можно, например, доказать теорему сложения для и , используя фундаментальную систему решений уравнения ; получить дифференцированием из одних формул тригонометрии другие; доказать некоторые тригонометрические формулы, используя следствие из теоремы Лагранжа о постоянстве функции с равной нулю производной или обращаясь к правилу умножения комплексных чисел в тригонометрической форме. При этом следует заметить, что для отсутствия порочного логического круга это правило должно быть выведено без использования тригонометрии, как это, например, сделано в [5, с. 50-52]. Алгебра комплексных чисел и векторная алгебра могут быть положены в основу новых для студентов доказательств теоремы косинусов. Неожиданным кажется и тот факт, что теорема сложения для - следствие из теорем синусов и косинусов.

4. Элементы эвристики по Пойа в доказательствах теорем и решениях задач геометрии и математического анализа.

Процесс решения математической задачи, требующий немного подумать, а не только пользоваться готовыми алгоритмами, - это процесс математического творчества в миниатюре. Научить кого-либо решать любые задачи нельзя, но можно помочь советами, научить задавать вопросы, помогающие решать задачи. Такие вопросы формулирует Пойа в своих книгах [9] и [10] (что неизвестно, что дано, не встречалась ли раньше задача с таким же неизвестным, известна ли вам какая-нибудь родственная задача, нельзя ли воспользоваться ею, нельзя ли придумать более доступную сходную задачу, нельзя ли тот же результат получить иначе, нельзя ли в какой-нибудь другой задаче использовать полученный ранее результат или метод решения и т.д.). Именно к таким вопросам полезно прибегать при доказательстве любой теоремы, при решении любой задачи. Использование таких вопросов при поиске путей решения задач как в элементарной математике, так и в математическом анализе иллюстрирует их общность. При этом проявляется, с одной стороны, возможность применения одной и той же идеи к решению разных задач, а с другой - многообразие методов доказательства одних и тех же утверждений. Сравнение этих методов, их развитие может привести к формулировке новых задач, новых теорем: «Найдя первый гриб или сделав первое открытие, осмотритесь вокруг, - они родятся кучками» [9, с. 103].

На семинарах по элементарной математике может быть сделана попытка «открытия» с помощью студентов:

а) стереометрического аналога теоремы Пифагора, связывающего квадраты площадей граней тетраэдра с прямым трехгранным углом [10, с. 58] и

б) формулы Тейлора для функции нескольких переменных - от функции одной переменной через дифференциалы и через построение вспомогательных функций одной переменной.

Для иллюстрации эвристического подхода к решению задач в геометрии была выбрана известная задача о трех приложенных друг к другу квадратах [1, с. 98]: доказать равенство углов .

Рис. 1

В беседе со студентами было найдено 4 способа решения: два чисто геометрических с дополнительными построениями и использованием подобия прямоугольного треугольника СВЕ и треугольника с бульшим катетом CF или CG, а другие два требовали использования тригонометрии. В одном из них вводился вспомогательный угол :

т.е. .

Так как и - острые углы, то .

Идея последнего способа - сравнение площадей треугольников ACF и CEB, вычисленных разными способами. Треугольники равновелики, т.к. у них равные основания (AF=EB) и одна и та же высота CB. Поэтому

,

т.е. ,

т.е. .

Последнюю идею равенства площадей можно использовать при решении других задач, например, (1) для вычисления высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу, по известным катетам; (2) для доказательства свойства биссектрисы треугольника делить сторону на отрезки, пропорциональные другим двум сторонам; (3) для доказательства постоянства суммы расстояний любой внутренней точки равностороннего треугольника до его сторон.

В математическом анализе разные приёмы интегрирования одной и той же элементарной функции легко проиллюстрировать на простейшем интеграле .

(1) Формулы удвоения и «умножить - разделить»:

(2) Тригонометрическая единица и формулы удвоения:

(3) Универсальная подстановка :

(4) Домножение и числителя, и знаменателя на одну и ту же функцию :

.

Последний приём (совет Пойа - «осмотритесь вокруг») можно с успехом применить к вычислению, например, таких интегралов:

(1) , (2) , (3) .

Числитель и знаменатель подынтегральных выражений перечисленных интегралов следует умножить соответственно на функции:

(1) , (2) , (3) .

Хорошим упражнением на развитие поисковых способностей может быть угадывание функции двух переменных по её дифференциалу. Такую задачу приходится решать при интегрировании дифференциальных уравнений в полных дифференциалах.

Есть надежда, что применение описанного выше многообразия различных приёмов изучения математических фактов поможет поднять общую математическую культуру студентов, привлечь их к активному участию в различных формах учебной работы, заставить думать не по шаблону, отказаться от «зубрёжки», возбудить интерес к математике.

теорема тригонометрический эвристика

Литература

1. Балк М.Б. Организация и содержание внеклассных занятий по математике. - М., 1956.

2. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа.

3. Жуков А.В. и др. Элегантная математика. - М., 2005.

4. Игнатьев В.А. и др. Сборник задач и упражнений для устных занятий по математике. - М., 1952.

5. Каганов М.И. и др. Абстракция в математике и физике. - М., 2005.

6. Купиллари А. Математика - это просто! Доказательства. - М., 2006.

7. Нагибин Ф.Ф. и др. Математическая шкатулка. - М., 1984.

8. Никольская И.Л. и др. Учимся рассуждать и доказывать. - М., 1989.

9. Пойа Д. Как решать задачу. - М., 1959.

10. Пойа Д. Математическое открытие. - М., 1970.

11. Тригг Ч. Задачи с изюминкой. - М., 1975.

Размещено на Allbest.ru