Решение дифференциальных уравнений с использованием интегральных вычислений
Нахождение (вычисление) интегралов. Вычисление площади фигуры, ограниченной графиками функций, с использованием свойств определенного интеграла. Использование признаков сходимости рядов. Решение дифференциального уравнения при заданных начальных условиях.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 07.11.2018 |
| Размер файла | 139,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Новосибирский государственный университет экономики и управления «НИНХ»
(ФГБОУ ВО «НГУЭУ», НГУЭУ)
Кафедра математики и естественных наук
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Дисциплина: Математический анализ
Журавкова Мария Евгеньевна
Новосибирск 2018 г.
Задача № 1
Найти (вычислить) интегралы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
Решение
а) ;
С - некоторая постоянная.
б) ;
С - некоторая постоянная.
в) ;
Применим формулу интегрирования по частям: . В нашем случае:
и , тогда имеем:
С - некоторая постоянная.
г) ;
д) .
Применим формулу интегрирования по частям: . В нашем случае:
и , тогда имеем:
интеграл дифференциальное уравнение
Ответ:
а) ; б) ;
в); ; г) ;
г) .
Задача № 2
Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций , .
Решение
и .
Сделаем чертеж:
Используя свойства определенного интеграла, искомая площадь равна:
(условных квадратных единиц).
Оттает: условных квадратных единиц.
Задача № 3
Исследовать на сходимость следующие ряды, используя указанные признаки сходимости:
А) необходимый признак ;
Б) признак Даламбера ;
В) признак Коши ;
Г) признак сравнения .
Решение
А) ;
Проверим выполнение необходимого признака сходимости .
Так как , то ряд расходится.
Б ;
Применим признак сходимости Даламбера:
.
Применили второй замечательный предел.
Так как , то согласно принципа сходимости Даламбера, заданный ряд расходится.
В) ;
Применим радикальный признак сходимости Коши:
.
Так как , то согласно радикального принципа сходимости Коши, заданный ряд сходится.
Г) .
Применим предельный признак сравнения. Сравним с рядом , который сходится как гармонический с показателем степени .
.
Так как , то ряд ведет себя так же как и ряд , следовательно, ряд сходится.
Ответ: А) расходится; Б) расходится; В) сходится; Г) сходится.
Задача № 4
Найти область сходимости степенного ряда .
Решение
Применим признак сходимости Даламбера:
- область сходимости.
Радиус сходимости равен .
Исследуем крайние точки.
При имеем ряд . По признаку Лейбница, ряд сходится условно, так как для всех и , а ряд расходится по предельному признаку сравнения как гармонический с показателем степени .
При имеем ряд . Ряд расходится по предельному признаку сравнения как гармонический с показателем степени .
Следовательно, область сходимости заданного функционального ряда равна .
Ответ: .
Задача № 5
Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию .
Решение
Имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
,
C - некоторая постоянная.
Используем начальные условия :
.
В итоге: .
Ответ: .
Библиографический список
Основной библиографический список
1. Шершнев В.Г. Математический анализ: Учеб. пособие. - М.: ИНФРА-М, 2013. - 288 с. - (Высшее образование: Бакалавриат). Режим доступа: http://znanium.com/bookread2.php?book=342089
2. Шершнев В.Г. Математический анализ: сборник задач с решениями: Учеб. пособие. - М.: ИНФРА-М, 2013. - 164 с. - (Высшее образование: Бакалавриат). Режим доступа: http://znanium.com/bookread2.php?book=342088
3. Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник. - М.: ИНФРА-М, 2015. - 479 с. - (Высшее образование). - Режим доступа: http://znanium.com/bookread2.php?book=469720 4. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: Учеб. пособие. - 10-е изд., стер. - М.: ИНФРА-М, 2015. - 304 с. - (Высшее образование). - Режим доступа: http://znanium.com/bookread2.php?book=470407
Дополнительная учебная литература
1. Гулай Т.А. Руководство к решению задач по математическому анализу: учебное пособие. В 2 ч. Ч. 2 / Т.А. Гулай, А.Ф. Долгополова, Д.Б. Литвин. - Ставрополь: Сервисшкола, 2012. - 336 с. - Режим доступа: http://znanium.com/bookread2.php?book=514604
2. Гулиян Б.Ш., Хамидуллин Р.Я. Математика. Базовый курс: Учебник /Б.Ш. Гулиян,Р.Я. Хамидуллин. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Московская финансовопромышленная академия, 2011. - 712 с. (Университетская серия). - Режим доступа: http://znanium.com/bookread2.php?book=451279
3. Долгополова А.Ф. Руководство к решению задач по математическому анализу: учебное пособие. В 2 ч. Ч. 1 / А.Ф. Долгополова, Т.А. Колодяжная. - Ставрополь: Сервисшкола, 2012. - 168 с. - Режим доступа: http://znanium.com/bookread2.php?book=514584
4. Высшая математика для экономических специальностей: учеб. и практикум / Н. Ш. Кремер и др.; под ред. Н. Ш. Кремера. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: ЮРАЙТ, 2010. -909 с.
5. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономического бакалавриата: Учебник. - М.: ИНФРА-М, 2013. - 472 с. - (Высшее образование). - Режим доступа: http://znanium.com/bookread2.php?book=400839
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Вычисление и исследование предела и производной функции, построение графиков. Вычисление неопределенных интегралов, площади фигуры, ограниченной графиками функций. Нахождение решения дифференциального уравнения и построение графиков частных решений.
контрольная работа [153,6 K], добавлен 19.01.2010Вычисление пределов функций. Нахождение производные заданных функций, решение неопределенных интегралов. Исследование функции и построение ее графика. Особенности вычисления площади фигуры, ограниченной линиями с использованием определенного интеграла.
контрольная работа [283,1 K], добавлен 01.03.2011Вычисление пределов функций, производных функций с построением графика. Вычисление определенных интегралов, площади фигуры, ограниченной графиками функций. Общее решение дифференциального уравнения, его частные решения. Исследование сходимости ряда.
контрольная работа [356,6 K], добавлен 17.07.2008Задачи на нахождение неопределенного интеграла с применением метода интегрирования по частям. Вычисление площади, ограниченной заданными параболами. Решение дифференциального уравнения первого порядка. Исследование на сходимость ряда; признаки сходимости.
контрольная работа [136,7 K], добавлен 16.03.2010Расчет неопределенных интегралов, проверка результатов дифференцированием. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Нахождение площади фигуры, ограниченной заданной параболой и прямой. Общее решение дифференциального уравнения.
контрольная работа [59,8 K], добавлен 05.03.2011Изучение способов нахождения пределов функций и их производных. Правило дифференцирования сложных функций. Исследование поведения функции на концах заданных промежутков. Вычисление площади фигуры при помощи интегралов. Решение дифференциальных уравнений.
контрольная работа [75,6 K], добавлен 23.10.2010Вычисление предела функции, не используя правило Лопиталя. Нахождение производной функции и построение ее графика. Исследование неопределенных интегралов и выполнение проверки дифференцированием. Вычисление площади фигуры, ограниченной графиками функций.
контрольная работа [317,3 K], добавлен 25.03.2014Вычисление общего решения дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными. Расчет определенного интеграла с точностью до 0,001. Определение вероятности заданных событий, математического ожидания и дисперсии случайной величины.
контрольная работа [543,4 K], добавлен 21.10.2012Нахождение неопределенных интегралов (с проверкой дифференцированием). Разложение подынтегральных дробей на простейшие. Вычисление определенных интегралов, представление их в виде приближенного числа. Вычисление площади фигуры, ограниченной параболой.
контрольная работа [123,7 K], добавлен 14.01.2015Вычисление производной функции. Угловой коэффициент прямой. Интервалы монотонности, точки экстремума и перегиба функции. Вычисление интегралов с помощью универсальной тригонометрической подстановки. Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями.
контрольная работа [696,1 K], добавлен 05.01.2013Вычисление площадей плоских фигур. Нахождение определенного интеграла функции. Определение площади под кривой, площади фигуры, заключенной между кривыми. Вычисление объемов тел вращения. Предел интегральной суммы функции. Определение объема цилиндра.
презентация [159,1 K], добавлен 18.09.2013Дифференциальные уравнения Риккати. Общее решение линейного уравнения. Нахождение всех возможных решений дифференциального уравнения Бернулли. Решение уравнений с разделяющимися переменными. Общее и особое решения дифференциального уравнения Клеро.
курсовая работа [347,1 K], добавлен 26.01.2015Нахождение произведения для заданных множеств. Вычисление предела функции с использованием основных теорем. Раскрытие неопределенности с использованием правила Лопиталя. Нахождение производной и вычисление неопределенного интеграла методом подстановки.
контрольная работа [260,0 K], добавлен 02.02.2011Решение систем линейных алгебраических уравнений методом исключения Гаусса. Табулирование и аппроксимация функций. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Приближенное вычисление определенных интегралов. Решение оптимизационных задач.
курсовая работа [1,6 M], добавлен 21.11.2013Основные понятия теории погрешностей. Приближенное решение некоторых алгебраических трансцендентных уравнений. Приближенное решение систем линейных уравнений. Интерполирование функций и вычисление определенных интегралов, дифференциальных уравнений.
методичка [899,4 K], добавлен 01.12.2009Задача численного интегрирования функций. Вычисление приближенного значения определенного интеграла. Нахождение определенного интеграла методами прямоугольников, средних прямоугольников, трапеций. Погрешность формул и сравнение методов по точности.
методичка [327,4 K], добавлен 01.07.2009Интервал сходимости степенного ряда, исследование его сходимости на концах этого интервала. Решение дифференциальных уравнений и частных решений, удовлетворяющих начальному условию. Нахождение неопределенных интегралов методом замены переменных.
контрольная работа [72,2 K], добавлен 08.04.2013Область сходимости степенного ряда. Нахождение пределов, вычисление определенных интегралов. Применение степенных рядов в приближенных значениях. Изучение особенностей решения дифференциальных уравнений. Достаточное условие разложимости функции в ряд.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 21.05.2019Определение определенного интеграла, его свойства. Длина дуги кривой. Площадь криволинейной трапеции. Площадь поверхности вращения. Площади фигур, ограниченных графиками функций, ограниченных линиями, заданными уравнениями. Вычисление объемов тел.
контрольная работа [842,6 K], добавлен 10.02.2017Система линейных неравенств, определяющих треугольник. Доказательство базиса четырехмерного пространства и определение координат вектора. Исследование функций на периодичность, монотонность и экстремум. Площади фигуры, ограниченной графиками функций.
контрольная работа [174,5 K], добавлен 26.01.2010
