Краевая задача магнитостатики на плоскости для сред с конечной магнитной проницаемостью

Размещено на http://www.allbest.ru/

Северо-Кавказский государственный технологический университет

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА МАГНИТОСТАТИКИ НА ПЛОСКОСТИ ДЛЯ СРЕД С КОНЕЧНОЙ МАГНИТНОЙ ПРОНИЦАЕМОСТЬЮ

С.Н. Кузнецов



Введение

В работе поставлена и решена краевая задача магнитостатики на плоскости для конечной относительной магнитной проницаемости среды. В отличие от работ других авторов, граничные условия для магнитного поля были представлены в комплексной форме. Задача была решена в замкнутом виде с применением конформных преобразований и интеграла типа Коши. Показано применение полученных результатов на простейших примерах.

В классических работах по теории электромагнитного поля (в частности [1..3]) в основном рассматриваются граничные условия Неймана и Дирихле для уравнений магнитостатики. Решения этих краевых задач были получены в аналитическом или замкнутом виде.

В общем случае для магнитного поля граничные условия формулируются следующим образом:

на границе раздела магнитных сред для магнитного поля выполняется условие непрерывности тангенциальной составляющей вектора напряженности магнитного поля - , [4]:

для магнитного поля на границе раздела сред выполняется условие непрерывности нормальной составляющей вектора магнитной индукции - [4]:

где "+" и "-" - означают предельные значения на границе раздела сред.

Для таких граничных условий в аналитическом или замкнутом виде решены только простейшие задачи (поле тока расположенного над плоской границей, ограничивающей среду с конечной магнитной проницаемостью; бесконечный полый цилиндр с конечной магнитной проницаемостью в однородном магнитном поле и т.д.).

Поэтому нахождение решения краевой задачи на плоскости для граничных условий (1) и (2) является весьма актуальной задачей.

Широкое применение для решения подобных задач находит теория функций комплексного переменного (ТФКП) [5]. Для того, чтобы воспользоваться методами ТФКП, необходимо представить граничные условия (1) и (2) в комплексной форме записи. Затем решить краевую задачу, используя конформные преобразования и интеграл типа Коши.

Следует отметить, что сама теория функций комплексного переменного и в особенности теория конформных отображений - возникла и развилась на основании физических представлений. А интеграл типа Коши для краевых задач теории аналитических функций комплексного переменного [5], [6] является аналогом потенциалов простого и двойного слоя.



1. Граничные условия в комплексной форме

Пусть имеется контур , который ограничивает односвязную область , с относительной магнитной проницаемостью (рис. 1). Дополнительную к области часть плоскости обозначим через . Относительная магнитная проницаемость области равняется единице.

Рис. 1.

Обозначим через комплексную магнитную индукцию, а через комплексно-сопряженную магнитную индукцию [2], [3], где - проекция вектора магнитной индукции на ось x, - проекция вектора магнитной индукции на ось y, j- мнимая единица , -комплексная координата, сопряженная комплексная координата ("*"- обозначает сопряженную комплексную величину).

Комплексный магнитный потенциал можно представить , где - действительная функция комплексного переменного , которая называется функцией потока, - действительная функция комплексного переменного , которая называется потенциальной функцией.

Производная от комплексного магнитного потенциала умноженная на j, не что иное, как комплексно-сопряженная магнитная индукция [2], [3]:

.

Перейдем к выводу граничных условий в комплексной форме записи.

Преобразовав (1), с учетом того, что и , получим известное соотношение [1] для тангенциальной составляющей вектора магнитной индукции .

Представим вектор магнитной индукции , как сумму векторов "источника" магнитного поля и отклика от среды :

.

Под "источниками" будем понимать проводники с постоянным током, электрически заряженные частицы и тела, движущиеся с постоянной скоростью в однородной и изотропной среде, а также намагниченные тела, которые и создают статическое магнитное поле (кавычки применяются потому, что магнитное поле - вихревое).

Для тангенциальной составляющей вектора будем иметь . Тангенциальная составляющая "источника" функция непрерывная везде, кроме некоторых точек принадлежащих области "источника" и поэтому можно записать



.

Пусть - угол наклона касательной к точке лежащей на границе раздела магнитных сред, - нормальная составляющая магнитной индукции, - тангенциальная составляющая магнитной индукции, и - орты, - единичный вектор нормали, - единичный вектор касательной (рис. 2).

Повернем вектор на угол , тогда тангенциальная составляющая также повернется на угол и будет параллельна оси x, а нормальная составляющая , после порота будет параллельна оси y (рис. 2). В комплексной форме поворот на угол , можно представить, как:

Рис. 2.

,

или для сопряженных комплексных величин



.

Из соотношения (5) для тангенциальной составляющей получим

.

Тогда подставив (6) в (4), будем иметь

.

Умножив левую и правую часть на , получим

.

Дифференциал комплексно сопряжен с дифференциалом , следовательно

.

Подставляя выражение (7) в предыдущее, получим граничное условие для тангенциальной составляющей в комплексной форме записи

.

Из выражения (5) для нормальной составляющей, будем иметь

.

Подставим соотношение (3) в граничное условие (2), затем в полученное выражение подставим (9), имеем

.

Умножим левую и правую часть на , подставим далее выражение (7) в полученное, будем иметь граничное условие для нормальной составляющей в комплексной форме записи

.

2. Постановка и решение краевой задачи

Краевая задача формулируется следующим образом: найти функцию аналитическую в областях и , предельное значение которой, удовлетворяет на контуре (рис. 1) краевому условию вида (8) и (10).

Решение краевой задачи:

Отобразим область на нижнюю полуплоскость при помощи конформного преобразования , где , а принадлежит нижней полуплоскости (рис.3).

Рис. 3.

Для точки принадлежащей контуру и точки принадлежащей действительной оси, можно записать , тогда

.

Из выражения для комплексно-сопряженной магнитной индукции будем иметь



а для комплексной магнитной индукции

.

Подставляя соотношения (11), (13) и (13) в граничное условие (8), имеем

.

Производя несложные преобразования, получим выражение граничного условия для тангенциальной составляющей в случае плоской границы

.



Аналогично для нормальной составляющей , граничное условие в случае плоской границы можно получить из соотношения (10):

Для нахождения решение краевой задачи для плоской границы будем использовать интеграл типа Коши [5..8] (подобный подход предложен Ф.Д. Гаховым для решения краевой задачи общего типа [7]), в виде которого можно представить производную комплексного магнитного потенциала:

,

где - плотность, которая должна удовлетворять условиям Гёльдера, а - ядро.

Проинтегрировав по , получим для комплексного магнитного потенциала решение в виде

.

По формуле Сохоцкого [6..8] определим для нижней полуплоскости предельное значение производной комплексного магнитного потенциала в виде

,

где точка принадлежит границе между верхней и нижней полуплоскостью (рис. 3). интеграл краевой магнитный индукция

Для верхней полуплоскости по формуле Сохоцкого предельное значение производной комплексного магнитного потенциала имеет вид

.

Для комплексно-сопряженной величины выполняется следующее соотношение , так как , в следствии того, что точка лежит на действительной оси.

Вычтем из выражения (17) сопряженную комплексную величину и получим

.

Вычитая из соотношения (18) сопряженную комплексную величину, будем иметь



.

Вычитая из предыдущего выражения последнее, получим

Тогда исходя из того, что граничное условие (15) равно нулю, следует что .

Сложим с соотношением (17) сопряженную комплексную величину, получим

.

А с выражением (18) также сложим сопряженную комплексную величину, будем иметь

.

Интеграл в двух последних выражениях равен нулю, следовательно

.

Подставляя полученные соотношения в граничное условие (14), будем иметь

.

Делая простые преобразования, получим для плотности следующую формулу

.

Подставив формулу для определения плотности (19) в соотношение (16) и прибавляя , получим выражение для комплексного магнитного потенциала

,

,

где - контур, ограничивающий нижнюю полуплоскость и - конформное преобразование нижней полуплоскости на область .

Применяя обратное конформное преобразование , получим выражение для комплексного магнитного потенциала

,

где - контур, ограничивающий область . Или используя то, что и , так как лежит на действительной оси, получим другое представление для комплексного магнитного потенциала

,

Дифференцируя комплексный магнитный потенциал (20) и умножая на мнимую единицу, получим решение краевой задачи для комплексно-сопряженной магнитной индукции

,

Аналогично комплексному магнитному потенциалу решение краевой задачи для комплексно-сопряженной магнитной индукции можно представить и в виде

.

Проверим полученные формулы (22) и (23) для частных случаев.



3. Примеры

Произвольный "источник" магнитного поля над полуплоскостью с относительной магнитной проницаемостью (рис. 4.).

Рис. 4.

Исходя из формулы (23) и того, что для среды в виде нижней полуплоскости имеем

.

В следствии того, что и аналитические функции в нижней и верхней полуплоскости соответственно, и непрерывные на границе раздела сред (на действительной оси) - интегралы в последнем выражении - будут интегралами Коши.

Тогда комплексно-сопряженная магнитная индукция для верхней полуплоскости примет вид:

,



то есть поле будет создаваться двумя "источниками" и (рис. 4).

Для нижней полуплоскости поле создается источником (рис. 4), то есть

.

Таким образом, получены хорошо известные выражения для магнитной индукции, которые получены методом зеркальных изображений [1..3].

3.2. Произвольный "источник" магнитного поля над угловой границей среды с относительной магнитной проницаемостью (рис. 5).

Рис. 5.

Для среды с границей в виде прямого угла - конформное отображение и производная . И тогда из формулы (23) получим



Делая несложные преобразования, имеем

.

Поскольку аналитическая функция в области ограниченной контуром и непрерывна на этом контуре, первый интеграл в предыдущей формуле - интеграл Коши.

аналитична в области ограниченной контуром и непрерывна на , поэтому и второй интеграл также будет интегралом Коши.

Третий интеграл также является интегралом Коши в следствии того, что аналитическая функция в области ограниченной контуром и непрерывная функция на данном контуре.

Аналогично и четвертый интеграл - интеграл Коши из-за аналитичности в области ограниченной контуром и непрерывности на контуре .

Тогда комплексно-сопряженная магнитная индукция для первого квадранта примет вид:

,



для второго квадранта

,

для третьего квадранта

,

и, наконец, для четвертого квадранта

.

Метод зеркальных изображений позволяет также получить эти выражения для магнитной индукции [1..3].

3.3. Произвольный "источник" магнитного поля над границей в виде окружности, ограничивающей среду с относительной магнитной проницаемостью .

Рис. 6.



Полуплоскость является предельным случаем круга, когда его радиус стремится к бесконечности. Для случая круга формула (23) будет иметь вид

,

.

В следствии того, что аналитическая функция в области ограниченной контуром и непрерывна на этом контуре, первый интеграл в предыдущей формуле - интеграл Коши. Поэтому внутри круга комплексно-сопряженная магнитная индукция имеет вид:

.

Для внешней области аналитическая функция непрерывная на контуре , поэтому второй интеграл является интегралом Коши. Следовательно вне круга комплексно-сопряженная магнитная индукция будет имеет вид:

.

Подобный результат можно получить методом зеркальных изображений [1..3].

Частным случаем предыдущего примера является поле тока над цилиндрической средой с относительной магнитной проницаемостью . Комплексно-сопряженная магнитная индукция оси с током , а комплексная индукция .

Вне цилиндрической среды

.

Внутри среды

.

Приведенные примеры подтверждают правильность полученных выражений (22) и (23).



Заключение

В работе поставлена и решена краевая задача магнитостатики на плоскости для конечной магнитной проницаемости среды. Для того, чтобы воспользоваться хорошо разработанным аппаратом теории функций комплексного переменного, граничные условия были представлены в комплексной форме. Применяя конформные преобразования и интеграл типа Коши, было получено решение задачи в замкнутом виде.

Следует отметить, что:

? решение было получено только для односвязных областей, но его можно распространить и на многосвязные области,

? для получения инженерных методик расчета необходимо использовать приближенные конформные преобразования,

? полученные результаты легко распространяются и на электростатику.

Решение этих задач и является предметом дальнейших исследований.



Литература

1. Шимони К. Теоретическая электротехника: пер. с нем. - М.: Мир, 1964.

2. Бинс К., Лоуренс П. Анализ и расчёт электрических и магнитных полей. - М.: Энергия, 1970.

3. Бухгольц Г. Расчёт электрических и магнитных полей. - М.: ИЛ, 1961.

4. Зоммерфельд А. Электродинамика. - М.: ИЛ, 1958.

5. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1987.

6. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. - М.: Наука, 1977.

7. Гахов Ф.Д. Краевые задачи Римана для систем n пар функций // Успехи мат. наук. - 1952. - т. VII, вып. 4(50).

8. Смирнов В.И. Курс высшей математики. т. III.- М.: Наука, 1974.

Размещено на Allbest.ru

...