Сингулярность напряжений в вершине изотропных и анизотропных конусов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Статья по теме:

Сингулярность напряжений в вершине изотропных и анизотропных конусов

Накарякова Т.О., Севодина Н.В. (г. Пермь, Россия)

На сегодняшний день существуют различные математические подходы к построению решений в окрестности особых точек упругих тел, среди которых наибольшее распространение получили подходы, связанные с именами М.Л. Вильямса и Меллина. Первый подход заключается в отыскании решения определенного вида, удовлетворяющего однородным уравнениям и однородным граничным условиям вблизи особой точки. Второй - использует преобразование Меллина и теорию вычетов. Каждый из этих подходов приводит исходную задачу к трансцендентному (характеристическому) уравнению относительно показателя сингулярности , которое имеет счетное множество корней, в общем случае комплексных. Для оценки характера сингулярности напряжений важно знать число корней характеристического уравнения, которые расположены в полосе 0<Re <1. При наличии таких корней вероятность реализации напряженного состояния с бесконечной особенностью в точке тем больше, чем больше их число. При исследовании поля напряжений с качественной стороны важно знать характер первых корней этого уравнения (комплексные они или действительные). Следует заметить, что нахождение корней трансцендентного уравнения представляет собой самостоятельную довольно трудоемкую задачу, которая находится под пристальным вниманием исследователей, стремящихся создать наиболее оптимальный алгоритм eё численной реализации.

В двумерной постановке характеристики концентрации напряжений в угловых точках линейно-упругих тел, в том числе и для разномодульных соединений, изучены практически исчерпывающе. Анализ сингулярности напряжений в вершине пространственных клиньев продолжает оставаться актуальной проблемой. Среди частично решенных проблем этой серии является задача о характере сингулярности напряжений в вершине правильного изотропного и анизотропного конусов.

Рис. 1

Для решения трехмерных задач о сингулярности напряжений в подавляющем большинстве используются различные варианты численных методов. В работе [1] был изложен метод, позволяющий получить результаты о характере сингулярности напряжений в вершине изотропного конуса с эллиптическим основанием при однородных краевых условиях. Настоящая работа является продолжением этих исследований.

Рассматривается пространственное тело в виде конуса, выполненное из упругого ортотропного материала. Решение будем вести в сферической системе координат (рис.1) (вершина конуса совпадает с центром сферических координат). Поверхность конуса свободна от напряжений.

Для анализа характера сингулярности напряжений строятся собственные решения, совпадающие по виду с асимптотическим представлением решения [2],

,

и удовлетворяющие в рассматриваемой области уравнениям равновесия [3]

(1)

и однородным граничным условиям на боковой поверхности конуса, где могут быть заданы либо нулевые перемещения

(2)

либо нулевые напряжения

. (3)

В случае ортотропного материала со сферической анизотропией связь компонент тензора напряжений и тензора деформаций запишется в виде

,

, (4)

,

где

,

,

,

,

,

,

.

Суть метода, изложенного в работе [1], состоит в применении метода Галеркина - записи исходных дифференциальных уравнений (1) в слабой форме, а затем интегрирования их по области , вырезаемой конусом на сфере. Решение поставленной задачи можно разделить на следующие этапы:

для правильного конуса можно произвести разложение в гармонический ряд Фурье по углу функций , что позволяет понизить размерность задачи и свести искомое решение исходной задачи к последовательности не взаимосвязанных краевых задач относительно амплитудных функций ряда Фурье, зависящих от координат ,,

(4)

2. проводятся тождественные преобразования с целью понижения порядка производных функций решений . Таким образом, уравнения (1) при использовании предложенного метода и с учетом разложения (4) примут вид:

(5)

.

Здесь .

3. используется метод конечных элементов (МКЭ) [4]. Разложение в гармонический ряд Фурье по углу функций позволяет при применении МКЭ использовать одномерные конечные элементы,

4. процедура Галеркина в совокупности с МКЭ приводит поставленную задачу к отысканию собственных значений и собственных векторов алгебраической несимметричной матрицы, имеющей ленточную структуру. Для решения полученной алгебраической проблемы комплексных собственных значений был использован алгоритм, основанный на использовании метода Мюллера [5] и принципа аргумента [6]. Достоверность и эффективность созданного на основе предложенного метода алгоритма была подтверждена в работе [1].

Далее приводятся результаты решения ряда задач.

меллин калеркин фурье конус

Рис. 2 - Зависимость наименьшего показателя сингулярности от угла раствора изотропного конуса для различных значений коэффициента Пуассона при однородных граничных условиях в напряжениях

Если материал конуса изотропный, то показатели сингулярности напряжений зависят только коэффициента Пуассона. На рис. 2 приведена зависимость наименьшего показателя сингулярности от угла раствора правильного конуса для различных значений коэффициента Пуассона при однородных граничных условиях в напряжениях (3).

В качестве примера расчета показателей сингулярности в вершине анизотропного конуса приведем исследования для конуса, выполненного из трансверсально-изотропного материала с поверхностью изотропии, перпендикулярной радиальной координате. В этом случае имеем пять независимых материальных констант . Причем, для обеспечения положительности энергии деформации должно выполняться следующее неравенство [7]

. (5)

На рис. 3. приведена зависимость наименьшего показателя сингулярности от угла раствора правильного конуса для различных значений коэффициента Пуассона при однородных граничных условиях в напряжениях (3) и при следующих значениях физических констант материала - .

Рис. 3 - Зависимость наименьшего показателя сингулярности от угла раствора трансверсально-изотропного конуса для различных значений коэффициента Пуассона при однородных граничных условиях в напряжениях

На рис. 4 приведено влияние отношения модулей упругости на показатели сингулярности напряжений для правильного трансверсально-изотропного конуса с углом раствора .

Рис. 4 - Влияние отношения модулей упругости на показатели сингулярности напряжений для трансверсально-изотропного конуса с углом раствора при однородных граничных условиях в напряжениях

В отличие от изотропного конуса , где модуль упругости не оказывает влияния на показатели сингулярности, в трансверсально-изотропном конусе даже небольшое изменение соотношения модулей упругости приводит к увеличению количества показателей сингулярности с действительной частью, меньше 1, и к изменению их величины.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 06-01-00488-а).

Литература

1. Матвеенко В.П., Накарякова Т.О., Севодина Н.В., Шардаков И.Н. Исследования сингулярности напряжений в вершине конуса с эллиптическим основанием // Докл. РАН. 2006. Т. 411. № 3. С. 326 - 329.

2. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Тр. Моск. мат. о-ва. 1967. Т. 16. С. 209-292.

3. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М: Наука, 1988. 712с.

4. Strang G., Fix G.J. An Analysis of the Finite Element Method. Englewood, N.J.: Prentice-Hall, 1973 = Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М., 1977. 349 с.

5. Muller D.E. A method for solving algebraic equation using an automatic computer//Mathematical Table. 1956. P. 208-215.

6. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука. 1973. 736С.

7. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. М.: Наука. 1987. 360 с.

Размещено на Allbest.ru