Смешанная задача для одного квазилинейного параболического уравнения с гистерезисом

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Смешанная задача для одного квазилинейного параболического уравнения с гистерезисом



Дифференциальные уравнения с запоминающим оператором, особенно уравнения с гистерезисом имеют большое значение среди нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными. Понятие гистерезисного оператора впервые было введено в [1]. Смешанные задачи с гистерезисными нелинейностями изучены, например, в работах [2], [3], [4]. В данной работе рассматривается начально-краевая задача для одного квазилинейного параболического уравнения с запоминающим оператором. В случае отсутствия запоминающего оператора, эта задача исследована, например в [5]. Разрешимость такой задачи без нелинейного слагаемого , исследована в работе [6]. В данной работе доказана теорема о существовании решений рассматриваемой задачи. Доказана также единственность решений этой задачи, если запоминающий оператор является гистерезисной нелинейностью типа обобщенного люфта. Отметим, что смешанные задачи с такими гистерезисными нелинейностями изучены, например, в работах [7], [8].

Пусть  ограниченная область с достаточно гладкой границей Г В области  рассмотрим квазилинейное параболическое уравнение:

краевой оператор запоминающий

(1)

с граничным условием

(2)



и с начальным условием

, (3)

где  и нелинейный оператор F действует из пространства  пространство измеримых функций, действующих из в . Предполагается, что F является запоминающим оператором, который действует в каждой точке  независимо, то есть  зависит от  и не зависит от  для .

Пусть оператор F удовлетворяет следующим условиям:

(4)

(5)

Пусть . Предполагаем, что

, (6)

(7)



Функция

и удовлетворяющая для любого п.в. в равенству

(8)

называется решением задачи (1) - (3).

Из определения решения следует, что

(9)

откуда

;

поэтому  и (9) удовлетворяется в  п. в. на . Интегрирование по частям в соотношении (8) дает следующее:

в  (в смысле распределений). (10)

В свою очередь из (9) и (10) получается соотношение (8).

Предположим, что оператор F удовлетворяет также условиям:

(11)

(12)

Теорема 1. Пусть выполняются условия (4) - (7), (11), (12). Тогда задача (1) - (3) имеет по крайней мере одно решение, для которого имеет место:

(13)

Доказательство. Применим метод дискретизации по переменному t (см. [6]).

Разбивая отрезок [0, t] точками  частей, обозначая

линейная интерполяция по времени  для  и аналогичным образом определяя , рассмотрим задачу

(14)

. (15)



Покажем, что эта задача может быть решена шаг за шагом. Предположим, что  известны для любого  и рассмотрим задачу определения . Функция является аффинной на отрезке , почти для всякого ; поэтому  зависит только от , которое известно, и от , которое должно быть определено. Поэтому

.

Пусть

. (16)

Согласно (16),  и из (11) получаем, что

. (17)

для любого .

Определим оператор. Согласно (5) и (17) имеем

 аффинно ограничен и сильно непрерывен. (18)

Из (12) получается, что



для любого . Из последнего неравенства и из (17), получаем, что существуют такие постоянные  (зависящие от m, n но не от х), что

(19)

Если не учесть фиксированные индексы m и n, то уравнение (14) можем записать в виде:

(20)

где . Для доказательства существования хотя бы одного решения этого уравнения воспользуемся стандартной процедурой. Пусть  - последовательность конечномерных подпространств, покрывающих V; для любого  рассмотрим следующую конечномерную задачу:

(21)

Согласно (18), является сильно непрерывным оператором. Из (19) (а также из того факта, что для  выполняется неравенство  - некоторые постоянные) получается, что этот оператор удовлетворяет следующему условию:



(22)

Отсюда получаем, что задача (21) имеет хотя бы одно решение (по одному варианту теоремы Брауэра о неподвижной точке, [5], гл. I, раздел 4.3). Умножая (21) на и используя (22), получаем, что последовательность  равномерно ограничена в V. Следовательно, существует такая функция u и можно выделить такую подпоследовательность .

Согласно компактному вложению:  и (18) имеем

Поэтому переходя к пределу в (21) , получаем (20); то есть существует функция u, которая является решением уравнения (20) (или (14)).

Чтобы получить априорные оценки, умножим обе части (14) на . Тогда суммируя по  для любого  и интегрируя по Щ, получим:

(23)

Согласно (12) имеем

(24)



кроме того

(25)

(26)

Учитывая (24), (25), (26) в (23), имеем

(27)

где постоянная  не зависит от m. Так как (27) справедливо для любого , то проведя несложные преобразования, получим, что



, (28)

где постоянная  не зависит от m.

Пусть

и определим  аналогичным образом. Тогда из (14) и (28) имеем:

(29)

. (30)

Так как (с непрерывным вложением), то согласно (11) и (30)

(31)

и поскольку  порождает отображение , то легко проверить, что

. (32)



Из соотношений (29) - (32) получаем, что

(33)

Известно, что если D - Банахово пространство и при

, то

(см. [9]); кроме того, если D рефлексивно, или  сепарабельно, то

.

Используя этот факт для  и оценку (33), заключаем, что существуют функции u, w такие, что (после выделения быть может под последовательности) при 

(34)

(35)

(36)

(37)

где .

Учитывая (34) - (37), переходим к пределу в (29) при  и получаем (9); легко получается и (10). И это, как мы уже отметили, приводит к (8).

Известно ([10], глава 4, стр. 378), что

с непрерывными вложениями (последнее вложение также компактное). Поэтому, выделяя быть может очередную подпоследовательность, имеем:

 равномерно на , п. в. в Щ.

Тогда, согласно (5),  равномерно на , п. в. в Щ.

Так как  является линейной интерполяцией по времени от  для почти всех , то имеем  равномерно на , п. в. в Щ.

Поэтому согласно (36) имеем:  п. в. в Q. Из (11) получается, что  сходится в.

Теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим задачу (1) - (3) при дополнительном условии, что F является гистерезисной нелинейностью типа обобщенного люфта (см. [6]).

Пусть для функций  удовлетворяется условие

(38)

для любого .

Обозначим через E гистерезисный оператор обобщенного люфта (см. [6], глава III). Зафиксируем некоторое  и предположим, что

(39)

для любого  и для любого .

Оператор удовлетворяет условиям (4) - (5), (11) - (12). Для этого оператора удовлетворяются также неравенство

 п. в. на ,

и следующее

Неравенство Гильперта ([6], глава III). Пусть

и  - измеримая функция, такая, что  п. в. на . Если , то

Теорема 2. Пусть  - липшицево непрерывны, аффинно ограничены и удовлетворяют условию (38). Определим F как в (39) и предположим, что

 п. в. на .

Если  - соответствующие решения задачи (1) - (3) с , то для любого  удовлетворяются неравенство

(40)

Доказательство. Пусть

Согласно теореме III. 2.3 (см. [1]), .

Так как

то

откуда умножая на  и интегрируя по Щ, имеем

(41)

Так как



п. в. на  и

то из (41) получаем

(42)

Теперь переходим к пределу при . Существует функция  такая, что  п. в. в Q. Кроме того  п. в. в Q, где

Тогда из (42) получаем, что

(43)

Так как в силу неравенства Гильперта удовлетворяется неравенство

то из (43) имеем



откуда получается (40).

Теорема 2 доказана.

Теорема 3. Пусть

функции  липшицево непрерывны, аффинно ограничены и удовлетворяют условию (38), а F определяется как в (39). Тогда задача (1) - (3) с f=h имеет единственное решение, которое удовлетворяет условию (13).

Доказательство. Эта теорема является прямым следствием теорем 1 и 2.

Дифференциальные уравнения с запоминающим оператором, особенно уравнения с гистерезисом имеют большое значение среди нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными, которые встречаются в физике, механике, биологии, химии, экономике и в других областях науки; гистерезисные явления часто встречаются также в теории трения, в ферромагнетизме, в теории сверхпроводимости. Особую трудность имеют уравнения с гистерезисом, если гистерезисный оператор находится под оператором дифференцирования по переменной t. В этой статье методом дискретизации по времени исследована разрешимость смешанной задачи для одного квазилинейного параболического уравнения с запоминающим оператором; доказана также единственность решений этой задачи, при дополнительном условии, что запоминающий оператор является гистерезисной нелинейностью типа обобщенного люфта.



Список литературы

1. Красносельский М.А. Системы с гистерезисом // М.А. Красносельский, А.В. Покровский. - М.: Наука, 1983. - 272 c.

2. Mielke A. Rate-independent systems. Theory and application / A. Mielke, T. Roubicek // Applied Mathematical Sciences. - vol. 193. - Springer, New York. - 2015. - 660 p.

3. Visintin A. Quasilinear hyperbolic equations with hysteresis // Ann. Inst. H. Poincare. Analyse nonlineaire. - 19. - 2002. - P. 451-476.

4. Visintin A. Mathematical models of hysteresis / In: The Science of Hysteresis (G. Bertotti, I. Mayergoyz, eds.) Elsevier. - 2006. - chap.1. - P. 1-123.

5. Лионс Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.Л. Лионс. - М.: Мир. - 1972. - 588 c.

6. Visintin A. Differential Models of Hysteresis / A. Visintin. - Springer, 1993. - 411 p.

7. Kopfova J. Uniqueness theorem for a Cauchy problem with hysteresis // Proceedings of the American Mathematical Society. - 1999. - vol. 127. - No 12. - PP. 3527-3532.

8. Kopfova J. Periodic solutions and asymptotic behavior of a PDE with hysteresis in the source term // Rocky Mountain Journal of Mathematics. - 2006. - vol. 36. - No 2. - P. 539-554.

9. Ларькин Н.А. Нелинейные уравнения переменного типа / Н.А. Ларькин, В.А. Новиков, Н.Н. Яненко - Наука, Новосибирск, 1983. - 269 c.

10. Лионс Ж.Л. Неоднородные граничные задачи и их приложения / Ж.Л. Лионс, Э. Мадженес. - М.: Мир, 1971. - 357 c.

Размещено на Allbest.ru

...