Теория и методика обучения математике

Размещено на http://www.allbest.ru/

информационное государственное элементы образовательное учреждение товаров образования

«ТИХООКЕАНСКИЙ заключение УНИВЕРСИТЕТ»

ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

разделении естественных заключение математики и элементы технологий

Контрольная работа

по дисциплине "Теория и методика обучения математике"

Выполнила: студенка

Студентка эл 4 курса, заочной производитель обучения

Ризнычок Наталия Александровна

Проверил:

Преподаватель: Кислякова М.А.

Хабаровск 2018 г.



Задание 1 (теоретическое)

Методика обучения решению математических задач арифметическим способом.

1) Общая характеристика содержательно методической линии:

Цель изучения в школе
№	Цель изучения	Источник
1	Развивает смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, то есть развивает естественный язык, готовит школьников к дальнейшему обучению.	Текстовые задачи в школьном курсе математики Блажина Евгения Владимировна, учитель математики Разделы: Математика. Статья.
2	Задачи являются основным средством развития логического мышления, пространственного воображения, практического применения математических знаний в деятельности человека. Учащиеся должны уметь определять тематику задачи, и, соответственно, выделять основные величины, определяющие условие задачи, их взаимосвязь, а также способы нахождения неизвестных категорий.	https://nsportal.ru
3	Арифметические способы решения текстовых задач позволяют развивать умение анализировать задачные ситуации, строить план решения с учетом взаимосвязей между известными и неизвестными величинами (с учетом типа задачи), истолковывать результат каждого действия в рамках условия задачи, проверять правильность решения с помощью составления и решения обратной задачи, то есть, формировать и развивать важные общеучебные умения.	Методика обучения школьников приемам решения текстовых арифметических задач. https://works.doklad.ru
4	Использование арифметических способов решения задач способствует общему развитию учащихся, развитию не только логического, но и образного мышления, лучшему освоению естественного языка, а это повышает эффективность обучения математике и смежных дисциплин. Ориентируя школьников на поиск красивых, изящных решений математических задач, учитель тем самым способствует эстетическому воспитанию учащихся и повышению их математической культуры.	Статья "Текстовые задачи" 9-й класс Учитель Останина Елена Ивановна
5	Текстовые задачи являются важным средством обучения математике. С их помощью учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики к решению практических (или правдоподобных) задач. Использование арифметических способов решения задач развивает смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, то есть развивает естественный язык, готовит школьников к дальнейшему обучению. Арифметические способы решения текстовых задач позволяют развивать умение анализировать задачные ситуации, строить план решения с учетом взаимосвязей между известными и неизвестными величинами (с учетом типа задачи), истолковывать результат каждого действия в рамках условия задачи, проверять правильность решения с помощью составления и решения обратной задачи, то есть формировать и развивать важные общеучебные умения. Арифметические способы решения текстовых задач приучают детей к первым абстракциям, позволяют воспитывать логическую культуру, могут способствовать созданию благоприятного эмоционального фона обучения, развитию у школьников эстетического чувства применительно к решению задачи (красивое решение!) и изучению математики, вызывая интерес сначала к процессу поиска решения задачи, а потом и к изучаемому предмету. Использование исторических задач и разнообразных старинных (арифметических) способов их решения не только обогащают опыт мыслительной деятельности учащихся, но и позволяют им осваивать важное культурно-историческое наследие человечества, связанный с поиском решения задач. Это важный внутренний (связанный с предметом), а не внешний (связанный с отметками, поощрениями и т.п.) стимул к поиску решений задач и изучению математики.	А. В. Шевкин. Текстовые задачи в школьном курсе математики
6	Арифметические способы решения текстовых задач позволяют развивать умение анализировать задачные ситуации, строить план решения с учётом взаимосвязей между известными и неизвестными величинами (с учётом типа задачи), истолковывать результат каждого действия в рамках условия задачи, проверять правильность решения с помощью обратной задачи, то есть формулировать и развивать важные общеучебные умения. Арифметические способы решения текстовых задач приучают детей к первым абстракциям, позволяют воспитывать логическую культуру, могут способствовать созданию благоприятного эмоционального фона обучения, развитию у школьников эстетического чувства применительно к решению задачи (красивое решение!) и изучению математики, вызывая интерес сначала к процессу поиска решения задачи, а потом к изучаемому предмету.	«Арифметические способы решения текстовых задач по математике в 5-6 классах» Методическая разработка Ореховой Елены Юрьевны, учителя математики
Основные понятия
1	§ нахождение суммы величин, если эти величины известны с использованием сравнений «на…больше», «на…меньше», «в..раз больше», «в… раз меньше» в прямой и косвенной форме; § нахождение разницы между величинами с использованием действий вычитания и деления; § нахождение одной из трёх величин в задачах на зависимости: цена-количество-стоимость, норма расхода материала на 1 вещь-количество вещей-расход материала всего, скорость-время-расстояние; § нахождение одной из трёх величин в задачах на зависимости: было-израсходовали-осталось, было-добавили-стало.	«Арифметические способы решения текстовых задач по математике в 5-6 классах» Методическая разработка Ореховой Елены Юрьевны, учителя математики
Основные умения
1	Знать связи между такими величинами, как цена, количество, стоимость; время, скорость, путь при равномерном движении; уметь применять к решению текстовых задач знание изученных зависимостей.	«Арифметические способы решения текстовых задач по математике в 5-6 классах» Методическая разработка Ореховой Елены Юрьевны, учителя математики
Ключевые задания
1	1. Задачи на процессы (на движение, на работу, на бассейны) 2. Задачи на нахождение двух или нескольких чисел по их сумме и разности; задачи на нахождение двух или нескольких чисел по их сумме (разности) и отношению. 3. Задачи на предположение. 4. Задачи на проценты. 5. Задачи на нахождение части от числа и числа по его части. 6. Задачи на пропорциональные зависимости.	«Арифметические способы решения текстовых задач по математике в 5-6 классах» Методическая разработка Ореховой Елены Юрьевны, учителя математики
Ожидаемые трудности
1	1. привнесение лишнего вопроса и действия; 2. исключение нужного вопроса и действия; 3. несоответствие вопросов действиям: правильно поставленные вопросы и неправильный выбор действий или, наоборот, правильный выбор действий и неверная формулировка вопросов; 4. случайный подбор чисел и действий; 5. ошибки в наименовании величин при выполнении действий (наименования не пишутся, наименования пишутся ошибочно, наименования пишутся лишь при отдельных компонентах); 6. ошибки в вычислениях; неверная формулировка ответа задачи (сформулированный ответ не соответствует вопросу задачи, стилистически построен неверно и т.д.)	Открытыйурок.рф/статьи/

2) Методика изучения темы:

Работа по решению задач проводится в несколько этапов:

1. Подготовительные упражнения в постановке вопроса;

2. Драматизация условия задачи;

3. Решение задач-инструкций;

4. Составление задач учащимися по инструкции;

5. Решение задач по тексту;

6. Самостоятельное составление задач.

Рассмотрим каждый из указанных этапов.

Первый этап - подготовительные упражнения в постановке вопроса.

Упражнения могут быть двух видов:

Учащиеся ставят вопрос по демонстрируемому учителем действию. Учитель демонстрирует наглядную задачу (в одно действие), например, кладет в коробку 3 синих карандаша и 5 красных. Учащиеся должны сформулировать вопрос.

Учащиеся ставят вопрос к данному условию. Например: “У Миши было 6 яблок, а у Маши 5. Что можно узнать?” и т.д.

Второй этап - драматизация условия задачи (решение наглядных задач).

В начале задача демонстрируется учителем, а позднее и учениками. Драматизация задачи должна сопровождаться словесным описанием и предметной иллюстрацией условия.

Так, например, на стол ставятся 2 тарелки. Тарелки закрываются листом бумаги. На одну из них учитель кладет 4 ореха, а на другую - 5. Учитель спрашивает: “Сколько орехов на тарелках?”

Учащиеся решают задачу устно, говорят только ответ (9 орехов). Затем решение проверяется пересчитыванием орехов на тарелках.

Эти задачи учащиеся, как правило, решают быстро и с большим интересом.

В решении задач-драматизаций, в свою очередь, также выделяют несколько этапов:

Решение без записи, учащиеся говорят только ответ, затем решение проверяется (пересчитываются предметы).

Решение записывается в одну строчку. Так, например, решая наглядную задачу об орехах, ученик так записывает решение:

4ор. + 5ор. = 9 ор.

Таким образом, ученик записывает операцию.

Третий этап - решение задач-иллюстраций.

Учитель предлагает инструкцию и вопрос задачи в устном или письменном виде. Например, учитель предлагает ряд инструкций:

- Коля, возьми 4 тетради. Положи в шкаф.

Ученик выполняет данное поручение.

- Маша, возьми 2 тетрадей. Положи в шкаф.

Маша кладет 2 тетрадей в шкаф к тем, которые положил Коля.

Учитель спрашивает:

- Сколько тетрадей стало в шкафу?

Дети отвечают сразу.

Четвертый этап - составление задач учащимися по инструкции.

По данным учителем инструкциям вызванный ученик выполняет соответствующие действия, а остальные ученики составляют задачу, а затем ее решают.

Пятый этап - решение задач по заданному тексту.

Учитель использует тексты задач, предложенные в учебнике и дополнительной литературе.

Несмотря на, то, что учащиеся приступают к решению задач по тексту, работа с задачами-инструкциями обязательно должна продолжаться.

Шестой этап - самостоятельное составление задач.

Наблюдения показывают, что составление задач помогает младшим школьникам лучше ориентироваться в задачах разных видов, определять приемы их решения.

Из удачно придуманных учениками задач можно сделать небольшой “задачник”. Задачи из “задачника” можно предлагать для решения не только в своем, но и в других классах. Это хороший стимул и мера поощрения для авторов задач. Да, и ученики относятся с большим интересом к решению таких задач.

Для того чтобы учащиеся научились решать задачи и приобрели навык обобщенного способа решения, требуется многократное решение достаточного количества задач. Задачи можно включать в устные упражнения, не забывая о том, что решать подряд задачи одного вида не следует, так как это может привести к “натаскиванию” учащихся в их решении только на короткий срок. Полезно чередовать решение разных видов задач.

При обучении детей решению задач можно использовать фольклорный материал. Большое значение в обучении математике имеют текстовые задачи с реальными данными (практического содержания), учитель должен найти им место в процессе формирования умений учащихся самостоятельно составлять и решать такие задачи, указывая на практическую направленность обучения.

Чтобы устранить трудности, возникающие у школьников в процессе решению арифметических задач, в методике преподавания математики предлагаются подготовительные упражнения. Содержание данных упражнений направлено на достижение следующих основных целей: а) формирование умений учащихся анализировать задачу и оформлять краткую запись ее содержания; б) формирование умений моделировать взаимосвязи величин, содержащихся в задаче, в виде упражнений.

Основы методики обучения решению задач включают формирование у младших школьников четырех основных этапов процесса их решения:

1) анализ текста задачи;

2) поиск способа решения задачи и составление соответствующего плана решения;

3) осуществление найденного плана;

4) изучение (анализ) найденного решения.

Подводя итог, следует отметить, что только систематическая работа, знание психолого-педагогических особенностей развития детей младшего школьного возраста, использование специфических методик способствует прочному усвоению детьми математического материала, в частности обучению решения задач.

Задание 2 (практическое)

1. Числовая линия в средней школе.

2. Раскрытие идеи развития понятия числа в школьном обучении.

3. Методика изучения числовых систем.

4. Методика изучения иррациональных чисел.

1. Числовая линия в средней школе.

Изучение чисел является фундаментом всей математической подготовки учащихся. Они знакомятся с натуральными (1, 2, 3, …); с целыми (0, ±1, ±2, ±3, …), включающими все натуральные; с рациональными (множество целых чисел, дополненное множеством дробей), с иррациональными и действительными числами (множество всех рациональных и иррациональных чисел).

Комплексные числа изучаются в классах с углубленным изучением предмета, на элективных курсах, на факультативах.

При изучении чисел у учащихся формируются и развиваются вычислительные навыки. Перспективы наиболее широкого применения вычислительной техники меняют в этом вопросе традиционные акценты. Основное внимание уделяется действиям с десятичными дробями, как наиболее применимыми на практике, а также навыкам работы с микрокалькулятором. Меньше внимания и времени уделяется отработке письменных приемов вычисления. В то же время учащиеся приобретают умения выполнять некоторые виды устных вычислений, включая прикидку и оценку результата, округление и сравнение чисел, умение выбрать рациональный прием вычисления, проверить, вычислить по заданным алгоритмам, а также составлять их. Изучение чисел сопровождается постоянным привлечением разнообразных по фабуле задач, при решении которых учащиеся встречаются с различными видами деятельности, связанными с подсчетами и измерениями. Учащиеся знакомятся с различными измерениями величин. Учатся переходить от одних единиц измерения к другим.

В ходе систематического развития понятия числа школьники знакомятся с идеей раскрытия этого понятия, с возникновением различных видов чисел как из потребностей практики (счет, измерение), так и из внутренних потребностей математики (решение уравнений, выполнение операций). Тем самым закладываются представления об основных источниках развития науки.

Изучение чисел - первый шаг в знакомстве с идеей математической абстракции. Следующим шагом становится переход от числа к буквенному исчислению, от действий с числами и числовыми выражениями к соответствующей деятельности, связанной с алгебраическими выражениями.

Учение о числе является одной из содержательно - методических линий курса математики. Изучение чисел начинается с 1 класса и продолжается на протяжении всех лет обучения.

По действующей программе последовательность развертывания числового материала следующая:

5 класс - натуральные числа, пропедевтика обыкновенных дробей, конечные десятичные дроби;

6 класс - положительные и отрицательные числа, рациональные числа;

8 класс - иррациональные и действительные числа.

Завершается изучение чисел действительными числами.

2. Раскрытие идеи развития понятия числа.

Исторически первыми возникли натуральные числа как отражение простейших потребностей деятельности людей. Поэтому в школе изучение числовых систем начинается с системы натуральных чисел. Дальнейшее развитие понятия числа может идти по-разному. Выделяются 2 возможные последовательности расширения понятия натурального числа:

1. - логическая последовательность;

2. - историческая последовательность.

Построение числовой линии в действующей программе ближе примыкает к исторической схеме с той лишь разницей, что арифметика десятичных дробей изучается раньше арифметики обыкновенных дробей.

Расширение - это переход от системы А к системе В. Пусть А - некоторое числовое множество. Тогда расширением множества А называется множество В, удовлетворяющее следующим условиям:

1) Множество А является подмножеством множества В.

2) Все операции и отношения, определенные в множестве А определены и в множестве В. Причем результаты выполнения этих операций по правилам, введенным в В, и по правилам, введенным в А, те же самые. Все остальные операции и отношения во множестве А должны выполняться и во множестве В.

3) В множестве В должна выполняться операция, которая в множестве А была невыполнима или частично выполнима. В этом состоит основная цель множества А.

4) Расширение В должно быть минимальным из всех возможных расширений, удовлетворяющим условиям 1)-3).

Возможны различные пути расширения одного числового множества до другого:

1. Можно строить множество В как совершенно новое множество чисел, а затем отождествить некоторые его подмножества с множеством А.

2. Можно дополнить множество А новыми числами и получить расширенное множество В.

В школе осуществляется второй путь.

3. Методика изучения числовых систем.

Схема изучения числовых систем в школе следующая:

1. Показать недостаточность известного числового множества, а значит необходимость его расширения.

2. Введение новых чисел. Показ способов записи, чтения, изображения на числовом луче или оси.

3. Введение отношений между числами нового множества («равно», «больше», «меньше»).

В действующих учебниках для сравнения чисел используется 2 подхода. Сначала геометрический способ, в частности, по расположению точек на координатной прямой. Затем выводятся правила сравнения чисел по их записи.

4. В расширенном числовом множестве вводятся операции над числами. Операция сложения на множестве натуральных чисел не определяется. Смысл ее раскрывается на конкретных примерах. Умножение на натуральное число определяется через сложение. Вычитание и деление на всех числовых множествах определяются как операции, обратные сложению и умножению соответственно. Сложение и умножение при расширении числовых множеств вводятся с помощью правил, которые нередко являются определениями операций и дают алгоритм их выполнения.

5. Изучаются законы и свойства арифметических действий, свойства нуля и единицы.

На множестве натуральных чисел все законы устанавливаются, т.е. к их формулировкам учащиеся приходят через решение конкретных задач. При расширении числовых множеств законы проверяются, т.е. учащимся предлагается вспомнить соответствующие законы, известные на множестве натуральных чисел, которые записываются с помощью равенства с переменными, и ставится проблема: будут ли эти законы справедливыми на новом множестве.

6. Решение разнообразных задач с использованием новых чисел и законов арифметических действий:

- для рационализации вычислений;

- для выполнения преобразований выражения с переменной. (Пример: 5а+3а=(5+3)а=8а - распределительный закон сложения).

- для обоснования законов, правил выполнения действий над многозначными числами и получения алгоритмов новых действий. (Пример: ).

Особое внимание необходимо уделить формированию умений и навыков выполняемых арифметических действий над числами, т.к. уровень вычислительной культуры учащихся в последнее время значительно уменьшился.

4. Методика изучения иррациональных чисел.

Рассмотрим методику изучения числовых систем на примере иррациональных чисел.

1. Показ недостаточности множества рациональных чисел, а значит необходимости его расширения.

Рассмотрим следующую задачу: решить уравнение.

Выполним геометрическую иллюстрацию (рис.1). Ясно, что это уравнение имеет 2 корня и , причем эти числа равны по абсолютной величине и противоположны по знаку

(). Но по чертежу мы не можем

указать значения корней, можем только

установить, что один корень

располагается чуть левее точки , а

второй - чуть правее точки 2.

Что же это за число (точка), которое располагается чуть правее точки 2 и которое в квадрате дает 5? Ясно, что это не 3, т.к. , т.е. получается больше, чем нужно (9>5). Значит, интересующее нас число расположено между числами 2 и 3. Но между числами 2 и 3 находится бесконечное множество рациональных чисел, например, , , и т.д. Может быть, среди них найдется такая дробь , что ? Тогда никаких проблем с уравнением у нас не будет, мы сможем написать, что , .

Но тут нас ждет неприятный сюрприз. Оказывается, нет такой дроби , для которой выполняется равенство .

Докажем сформулированное утверждение методом от противного.

Предположим, что имеется такая несократимая дробь , для которой выполняется равенство . Тогда , т.е. . Последнее равенство означает, что натуральное число делится без остатка на 5 (в частном получится ). Следовательно, число оканчивается либо цифрой 5, либо цифрой 0.Но тогда и натуральное число оканчивается либо цифрой 5, либо цифрой 0, т.е. число делится на 5 без остатка. Иными словами, если число разделить на 5, то в частном получится какое-то натуральное число . Это значит, что .

Получили: , . Подставим вместо в первое равенство:

, т.е. или .

Последнее равенство означает, что число делится на 5 без остатка. Но тогда и число делится на 5 без остатка.

Итак, делится на 5, делится на 5, значит дробь можно сократить (на 5). Но ведь мы предполагали, что дробь - несократимая. Получили противоречие. Следовательно, наше предположение, что будто бы существует такая несократимая дробь , для которой выполняется равенство , неверно. Отсюда делаем вывод: такой дроби нет.

Итак, располагая только рациональными числами, уравнение мы решить не сможем.

Встретившись впервые с подобной ситуацией, математики поняли, что надо придумать способ ее описания на математическом языке. Они ввели в рассмотрение новый символ , который назвали квадратным корнем, и с помощью этого символа корни уравнения записали так: , . Но число не целое и не дробь. Значит, - не рациональное число, это число новой природы. Следовательно, нужно вводить новые числа.

2. Введение иррациональных чисел. Показ способов записи, чтения, изображения на числовой прямой.

Что же это за числа, которые не являются рациональными? В частности . Математики такие числа называют иррациональными. Иррациональным является любое число вида (читается: корень квадратный из n), если квадратный корень не извлекается. Например, , , и т.д. - иррациональные числа.

Рассмотрим иррациональное число . Как мы уже говорили выше, оно заключено между числами 2 и 3; если точнее, то между числами 2,2 и 2,3; если еще точнее - то между числами 2,23 и 2,24. Можно продолжить уточнения оценок числа и определить границы для третьего десятичного знака после запятой. Имеем , что меньше 5; , что больше 5. Итак, .

Точно так же можно определить границы для четвертого знака после запятой, для пятого знака и т.д. Ясно, что выполняется приближенное равенство . Если же считать, что для числа выписаны все последующие десятичные знаки, то можно воспользоваться записью . Это - бесконечная десятичная дробь. Итак, иррациональное число выражается бесконечной десятичной непериодической дробью.

Вообще, иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь.

Такие числа встречаются не только при извлечении квадратного корня, но и во многих других случаях. Например, если длину любой окружности разделить на ее диаметр, то в частности получится иррациональное число 3,141592… . Этот факт установил еще в III веке до н.э. греческий математик и философ Архимед. Для указанного числа в математике введено специальное обозначение (буква греческого алфавита «пи»).

Каждое иррациональное число можно изобразить на числовой прямой. Обратите внимание: начиная с 5-го класса вы пользовались координатной прямой, а здесь говорится о числовой прямой. Это объясняется тем, что не для любой точки координатной прямой можно найти координату.

Рассмотрим пример.

Дана координатная прямая, на ее единичном

отрезке построен квадрат (рис.2). Диагональ

квадрата OB отложена на координатной

прямой от точки O вправо, получилась

точка D. Чему равна координата точки D? Она равна длине диагонали квадрата, т.е. . Это число, как мы теперь знаем, не целое и не дробь. Значит, ни в 5-м, ни в 6-м, ни в 7-м классе координату точки D вы бы найти не смогли. Поэтому до сих пор и говорили «координатная прямая», а не «числовая прямая».

3. Введение отношений между иррациональными числами («равно», «больше», «меньше»).

Иррациональные числа можно сравнивать друг с другом, используя следующее определение.

Определение. Говорят, что иррациональное число a больше (меньше) иррационального число b, если их разность a-b - положительное (отрицательное) число. Пишут a>b (a<b).

Из этого определения следует, что всякое положительное число a больше нуля (поскольку разность a - 0 = a - положительное число), а всякое отрицательное число b меньше нуля, (поскольку разность b - 0 = b - отрицательное число).

Итак, a > 0 означает, что a - положительное число;

a < 0 означает, что a - отрицательное число;

a > b означает, что a - b - положительное число, т.е. a - b > 0;

a < b означает, что a - b - отрицательное число, т.е. a - b < 0.

Наряду со знаками строгих неравенств (<, >) используют знаки нестрогих неравенств:

означает, что a больше нуля или равно нулю, т.е. a - неотрицательное число (положительное или 0), или что a не меньше нуля;

означает, что a меньше нуля или равно нулю, т.е. a - неположительное число (отрицательное или 0), или что a не больше нуля;

означает, что a больше или равно b, т.е. a - b - неотрицательное число, или что a не меньше b; ;

означает, что a меньше или равно b, т.е. a - b - неположительное число, или что a не больше b; .

Впрочем, для сравнения иррациональных чисел необязательно каждый раз составлять их разность и выяснять, положительна она или отрицательна. Можно сделать соответствующий вывод, сравнивая записи чисел в виде десятичных дробей. Числовая прямая делает операцию сравнения чисел особенно наглядной: из двух чисел a, b больше то, которое располагается на числовой прямой правее.

Таким образом, к сравнению иррациональных чисел нужно подходить достаточно гибко. Посмотрим это на следующих примерах.

Пример 1. Сравнить числа:

а) и ; б) и .

Решение: а) , . Точка 1,73… располагается на координатной прямой правее точки 1,41…, следовательно, >.

б) ; . Точка -2,64… располагается на координатной прямой левее точки -2,23…, следовательно, .

Пример 2. Расположить в порядке возрастания числа , , , , .

Решение. Воспользуемся тем, что , , , , . Теперь ясно, что заданные числа расположатся в порядке возрастания следующим образом: , , , , .

4. Арифметические операции над иррациональными числами.

Любая арифметическая операция над рациональными числами приводит в результате к рациональному числу. Это и понятно, ведь сумма (разность, произведение, частное) обыкновенных дробей есть обыкновенная дробь. А как обстоит дело с иррациональными числами? Оказывается ничего определенного сказать нельзя. Поясним на примерах. - иррациональное число, а - рациональное число, т.е. произведение двух иррациональных чисел оказалось рациональным числом; и - иррациональные числа, и их произведение, т.е. , - тоже иррациональное число. То же относится и к сложению, вычитанию, делению иррациональных чисел: в ответе может получиться как рациональное, так и иррациональное число.

А что получится, если в операции участвуют одно рациональное и одно иррациональное число? Рассмотрим такой пример: дано рациональное число 3 и иррациональное число ; составим их сумму . Предположим, что это рациональное число r, т.е. . Тогда , а - рациональное число (как разность двух рациональных чисел). Получается, что - рациональное число, а это неверно, ведь мы знаем, что это число - иррациональное. Получили противоречие, значит, сделанное нами предположение неверно, т.е. - иррациональное число. Аналогично можно доказать, что - иррациональное число.

Тогда можно сделать следующие выводы:

1. Арифметическая операция над иррациональными числами может привести в результате как к рациональному, так и к иррациональному числу.

2. Если в арифметической операции участвуют рациональное и иррациональное числа, то в результате получится иррациональное число (кроме умножения и деления на 0).

5. Законы и свойства арифметических действий над иррациональными числами.

Учащимся предлагается вспомнить соответствующие законы и свойства, известные на множестве натуральных чисел. Учащиеся вспоминают и называют законы:

1. - переместительный закон сложения;

2. - переместительный закон умножения;

3. - сочетательный закон сложения;

4. - сочетательный закон умножения;

5. - распределительный закон и т.д.

Свойства:

1) Произведение (частное) двух положительных натуральных чисел - положительное число;

2) Произведение (частное) двух отрицательных натуральных чисел - положительное число;

3) Произведение (частное) положительного и отрицательного числа - отрицательное число.

Будут ли эти законы и свойства справедливыми для иррациональных чисел?

Убедиться в их справедливости можно на конкретных примерах с иррациональными числами.

Аналогичным образом проверяются остальные законы и свойства арифметических операций. В итоге приходим к выводу: законы и свойства арифметических операций множества натуральных чисел справедливы и для иррациональных чисел.

6. Решение разнообразных задач с использованием иррациональных чисел и законов арифметических действий.

Приводятся примеры задач с использованием иррациональных чисел и законов арифметических действий.

Урок введения нового понятия.

Тема урока: Множество рациональных чисел

Цель: расширить понятие числа путем введения множества рациональных чисел.

Задачи:

1. Ввести понятие рационального числа.

2. Формировать умения находить координаты изображенных точек и наоборот, изображать точки с заданными координатами (рациональными числами).

3. Формировать у учащихся такие качества как внимательность, сообразительность, наблюдательность.

Тип урока - урок усвоения новых знаний.

Тип данного урока и поставленные цели определили следующую структуру занятия:

1. Организационный момент

2. Устная работа

3. Актуализация опорных знаний и мотивация к изучению нового материала

4. Изучение нового материала

5. Первичное закрепление материала

6. Физминутка

7. Формирование умений и навыков

8. Контроль знаний и умений

9. Подведение итогов, постановка домашнего задания

10. Рефлексия

1. Организационный момент

Тема урока - «Множество рациональных чисел». На уроке вы узнаете, какие числа называются рациональными и научитесь изображать их на координатной прямой.

2. Устная работа

В начале дается задание одному из учеников: найти в словаре определение слова «рациональный», остальные - работают устно.

1. Определить координаты точек:

A(3), B(), C(), D()

2. Назвать число, противоположное данному:

35; 19; -8; 0; 435; -2300; 10000.

3. Актуализация знаний и мотивация

Вы знаете, что в жизни нам нужны не только целые числа, но и дробные, в том числе и отрицательные дроби. Например, на счете вашего телефона может быть - 15,8 руб. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать как положительные дроби, так и отрицательные. Как и по прежнему, отрицательные дроби получаются приписыванием к положительным дробям знака «минус». Естественно, что, например, дроби и , и называются противоположными.

Рациональный - разумно обоснованный, целесообразный. С.Ожегов

Давай подумаем, вспомним все, что мы уже знаем о числах, может, сможем определить, какие же это «разумно обоснованные числа», какие числа называются рациональными. Записать дату, тему урока в тетрадях.

Для чего нужны числа? - для обозначения количества, порядка следования, счета, измерения длин и т.д.

Процесс появления рациональных чисел был очень долгим.

4. Изучение нового материала

Послушайте историю о государствах, расположившихся на Числовой Прямой. От того, как вы внимательно будете слушать, зависит, как вы ответите на мои вопросы.

Среди пустыни чистого листа бумаги тянулась необитаемая страна - Числовая Прямая.

Неведомо где она начиналась и неведомо где заканчивалась.

Первыми эту страну открыли и заселили натуральные числа: 1, 2, 3...

Что мы знаем о них?

(употребляются при счете предметов, их бесконечно много от 1 до бесконечности)

Их было бесконечно много, но и страна была хоть и небольшой в ширину, зато бесконечной в длину, так что поместились все: от единицы до бесконечности - и образовали первое государство - Систему Натуральных Чисел.

Первое государство - Система Натуральных Чисел. Символ этого государства - латинская буква N.

Через некоторое время поселилось число «ноль», слева от территории первого государства. Затем левее нуля стали появляться отрицательные числа, противоположные натуральным: -1, еще левее -2 и т.д. до бесконечности. Эти числа образовали вместе с натуральными числами новое расширенное государство - Систему Целых Чисел.

Расширенное государство - Система Целых Чисел. Символ этого государства - латинская буква Z.

А на свободных местах Числовой Прямой к ним подселились дроби: 1/2; 1/3; …; -1/2;-1/3;…

Дроби вместе с первопоселенцами образовали очередное расширенное государство - Систему РациональныхЧисел.

Очередное расширенное государство - Система Рациональных Чисел. Символ этого государства - латинская буква Q.

Итак, целые и дробные числа вместе составляют множество рациональных чисел.

Почему именно рациональные? Существует версия, что слово «рациональное» произошло от латинского слова ratio, обозначающего «разум». Математики Древней Греции обнаружили, что для решения такой важной практической задачи как измерение длин отрезков, не хватает не только целых, но и дробных чисел, так что возникла необходимость в изобретении новых чисел. Эти новые числа называли «иррациональными», то есть «неразумными». А для противопоставления «хорошие», «удобные» числа, такие как целые числа и дроби, назвали разумными, «рациональными».

Показать «Карту государства рациональных чисел»

5. Первичное закрепление материала

Вопросы учащимся:

· Какие числа появились в истории самыми первыми? - натуральные

· Назовите наименьшее натуральное число? - 1.

· Назовите наибольшее натуральное число? - его не существует.

· Положительным или отрицательным является ноль? - ни положительным, ни отрицательным.

· Является ли число -3 рациональным? 5? -1/8? 2,5? - да.

№ 926 - в тетрадях.

; 1; - 2,1; 0; 6; ; ; - 100; 3,05; -7

Ученики выходят по одному, выписывают:

1. положительные:

2. отрицательные:

3. целые:

4. натуральные:

5. целые положительные:

6. отрицательные дробные числа:

6. Физминутка

Ученики встали. Учитель называет числа. Если называется положительное число, то надо поднять правую руку, если отрицательное, то левую. Две руки подняты вверх. Помашите руками, потянитесь, как вам хочется.

7. Формирование умений и навыков

Вы уже умеете изображать положительные числа - натуральные и дробные - точками на координатной прямой. Для этого берут горизонтальную прямую со стрелкой, отмечают на ней точку О - начало отсчета. Точка О делит прямую на два луча. На «правом» луче отмечают произвольную точку Е и считают, что эта точка изображает число 1. Отрезок ОЕ называют единичным отрезком. Его длина равна единице.

Чтобы отметить на координатной прямой какое-нибудь положительное число, например, 2,5, вправо от точки Ооткладывают отрезок, длина которого равна 2,5 единицы. А(2,5)

Теперь нетрудно понять, как изображаются точками на прямой отрицательные числа. Для этого используют «левый» луч. Например, чтобы отметить на координатной прямой число , нужно отложить влево от точки Оотрезок, равный единицы. В().

Противоположные числа изображаются точками координатной прямой, симметричными относительно точки О.

№ 933 - в тетрадях. 1 человек у доски. Записать координаты точек: А(3), B(5), C(-1), D(-4), F(-6).

№ 939 в тетрадях. 1 человек - у доски. Отмечает числа и им противоположные.

8. Контроль знаний и умений

Учащиеся заполняют карточку контроля.

9. Подведение итогов, постановка домашнего задания

Итак, сегодня на уроке мы познакомились с понятием рациональных чисел, научились находить координаты точек и наоборот, изображать точки с заданными координатами (рациональными числами). Домашнее задание: п. 10.1, № 930; № 934; 936

10. Рефлексия

На доске - плакат с изображением дерева. Учащиеся берут стикеры разных цветов и прикрепляют «листочки»: зеленый - урок понравился; желтый - урок чем-то понравился, а чем-то - нет; красный - урок не понравился.

Урок на тему: «Рациональные числа» (урок 1)

Предмет: математика.

Продолжительность: 1 урок (45 мин).

Класс: 6.

Цели урока:

Образовательные:

- введение понятия рациональных чисел, запись рациональных чисел либо в виде десятичной дроби, либо в виде периодической дроби.

Развивающие:

- развитие речи, мышления;

- совершенствование умственной деятельности: анализ, способность наблюдать, делать выводы, составлять алгоритм решения, проверять результаты.

Воспитательные:

- воспитание информационной культуры, поддержание интереса к математике, через расширение знаний учащихся об истории математики.

Средства обучения: персональные компьютеры, компьютер с мультимедийным проектором, презентация, экран.

Тип урока: объяснение нового материала.

Организационный момент.

Здравствуйте, ребята! Садитесь! Я очень рада видеть вас на своем уроке!

В сокровищнице занимательного математического фольклора есть такая задача: «Бутылка с пробкой стоит 11 монет, причем бутылка на 10 монет дороже пробки. Сколько стоит пробка?». Прелесть этой задачи в том, что, не долго думая, все дают ответ: «Пробка стоит одну монету». И, конечно, ошибаются! Некоторые, сделав проверку и убедившись в своей ошибке, тут же заявляют, что задача вовсе не имеет решения. Действительно, эта задача не решается в целых числах, но зато существуют дробные числа, подходящие для ее решения: десять с половиной монет стоит бутылка, и полмонеты - пробка.



В древности к целым и дробным числам относились по-разному: предпочтения были на стороне целых чисел. «Если ты захочешь делить единицу, математики высмеют тебя и не позволят это сделать», - писал основатель афинской Академии Платон. Но не все древнегреческие математики соглашались с Платоном. С дробями свободно общались Архимед и Герон Александрийский. Даже Пифагор, со священным трепетом относившийся к натуральным числам, создавая теорию музыкальной шкалы, связал основные музыкальные интервалы с дробями.

Любопытно, что во многих европейских учебниках арифметики 18 в., раздел с дробями помещали в конец книги. Просветители писали: «… теперь дается простое и полезное изложение арифметики целых чисел раньше, чем открывается доступ к крутым путям дробей, при виде которых многие учащиеся приходят в такое уныние, что останавливаются и восклицают: «Non plus ultra (дальше мы не пойдем!)»

А мы с вами пойдем еще дальше!!!

В курсе математики мы встречались с различными числами.

Числа 1,2,3…, которые используют при счете, называют натуральными, они образуют множество натуральных чисел N.

Натуральные числа, противоположные им и нуль составляют множество целых чисел Z.

Кроме целых нам известны дробные числа (положительные и отрицательные). Целые и дробные составляют множество рациональных чисел Q.

2. Объявление темы и целей урока

Тема нашего урока «Рациональные числа». Сегодня на уроке мы рассмотрим понятие рациональных чисел, запись рациональных чисел в виде десятичной дроби, либо в виде периодической дроби.

Запись в тетрадях: дата, тема урока.

3. Объяснение нового материала

1. Определение рационального числа. Число, которое можно записать в виде отношения называют рациональным числом.

2. Любое целое число а является рациональным числом, так как его можно записать в виде . Например, Следует отметить, что одно и то же рациональное число можно представить различными способами. Например,

4. Закрепление изученного материала.

Любое отрицательное число также является рациональным.

3. Запись любого рационального числа. (Работа с учебником: № 1178).

4. № 1179 (по одному примеру с каждой строки). Каким числом является результат суммы, разности, произведения рациональных чисел? А частное?

Ребята делают вывод: сумма, разность и произведение рациональных чисел тоже рациональные числа. Если делитель отличен от нуля, то частное двух рациональных чисел тоже рациональное число.

5. Выражение обыкновенных дробей в виде десятичных дробей. Понятно, что любую десятичную дробь можно представить в виде десятичной, но верно ли обратное?

Вы уже умеете выражать некоторые обыкновенные дроби в виде десятичных дробей. Приведите примеры. Любую ли обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной? Приведите примеры.

6. В записях 0,333… и 0,4545… одна или несколько цифр начинают повторяться бесконечно много раз. Такие записи называют периодическими дробями.

ПИШУТ: 0,(3); 0,(45).

Любое рациональное число можно записать в виде десятичной дроби, либо в виде периодической дроби.

№1180, 1182(а, в, д).

7. Повторение: №1190 (устно).

5. Итог урока.

а) Ответить на вопросы на стр. 203.

б) Покажите, что числа являются рациональными.

6. Домашнее задание: п.37, №№ 1196, 1198, 1200(а).

Доп.задача.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Урок на тему: «Рациональные числа» (урок 2)

Предмет: математика.

Продолжительность: 1 урок (45 мин).

Класс: 6.

Цели урока:

Образовательные:

- закрепить изученный материал, повторить правила округления десятичной дроби.

Развивающие:

- развитие навыков и умений в представлении обыкновенных дробей в виде приближенного значения десятичной дроби; речи, мышления;

- совершенствование умственной деятельности: анализ, способность наблюдать, делать выводы, составлять алгоритм решения, проверять результаты. решение арифметический иррациональный дробь

Воспитательные:

- воспитание информационной культуры, поддержание интереса к математике.

Средства обучения: персональные компьютеры, компьютер с мультимедийным проектором, презентация, экран, калькуляторы.

Тип урока: обобщающий урок.

1. Организационный момент. Сообщение темы и цели урока.

Здравствуйте, ребята! Садитесь!

Сегодня на уроке мы будем закреплять материал по теме «Рациональные числа»; представлять обыкновенные дроби в виде приближенного значения десятичной дроби; повторим правила округления десятичных дробей.

Давайте проверим, как вы справились с домашней работой. Кто запишет решение к задаче Ахмеса?

2. Устная работа

1. Какие числа называют рациональными?

2. Покажите, что числа являются рациональными

3. Выполнение упражнений

№ 1186 - устно. (Повторить правила умножения отрицательных чисел

и чисел с разными знаками)

№ 1190 (б, в, г, е, з) ( с записью на доске)

(Повторить правила деления отрицательных чисел и чисел с разными знаками)

1. Выразите результаты делений в виде десятичной дроби (с помощью калькулятора: в и з)

б) -0,8

в) -0,(428571)

г) -0,4

е) -0,5

з) 0,(3).

2. Возникает вопрос: какой десятичной дробью может быть выражено рациональное число?

Полезно запомнить правило:

А) Если в знаменателе обыкновенной дроби нет простых множителей, кроме 2 или 5, то она записывается конечной десятичной дробью.

Б) Если в знаменателе несократимой обыкновенной дроби имеются простые множители, отличные от 2 и 5, то эту дробь можно выразить только бесконечной десятичной дробью.

№ 1193 (устно), используя правило.

1) № 1179 (б, в) - по одному ученику

2) № 1181 (устно)

3) Повторить правило округления десятичных дробей

№ 1184

4) 1182 (б, г, е) на доске и в тетрадях.

5) Выразить числа в виде приближенного значения дроби до тысячных (самостоятельно).

6). С помощью МК перевести обыкновенную дробь в десятичную (самостоятельно):

7). Преобразовать бесконечную периодическую десятичную дробь в обыкновенную (учащиеся самостоятельно формулируют правило перевода бесконечной периодической дроби в обыкновенную):

Правило: 1) нужно в числитель «поставить» «период» бесконечной десятичной периодической дроби; 2) в знаменатель - число девяток, равное количеству цифр периода.

Математический диктант (на два варианта, с взаимопроверкой при наличии времени):

1 вариант 2 вариант

Выразите в виде десятичной или периодической дроби числа

Ребята меняются тетрадями, на экране появляются ответы и ученики выставляют друг другу оценки.

За пять правильных ответов ставится отметка - «5», за 4 -«4», за 3 - «3», за 2 - «2».

ОТВЕТЫ: 1 вариант - 0,6, 0,35, 0,(048), 1,3(18), 0,024.

2 вариант - 0,2, 0,475, 0,1(306), 1,(51), 0,012.

4. Итог урока

Что узнали на уроке нового? Что повторили?

1. Когда обыкновенную дробь можно записать в виде конечной десятичной дроби?

2. Когда несократимую обыкновенную дробь нельзя записать конечной десятичной дробью? Какой десятичной дробью можно выразить данную обыкновенную дробь?

3. Не выполняя деления, скажите, конечной или бесконечной десятичной дробью можно выразить данные обыкновенные дроби?

5. Домашнее задание: п.37, №№ 1197, 1199, 1200(б).

Дополнительное задание:

1. Сравните дроби

2. Запишите в порядке возрастания дроби

Открытый урок математики в 6-м классе по теме: "Путешествие на планету положительных и отрицательных чисел"

Человеческая культура возникла

и развертывается в игре, как игра.

Й.Хейзинга

Ещё в 1910 году И.П.Сахаров в предисловии к книге “Забавная арифметика” писал: “Человек-разумный” - есть в первую очередь человек играющий, а поэтому обучать даже серьезным вещам следует по возможности играя”.Игра наряду с трудом и ученьем- один из основных видов деятельности человека, в условиях ситуаций, направленных на воссоздание и усвоение общественного опыта, в котором складывается и совершенствуется самоуправление поведением. В последние годы очень много внимания уделяется современным педагогическим технологиям, которые обладают средствами ,активизирующими деятельность учащихся, и помогающим добиться эффективности результатов. К таким технологиям можно отнести и игровую технологию.

Я в своей работе чаще всего использую нетрадиционные формы ведения урока, особенно в 5-6 классах: КВН, Поле чудес, Путешествие в сказку, деловые игры. и т. д. Предлагаемый урок математики в 6 классе по теме “Умножение и деление чисел с разными знаками”, именно таковым и является, и опирается на фантазию и воображение учащихся. На уроке-путешествии задания формулируются не сухим, математическим языком, а излагаются в виде различных трудностей, приключений, условий, которые учащиеся должны выполнить. На этом уроке одновременно развивается мышление и воображение, ребята фантазируют, представляют, что они совершают необычное космическое путешествие, совершают миссию по спасению магистра отрицательных наук. Игра заставляет рассуждать, развивает речь, творческие способности, улучшает концентрацию внимания. Обычно в процессе всего урока учащиеся увлеченно и активно работают. Все задания составлены с такой целью, чтобы отработать именно навык в операциях умножениях и делениях чисел с разными знаками. Так как если эти навыки не выработаны до автоматизма, учащиеся и в 7,8 классах делают вычислительные ошибки. На уроке используются различные формы работы: групповая (три группы-экипажа), индивидуальная (ветряные мельницы, звездные созвездия - каждый должен записать решение этих заданий в тетрадь в тетрадь), коллективная (устный счет), применяется уровневая дифференциация при работе с горами “Мозгодрома”, каждый решает это задание по своим способностям.

На уроке применяется наглядность, которая в процессе урока крепится на доску. Удобство в том, что вся наглядность приклеена к магнитам с оборотной стороны и крепить очень легко, быстро и не теряется драгоценное время урока.

Одновременно с этим данный урок открывает большие возможности для реализации воспитательных целей. На уроке развивается активность и самостоятельность ребят, учащиеся учатся во время прийти на помощь, оказать поддержку в трудную минуту, воспитывается настойчивость и умение преодолевать все трудности, которые встречаются на жизненном пути.

Конечно от учителя требуется дополнительная подготовка ,чтобы сделать всю наглядность, но урок получается интересным ,насыщенным, увлекательным. Учащиеся с интересом ждут нового приключения и неожиданностей. Урок апробирован в 6 классе МОУ Дальнезакорской средней школы, Жигаловского района Иркутской области.

Место урока в учебном плане: урок проводится после изучения всей темы: “Умножение и деление чисел с разными знаками”

Тема урока: “Умножение и деление чисел с разными знаками”.

Цели урока: повторение изученного материала по теме “Умножение и деление чисел с разными знаками”, отработка навыков применения операций умножения и деления положительного числа на отрицательное число и наоборот, а также отрицательного числа на отрицательное число.

Задачи урока:

Образовательные:

· Закрепление правил по данной теме;

· Формирование умений и навыков работы с операциями умножения и деления чисел с разными знаками.

Развивающие:

· Развитие познавательного интереса;

· Развитие логического мышления, памяти, внимания;

Воспитательные:

· Воспитание активности;

· Привитие учащимся навыков самостоятельной работы;

· Воспитание настойчивости в достижении цели

...