Решение стереометрических задач векторно-координатным методом

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Введение

В стереометрии используются два основных метода решения задач фигур. Он требует логической последовательности практических рассуждений. Второй метод - это метод. Первый метод основан на аксиомах, теоремах и свойствах или координатно-векторный метод. Стоит отметить, что изучение метода координат является неотъемлемой частью школьного курса геометрии, так как его можно успешно применять при решении большого числа задач, в том числе, задач Единого Государственного экзамен. А так как, эти задания - повышенной сложности, то они приносят учащимся хорошие баллы при сдаче ЕГЭ,

Поэтому необходима структура изучения метода координат, позволяющая ученикам применять его при решении стереометрических задач, и показывающая, что это лишь вспомогательный метод.

Всем вышесказанном и определяется актуальность выбранной темы: «Решение стереометрических задач векторно-координатным методом».

Цель работы - познакомится с решением стереометрических задач и использования метода координат в пространстве в школьном курсе геометрии.

Для достижения нашей цели необходимо решить следующие задачи:

1. Подобрать теоретический материал по координатному методу;

2. Показать все достоинства данного метода при решении соответствующего вида задач.

1. Теоретические основы векторно-координатного метода

Система координат -- это способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел или символов, определяющие положение конкретной точки, называется координатами этой точки.

Наиболее используемая система координат -- прямоугольная система координат (также известная как декартова система координат). Прямоугольная система координат в пространстве определяется заданием масштаба (отрезка для измерения длин) и трех пересекающихся в одной точке взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в определенном порядке.

Рис. 1

прямоугольный декартовый координата угол

Точка пересечения осей называется началом координат, сами оси -координатными осями, первая из них - осью абсцисс (Ox), вторая - осью ординат (Oy), третья - осью аппликат (Oz), O - начало координат (Рис. 1).

Если М - произвольная точка пространства, то проведя три плоскости перпендикулярные координатным осям, получим точки пересечения с осями:

Прямоугольными декартовыми координатами называются числа, определяемые формулой:

- величины направленных отрезков. Число x называется первой координатой, y - второй и z - третьей.

Расстояние между двумя точками в пространстве можно определить по формуле:

В пространстве также можно использовать полярные, сферические и цилиндрические координаты. Координаты на плоскости и в пространстве можно вводить бесконечным числом разных способов. Решая ту или иную математическую задачу методом координат, можно использовать различные координатные системы, выбирая ту из них, в которой задача решается проще или удобнее в данном конкретном случае.

А сейчас мы последовательно рассмотрим: понятие вектора, действия с векторами, координаты вектора. Из курса планиметрии мы знаем, что вектор - это направленный отрезок.

Рис. 2

Рассмотрим в пространстве декартову прямоугольную систему координат. Векторы, как и точки, в пространстве имеют свои координаты. Их несложно найти: если даны точки, тогда вектор имеет следующие координаты:.

Частным случаем является радиус-вектор, точка приложения которого совпадает с началом координат. И для радиус-вектора координатами в этой системе будет проекция на координатные оси. Можно сказать, что координаты радиус-вектора данной точки М совпадает с координатами точки М. Таким образом, координаты точки М можно определять с помощью радиус-вектора. Радиус-вектором точки М называется вектор , точка приложения которого совпадают с началом координат, а конец находится в точке М. Декартовыми прямоугольными координатами X, Y, Z вектора r называется его проекция на координатные оси

Если x, у, z - декартовые прямоугольные координаты точки М, то Х=х, Y=y, Z=z, т.е. координаты радиус вектора равны координатам точки М (Рис. 3). Введем единичные векторы: , , координатных осей (их называют ортами) и векторы, где A,B,C - вершины прямоугольного параллелепипеда, для которого OM является диагональю. По определению суммы: , поэтому .

Эти формулы выражают расположение вектора r по базисным векторам. Векторы, стоящие в правой части формулы, называются составляющими или компонентами вектора r.

На основании теоремы о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда получаем формулу выражающую длину вектора или через его координаты:



Равные векторы имеют равные координаты, поэтому координаты вектора не зависят от точки его приложения. Координатами любого вектора называют его проекции на координатные оси. Если даны векторы (т.е. известны их координаты) и указаны определенные соотношения между ними, то они равносильны аналогичным числовым соотношениям между координатами.

Координаты произведения на число. Пусть дан вектор a = и число б ? 0. Координаты вектора b=бa:

, ,

Данные равенства выражают необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов a и b. Векторы коллинеарные тогда и только тогда, когда пропорциональны их одноименные координаты.

Координаты суммы (разности) двух векторов. Пусть даны два вектора a = и b = , тогда X,Y,Z - координаты вектора суммы

a + b:

X = , Y = , Z = ;

X' = , Y' = , Z' = ,

X', Y', Z' - координаты разности векторов.

Координаты вектора, заданного двумя точками. Начало вектора находится в точке , конец - в точке . Выражение для его координат через координаты точек и : X = , Y = =, Z = .

Деление отрезка в данном отношении. Даны две точки в пространстве , . Координаты точки М, делящий отрезок в отношении I:

x = , y = , z = .

В частности, координаты середины отрезка определяется формулами:

x = , y = , z = .

Преобразование декартовых прямоугольных координат при параллельном переносе. Если рассмотрим две декартовы прямоугольные системы координат с одним и тем же масштабным отрезком и одинаковыми направлениями одноименных координатных осей. Начало новой системы координат находится в точке (a,b,c). Пусть М - произвольная точка пространства:

x, y, z - ее координаты в старой системе, X, Y, Z - в новой, тогда:

x = X +a, y = Y +b, z =Z + c, или

X = x - a, Y = y - b, Z = z - c.

А теперь рассмотрим скалярное произведение двух векторов. Скалярным произведением двух векторов a и b называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними. Если обозначить скалярное произведение через ab = . Скалярным квадратом вектора a называется скалярное произведение вектора a на себя = aa = , т.е. скалярный квадрат его длины равен квадрату его длины.

Векторы a и b перпендикулярны тогда и только тогда, когда ab=0.

Скалярное произведение обладает свойствами:

1) Переместительности (коммуникативности): ab = ba,

2) Сочетательности (ассоциативности) относительно числового элемента (бa)b = б(ab),

3) Распределительности (дистрибутивности) относительно суммы векторов:

a ( b + c) = ab + ac,

Скалярное произведение двух векторов a = и b = выражается формулой ab = , т.е. скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений одноименных квадратов.

Косинус угла между векторами определяется формулой:

= .

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов выражается равенством:

= 0, она следует из выше указанных формул.

2. Геометрические объекты векторно-координатного метода

Расстояние от точки до прямой - это длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую.

Алгоритм решения задач на нахождение расстояния от точки до прямой:

1. Вписываем фигуру в систему координат;

2. На рисунке изображаем указанные в задаче точку и прямую (задаем направляющий вектор прямой);

3. Находим координаты точки;

4. Проводим перпендикуляр к прямой от заданной точки, находим координаты вектора перпендикуляра;

5. Находим расстояние по формуле:

Пример задачи.

Условие задачи: В единичном кубе ABCD, найдите расстояние от точки В до прямой D

Решение:

Введём систему координат xyz; Пусть сторон куба равны 1, тогда координаты необходимых точек:

B

Проведём

Рис. 3

Тогда координаты точки К:

Если отрезок, концами которого служат точки , разделён точкой K(x;y;z) в отношении , то координаты точки K определяются по формулам:

.

+

K

Расстояние от точки B до прямой

=

Ответ: .

Рассмотрим расстояние от точки до плоскости. Расстояние от точки M до плоскости , не содержащей эту точку, есть длина перпендикуляра n, опущенного из этой точки на эту плоскость(Рис. 4).

Рис. 4

Для того, чтобы найти расстояние от точки до плоскости необходимо найти координаты точки, и координаты нормали данной плоскости.

После чего воспользоваться формулой:

где М (; ; ), плоскость б задана уравнение Аx+By+Cz+D = 0.

Алгоритм решения задач на нахождение расстояния от точки до плоскости:

1. Вписываем фигуру в систему координат;

2. На рисунке изображаем указанные в задаче точку и плоскость;

3. Вписываем фигуру в систему координат;

4. Находим координаты точек (данной и трех точек плоскости);

5. Составляем уравнение плоскости;

6. Находим координаты вектора нормали плоскости;

7. Подставляем в формулу "Расстояние от точки до плоскости"

Пример задачи (способ №1):

Условие задачи: В единичном кубе A..., найдите расстояние от точки А до плоскости C.

Решение:

1) Введём систему координат xyz;

Рис. 5

2) Пусть стороны куба равны 1, тогда координаты точки A (0;0;0)

3) Составим уравнение плоскости C:

C

(x-1)-1) +(y-1) (-1)+z00-z-(x-1)01-(y-1)01=0

-x-y-z+2=0 - уравнение плоскости С.

4) Расстояние от точки А до плоскости С:

Ответ: .

Способ №2:

Найдем координаты вектора нормали через два неколлинеарных вектора

и , при этом

если x = 1, то z = 1 и y = 1

Уравнение плоскости С

Аx+By+Cz+D = 0

C С

d = -2 С x+y+z-2 = 0

Расстояние от точки А до плоскости С:

Ответ: .

А теперь рассмотрим нахождение расстояния между двумя скрещивающимися прямыми. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости (Рис. 6).

Рис. 6

Признак скрещивающихся прямых: если одна из скрещивающихся прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся. Расстояние между прямыми есть расстояние от точки М, которая является серединой отрезка n до плоскости . Алгоритм решения задач на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми:

1. Вписываем фигуру в систему координат;

2. На рисунке изображаем указанные в задаче прямые;

3. Находим координаты середины одной из прямых и трех точек плоскости, в которой лежит вторая прямая;

4. Составляем уравнение плоскости;

5. Находим координаты вектора нормали плоскости;

6. Подставляем в формулу "Расстояние от точки до плоскости"

Пример задачи.

Условие задачи: В единичном кубе ABCD, найдите расстояние прямыми B и D.

Решение:

1) Введём систему координат xyz;

Рис. 7

Расстояние между прямыми B и D есть расстояние от точки М, которая является серединой отрезка D до плоскости B.

Рис. 8

Пусть стороны куба равны 1, тогда координаты необходимых точек:

D

Составим уравнение плоскости B

В

(x-1)01+y (-1)+z (-1)-z0 (-1)-(x-1)11-y (-1)=0

-x+1-y-y-z=0

-x-2y-z+1=0-уравнение плоскости B.

Ответ: .

Нахождение углов

Есть шесть основных формул:

Нахождение угла между двумя векторами

Нахождение угла между прямой p и плоскостью б:

вектор нормали к данной плоскости и направляющий вектор прямой

Нахождение угла между плоскостями, заданными уравнениями:

х + у + z + =0, .

,

вектор нормали плоскости х+у+z+=0, или

;

Нахождение расстояния между двумя точками по формуле:

Нахождение расстояния от произвольной точки до данной плоскости Аx+By+Cz+D = 0:

Нахождение координат середины C (x, y, z) отрезка АВ, где :

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между двумя прямыми, параллельными им и проходящими через произвольную точку. Градусная мера угла располагается в диапазоне от 0? до 90?. Данный угол между двумя прямыми равен углу между их направляющими векторами. Таким образом, если нам удастся найти координаты направляющих векторов , то сможем найти угол.

Точнее, косинус угла по формуле:

Алгоритм решения задач на нахождение угла между прямыми:

1. Вписываем фигуру в систему координат;

2. На рисунке изображаем указанные в задаче прямые (задаем направляющие вектора прямых);

3. Находим координаты векторов;

4. Подставляем в формулу "Косинус угла между прямыми";

5. После чего (если требуется в задаче), зная косинус, находим значение самого угла.

Пример задачи.

Условие задачи: В единичном кубе ABCD найдите угол между прямыми A и B.

Решение:

Введём систему координат xyz;

Рис. 9

Пусть стороны куба равны 1, тогда координаты необходимых точек:

A

Косинус угла между прямыми A и B:

cos

Так как необходимо найти угол между прямыми, то cos.

Ответ: 60.

Прежде чем переходить к алгоритму решения нахождения угла между прямой и плоскостью вспомним, что же является углом между прямой и плоскостью. Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой AB называется угол между прямой AB и её проекцией CB на данную плоскость (Рис. 9).

Рис. 10

Из рисунка видно, что этот угол является дополнительным к углу между прямой AB и любой прямой, перпендикулярной плоскости Таким образом, угол можно найти, если найти угол между прямой AB и этой прямой, направляющий вектор который обозначен как ( такая прямая называется нормалью к плоскости, а её направляющий вектор- вектором нормали). Угол же между прямыми можно найти, пользуюясь алгоритмом из предыдущего параграфа. Таким образом,

вектор нормали к плоскости

Искомый же угол находится вычислением арксинуса найденного числа.

Рис. 11

Нормаль -- это прямая, перпендикулярная касательному пространству. Нагляднее всего нормаль видна в кубе. Для плоскости основания (ABCD) нормалью являются ребра , , и ; для плоскости C - AD, CB, и (Рис. 11).

Так же нужно понять, что вектор нормали к плоскости, заданной уравнением Ах+Ву+Сz+D=0 имеет координаты

Основная проблема, возникающая в данном случае,- как найти координаты вектора нормали . Иногда координаты этого вектора можно определить непосредственно из чертежа. Например, координаты вектора нормали любой грани куба в удобно введённой системе координат очень легко переделятся. Вообще, легко определить координаты вектора нормали любой плоскости, которая параллельна одной из координатных плоскостей. Но что делать в общем случае для произвольно расположенной плоскости? В этом случае существуют несколько разных способов.

Для составления уравнения плоскости существует три способа:

Способ №1:

Рис. 12

По отрезкам на осях: Если заданы отрезки, которые плоскость отсекает на осях Ox , Oy и Oz - a, b и c (Рис. 5), то уравнение плоскости будет иметь вид:

Пример 1.

Дано общее уравнение плоскости 3x2yz30.

Алгоритм решения задачи:

1. Преобразовать уравнение плоскости к уравнению в отрезках.

2. Построить плоскость.

Решение: 1. Рассмотрим исходное уравнение 3x2y z 3 0. Перенесём свободный член -3 вправо: 3x 2y z 3.

Затем разделим обе части уравнения на 3:

Рис. 13

сократим: уравнение плоскости в отрезках.

a 1; b 1,5; с 3.

2. Для построения плоскости удобно использовать уравнение плоскости в отрезках

В нем отрезок, который плоскость отсекает на оси Ox равен 1, на оси Oy - (1,5) , на оси Oz - 3. Построим плоскость через концы этих отрезков (Рис. 13)

Способ №2:

По точке, принадлежащей плоскости и нормальному вектору данной плоскости:

Если заданы координаты одной точки, лежащей на плоскости - и координаты нормального вектора плоскости (Рис. 7), то уравнение плоскости будет иметь вид:

.

Пример 2.

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A2;1;3 перпендикулярно прямой

Рис. 14

Решение:

1. Выполним схематичный чертёж к задаче. Пусть - искомая плоскость, n - прямая, перпендикулярная плоскости

Рис. 15

2. Для нахождения уравнения плоскости можно воспользоваться способом составления уравнения плоскости «по точке и нормальному вектору». В данной задаче известна только одна точка, принадлежащая плоскости - это точка A 2;1;3. Дополнительно к точке A найдём нормальный вектор плоскости, т. е. вектор, который плоскости перпендикулярен.

Так как плоскость перпендикулярна прямой n, то направляющий вектор прямой перпендикулярен плоскости и, следовательно, является для плоскости нормальным вектором.

3. Составим уравнение плоскости . Формула для составления уравнения плоскости «по точке и нормальному вектору» имеет вид:

где - координаты точки, лежащей на плоскости; А, B и C - координаты нормального вектора плоскости.

Подставим координаты точки A 2;1;3 и нормального вектора в уравнение:

Раскроем скобки:

Приведём подобные слагаемые, получим:

Способ №3:

По трём точкам.

Рис. 16

Итак, допустим у нас есть плоскость (Рис. 16), проходящая через точки:.

Уравнение этой плоскости в координатной форме будет иметь вид:

Данное уравнение записано с помощью матрицы (математического объекта, в виде прямоугольной таблицы элементов, которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы). Чтобы составить уравнение нам нужно найти определитель третьего порядка.

Определителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из шести слагаемых. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей.



Для вычисления определителя третьего порядка, допишем справа от определителя первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком "плюс"; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком "минус":

Для запоминания этой формулы используют схематические правила (правило треугольника):

Рис. 17

Правило треугольника

Пример 3.

Даны координаты точек: A2;1;3, B5; 4;0, C6;1;2. Составить уравнение плоскости ABC.

Решение. Поскольку мы знаем координаты трёх точек, лежащих на плоскости - A 2;1;3, B5; 4;0 и C6;1;2, то можно воспользоваться способом составления уравнения плоскости «по трём точкам», а именно формулой:

Подставим координаты точек в данное уравнение:

Упростим его:

Вычислим определитель:

Алгоритм решения задач на нахождение угла между прямой и плоскостью:

1. Вписываем фигуру в систему координат;

2. На рисунке изображаем указанные в задаче прямую и плоскость (задаем направляющий вектор прямой);

3. Находим координаты вектора;

4. Находим координаты вектора нормали к плоскости;

5. Подставляем в формулу "Синус угла между прямой и плоскостью";

6. После чего (если требуется в задаче), зная синус, находим значение самого угла.

Пример задачи.

Условие задачи: В единичном кубе АBCD найдите тангенс угла между прямой A и плоскостью BD.

Решение:

Рис. 18

Введём систему координат xyz;

A B

Составим уравнение плоскости BD:

(x-1)11+y0(-1)+z(-1)1-z(-1)1-(x-1)01-y(-1)1=0

x-1-z+z+y=0

x+y-1=0 - уравнение плоскости BD

Синус угла между прямой A и плоскостью BD:

sin

Косинус угла между прямой A и плоскостью BD:

cos =

Тангенс угла между прямой A и плоскостью BD:

tg

Ответ:

Прежде чем переходить к алгоритму решения нахождения угла между плоскостями вспомним, что же является углом между плоскостями. Две пересекающиеся плоскости образуют две пары равных между собой двугранных углов (Рис. 19). Величина двугранного угла измеряется величиной соответствующего линейного угла. Чтобы построить линейный угол двугранного угла, нужно взять на ребре двугранного угла произвольную точку, и в каждой плоскости провести через эту точку луч, ребру двугранного ребра. Угол , образованный этими лучами и есть линейный угол двугранного угла.

Рис. 19

В высшей математике есть такое правило, которое позволит нам с легкостью решать задания данного типа методом координат. Угол между двумя плоскостями в пространстве равен модулю угла между нормалями ( к этим плоскостям. Таким образом, если найти координаты вектора нормали, то, воспользовавшись ранее известной формулой косинуса угла между векторами, найдем искомый угол.

Алгоритм решения задач на нахождение угла между плоскостями:

1. Вписываем фигуру в систему координат;

2. На рисунке изображаем указанные в задаче плоскости;

3. Находим координаты трех точек каждой плоскости;

4. Составляем уравнение плоскостей;

5.Находим координаты векторов нормаль двух плоскостей;

6. Подставляем в формулу "Нахождение угла между плоскостями ":

7. После чего (если требуется в задаче), зная косинус, находим значение самого угла.

 вектор нормали плоскости х+у+z+=0,

Пример задачи.

Условие задачи: В единичном кубе АBCD найдите тангенс угла между плоскостями AВС и С.

Решение:

1) Введём систему координат xyz;

2) Пусть стороны куба равны 1, тогда найдем координаты вектора нормали плоскости AВС:

AA(ABC), так как AAAB, AABC, AB пересекает BC в точки B, AB (ABC), BC (ABC)A - вектор нормали плоскости АВС,

Рис. 20

Пусть стороны куба равны 1, тогда найдем координаты вектора нормали плоскости AВС: AA(ABC), так как AAAB, AABC, AB пересекает BC в точки B, AB (ABC), BC (ABC)A - вектор нормали плоскости АВС,

Составим уравнение плоскости С:

C

(x-1)-1) +(y-1) (-1)+z00-z-(x-1)01-(y-1)01=0

-x-y-z+2=0 -уравнение плоскости С.

Косинус угла между плоскостями AВС и С:

cos

Синус угла между плоскостями AВС и С:

sin =

Тангенс угла между плоскостями AВС и С:

tg =

Ответ:

Заключение

Мы считаем, векторно-координатный метод необходимой составляющей при изучении геометрии в школе, поэтому нужно больше часов на его изучение. Этот метод позволяет упростить процесс решения стереометрических задач, помогает учащимся при сдаче ЕГЭ, а, в дальнейшем, при изучении математики в высших учебных заведениях.

В данной курсовой работе:

- проанализированы учебники геометрии 10-11 классов;

- рассмотрен основной теоретический материал, необходимый для усвоения данного метода;

- рассмотрены метод координат, виды и этапы решения задач данным методом;

- выделены основные умения, необходимые для овладения методом координат;

Можно сделать вывод, что метод координат:

- является одним из основных методов при решении задач;

- имеет больше достоинств, чем недостатков;

- дает учащимся эффективный способ решения задач и доказательств;

- показывает тесную связь алгебры и геометрии.

Размещено на Allbest.ru

...