Задача о течении несжимаемой вязкой жидкости в квадратной каверне является классической задачей гидромеханики, иллюстрирующей отрывные течения без подвода массы. Эта задача является прекрасным тестом при сравнении различных методов решения уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости и часто применяется исследователями для проверки адекватности численного алгоритма [1-7]. Так, например, в [8, 9] на основе решения этой задачи в стационарной постановке обосновывается приемлемость и предпочтительность модели переноса сдвиговых напряжений (MSST), предложенной Ментером [10].

Аналитическое решение задач течения несжимаемой жидкости в каверне ограничивается рассмотрением нескольких частных случаев задач данного класса. Рассмотрим некоторые из них [11].

Невязкая модель (модель Эйлера) имеет два классических решения [12]:

1) допущение о потенциальности всего течения в каверне;

2) решение по схеме Кирхгофа. В первом случае задача решалась с использованием конформных отображений, во втором - применялось разбиение области течения на две: над каверной, где предполагалось поступательное движение, и в самой каверне, где жидкость покоилась.

Приближение Стокса относится к вязким моделям и эквивалентно решению уравнений Навье-Стокса без учета конвективных слагаемых, что соответствует очень медленному течению. В [13, 14] рассмотрено медленное течение в каверне, для которого получены решения в виде рядов. Вариационный метод для исследования медленного движения в открытой каверне применен автором работы [15]. Учет конвективных членов проводят авторы работ [16, 15]. В [15] с этой целью используется разложение функции тока в ряд по степеням числа Рейнольдса, в [16] рассматривается линеаризованная постановка задачи течения в круглой каверне, для решения которой применяется метод возмущений.

Линеаризованные уравнения пограничного слоя для определения течения в каверне использовал автор [17], где на внешней границе пограничного слоя задавался профиль скорости, полученный из экспериментов. В ядре вихря найден профиль скорости в виде ряда. Течение в открытой каверне осложняется наличием зоны смешения, где происходит перемешивание внешнего потока над каверной и течения непосредственно в каверне. Выбор границ зоны смешения, пограничного слоя, положения разделяющей линии тока, а также зоны присоединения определяет ту или иную модель течения.

Модель Чепмена. В теории Чепмена [18] допускается, что зона смешения отделена от дна каверны замкнутой областью с малой скоростью движения потока, длина зоны присоединения намного меньше толщины пограничного слоя в отрывной области, в сечении, характеризующемся точкой отрыва потока, пограничный слой отсутствует, давление по длине пограничного слоя не изменяется.

Модель Денисона-Баума. Денисон и Баум [19], основываясь на теории Чепмена, исключили из рассмотрения допущение об отсутствии пограничного слоя в сечении, характеризующемся точкой отрыва, и показали, что начальный профиль скорости в отрывном пограничном слое сильно влияет на распределение донного давления каверны.

Модель Бюргграфа. В отличие от модели Чепмена, Бюргграф [20], основываясь на результатах Бэтчелора, разбил всю область течения на внешний невозмущенный поток вдали от зоны смешения, внешний пограничный слой во внешнем потоке над каверной, внутренний пограничный слой и невязкое ядро непосредственно в каверне, а также предположил, что отрывная линия тока, соединяющая угловые точки каверны со стороны отсутствующей крышки, является прямой и скорость вдоль нее не уменьшается до нуля в точке присоединения. Сравнение решений согласно модели Бюргграфа с экспериментом показало ее применимость для больших чисел Рейнольдса, когда вязкие эффекты проявляются только в тонких пограничных слоях.

Модель Корста. Корст [21] предполагает, что длина зоны смешения равна длине открытой части каверны. Кроме этого, в модели учитывается профиль скорости набегающего потока и делается допущение об эквивалентности пограничного слоя на стенках и дне каверны пограничному слою на плоской пластине, причем скорость на внешней границе пограничного слоя полагается постоянной. Модель Сквайра. Основываясь на идее Бэтчелора, Сквайр [22] разделил весь объем жидкости в каверне на ядро и пограничный слой вокруг него. В результате решения задачи по данной схеме Сквайром было получено, что максимум скорости внутри каверны может достигать ~30% от скорости внешнего потока. В поставленной задаче численно исследуется течение жидкости (вода) в небольшой квадратной каверне со стороной 10 мм. Используется решатель двойной точности, задача рассматривается в нестационарной постановке. Моделирование выполнено на основе системы нестационарных осреднённых по Рейнольдсу уравнений Навье - Стокса, записанной в переменных скорость - давление. Температура среды предполагалась постоянной. Использована k ? щ-SST [23] модель турбулентности, хорошо подходящая для данной задачи. Для временной аппроксимации использовалась неявная схема второго порядка.

Расчётная область показана на рис.1.

Рис. 1. Расчётная область модели

В качестве граничных условий на верхней стороне каверны была задана скорость, касательная к поверхности, величина которой составила 0.05 м/с. Для стенок были выбраны граничные условия неприлипания.

При проведении эксперимента с использованием k ? щ-SST модели турбулентности была установлена высокая скорость сходимости решения. Число итераций было задано равным 100, временной шаг каждой итерации был выбран равным 0.1 с. На рис.2 представлено распределение линий тока в каверне (градиент и векторное поле). Хорошо видно завихрение, которое при увеличении скорости набегающего потока жидкости смещается к центру. Нужно отметить достаточно хорошее соответствие полученного численным методом результата с теоретическим (рис.3), указанным в работе Лойцянского [24].

Рис.2. Распределение линий тока в каверне

Рис. 3. Теоретические линии тока

На рис. 4 представлено поле распределения скоростей внутри каверны. Видно, что наибольшей скорости движения жидкость достигает в пограничном с каверной слое; в то же время в углублении скорость падает до нуля. Отметим, однако, что с увеличением скорости входного потока поле распределения скоростей претерпевает существенные изменения.

Рис. 4. Распределение поля скоростей

В работе проведено исследование нестационарного турбулентного течения в каверне, дан обзор аналитических методов решения данной задачи. Рассматриваются особенности численного моделирования задач обтекания потоком жидкости с использованием ANSYS Fluent, связанные с моделированием нестационарных течений. Показано, что использованная в расчёте k?щ-SST-модель турбулентности адекватно воспроизводит картину распределения линий тока и скоростей на сравнительно небольших по числу узлов сетках.

численное моделирование невязкая модель эйлер

Список литературы