Теория экстремумов функций многих переменных в учебнике О. Коши по дифференциальному исчислению
Построение теории экстремумов функций многих переменных, изложенной в учебнике по дифференциальному исчислению О. Коши. Впервые в задаче на экстремум функции он применил критерий Сильвестра положительной (отрицательной) определенности квадратичных форм.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 05.12.2018 |
| Размер файла | 500,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
ТЕОРИЯ ЭКСТРЕМУМОВ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ В УЧЕБНИКЕ О. КОШИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ
О.М. Прохорова, канд. физ.-мат. наук, доцент
Харьковский национальный университет им. В.В. Докучаева
У статті наведено аналіз методів знаходження ектремумів функцій двох і більшої кількості змінних у підручнику Коши. Висвітлено його внесок у розвиток теорії екстремумів функцій багатьох змінних.
Analysis has been conducted the methods of find out the extremums of the functions of two and more numbers variable values in Coshy's book in this article. His deposit to development of theory of exstremums of the functions of many variable values is reveal.
коши экстремум переменная дифференциальный
Постановка проблемы. Теория экстремумов имеет большое теоретическое и практическое значение, является одной из составных частей курса математического анализа [3], [5]. При этом большое значение имеют не только полученные результаты, но и разработанные при нахождении экстремумов методы.
Не сразу были получены те результаты, которые составляют основу этой теории в современных учебниках математического анализа. Для этого понадобилось почти три века. Попытки нахождения условий экстремума функций многих переменных встречаются в 17 веке еще до формирования дифференциального исчисления как целостной науки.
Для нужд математики и естествознания наиболее важным является случай нескольких переменных. В такой математической дисциплине как, например, математическое программирование [9], которое занимается изучением экстремальных задач для функций многих переменных, разработкой методов их решения. В свою очередь, целый ряд экономических задач сводится к задачам математического программирования [7, 8]. Необходимостью теоретической разработки этого случая объясняется, по-видимому, тот факт, что крупные аналитики 19 столетия не прошли мимо этого вопроса. Одним из них является О.Коши.
Анализ последних достижений и публикаций. В историко-математической литературе существуют исследования, посвященные научному творчеству О.Коши [1], [2], [4], [6], [10], однако его вклад в теорию экстремумов функций многих переменных не нашел должного освещения.
Целью статьи является исследование построения теории экстремумов функций многих переменных, изложенный в учебнике по дифференциальному исчислению О. Коши
Изложение основного материала исследования. В начале 19 века одно из центральных мест в разработке теории экстремумов функций многих переменных принадлежит О.Л. Коши. В своем учебнике он находит условия для экстремума функции многих переменных.
Чтобы узнать, соответствует ли система значений , удовлетворяющих необходимому условию существования экстремума, максимуму или минимуму функции , он изучает знак второго дифференциала
Где При этом Коши выделяет три случая
Тогда в первом случае будет максимум или минимум, «иногда во втором и никогда в третьемя. Во втором случае, замечает Коши, получится максимум или минимум, если для каждой из систем значений удовлетворяющих уравнению первый из не уничтожающихся дифференциалов d и, d и, … будет четного порядка. Тогда для дифференциала d
2,"и будем иметь также три случая, аналогичные изложенным выше [11, 85-87]
Затем Коши находит условия, при которых второй дифференциал сохраняет знак. Например, для функции двух переменных второй дифференциал
сохраняет знак, когда уравнение
где , не имеет вещественных корней, то есть когда
Коши указывает, что такой прием применим и для функций любого числа переменные
Затем Коши дает еще один способ исследования знака второго дифференциала для функций многих переменные
Полагая
Он дает следующий критерий для определения, сохраняет ли второй дифференциал постоянный знак. Если А> А> ., А будут иметь одинаковые знаки с А, А, . ., А”, то второй дифференциал будет сохранять знак. То есть, если А > 0, тогда все величины А , Аі, ...., А1 также будут больше нуля, следовательно, и А> А> ..., Ап окажутся больше нуля. Этот случай соответствует минимуму функции. Если А1 < 0, то А1 (m = 2,3,...,п) будут иметь положительный или отрицательный знак в зависимости от того, m - четное или нечетное. Имеем максимум.
Далее Коши рассматривает подробнее это правило для случая функции трех переменных. Для случая двух и трех переменных оно соответствует, в современной терминологии, критерию Сильвестра для определения положительной и отрицательной определенности квадратичных форм. Однако Коши термином «квадратичная форма» не пользуется.
Для функции трех переменных u = f (x,y,z) указанная система будет иметь вид
ah + bk + cl = 1
bh + pk + dl = 1
ch + dk + ql = 1
где
Тогда
В этом случае
то есть
где
Тогда, если Di < 0, то, согласно правилу Коши, будет D2 > 0, D3 < 0. В этом случае функция u = f (x,y,z) достигает в точке (x0, y0, z0) максимума. Для D1 > 0 будет D2 > 0, D3 > 0, следовательно, рассматриваемая функция будет иметь в точке (x0, y0, z0 ) минимум.
Выводы. Таким образом, О.Коши внес существенный вклад в развитие теории экстремумов функций многих переменных. Он впервые в задаче на экстремум функции многих переменных фактически применил критерий Сильвестра положительной (отрицательной) определенности квадратичных форм.
Библиографический список:
1. Бородин А.И. Выдающиеся математики / А.И. Бородин, А.С. Бугай. - Киев: Радянська школа, 1987. - 656с.
2. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в 19 столетии / Ф.Клейн. - М.: Наука, 1989. - Т.1. - 453 с.
3. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа / Л.Д.Кудрявцев. - М.: Наука, 1990. - Т.2. - 444 с.
4. Медведев Ф.А. Французская школа теории функций и множеств на рубеже 19-20 веков / Ф.А. Медведев. - М.: Наука, 1976. - 231 с.
5. Никольский С.М. Курс математического анализа / С.М. Никольский. - М.: Наука, 1983. - Т.1. - 459 с.
6. Рыбников К.А. История математики / К.А.Рыбников. - М.: Моск. ун-т, 1974. - 451 с.
7. Кремер Н.М. Исследование операций в экономике / Н.М. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Гришин, М.Н. Фридман - М.: ЮНИТИ, 2005. - 407 с.
8. Бережная Е.В. Математическое моделирование экономических систем / Е.В. Бережная, В.И. Бережной. - М.: Финансы и статистика, 2006. - 432 с.
9. Палий И.А. Линейное программирование. Учебное пособие / И.А. Палий. - М.: Эксмо, 2008. - 256 с.
10. Cantor M. Vorlesungen ueber Geschichte der Mathematik / M. Cantor. - Leipzig, 1908. - Bd. 4. - 1113 p.
11. Cauchy A. Resume des le?ons sur le calcul infinitesimal. / A. Cauchy. - Paris: De L'imprimerie royale, 1823. - 400 p.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Многие переменные, минимизация их функций. Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции. Условия существования экстремумов функции многих переменных. Квадратичная форма, принимающая, как положительные, так и отрицательные значения.
реферат [70,2 K], добавлен 05.09.2010Функция многих переменных. Предел и непрерывность функции многих переменных. Частные производные. Дифференцируемость функции. Производная в направлении. Градиент. Локальные экстремумы. Интегральное исчисление функций. Неопределённный интеграл.
курс лекций [309,0 K], добавлен 08.04.2008Понятие, предел и непрерывность функции двух переменных. Частные производные первого порядка, нахождение полного дифференциала. Частные производные высших порядков и экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия существования экстремума.
контрольная работа [148,6 K], добавлен 02.02.2014Нахождение пределов функций. Определение значения производных данных функций в заданной точке. Проведение исследования функций с указанием области определения и точек разрыва, экстремумов и асимптот. Построение графиков функций по полученным данным.
контрольная работа [157,0 K], добавлен 11.03.2015Методы условной и безусловной нелинейной оптимизации. Исследование функции на безусловный экстремум. Численные методы минимизации функции. Минимизация со смешанными ограничениями. Седловые точки функции Лагранжа. Использование пакетов MS Excel и Matlab.
лабораторная работа [600,0 K], добавлен 06.07.2009Нахождение экстремумов функций методом множителей Лагранжа. Выражение расширенной целевой функции. Схема алгоритма численного решения задачи методом штрафных функций в сочетании с методом безусловной минимизации. Построение линий ограничений.
курсовая работа [259,9 K], добавлен 04.05.2011Методы нахождения минимума функции одной переменной и функции многих переменных. Разработка программного обеспечения вычисления локального минимума функции Химмельблау методом покоординатного спуска. Поиск минимума функции методом золотого сечения.
курсовая работа [95,1 K], добавлен 12.10.2009Исследование функции на четность и периодичность. Нахождение вертикальных, горизонтальных (или наклонных) асимптот, а также экстремумов и интервалов монотонности. Определение интервалов выпуклости и точки перегиба. Построение графика исследуемой функции.
презентация [134,7 K], добавлен 21.09.2013Понятия зависимой, независимой переменных, области определения функции. Примеры нахождения области функции. Примеры функций нескольких переменных: линейная, квадратическая, функция Кобба-Дугласа. Построение графика и линии уровня функции двух переменных.
презентация [104,8 K], добавлен 17.09.2013Расчет производной функции. Раскрытие неопределенности и поиск пределов. Проведение полного исследования функции и построение ее графика. Поиск интервалов возрастания, убывания и экстремумов. Решение дифференциальных уравнений. Расчет вероятности события.
контрольная работа [117,5 K], добавлен 27.08.2013Определение точки экстремума для функции двух переменных. Аналог теоремы Ферма. Критические, стационарные точки. Теорема "Достаточное условие экстремума", доказательство. Схема исследования функции нескольких переменных на экстремум, практический пример.
презентация [126,2 K], добавлен 17.09.2013Примеры неравенств, доказываемых техникой одномонотонных последовательностей. Обоснование данного метода для случая с произвольным числом переменных. Доказательство неравенств с минимальным числом переменных. Сравнение метода с доказательством Коши.
реферат [132,8 K], добавлен 05.02.2011Локальные экстремумы функции. Теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа. Достаточные условия экстремума функции. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба. Асимптоты графика функции. Схема построения графика.
курс лекций [445,7 K], добавлен 27.05.2010Понятие функции нескольких переменных. Аргументы, частное значение и область применения функции. Рассмотрение функции двух и трех переменных. Предел функции нескольких переменных, теорема. Главная сущность непрерывности функции нескольких переменных.
реферат [86,3 K], добавлен 30.10.2010Рассмотрение особенностей сравнения рядов. Характеристика признаков сходимости Даламбера. Критерий Коши как ряд утверждений в математическом анализе. Анализ геометрической интерпретации интегрального признака. Способы определения сумы числового ряда.
контрольная работа [214,6 K], добавлен 01.03.2013Понятие о голоморфном решении задачи Коши. Теорема Коши о существовании и единственности голоморфного решения задачи Коши. Решение задачи Коши для линейного уравнения второго порядка при помощи степенных рядов. Интегрирование дифференциальных уравнений.
курсовая работа [810,5 K], добавлен 24.11.2013Нахождение частной производной первого порядка. Определение области определения функции. Расчет производной от функции, заданной неявно. Полный дифференциал функции двух переменных. Исследование функции на экстремум, ее наименьшее и наибольшее значения.
контрольная работа [1,1 M], добавлен 12.11.2014Дифференциальное исчисление функции одной переменной: определение предела, асимптот функций и глобальных экстремумов функций. Нахождение промежутков выпуклости и точек перегиба функции. Примеры вычисления неопределенного интеграла, площади плоской фигуры.
задача [484,3 K], добавлен 02.10.2009Слабые асимптотики произведения функций Хевисайда. Решение задачи Коши методом прямого интегрирования. Оценка задачи со ступенчатой функцией в качестве начального условия. Предел на бесконечности, получаемый при неограниченном уменьшении малого параметра.
курсовая работа [1,9 M], добавлен 23.09.2016Определение плоскости комплексного переменного, последовательностей комплексных чисел и пределов последовательностей. Дифференцирование функций, условия Коши, интеграл от функции. Числовые и степенные ряды, разложение функций, операционные исчисления.
курсовая работа [188,4 K], добавлен 17.11.2010
