Планирование вычислительного эксперимента в задаче выявления существенных параметров динамической модели

Размещено на http://www.allbest.ru/

_{ПЛАНИРОВАНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА В ЗАДАЧЕ ВЫЯВЛЕНИЯ СУЩЕСТВЕННЫХ ПАРАМЕТРОВ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ}

_{Статников И.Н., Фирсов Г.И.}

_{Эффективность применения того или иного метода оптимизации существенно зависит от объема и качества априорной информации, имеющейся к моменту начала решения прикладной задачи оптимизации. Поэтому кажется очевидным, что наиболее привлекательными становятся такие методы оптимизации, которые требуют минимума априорной информации о решаемой задаче, более того, позволяют по ходу решения получать такую информацию легко и просто. К ним можно отнести метод Монте-Карло и его различные модификации [1], в основе которых лежат принципы случайного поиска решения задачи, что и делает такой подход универсальным. Но платой за такую универсальность является определенная «слепота», и это приводит к громадным объемам вычислений даже для современных вычислительных машин, тем более, что имеет место рост размерности решаемых задач оптимизации (растет число фазовых координат и число конструктивных (оптимизируемых) параметров, растет число критериев качества, характеризующих систему (объект)). А громадные объемы получаемой информации при проведении вычислительных экспериментов естественно затрудняют ее интерпретацию. Возникла потребность сочетания универсальности метода Монте-Карло с элементами более интеллектуального анализа результатов численных экспериментов, чем простая констатация статистических оценок, то есть усовершенствования технологии проведения математических экспериментов.}

_{Как представляется, в значительной степени эту потребность реализует метод планируемого ЛП-поиска (ПЛП-поиска) [2, 3], благодаря одновременной реализации в нем идеи дискретного квазиравномерного по вероятности зондирования J - мерного пространства варьируемых параметров aj (j=1,…,J) и методологии планируемого математического эксперимента. Сочетание таких идей в алгоритме ПЛП-поиска позволило, с одной стороны, осуществить глобальный квазиравномерный просмотр заданной области варьируемых параметров, а, с другой стороны, применить многие формальные оценки из математической статистики. Одним из путей решения проблемы может стать применение различных эвристических приемов сокращения пространства параметров, в котором происходит поиск наилучших решений. Здесь целесообразно опираться на когнитивное правило, выведенное Полем Фитсом [4, 5]: время достижения цели обратно пропорционально ее размеру и дистанции до нее. Если объем исходной области поиска обозначить через D, а объем области, содержащей предпочтительные решения, как S, то число вычислительных экспериментов может быть определено по формуле: где a и b - некоторые константы Отметим, что успешность применения ПЛП-поиска обуславливается тем, что этот метод предназначен, в основном, для применения на предварительном этапе решения задачи, когда полученная информация позволяет принять решение об использовании других методов оптимизации (но значительно эффективнее), или об окончании решения (такое тоже возможно). В основание метода положена рандомизация расположения в области векторов , рассчитываемых по ЛП-сеткам [6], и которая оказывается возможной благодаря тому, что весь вычислительный эксперимент проводится сериями. Для рандомизации (случайного смешения уровней варьируемых параметров ) дискретного обзора могут быть использованы многие существующие таблицы равномерно распределенных по вероятности целых чисел. В целях экономии памяти ЭВМ в ПЛП-поиске алгоритм рандомизации построен на использовании датчика псевдослучайных чисел q (0 < q <1) из [6]. Рандомизация состоит в том, что для каждой h - ой серии экспериментов (h=1,…, H()), где H() - объем выборки из элементов для каждого критерия, вычисляется свой вектор случайный номеров строк в таблице направляющих числителей (ТНЧ) по формуле:}

= [R ґ q] + 1, (1)

_{а значения в h - ой серии рассчитываются с помощью линейного преобразования}

где - соответственно верхние и нижние границы области ; b = 1, …, J; R - любое целое число (в ПЛП-поиске R = 51); - фиксированный номер варьируемого параметра; = =1,…, M() - номер уровня - го параметра в h - й серии; M() - число уровней, на которое разбивается - ый параметр; в общем случае (в чем и состоит одна из целей рандомизации).

_{Было доказано с помощью критерия Романовского [7], что числа , вырабатываемые по формуле (1), оказываются совокупностью равномерно распределенных по вероятности целых чисел.}

_{Обратим внимание, что M(j) и есть количество экспериментов, реализуемых в одной серии. И если M(j) = M = const и H(i,j) = H = const, то в этом случае параметры N0, M и H связаны простым соотношением:}

_{N0 = M ґ H, (2)}

_{где N0 - общее число вычислительных экспериментов (ВЭ)., при этом длина выборки из в точности равна H. Но в общем случае, когда M(j) = var, то и H(i,j) = var, и тогда формула (2) для одного критерия примет такой вид:}

_{Для проведения однофакторного дисперсионного анализа [7] по всем параметрам для каждого критерия производится сортировка результатов вычислений, полученных при вычисления в точках матрицы планируемых экспериментов (МПЭ). В результате сортировки для одного критерия будет получено J матриц, состоящих из элементов а для K критериев будет получено J ґ K матриц, состоящих из элементов , где - номер критерия. Этот анализ позволяет принять (или отвергнуть) с требуемой вероятностью , где a - заданный уровень значимости, следующую нулевую гипотезу: средние значения не существенно (случайно) отличаются от общего среднего значения - го критерия . Если принят положительный ответ (гипотеза принята), то допускается на следующем этапе решения задачи несущественно влияющий параметр не варьировать, а зафиксировать одно из его значений, например, для такого , где имеет наилучшее значение в смысле искомого экстремума.}

Использование планирования эксперимента рассмотрим на примере модели пневмовстряхивающей машины виброударного действия. Отличие используемой в данной работе модели от описанной в [9, 10] заключалось в введении в уравнения сохранения энергии и массы воздуха в полости привода дополнительного члена, учитывающего возможный приток воздуха в полость из атмосферы при сильном разрежении.

Проводилось два эксперимента, соответствующих двум значениям коэффициента «сухого» трения .

Эксперимент 1. = 0,025. В этом случае вектор исследуемых безразмерных параметров имел 9 координат. Из них независимо друг от друга варьировались 6 координат: ₁ = _a -- нагрузка машины, ₂ = U -- площадь сечения впускного окна (для подачи сжатого воздуха), ₃ = -- приведенная жесткость пружин амортизации цилиндра машины, ₄ = ₀ -- координата «вредного» объема, ₅ -- отношение длины хода поршня при выхлопе сжатого воздуха к длине хода при впуске сжатого воздуха, ₆ = h₂ -- координата начала выхлопа сжатого воздуха.

Параметры ₇ = h₁ (координата начала закрытия впуска сжатого воздуха) и ₈ = (отношение массы т₂ цилиндра к суммарной массе т₁ поршня и нагрузки) определялись по формулам

(3)

Координата ₉ = U₁ (площадь сечения выхлопного окна) принималась постоянной (₉ = 30). В качестве параметра оптимизации (функции цели) рассматривалась эффективность ударного режима [9], которая в безразмерном виде определяется формулой где и -- скорости массы т₁ после и до i-го удара; _с -- длительность цикла, включающего L ударов.

Область исследования задавалась следующим гиперпараллелепипедом G₁:

(4)

Матрица планирования имела следующие параметры: N = 96; г = 6; N₁ = 16; М = 6.

Дисперсионный анализ проводился по формулам, приведенным в табл. 1 [7].

Таблица 1

Формулы дисперсионного анализа

В этой таблице -- среднее значение функции Ф в g-й группе (g = 1, 2,..., N₁) данного параметра; -- общее среднее всей совокупности N наблюдений.

Результаты дисперсионного анализа приведены в табл. 2.

Таблица 2

Результаты дисперсионного анализа для эксперимента 1

По табл. ХVIII [6] при ₁ = N - 1 = 15 и ₂ = N - N₁ = 80 находим, что при Р = 0,05 (5%-ный уровень значимости) критерий Фишера F равен 1,84. Сопоставление этого значения с данными табл. 2 показывает, что в гиперпараллелепипеде G₁, определяемом системой неравенств (4), параметры ₁ и ₄ оказывают в среднем существенное влияние на значения Ф, а ₃, ₅, ₆ и ₂ не оказывают такого влияния. Очевидно,, что и параметры ₇ и ₈, связанные с ₁ и ₄ формулами (3), следует отнести к существенным. Таким образом, если в заданной области G₁, организовать поиск оптимальной модели, то параметры ₃, ₅, ₆ и ₂ можно зафиксировать.

Эксперимент 2. = 0,1. Вектор исследуемых безразмерных параметров определялся 11 координатами. Независимо друг от друга варьировались 8 параметров. Параметры _{1 8} имели тот же смысл, что и в эксперименте 1; ₁₀ и ₁₁ определялись соотношениями ₁₀ = ₇/₄ и ₁₁ = ₆/₇. Область исследования G₂ задавалась следующим образом: 0,4 ₁ 0,8; 0,15 ₃ 03; 1 ₅ 1,3; 1 ₁₀ 1,5; 9,5 ₂ 15; 2 ₄ 5; 0,25 ₈ 0,7; 1 ₁₁ 1,5. Матрица планирования имела следующие параметры: N = 240, r = 8, N₁ = 16 и М = 15. Параметры ₆, и ₇ определялись из соответствующих выражений для ₁₀ и ₁₁. Результаты дисперсионного анализа приведены в табл. 3.

Таблица 3

Результаты дисперсионного анализа для эксперимента 2

математический дисперсионный параметр оптимизация

По табл. ХVIII [6] при ₁ = 15 и ₂ = 224 находим, что при Р = 0,05 F = 1,69. Сравнение этого значения с данными табл. 3 показывает, что в области G₂ параметры ₁, ₁₀, ₁₁ и ₅, оказывают в среднем существенное влияние на значение Ф, а ₈, ₂, ₃ и ₄ не оказывают такого влияния. Следовательно, при дальнейшем поиске оптимальной модели в области G₂ можно зафиксировать значения параметров ₈, ₂, ₃ и ₄. Следует отметить, что значения параметра оптимизации, найденные при различных уровнях фиксированных параметров, могут отличаться друг от друга. Это объясняется тем, что отдельные уровни фиксированных параметров во взаимодействии с другими параметрами могут оказывать неодинаковое влияние на значения Ф. Иными словами, для более детальных выводов следует произвести статистический анализ эффектов взаимодействия параметров по той же матрице планирования экспериментов [11]. Очень важно также, чтобы статистические оценки значимости параметров в заданных диапазонах не противоречили априорным представлениям о них. Если указанное противоречие имеет место, то необходимо пересмотреть распределение заданных диапазонов, либо выбранный вид функции цели, или, наконец, пересмотреть математическую модель функционирования устройства.

Литература

_{1. Соболь И.М., Статников Р.Б. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями. М.: Дрофа, 2006. 175 с.}

2. Статников И.Н., Фирсов Г.И. Об одной технологии дискретного зондирования пространства исследуемых параметров // Современные информационные технологии.- Пенза: ПГТА, 2004. С. 63-68.

3. Fitts P.M. The information capacity of the human motor system in controlling the amplitude of movement // Journal of Experimental Psychology. 1954. V. 47, No. 6. P. 381-391.

4. Зуев А.С. Графические интерфейсы как средства управления работой информационных систем // Информационные модели экономики. М.: МГАПИ, 2006. С. 80-84.

5. Статников И.Н., Фирсов Г.И. ПЛП-поиск и его реализация в среде MATLAB // Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB. М.: ИПУ РАН, 2004. С. 398-411.

6. Соболь И.М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара. М.: Наука, 1969. 288 с.

7. Митропольский А.К. Техника статистических вычислений. М.: Наука, 1971. 576 с.

_{8. Шеффе Г. Дисперсионный анализ. М.: Наука, Гл. ред. физ-мат. лит., 1980. 512 с.}

9. Крейнин Г.В., Матвеенко И.В. К выбору оптимального режима работы воздушно-поршневого двигателя встряхивающей формовочной машины // Литейное производство. 1968. № 2.

10. Крейнин Г.В., Матвеенко И.В., Сергеев В.И., Чернявский И.Т. Исследование динамики пневмоударной встряхивающей машины // Автоматизация исследований динамических процессов электромеханических и пневматических устройств. М.: Наука, 1971. С. 25-39.

11. Статников И.Н., Фирсов Г.И. Планирование вычислительного эксперимента в задачах многокритериального моделирования динамических систем // Компьютерное моделирование. СПб.: Изд-во Политехнического университета, 2005. С. 104-112.

Размещено на Allbest.ru