Планирование эксперимента
Рассмотрение основных критериев планирования эксперимента, используемых в практических исследованиях. Свойства полных и дробных факторных планов для линейных моделей. Планы для моделей, содержащих линейные члены и взаимодействия различного порядка.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 04.12.2018 |
| Размер файла | 83,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА
Введение
Мы исходили из того, что целевая величина y (выходная величина, зависимая переменная или отклик) следующим образом зависит от вектора независимых переменных x = (x1, x2,…, xn.)т:
y(a, x) = aтf(x). (1)
Для нахождения оценок вектора неизвестных параметров a в определённых точках xi поставлен эксперимент и получен его результат . Оценка вектора коэффициентов рассчитывается с помощью метода наименьших квадратов на основе выборки xi, i = 1,…, N путём решения системы нормальных уравнений
(2)
Матрицы F иопределяются через (2.19) и (2.14) соответственно. Из (2) следует
(3)
Если
, (4а)
то
(4б)
Здесь - истинное значение зависимой переменной в точке xi; - случайная ошибка в точке xi. Ошибка считается независимой случайной величиной с нулевым математическим ожиданием и дисперсией 2 (смотри (2.23), (2.25), (2.27)). При этих условиях оценки вектора параметров являются случайными величинами с ковариационной матрицей (2.37):
cov =(FтF)-12 = C2. (5)
Оценки являются несмещёнными:
(6)
и, согласно (2.30), обладают минимальной дисперсией среди всех возможных несмещённых линейных оценок для заданной выборки xi, i = 1,…, N. В этом смысле метод наименьших квадратов является оптимальным методом обработки данных. Достигаемая точность оценок (как это следует из (5)) будет зависеть от выбора экспериментальных точек или от условий проведения эксперимента. В этом и заключается основная идея планирования эксперимента: добиться требуемых свойств (например, максимальной точности), выбирая условия проведения эксперимента.
В общем случае активный подход к эксперименту в сочетании с методами планирования позволяет получить требуемые результаты, затрачивая минимальные средства и время на проведение исследования.
Основные понятия планирования эксперимента
Определение 1. Множество всех точек проведения экспериментов
xi = (xi1, xi2,…, xin), i = 1, 2,…, N, (7)
представляется с помощью матрицы плана
(8)
и называется планом эксперимента (план эксперимента, заданный с помощью матрицы плана X, будет в дальнейшем обозначаться через X).
Определение 2. Точка
(9)
называется центром плана (центральной точкой плана). Каждая координата вектора x0 является средним значением i - х координат всех точек плана
(10)
Определение 3
План называется центральным, если его центр расположен в начале координат x=0, т.е.
x0 = 0 (11)
Очевидно, что оптимальное планирование связано с разработкой планов, представляемых в некоторой стандартной форме. При этом целесообразно рассматривать центральные планы. Всякий план путём переноса начала координат может быть сделан центральным.
Утверждение 1
Всякий план Z с точками zi путём замены
x = z - z0 (12)
при
может быть преобразован в центральный план X с точками xi.
Определение 4
Область возможных значений независимых переменных называется областью планирования эксперимента. Будем обозначать эту область x. Это требование мы будем записывать следующим образом:
xi x (13)
или
X x (14)
Независимые переменные x часто называют варьируемыми переменными или факторами. Область планирования эксперимента может быть задана, например, с помощью неравенств
-1 xi 1, i = 1, 2,…, n. (15)
В этом случае говорят, что областью планирования является гиперкуб.
В (15) предельные (максимальное и минимальное) значения варьируемых переменных обозначены через +1 и -1 соответственно. Эти границы отвечают стандартизированному или нормированному масштабу изменения переменных. Переход к нормированному масштабу может быть осуществлён следующим образом:
(16)
В выражении (16) - значение i - ой переменной в натуральном масштабе измерения.
Ряд необходимых нам в дальнейшем свойств плана X связан с видом модели (1), для оценки коэффициентов которой план используется.
Определение 5
Матрица FтF размера (k+1)(k+1) называется информационной матрицей плана X. Здесь
(17)
Ясно, что информационная матрица плана X зависит от выбора функций f0(x),…, fk(x).
Определение 6
План X называется ортогональным, если информационная матрица диагональная:
(18)
Матрица M есть матрица системы нормальных уравнений (3), из решения которой находятся оценки коэффициентов модели. Поэтому для ортогонального плана вычисления оказываются чрезвычайно простыми.
Определение 7
План X называется рототабельным, если дисперсия оценки зависимой переменной в точке x зависит только от расстояния точки x от центра плана x0. В соответствии с (2.40) дисперсия оценки зависимой переменной выражается в виде
(19)
где (FтF)-1- дисперсионная матрица плана. Обозначим расстояние точки x от центра плана x0 через r:
(20)
Тогда условие рототабельности плана имеет вид
fт(x)(FтF)-1f(x) = const (21)
при .
Рототабельные планы обеспечивают одно и то же значение дисперсии оценки целевой величины во всех точках, равноудалённых от центра плана.
Определение 8
Зависимость (r) = 1/ Nfт(x)Cf(x) называется информационным профилем рототабельного плана. Информационный профиль плана показывает характер изменения дисперсии оценки зависимой переменной при удалении от центра плана.
Определение 9 План X называется ненасыщенным, если N k+1, и насыщенным, если N = k+1. Здесь N - число точек спектра плана, а (k+1) - число оцениваемых коэффициентов. Спектром плана называется совокупность всех точек плана, отличающихся уровнем хотя бы одного фактора.
Общие требования к плану эксперимента. О критериях планирования эксперимента
На практике часто оказывается возможным свободно выбирать условия проведения опытов в пределах некоторых границ. Выбор числа и условий проведения экспериментов, обеспечивающих получение наилучшего в определённом смысле результата исследования, и составляет цель планирования эксперимента. Разработан ряд критериев оптимальности планов эксперимента, важнейшие из которых будут рассмотрены далее. Следует отметить, что оптимальный выбор плана эксперимента существенным образом зависит от конкретных особенностей исследуемого объекта, таких, как вид его модели, стоимость отдельных опытов, области варьирования независимых переменных и т.д.
Одной из важнейших характеристик плана, влияющей, с одной стороны, на стоимость и длительность исследования, а с другой, на точность результатов, является число экспериментов. Заметим, что план с минимально возможным числом экспериментов N = k+1 (насыщенный план) не позволяет проверить адекватность модели. Поэтому обычно выбирают N k+1, где k+1 - число оцениваемых параметров модели.
Задача определения числа наблюдений N с учётом стоимости экспериментов и потерь от неточности определения коэффициентов модели будет рассмотрена ниже.
Важное значение для оценки качества плана эксперимента имеет вид информационной матрицы плана M = FтF. Матрица М должна быть невырожденной (M0). Только в этом случае система линейных уравнений, к которой приводит критерий наименьших квадратов, имеет единственное решение.
Перечислим пять основных критериев планирования эксперимента, используемые в практических исследованиях.
1. Критерий ортогональности плана. Критерий ортогональности требует такого выбора плана X для оценки коэффициентов модели заданного вида, при котором информационная матрица плана диагональна.
Использование критерия ортогональности имеет целью упрощение вычислений и получение независимых оценок коэффициентов. Как легко видеть, при ортогональном планировании матрица (FтF)-1 является диагональной и, следовательно, ковариации оценок коэффициентов равны нулю. Это значит, что замена нулём любого коэффициента в уравнении модели не изменит значений оценок остальных коэффициентов. Такое свойство ортогональности планов оказывается очень полезным, когда точный вид модели неизвестен и исследователь использует экспериментальные данные для отбора переменных, существенно влияющих на выходную величину.
2. Критерий рототабельности. Критерий рототабельности требует такого расположения экспериментальных точек в области планирования x, при котором дисперсия оценки значений зависимой переменной в точке x зависит только от расстояния от этой точки до центра плана. Этот критерий хорошо согласуется с требованием равнозначности (с точки зрения точности оценки зависимой переменной) всех направлений от центра плана.
Названные выше критерии обеспечивают некоторые полезные и удобные свойства оценок коэффициентов. Однако они никак не связаны с требованием максимальной точности построения модели.
Критерий А-оптимальности. Критерий А-оптимальности требует такого выбора плана X, при котором матрица C = (FтF)-1 имеет минимальный след (т.е. сумма диагональных элементов матрицы С минимальна). Так как в соответствии с (2.36) диагональный элемент cii матрицы С пропорционален дисперсии оценки i - го коэффициента, то критерий А-оптимальности по существу требует минимизации средней дисперсии оценок коэффициентов модели.
4. Критерий D-оптимальности. Критерий D-оптимальности требует такого расположения точек в области x, при котором определитель матрицы C = (FтF)-1 минимален (или определитель матрицы M = FтF максимален). D-оптимальный план минимизирует объём эллипсоида рассеяния оценок коэффициентов. Ниже мы рассмотрим этот критерий подробнее.
5. Критерий G-оптимальности. Критерий G-оптимальности требует такого расположения точек в области x, при котором достигается наименьшая величина максимальной дисперсии оценки зависимой переменной в области x. В отличие от критериев. А - и D-оптимальности, связанных с точностью нахождения коэффициентов, критерий G-оптимальности требует максимальной точности оценки зависимой переменной.
В литературе рассматриваются и другие критерии планирования, связанные с точностью построения модели. Достижение возможно большей точности модели связано с лучшим использованием области планирования при проведении эксперимента. Поэтому при использовании критериев 3, 4, 5 вид области планирования является очень важным условием задачи и произвольное изменение её конфигурации приводит к существенному изменению оптимального плана.
Все перечисленные критерии связаны с предположением, что вид модели известен. Однако на практике часто возникает ситуация, когда исследователь не знает истинного вида модели. В таком случае эксперимент обычно сначала планируется исходя из простейшего предположения о линейности модели относительно варьируемых переменных. После проведения опытов проверяется адекватность линейной модели. Если линейная модель не адекватна, делается попытка построить квадратичную модель. При этом нужно планировать и эксперимент для квадратичной модели. Оптимальный план для квадратичной модели целесообразно строить таким образом, чтобы он включал точки оптимального плана для линейной модели. Такое построение плана приводит к сокращению числа опытов. Планы для квадратичных моделей, построенные путём добавления точек к плану для линейной модели, называются композиционными планами второго порядка.
На практике иногда возникают ситуации, когда для построения модели выбирают полином более низкой степени, чем этого требует действительная зависимость. Причиной этого может быть необходимость в слишком большом числе экспериментов для построения оценок действительной модели. Кроме того, иногда исследователя могут интересовать не все, а лишь часть коэффициентов. В этих случаях эксперимент целесообразно планировать так, чтобы сделать минимальным смещение в оценках коэффициентов, связанное с неадекватным выбором модели. Можно также потребовать минимизации среднего по области х квадрата отклонения рассчитанных по модели значений от истинных значений зависимой переменной. Эти требования могут использоваться как критерии выбора плана эксперимента. Возможны и другие критерии планирования эксперимента.
На практике часто полезно стремиться к тому, чтобы один и тот же план удовлетворял одновременно ряду критериев, например, был бы D-оптимальным и ортогональным и т.д. В общем случае такого сочетания свойств не наблюдается, однако иногда в одном плане сочетается ряд полезных свойств.
Утверждение 2
Ортогональный план для линейной модели (2.2) одновременно является и рототабельным, если (FтF)-1= C = gI, где g - константа, I - единичная матрица.
Согласно (19), дисперсия оценки зависимой переменной в точке х для таких планов равна
Если центр плана находится в точке х0 = 0, то величина зависит только от расстояния точки х до центра плана.
Выбор критерия оптимальности плана осуществляется исходя из конкретного содержания решаемой задачи. Часто бывает нецелесообразно отказываться от таких полезных свойств планов, как ортогональность и рототабельность. Потеря ортогональности приводит к существенным усложнениям вычислений, в то время как повышение точности за счёт перехода к не ортогональному плану может оказаться незначительным. Если истинный вид модели бывает неизвестен исследователю, то при планировании эксперимента более существенным может оказаться возможность проверки адекватности модели, чем строго оптимальный, с точки зрения точности построения модели предполагаемого вида, выбор экспериментальных точек. Естественно, что встречаются задачи, где вид модели известен, а интерес представляет получение наивысшей точности оценок параметров модели. Всегда полезен анализ используемых планов с точки зрения различных критериев.
Планы для моделей, описываемых полиномами первого порядка
Вид модели
Рассмотрим планы, предназначенные для построения линейных моделей процессов вида
y(x,a) = a0 +a1x1 + …+ anxn. (22)
Обозначив через F матрицу
F = (, X), (23)
где
= (1, 1,…, 1)т, (24)
получим для информационной матрицы плана выражение
(25)
Полные факторные планы
Ограничимся рассмотрением планов, в которых каждый фактор хi принимает значения только на двух уровнях. Сделав преобразования (16), можно считать, что эти значения суть +1 и -1 (в дальнейшем будут использованы обозначения этих величин соответственно знаком "+" или "-").
Определение 8.10
Множество всех точек в n-мерном пространстве, координаты которых являются +1 (+) или -1 (-), называются полным факторным планом типа 2n. Число точек в этом плане
N = 2n. (26)
Утверждение 3
Матрица планирования Xn+1 факторного плана 2n+1 может быть получена с помощью матрицы Xn по формуле
(27)
где определяется выражением (24). Например
Точки этих планов показаны на рис. 1
Размещено на http://www.allbest.ru/
Дробные факторные планы
Число опытов N = 2n полных факторных планов быстро растёт с увеличением размерности факторного пространства n, так что при больших n эти планы оказываются практически неприемлемыми. При этом из множества точек факторных планов 2n может быть отобрана некоторая часть, представляющая дробный факторный план и содержащая подходящее число опытов.
Дробные факторные планы
Для построения дробного факторного плана типа 2n-p из множества n отбирают n-p основных факторов, для которых строят полный факторный план с матрицей Xn-p. Этот план дополняют p столбцами, соответствующими оставшимся факторам. Каждый из этих p столбцов получается как результат поэлементного перемножения не менее двух и не более n-p определённых столбцов, соответствующих основным факторам. Для определения способа образования каждого из p столбцов дробного факторного плана вводится понятие генератора плана.
Генератор плана представляет собой произведение основных факторов, определяющее значение элементов каждого из дополнительных р столбцов матрицы плана.
Построение дробного факторного плана для n= Исходим из факторного плана 22 для основных факторов x1 и x2 и дополняем этот план столбцом значений третьего фактора, элементы которого являются произведением соответствующих элементов первого и второго столбцов (здесь это единственная возможность определения столбца для фактора x3):
x1 x2 x3 = x1x2
------------------
- + -
+ + +
- - +
+ - -
Выражение x1x2 = x3 является генератором плана. Преимущество этого плана является меньшее число опытов (23-1 = 4) по сравнению с числом опытов полного факторного плана (23 = 8). Полученный дробный факторный план является полурепликой факторного плана 2
Построение дробного факторного плана для n = 4. Исходим из полного факторного плана 23 для факторов x1, x2, x3 и дополняем его столбцами, образованными поэлементными произведениями столбцов плана 2 Эти произведения могут являться генераторами для дробных факторных планов. Используя один из четырёх возможных генераторов, можно построить четыре различных дробных факторных плана типа 24 -1:
По сравнению с 24 = 16 опытами полного факторного плана, полученный дробный факторный план состоит из 24 -1 = 8 опытов.
При n=5 для построения дробного факторного плана типа 25 - 2 имеется возможность выбрать два любых из четырёх возможных генераторов для образования столбцов факторов x4, x5. Очевидно, что возможно построение шести различных вариантов плана типа 25 - 2:
Ещё шесть дробных факторных планов можно получить, если поменять местами столбцы для факторов x4 и x5.
Для пяти факторов дробный факторный план типа 25 - 2 содержит восемь опытов по сравнению с 25 = 32 опытами полного факторного плана.
Можно построить дробные факторные планы для n от 5 до 15. Исходим из факторного плана 24 и дополняем его всевозможными поэлементными произведениями столбцов плана 24: x1x2, x1x3, x1x4, x2x3, x2x4, x3x4, x1x2x3, x1x2x4, x1x3x4, x2x3x4, x1x2x3x4. Выбирая необходимое число генераторов для оставшихся факторов, строим дробные факторные планы типа 25 - 1, 26 - 2, 27 - 3, 28 - 4,…, 215 - 11, каждый из которых содержит 16 опытов. Отметим, что полный факторный план 215 требует постановки 32 768 экспериментов. Преимущества дробных факторных планов с точки зрения числа экспериментов очевидны.
Формулы для вычислений и свойства полных и дробных факторных плановдля линейных моделей
Матрица F для плана типа 2n-p и линейной модели вида (8.22) содержит n+1 столбцов и n = 2n-p строк. Например, для плана 23-1, в соответствии с (23), имеем
планирование эксперимент модель линейный
(28)
Первый столбец соответствует фиктивной переменной x0 при свободном члене уравнения модели, которая во всех опытах принимает значение равное единице. Легко убедиться в том, что информационная матрица плана 2n-p для модели (22) имеет вид
M = FтF = 2n-pIn+1 = NIn+1, (29)
где In+1- единичная матрица размера n+1.
Для дисперсионной матрицы получаем
(30)
Используя (30), получаем простые формулы для оценок коэффициентов
(31)
Для дисперсий оценок коэффициентов получаем
(32)
Здесь s2 - оценка дисперсии (дисперсии ошибки наблюдений). Из (32) следует, что оценки всех коэффициентов имеют одну и туже дисперсию. Вид выражений (29) и (30) определяет ортогональность плана 2n-p для модели (22). Легко убедиться, что для линейной модели план 2n-p является также и рототабельным. Необходимо отметить, что полные и дробные факторные планы для линейной модели вида (22), в случае, когда область планирования - гиперкуб с координатами вершин 1, являются также D-,A- и G-оптимальными планами. Это означает, что для данного частного вида области планирования и числа опытов N = 2n-p рассмотренные планы обеспечивают максимально возможную точность оценок коэффициентов и всей модели в целом.
Перечисленные свойства факторных планов объясняют, почему эти планы находят широкое применение при построении линейных моделей.
Планы для моделей, содержащих линейные члены и взаимодействия различного порядка
Вид модели
При построении модели часто недостаточно принимать во внимание только линейные эффекты факторов, ибо влияние на целевую величину могут оказывать также взаимодействия факторов. В этом случае необходимо вводить взаимодействия различных порядков. Модель принимает вид
(33)
Коэффициент аik является мерой парного взаимодействия факторов (взаимодействия первого порядка), коэффициент аikl отражает воздействие тройного взаимодействия (взаимодействия второго порядка) и т.д. Количество возможных взаимодействий для числа факторов от 2 до 10 приведено в таблице 1.
Таблица 1
|
n |
N=2n |
Число линейных эффектов |
Порядок взаимодействия |
|||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
||||
|
2 |
4 |
2 |
1 |
|||||||||
|
3 |
8 |
3 |
3 |
1 |
||||||||
|
4 |
16 |
4 |
6 |
4 |
1 |
|||||||
|
5 |
32 |
5 |
10 |
10 |
5 |
1 |
||||||
|
6 |
64 |
6 |
15 |
20 |
15 |
6 |
1 |
|||||
|
7 |
128 |
7 |
21 |
35 |
35 |
21 |
7 |
1 |
||||
|
8 |
256 |
8 |
28 |
56 |
70 |
56 |
28 |
8 |
1 |
|||
|
9 |
512 |
9 |
36 |
84 |
126 |
126 |
84 |
36 |
92 |
1 |
||
|
10 |
1024 |
10 |
45 |
120 |
210 |
252 |
210 |
120 |
45 |
10 |
1 |
Полные факторные планы для моделей типа (33)
Для получения оценок коэффициентов модели (33) в принципе можно использовать полные факторные планы. Однако c ростом числа факторов быстро увеличивается число необходимых опытов N и число степеней свободы для проверки адекватности модели. Так, например, для случая, когда имеются взаимодействия только первого порядка, при n = 2 отсутствуют степени свободы, а при n = 6 имеется уже 42 степени свободы.
Как правило, модель включает не все, а лишь некоторые взаимодействия первого порядка, иногда взаимодействия второго порядка и почти никогда не содержит взаимодействий выше третьего порядка. Так как наша цель состоит в том, чтобы, пользуясь по возможности малым числом опытов, извлечь необходимую информацию об исследуемом объекте, оказывается целесообразным для построения модели типа (33) применять дробные факторные планы.
Дробные факторные планы для модели типа (33) и порядок смешивания оценок коэффициентов
Дробные факторные планы типа 2n-p для моделей, содержащих линейные члены и взаимодействия, строятся так же, как и для линейных моделей, то есть матрицу полного факторного плана для (n-p) основных факторов дополняют столбцами, элементы которых представляют собой произведения элементов определённых столбцов основных факторов. Обычно предполагается, что только некоторые парные взаимодействия и взаимодействия высших порядков являются значимыми. При этом значимые взаимодействия рассматриваются как самостоятельные факторы, а незначимые приравниваются к факторам, не вошедшим в число основных. При использовании дробных факторных планов для моделей с взаимодействиями можно включать в рассмотрение лишь столько дополнительных факторов, сколько существует незначимых взаимодействий.
При наличии в модели взаимодействий, оценки коэффициентов при линейных членах остаются независимыми друг от друга, однако они могут быть смешаны с взаимодействиями высших порядков. Часть оценок коэффициентов при парных взаимодействиях также оказываются смешанными друг с другом.
Рассмотрим матрицу F для модели (33), содержащей все возможные взаимодействия, в случае, когда используется дробный факторный план 2n-p. Очевидно, что некоторые столбцы матрицы F окажутся одинаковыми. Так, например, столбцы для фактора x4 плана 24 -1 и взаимодействия x1x2x3 одинаковы, если в качестве генератора плана выбрано соотношение x4 = x1x2x Это означает, что план не позволяет получить раздельные оценки для коэффициентов и модели. С помощью данного плана можно получить лишь оценку , которая характеризует суммарное воздействие фактора x4 и взаимодействия х1х2х Оценки подобного рода называют смешанными. Заметим, что если , то величина является несмещённой оценкой коэффициента .
Для получения правила смешивания, с помощью которого можно было бы определить, совокупность каких линейных эффектов и эффектов взаимодействия оценивается всяким найденным на основе данного плана коэффициентов, вводится понятие контраста плана. Под контрастом понимается соотношение между элементами матрицы F, задающие элемент первого столбца матрицы F. Элементы первого столбца, всегда равные единице, обозначим символически через I. Для дробного факторного плана 23 -1, имеем следующий контраст (предполагается, что х.ixia = 1, а для плана 23 -1 генератор х3 = х1х2, поэтому х1х2х3 = 1):
I = х1х2х
Для дробного факторного плана 24-1 (если генератор х; = х1х2х3) контраст выражается соотношением
I = x1x2x3x4.
Чтобы определить, с какими факторами смешана оценка некоторого данного фактора, умножим обе части контраста на этот фактор, считая, что . При этом мы получим порядок смешивания оценок коэффициентов при использовании данного плана. Для дробного факторного плана 23-1 с контрастом I = x1x2x3 получаем следующий порядок смешивания для факторов х1, х2, х3:
Для оценок имеем соответственно:
Для дробного факторного плана 24 -1 с контрастом I = x1x2x3x4 получаем аналогично:
В зависимости от выбора генераторов получаются дробные факторные планы, обладающие различной разрешающей способностью. В соответствии с порядком контраста (числом элементов в контрасте) говорят о планах с разрешающей способностью III, если контраст состоит из трёх элементов, и IV, если контраст состоит из четырёх элементов. Если для дробного факторного плана 24 -1 в качестве генератора выбрано соотношение х1х2х3 и контраст соответственно представляется выражением I = x1x2x3x4, то этот план имеет разрешающую способность IV и обозначается через . Если, например, в качестве генератора выбрано соотношение х1х2, то план имеет контраст I = x1x2x4. Его разрешающая способность III и обозначается .
Дробные факторные планы с наибольшей разрешающей способностью называют главными. Этим планам следует отдавать предпочтение при использовании.
Если имеется несколько незначимых взаимодействий, можно ввести в план несколько дополнительных факторов. При этом число различных генераторов и контрастов, определённых так же, как и выше, будет таким же, как число дополнительных факторов. Чтобы определить порядок смешивания для этого случая, вводится обобщающий контраст, который строится из отдельных контрастов, а также произведений контрастов во всех возможных сочетаниях по 2, 3, …, p. При этом все произведения контрастов, так же как и сами контрасты, задают элементы первого столбца матрицы F.
Для дробного факторного плана 25-2, например, в качестве генераторов выбраны соотношения х4 = х1х3 и х5 = х1х2х Контрасты плана I = x1x3x4 и I = x1x2x3x5.
Для получения обобщающего контраста перемножим вышеуказанные контрасты и получим ещё один контраст I = x2x4x5. Обобщающий контраст при этом будет
I = x1x3x4 = x2x4x5 = x1x2x3x5.
Умножая все составляющие обобщающего контраста на факторы, находим совпадающие столбцы матрицы F:
х1 = х3х4 = х1х2х4х5 = х2х3х5,
х2 = х1х2х3х4 = х4х5 = х1х3х5,
х3 = х1х4 = х2х3х4х5 = х1х2х5,
х4 = х1х3 = х2х5 = х1х2х3х4х5,
х5 = х1х3х4х5 = х2х4 = х1х2х3,
х1х2 = х2х3х4 = х1х4х5 = х2х3,
х2х3 = х1х2х4 = х3х4х5 = х1х2.
Далее легко получить порядок смешивания оценок. Например, для имеем
Все, выше приведённые процедуры предназначены для того, чтобы при дробном факторном плане 2n -p получить информацию для выбора генераторов плана таких, при которых отсутствует смешивание оценок коэффициентов.
Если в модель входят функции вида (i = 1, 2,…, n), то столбцы матрицы F, соответствующие этим функциям, будут состоять из единиц. Эти столбцы совпадают со столбцом для х0 (т.е. для свободного члена уравнения). А это означает, что является смешанной оценкой для свободного члена и всех коэффициентов (i = 1, 2,…, n):
Пользуясь этим свойством, можно получить правило для проверки значимости квадратичных эффектов. Для этого проведём в центре плана n0 опытов и найдём значение :
Если квадратичные эффекты отсутствуют, т.е. , то
Отсюда следует, что, в случае, когда гипотеза отвергается, в модель необходимо включать функции вида .
Пусть дробный (или полный) факторный план содержит N = 2n -p точек, причём в каждой точке реализовано экспериментов. На основе параллельных опытов в каждой точке найдена оценка s2 дисперсии ошибок наблюдений с числом степеней свободы e (см. (2.54), (2.55)). Для проверки гипотезы можно воспользоваться величиной
которая при условии нормальности распределения и независимости ошибок наблюдений подчинена закону распределения Стъюдента (t - распределению) с числом степеней свободы e. Гипотеза отклоняется, если
(34)
где tкр - критическое значение распределение Стъюдента при выбранном уровне значимости и числе степеней свободы e (оценка дисперсии результатов единичного эксперимента связана с оценкой s2 дисперсии ошибок наблюдений соотношением ). Если гипотеза отвергается, в модель следует ввести квадраты факторов.
Вычислительные формулы и свойства планов 2n-p
Легко убедиться в том, что информационная матрица планов 2n-p, в случае, когда оценки всех коэффициентов не смешаны (т.е. матрица F не имеет совпадающих столбцов), имеет следующий вид:
M = FтF = 2n -p Ik+1 = N Ik+1. (35)
Для C получаем
(36)
Планы типа 2n-p являются, таким образом, ортогональными для моделей вида (33). Для вычисления оценок коэффициентов получаем формулы:
Здесь (k+1) - общее число коэффициентов модели (33). Из (39) следует, что все коэффициенты оцениваются с одинаковой точностью. Отметим, что планы типа 2n и 2n-p для моделей, содержащих взаимодействия, не являются рототабельными.
Как и, в случае линейных моделей, планы 2n-p для моделей вида (33) являются A-, D- и G-оптимальными, если областью планирования эксперимента является гиперкуб с координатами вершин принимающими значения 1. Эти свойства имеют место только в тех случаях, когда возможно получение несмешанных оценок всех коэффициентов модели.
Основная литература
1. Юрков Н.К. Технология производства электронных средств / Н.К. Юрков. Санкт-Петербург: Издательство `Лань`, 2014. 480 стр. http://e.lanbook.com/view/book/41019/.
2. Медведев А.М. Печатные платы. Конструкции и материалы / А. М. Медведев. М.: Техносфера, 2005. 302 с.
3. Медведев А.М. Технология производства печатных плат: / А. М. Медведев. М.: Техносфера, 2005. 358 с.
4. Медведев А.М. Сборка и монтаж электронных устройств / А. М. Медведев. М.: Техносфера, 2007. 255 с.
5. Пирогова Е. В. Проектирование и технология печатных плат. М.: издательство: Форум, Инфра-М, 2005. 560 с.
6. Грачев А.А. Конструирование электронной аппаратуры на основе поверхностного монтажа компонентов / А.А. Грачев, А.А. Мельник, Л.И. Панов. М.: НТ Пресс, 2006. 384 с.
7. Простатов И.Л. Планирование инженерного эксперимента.: учебное пособие / И.Л. Простатов. Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2004. 135 с.
8. Простатов И.Л. Планирование инженерного эксперимента.: учебное пособие / И.Л. Простатов. Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2004. 135 с.
9. Крючатов В.И. Автоматизированные системы технологического обеспечения качества при проектировании и серийном изготовлении высоконадежных тонкопленочных интегральных схем с резистивными элементами: Учебное пособие. Казань: ЗАО «Новое знание», 2013. 179 с.
10. Крючатов В.И. Составление плана контроля надежности аппарат-куры при известном и неизвестном законах распределения наработки аппарватуры на отказ: методическик указания к практическим занятиям / В.И. Крючатов. Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2001. 32 с.
Дополнительная литература
1. Технология и автоматизация производства радиоэлектронной аппаратуры: Учебник для вузов./И.П. Бушминский, О.Ш. Даутов, А.П. Достенко и др.; Под ред. А.П. Достенко, Ш.М. Чабдарова. М.: Радио и связь,1989. 624 с.: ил.
2. Управление качеством электронных средств: Учебник для ву-зов./ О.П. Глудкин, А.И. Гуров, А.И. Коробов и др.; Под ред. О.П.Глудкина. М.: Высш. шк., 1994. 414 с.: ил.
3. Хартман К., Лецкий Э., Шеффер В.И др. Планирование эксперимента в исследовании технологических процессов. / Под ред. Лецкого. М.: Мир, 1977г.
4. Леонов А.И., Дубровский Н.Ф., «Основы технической эксплуатации бытовой РЭА». М., Легпромбытиздат, 1991.
5. Ксенз С.П. «Диагностика и ремонтопригодность радиоэлектронных средств». М., 1989.
6. «Рекомендации. Аппаратура радиоэлектронная бытовая. Показатели и оценка ремонтопригодности и контролепригодности» Р-50-84-88, М, 1988.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Планирование эксперимента для описания зависимости показателя стойкости концевых фрез от геометрических параметров. Уровни факторов и интервалы варьирования. Применение неполной кубической функции. Использование полного факторного эксперимента.
практическая работа [38,6 K], добавлен 23.08.2015Планирование эксперимента и факторы параметра оптимизации. Математическая модель и матрица планирования, коэффициенты уравнения регрессии и абсолютная величина доверительного интервала. Имитационный эксперимент и дифференциальные уравнения колебаний.
курс лекций [240,8 K], добавлен 22.09.2011Методы планирования многофакторных экспериментов и преимущества их использования. Математическое планирование эксперимента и его основные направления. Пример применения метода дробного факторного эксперимента. Расчет коэффициентов уравнения регрессии.
курсовая работа [26,7 K], добавлен 13.05.2014Понятие, виды и методы планирования экспериментальных исследований. Предварительная обработка экспериментальных данных, компьютерные методы статистической обработки и анализ результатов пассивного эксперимента, оценка погрешностей результатов наблюдений.
книга [3,1 M], добавлен 13.04.2009Подавляющее большинство процессов реального мира носит линейный характер. Область, использования линейных моделей ограничена, в то же время для построения нелинейных моделей хорошо разработан математический аппарат. Методо МНК для линейной функции.
курс лекций [146,2 K], добавлен 06.03.2009Система линейных уравнений. Векторная алгебра, линейные операции для векторов, векторное (линейное) пространство. Случайные события и величины, плотность распределения вероятности, математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.
методичка [232,1 K], добавлен 18.05.2010Понятия и решения простейших дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений произвольного порядка, в том числе с постоянными аналитическими коэффициентами. Системы линейных уравнений. Асимптотическое поведение решений некоторых линейных систем.
дипломная работа [395,4 K], добавлен 10.06.2010Построение математической модели технологического процесса напыления резисторов методами полного и дробного факторного эксперимента. Составление матрицы планирования. Рандомизация и проверка воспроизводимости. Оценка коэффициентов уравнения регрессии.
курсовая работа [694,5 K], добавлен 27.12.2021Понятие и сущность определителей второго порядка. Рассмотрение основ системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Изучение определителей n–ого порядка и методы их вычисления. Особенности системы из n линейных уравнений с n неизвестными.
презентация [316,5 K], добавлен 14.11.2014Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка, общий вид. Линейная зависимость векторов и функций. Определитель Вронского, практические примеры его нахождения. Неоднородные уравнения второго порядка, теорема и доказательство, решение.
презентация [272,9 K], добавлен 17.09.2013Производные основных элементарных функций. Правила дифференцирования. Условия существования и единственности задачи Коши. Понятие дифференциальных уравнений, их применение в моделях экономической динамики. Однородные линейные ДУ первого и второго порядка.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 22.10.2014Вычисление среднего одномерных случайных величин. Определение доверительного интервала для математического ожидания и для дисперсии. Построение эмпирической и приближенной линий регрессии Y по X. Дисперсионный анализ греко-латынского куба второго порядка.
курсовая работа [698,0 K], добавлен 08.05.2012Метод планирования второго порядка на примере В3-плана. Получение и исследование математической модели объекта в виде полинома второго порядка. Статистический анализ полученного уравнения и построение поверхностей отклика. Расчет коэффициентов регрессии.
курсовая работа [128,4 K], добавлен 18.11.2010Параллельные методы решения систем линейных уравнений с ленточными матрицами. Метод "встречной прогонки". Реализация метода циклической редукции. Применение метода Гаусса к системам с пятидиагональной матрицей. Результаты численного эксперимента.
курсовая работа [661,7 K], добавлен 21.10.2013- Свойства и особенности ортогонального проецирования, используемые при разработке графических моделей
Условия отображения формы и размеров геометрического объекта при его моделировании. Виды проецирования, используемые при разработке графических моделей. Свойства ортогонального проецирования, отображение на комплексном чертеже точки, прямой и плоскости.
реферат [1,2 M], добавлен 01.04.2011 Обзор применения аппарата разностных уравнений в экономической сфере. Построение моделей динамики выпуска продукции фирмы на основе линейных разностных уравнений второго порядка. Анализ модели рынка с запаздыванием сбыта, динамической модели Леонтьева.
практическая работа [129,1 K], добавлен 11.01.2012Исследование экономических задач методами дифференциального исчисления. Изучение экономических систем с помощью линейных балансовых моделей, сетевое планирование и управление. Эластичность производственных функций, элементы линейного программирования.
методичка [418,9 K], добавлен 10.11.2015Теория определителей в трудах П. Лапласа, О. Коши и К. Якоби. Определители второго порядка и системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Определители третьего порядка и свойства определителей. Решение системы уравнений по правилу Крамера.
презентация [642,7 K], добавлен 31.10.2016Признаки некоторых четырехугольников. Реализация моделей геометрических ситуаций в средах динамической геометрии. Особенности динамической среды "Живая геометрия", особенности построения в ней моделей параллелограмма, ромба, прямоугольника и квадрата.
курсовая работа [862,0 K], добавлен 28.05.2013Первые упоминания о правильных многогранниках. Классификация многогранников, их виды, свойства, теоремы о развертках выпуклых многогранников (Коши и Александрова). Создание моделей правильных многогранников с помощью разверток и методами оригами.
курсовая работа [2,8 M], добавлен 18.01.2011
