Методы вычисления площади плоских фигур

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ

ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«ИВАНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Шуйский филиал ИвГУ

Направление подготовки: 44.03.05 Педагогическое образование

Направленность (профиль) образовательной программы: Математика; Экономика

Кафедра математики, физики и методики обучения

КУРСОВАЯ РАБОТА по математическому анализу на тему:

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ ПЛОСКИХ ФИГУР

Курсовую работу выполнила: студентка 2 курса очной формы обучения факультета технологии, экологии и сервиса

Крупина Анастасия Владимировна

Руководитель курсовой работы: Заведующий кафедрой, доктор физико-математических наук, доцент, почетный работник высшего профессионального образования РФ Кашицын Александр Станиславович

Шуя 2017



Содержание

плоский фигура площадь задача

Глава 1. Теоретические основы вычисления площади плоских фигур

1.1 Площадь плоской фигуры

1.2 Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат

1.3 Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной в параметрической форме

1.4 Площадь криволинейного сектора в полярной системе координат

1.5 Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла

Глава 2. Применение методов вычисления площади плоской фигуры

2.1 Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат

2.2 Вычисление площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной в параметрической форме

2.3 Вычисление площади криволинейного сектора в полярной системе координат

2.4 Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла

Список литературы

Приложение



Введение

Зарождение знаний, связанных с нахождением площадей фигур, восходит к глубокой древности, и было обусловлено практическими потребностями человеческой деятельности. Вопрос о нахождении площадей произвольных поверхностей волновал умы многих великих математиков. Этой проблемой занимались такие великие древние учёные, как Архимед и Гиппократ. Важные постулаты, связанные со свойствами и отношениями площадей фигур, были сформулированы в «Началах» Евклида. Изопериметрические задачи, в которых отыскивается фигура с экстремальным свойством среди других фигур с равным периметром, рассматривал древнегреческий математик Зенодор (II-I вв. до н.э.), который утверждал, что:

1) из всех многоугольников с равным периметром и равным числом сторон наибольшую площадь имеет правильный многоугольник;

2) из двух правильных многоугольников с равным периметром большую площадь имеет тот, у которого число углов больше;

3) из всех плоских фигур с равным периметром наибольшую площадь имеет круг. Строгое доказательство третьего утверждения Зенодора было доказано только в XVIII веке знаменитым математиком Л. Эйлером.

Исторически сложились два подхода к решению геометрических задач, относящихся к вычислению площадей прямолинейных фигур, то есть с помощью:

1) метода разложения (разбиения), который основывался на понятии равновеликости и равно-составленности. Суть метода заключалась в том, что фигуру разбивали на конечное число частей, чтобы из этих частей можно было составить более простую фигуру, площадь которой можно было найти. То есть искомую фигуру приводили к равновеликому квадрату и площадь этой фигуры сравнивали с квадратом.

2) метода дополнения (или позже названого аналитическим), суть которого заключалась в том, что рассматриваемые фигуры дополняли до равных между собой фигур. С помощью данного метода были доказаны многие теоремы, в том числе и теорема Пифагора[4].

Важную роль в поиске решений задач измерения площадей отводится «методу исчерпания», о котором впервые заговорил древнегреческий математик Евдокс, а затем идея была подхвачена и развита Архимедом. Метод заключался в следующем: для нахождения площади некоторой фигуры в эту фигуру вписывалась монотонная последовательность других фигур и доказывалось, что их площади неограниченно приближаются к площади искомой фигуры. Затем вычислялся предел последовательности площадей. Таким образом, метод заложил основы современной теории пределов в математике. Архимед, использующий данный метод для расчёта площадей парабол и приближенного расчёта площади круга,смог его значительно усовершенствовать и виртуозно применить для многих новых открытий. В частности, он обнаружил следующее:

площадь поверхности сферы равна учетверённой площади большого круга этой сферы;

площадь сегмента параболы, отсекаемого от неё прямой, составляет 4/3 от площади вписанного в этот сегмент треугольника;

объём шара составляет 2/3 объёма описанного вокруг него цилиндра[4].

Метод исчерпывания Архимеда, связанный с применением предельного перехода, хотя и не дал общего способа вычисления площади, но сыграл очень важную роль в математике. Представляя собой, по существу, прототип интегрирования, он явился одним из отправных пунктов создания новой теории дифференциального и интегрального исчисления.

Исследование частных приемов вычисления площадей в работах Ньютона, Лейбница привели к новому методу познания механических и физических процессов, который стал основой нового исчисления. Окончательную завершенную форму интегральное исчисление получило в работах Коши, Римана, Лебега и др. Таким образом, новое интегральное исчисление во многом формировалось благодаря решению традиционной задачи нахождения площадей криволинейных фигур.

Всё вышеизложенное говорит о том, задачи нахождения площадей фигур представляют ценность и интерес с разных точек зрения:

- Историческая ценность в том, что потребность в землемерении на раннем этапе, фактически, обусловила возникновение геометрии, а позже благодаря решению традиционной задачи нахождения площадей криволинейных фигур сформировалось дифференциальное и интегральное исчисление - фундамент математической науки.

- Исключительная научно-математическая ценность - в том, что разработанный инструментарий применим для решения целого класса математических задач. Ньютон подчеркивал, что все задачи - о длине кривых, объемах и поверхностях тел, положениях центров тяжести и др. могут быть сведены к задаче нахождения площади, ограниченной плоской кривой [18].

- Прикладная ценность чрезвычайно велика: тема измерения площадей была актуальна во все времена, разработанные математикой методы находят приложения в разных областях астрономии, механики, оптики и др. Без знаний о площадях многоугольников невозможно представить развитие архитектуры и дизайнерского искусства. В настоящее определение площади конкретной местности - необходимое условие при составлении кадастрового учета, мелиоративных мероприятий, строительных работах. Тема находит большое приложение в экономике и инженерной деятельности (например, в задачах об оптимальном раскрое материала). Поэтому освоение методов вычисления площадей плоских фигур является необходимым компонентом подготовки специалистов различного профиля.

Нельзя игнорировать развивающую и воспитательную ценность данной темы. Как своеобразная грань науки и математической культуры задачи нахождения площадей и методы их решения формируют мировоззренческие ориентиры и средства познавательной деятельности, способствуют развитию математического, логического, алгоритмического стиля мышления.

Цель работы - обобщение, систематизация и анализ теоретического материала по теме работы, разработка и решение цикла математических задач.

Для достижения данной цели необходимо решить следующие задачи:

Провести теоретическое осмысление специально-математической, педагогической и учебно-методической литературы.

Выявить методы нахождения площадей плоских фигур в зависимости от заданных условий.

Выделить типологии задач на нахождение площадей и обосновать применение метода решения к ним.

Разработать цикл практических задач.

Разработать задачи прикладного характера и выполнить их решение.

Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложения. Во введении проведен краткий исторический обзор развития темы нахождения площадей фигур, сформулированы основные характеристики исследования: актуальность, цель, задачи. Глава I раскрывает теоретические основы вычисления площадей плоских фигур: понятие площади, его свойства, методы вычислений. В главе II представлены различные задачи и их решение. Выделены основные типы задач, решаемые методом интегрального исчисления. В заключении сформулированы основные результаты и выводы выполненной работы. Список литературы содержит 22 наименования. В приложении представлены наиболее распространенные типы задач на нахождение площадей различных фигур с указанием алгоритма решения.



Глава 1. Теоретические основы вычисления площади плоских фигур

1.1 Площадь плоской фигуры

Для введения понятия площади плоской фигуры будем отправляться от специального частного вида плоских фигур, так называемых многоугольных фигур.

Многоугольной фигурой на плоскости будет называться множество, составленное из конечного числа лежащих на этой плоскости ограниченных многоугольников[10]. В последующем мы станем обозначать символом (P) площадь многоугольной фигуры

Площадь многоугольной фигуры является неотрицательным числом, обладающим следующими тремя свойствами:

1. Аддитивность. Если 1и 2 - две многоугольные фигуры без общих внутренних точек и символ 12 означает объединение этих фигур, то

(1.1)

2. Инвариантность. Если многоугольные фигуры 1 и 2 равны между собой, то

(1.2)

3. Монотонность. Если многоугольная фигура 1 содержится в многоугольной фигуре 2, то

Заметим, что свойство монотонности является логическим следствием свойства аддитивности и свойства неотрицательности площади. В самом деле, если 1 содержится в 2 , то 2 = 1(21) , а потому в силу того , что 1 и Р2\Р1 не содержат общих внутренних точек, и в силу свойства аддитивности. Остается заметить, что .

Замечание. Полезно подчеркнуть , что площадь многоугольной фигуры естественно считать равной одному и тому же числу, независимо от того, с границей или без границы рассматривается эта многоугольная фигура. При рассмотрении разности двух многоугольных фигур 2 можно договориться считать фигуру 2 взятой с границей , а фигуру 1взятой без границы. При такой договоренности разность 21 будет представлять собой некоторую многоугольную фигуру, взятую с границей[10].

Перейдем теперь к определению площади некоторой произвольной плоской фигуры (т.е. некоторого произвольного ограниченного множества точек плоскости).

Рассмотрим всевозможные многоугольные фигуры , целиком содержащиеся в , и многоугольные фигуры целиком содержащие Фигуры будем называть вписанными, а фигуры - описанными. Числовое множество площадей всех вписанных многоугольных фигур ограниченно сверху (например, площадью любой описанной многоугольной фигуры ) . Числовое множество площадей всех описанных вокруг фигуры многоугольных фигур ограниченно снизу (например, нулем). Поэтому существуют точная верхняя грань

(1.3)

площадей всех многоугольных фигур, вписанных в фигуру, и точная нижняя грань

(1.4)

площадей всех многоугольных фигур, описанных вокруг фигуры

Заметим, что если в фигуру нельзя вписать ни одного многоугольника, то по определению полагается .Величину называют нижней площадью фигуры F , а - верхней площадью этой фигуры. Из того, что площадь любой вписанной фигуры не больше, чем площадь любой описанной фигуры, следует, что

.

Определение 1. Плоская фигура называется квадрируемой (или имеющей площадь), если верхняя площадь этой фигуры совпадает с ее нижней площадью . При этом число называется площадью фигуры

Ясно, что всякая многоугольная фигура является квадрируемой в смысле данного нами определения и для нее площадь , являющаяся точной нижней гранью площадей многоугольных фигур и точной верхней гранью площадей вписанных фигур, совпадает с исходной величиной площади, заимствованной из элементарного курса. Таким образом, мы распространили понятие площади многоугольников на некоторый более широкий класс фигур. Сохранение свойств аддитивности, инвариантности и монотонности будет доказано ниже. Начнем с доказательства следующего критерия квадрируемоести плоской фигуры.

Теорема 1. Для квадрируемсти плоской фигуры необходимо и достаточно, чтобы для любого нашлись такая описанная вокруг многоугольника фигура и такая вписанная в многоугольная фигура , для которых(1.5)

Доказательство необходимости. Пусть фигура квадрируема, т.е. . По определению точных граней (1.3) и (1.4) для любого фиксированного нами найдутся вписанная многоугольная фигура и описанная многоугольная фигура такие, что

, .

Из этих неравенств и из равенств заключаем, что . Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть для любого существуют многоугольные фигуры и указанные в формулировке теоремы. Тогда из неравенств (1.5) и из соотношений получаем, что

.

Поскольку произвольное положительное число, то из условия вытекает, что , т.е. доказано, что фигура квадрируема. Теорема доказана.

Теорема1 допускает простое, но важное обобщение: в ее формулировке вместо описанной и вписанной многоугольных фигур и можно взять произвольные описанную и вписанную квадрируемые плоские фигуры и

Теорема 2. Для квадрируемости плоской фигуры необходимо и достаточно, чтобы для любого нашлись такие содержащие квадрируемая плоская фигура и такая содержащая в квадрируемая плоская фигура , для которых .

Необходимость доказательства не требует, либо многоугольные фигуры и являются квадрируемыми.

Докажем достаточность.

Фиксируем произвольное и построим по нему квадрируемые плоские фигуры и , первая из которых содержит а вторая содержится в такие, что (1.6)

Так как - квадрируемые плоские фигуры, то найдется многоугольная фигура , содержащая и многоугольная фигура , содержащаяся в, такие, что , .Из двух последних неравенств и из (1.6) вытекает, что . Но тогда, поскольку многоугольная фигура содержит а многоугольная фигура содержится в, фигура квадрируема в силу теоремы 1.

Установим теперь еще одну эквивалентную формулировку теоремы 1.

Пусть произвольная плоская фигура, многоугольная фигура, взятая вместе с границей и содержащая фигуру а многоугольная фигура, содержащаяся в фигуре и взятая без границы. Тогда разность представляет собой многоугольную фигуру, взятую вместе с границей и содержащую все точки фигуры В силу свойства аддитивности площади многоугольной фигуры справедливо равенство , из которого следует, что неравенство (1.5) в формулировке теоремы 1 может быть переписано в виде

(1.7)

Определение 2. Множество точек плоскости назовем множеством площадь нуль, если оно содержится в многоугольной фигуре сколь угодно малой площади. Неравенство (1.7) и тот факт, что многоугольная фигура содержит все точки границы плоской фигуры дают нам право переформулировать теорему 1.

Теорема 3. Плоская фигура квадрируема тогда и только тогда, когда ее граница имеет площадь нуль.

Необходимость условия теоремы очевидна.

Остановимся на доказательстве достаточности.

Впишем плоскую фигуру в квадратсо сторонами, параллельными координатным осям, и прямыми, параллельными этим осям, разобьем квадрат на элементарные квадраты со стороной. Это разбиение квадрата будем называть сеткой с шагом

Докажем сначала, что если граница фигуры содержится в многоугольной фигуре площади, меньшей , то при достаточно малом шаге сетки граница фигуры содержится в объединении элементарных квадратов сетки, общая площадь которых меньше

Итак, многоугольная фигура площади, меньшей содержится в объединении конечного числа квадратов со сторонами, параллельными координатным осям общей площади , меньшей Из указанного конечного числа квадратов выберем квадрат с наименьшей стороной и возьмем шаг сетки равным половине длины стороны этого квадрата.

При таком выборе каждый указанный квадрат будет содержаться в объединении элементарных квадратах сетки, общая площадь которая не больше площади учетверенной площади квадрата. Поэтому вся многоугольная фигура площади, меньшей е, содержится в объединении элементарных квадратов сетки, общая площадь которых меньше

Значит, если граница плоской фигуры имеет площадь нуль, то для любого при указанном выше выборе шага сетки вся эта граница будет содержаться в объединении элементарных квадратов сетки, общая площадь которых меньше

Для завершения доказательства достаточности заметим, что объединение всех элементарных квадратов, состоящих только из внутренних точек фигуры представляет собой многоугольную фигуру , содержащуюся в , а объединение этой фигуры со всеми элементарными квадратами сетки, содержащими точки границы фигуры представляет собой многоугольную фигуру , содержащую фигуру , причем

.

Пользуясь этой теоремой, установим квадрируемость широкого класса плоских фигур. Докажем следующую лемму.

Лемма. Всякая спрямляемая кривая имеет площадь нуль.

Доказательство. Пусть спрямляемая кривая, ее длина. Разобьем эту кривую с помощью точек на части, длина каждой из которых равна . Примем каждую из этих точек за центр квадрата со стороной Сумма этих квадратов представляет собой многоугольную фигуру, описанную вокруг кривой , а площадь этой многоугольной фигуры не превосходит суммы площадей, составляющих ее квадратов, т.е. числа . Так как фиксировано, а можно выбирать произвольно большим, то число может быть сделано меньшим любого наперед заданного числа . Следовательно, кривуюдействительно можно заключить внутрь многоугольной фигуры сколь угодно малой площади. Лемма доказана.

Из этой леммы вытекает следующая теорема.

Теорема 4. Всякая плоская фигура, граница которой состоит из одной или нескольких спрямляемых кривых, квадрируема.

Покажем теперь, что введенное нами понятие площади плоской фигуры обладает свойствами аддитивности, инвариантности и монотонности. Убедимся сначала в аддитивности площади. Пусть 1 и 2 - квадрируемые фигуры без общих внутренних точек и их объединение. Тогда квадрируема и

(1.8).

Квадрируемость фигуры следует из того, что ее граница составлена из множества площади нуль, поскольку является частью объединения границ и фигур 1 и 2 .

Докажем справедливость равенства (1.8). Рассмотрим многоугольные фигуры 1и 2 , вписанные в 1 и 2 соответственно, и многоугольные фигуры 1 и 2 , описанные соответственно вокруг 1 и 2. Фигуры 1 и 2 составляют фигуру и не имеют общих внутренних точек . Поэтому , согласно (1.1), .

Многоугольные фигуры 1 и 2 , возможно, пересекающиеся, в сумме составляют многоугольную фигуру , площадь которой не превосходит . Поэтому 

.

С другой стороны, в силу определения квадрируемость, для фигур 1 и 2 справедливы неравенства и , из которых следует, что .

Таким образом, обе величины и заключены между двумя числами и , разность между которыми может быть сделана как угодно малой. Следовательно, указанные две величины равны, т.е. равенство (1.8) справедливо.

Свойство инвариантности площади произвольной плоской фигуры непосредственно вытекает из инвариантности площади для многоугольных фигур (1.2) и из самого способа определения площади квадрируемой фигуры через площади многоугольных фигур.

Наконец, свойство монотонности площади непосредственно вытекает из определения квадрируемости плоской фигуры.

Замечание. Пересечение двух квадрируемых фигур есть квадрируемая фигура.

Действительно, пусть , и 1и2квадрируемы. Каждая точка, граничная для является граничной либо для 1 , либо для 2. Поэтому наше утверждение следует из того факта, что объединение двух множеств площади нуль само имеет площадь нуль.

Введенное в этом пункте понятие площади называют понятием площади по Жордану или мерой Жордана.

Выше мы убедились, что площадь по Жордану обладает свойством аддитивности, т.е. если =12, а 1 и 2 - квадрируемые фигуры без общих точек, то квадрируема и . Указанное свойство, очевидно, справедливо и для объединения любого конечного числа 1, 2,..,nквадрируемыхфигур без общих внутренних точек. Если , то квадрируема и ( свойство конечной аддитивноти).

Однако площадь по Жордану (мера Жордана) не обладает свойством счетной аддитивности, т.е. объединение счетной совокупности квадрируемых фигур 1, 2, … без общих внутренних точек не обязано быть квадрируемой фигурой[10].

Проиллюстрируем этот факт примером. Рассмотрим на плоскости квадрат . Отметим в квадрате точки, у которых обе координаты рациональны. Нетрудно показать, что таких точек счетное множество. Разложим их в виде последовательности

.

Фиксируем число и построим круг1с центром в точке 1 радиуса 1, целиком содержащийся в квадрате

Первую из точек 2,3,…, не попавшую в круг 1 , обозначим через n, и построим круг 2 с центром в точке n, радиуса , не пересекающийся с кругом 1 и целиком лежащий в квадрате Продолжая эти рассуждения далее, мы построим последовательность, содержащихся в квадрате непересекающихся кругов 1,2,…,n ,… радиусов 1,2,...,n,… .Каждый из этих кругов квадрируем и имеет площадь (Меру Жордана) , равную n2

Убедимся в том, что объединение счетного числа указанных кругов представляет собой фигуру, неквадрируемую по Жордану. Пусть любая многоугольная фигура, содержащая фигуру Заметим, что в любой е-окрестности каждой точки квадрата D есть точки последовательности nт.е. есть точки фигуры. Но это означает, что любая точка квадрата является внутренней либо граничной точкой фигуры, т.е. многоугольная фигура содержит весь квадрат и значит,

.

Пусть, далее, любая многоугольная фигура, содержащаяся в Тогда площадь не превосходит сумму площадей всех кругов 1,2,…, т.е. .

Итак, и для любой многоугольной фигуры содержащеНо это и означает, что при малом разность больше и не может быть сделана как угодно малой, т.е. фигура не квадрируема по Жордану.

Итак, объединение, пересечение, а также разность квадрируемых фигур есть квадрируемая фигура.

Выделим условия квадрируемых фигур, наиболее часто применяемых при вычислении площадей.



Рис. 1.1 Фигура квадрируема, если она ограничена непрерывными линиями, являющимися частями графиков функций y = f(x) и x = g(y).

Рис. 1.2 Фигура квадрируема, если она ограничена гладкими кривыми. То есть, часть границы может быть задана параметрически.

Рис. 1.3 Фигура квадрируема, если она ограничена простыми замкнутыми кривыми, начало которых совпадает с концом (наиболее часто задаются в полярной системе координат).



1.2 Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат

Из курса планиметрии известны площади основных простейших фигур - круга, треугольника, прямоугольника, параллелограмма, трапеции. Для вычисления площадей более сложных фигур можно прибегать к интегральному исчислению.

Рассмотрим задачу о вычислении площади криволинейной трапеции.

Определение. Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и не меняет знак на нем (то есть, неотрицательная или неположительная). Фигуру G, ограниченную линиями y=f(x), y = 0, x = a и x = b, называют криволинейной трапецией.

Подойдем к задаче вычисления площади криволинейной трапеции следующим образом. Из пункта 1.1 заключаем, что криволинейная трапеция является квадрируемой фигурой.

Рис. 1.4 Криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции y = f(x), осью 0x и вертикальными прямыми x = a, x = b.

Разобьем интервал [a,b] на n элементов и проведем через точки деления вертикальные линии, разделяя область криволинейной трапеции на ряд полос.



Рис. 1.5 Разбиение криволинейной трапеции на вертикальные полосы.

Промежуток [a,b] разделен на пять частей, чтобы ступеньки были хорошо видны. Заменим теперь криволинейную фигуру ступенчатой фигурой, образованной прямоугольниками, основание каждого из которых совпадает с основанием соответствующей полосы, а в качестве высоты выступает наименьшая ордината графика функции y = f(x) (см. рисунок 1.5).

Рис. 1.6 Аппроксимация криволинейной трапеции ступенчатой фигурой, составленной из прямоугольников, высоты которых равны наименьшим значениям функции f(x) на соответствующих промежутках.

Сумма площадей прямоугольников, изображенных на рисунке 1.6, дает нижнюю границу площади S криволинейной трапеции:

где - точка с наименьшим значением функции f(x) на промежутке

Сумма называется нижней интегральной суммой или нижней суммой Дарбу. Аналогичным образом можно сформировать ступенчатую фигуру, высоты прямоугольников которой равны наибольшим ординатам графика функции y = f(x) в пределах соответствующих полос.

Рис. 1.7 Аппроксимация криволинейной трапеции ступенчатой фигурой, составленной из прямоугольников, высоты которых равны наибольшим значениям функции f(x) на соответствующих промежутках.

Верхняя граница площади криволинейной трапеции описывается формулой

где - точка с наибольшим значением функции f(x) на промежутке Сумма называется верхней интегральной суммой или верхней суммой Дарбу. Очевидно, что Smin ? S ? Smax(1/8)

С увеличением числа элементов разбиения интервала [a,b] суммы Дарбу и более точно аппроксимирует площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y = f(x) , снизу - осью 0x, а с боков - вертикальными отрезками прямых x = a и x = b. При безграничном убывании всех разность между наименьшим и наибольшим значениями функции f(x) на каждом промежутке стремится к нулю и, следовательно,

Другими словами, выбор точки на промежутке не оказывает влияния на конечный результат. Таким образом,

где - произвольная точка промежутка Предельное значение суммы вида (1.10) обозначаются символическим выражением

и называется определенным интегралом от функции f(x) по промежутку [a,b]. Если существует предел (1.11), то говорят, что функция f(x) является интегрируемой на промежутке [a,b]. При этом величины a и b называют соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

Согласно вышеизложенному, определенный интеграл от положительно определенной функции f(x) по промежутку [a,b] может интерпретироваться как площадь плоской фигуры, образованной графиком функции y = f(x), отрезком [a,b] и вертикальными отрезками прямых (которые могут вырождаться в точки). То есть, вычислив определенный интеграл, мы найдем площадь фигуры, ограниченной линиями . В этом и состоит геометрический смысл определенного интеграла.

Фигуры, ограниченные линиями ), где функция непрерывна и не меняет знак на отрезке [c; d], также являются криволинейными трапециями (рис. 1.8.). Геометрический смысл определенного интеграла состоит в том, что его значение равно площади криволинейной трапеции для непрерывной и неотрицательной функции x=g(y) на отрезке [c;d].

Рис. 1.8 непрерывна и не меняет знак на отрезке [c; d], также являются криволинейными трапециями

Ряд важных свойств.

Свойство1. Если на некотором промежутке график функции y = f(x) расположен ниже оси 0x, то интеграл на этом промежутке принимает отрицательное значение. То есть, если функция на отрезке то , тогда площадь криволинейной трапеции будет равна

Также справедливо S(G) = - для непрерывной и неположительной функции x= g(y) на отрезке [c;d].

Свойство2. В случае, когда конечное число раз меняет знак на отрезке , площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой прямыми, будет состоять из суммы интегралов, взятых со знаком «+» если функция на соответствующем отрезке, и со знаком «-» если функция на соответствующем отрезке. Например, площадь может быть равна

,

если функция f(x) положительна на отрезках a12,b] и отрицательна на отрезке

Свойство3. Вычислим площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми ), y = g(x), прямыми причемна отрезке (рис. 1.9). Тогда

Рис.1.9 площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми y = f(x), y = g(x), прямыми x = a, x = b, причем g(x) > f(x)на отрезке [a, b]

Свойство 4. Вычислим площадь плоской фигуры, ограниченной на отрезке кривой , на отрезке кривой y, причем и прямыми (рис. 1.10). Получим



S =

Рис. 1.10 площадь плоской фигуры, ограниченной на отрезке кривой , на отрезке кривой y, причем и прямыми

Данные свойства показывают методы нахождения площадей для различных плоских фигур различные случаи нахождения. Классы таких задач с указанием формулы для их решения представлены в Приложении.

1.3 Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной в параметрической форме

Пусть криволинейная трапеция ограничена замкнутой кривой, заданной параметрическим уравнением

.

Пусть эта параметрическая функция определяет явную функцию



, тогда

1.4 Площадь криволинейного сектора в полярной системе координат

Полярная система координат задается началом координат -- точкой и полярной полуосью, выходящей из точки . Координаты точки M на плоскости задаются длиной радиуса-вектора и углом наклона радиуса-вектора к полярной оси. Рассмотрим кривую, заданную непрерывной функциейв полярной системе координат.

Найдем площадь криволинейного сектора ограниченного кривойи радиус-векторами (рис.1.11).

Рис. 1.11 площадь криволинейного сектораограниченного кривойи радиус-векторами

1. Разобьем данный сектор радиус-векторами

2. Обозначим углы между радиус-векторами.

3. Возьмем угол

4. Вычислимдлину радиус-вектора, соответствующего углу

5. Вычислим площадь кругового сектора с радиусом и углом .

6. Составим интегральную сумму

,

Которая дает площадь ступенчатого сектора.

Посколькунепрерывная функция, то существует предел интегральной суммы

.

Таким образом, площадь криволинейного сектора равна .

1.5 Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла

Если D - ограниченная область плоскости , то ее площадь S вычисляется по формуле



т.е. если в области D подинтегральная функция , то значение интеграла численно равно площади области .

Площадь плоской фигуры в полярной системе координат вычисляется по формуле:

S =

D

где область интегрирования D ограничена лучами ц=б, ц=в (б<в)) и непрерывными, однозначными на [б;в] линиями r=r1(ц) и r=r2(ц) (r1(ц) <r2(ц)

Выводы к главе 1

Таким образом, высказанный во введении тезис о том, что метод вычисления площадей плоских фигур приводит к понятию интеграла и непосредственно связан с интегральным исчислением, находит свое логическое продолжение и теоретическое обоснование в первой главе.

Рассматривая теоретические основы нахождения площадей плоских фигур, мы определили понятие площади плоской фигуры, ее квадрируемости, дали понятие криволинейной трапеции. Выяснили, что площадь - это единственная функция, определенная на классе квадрируемых фигур и обладающая свойствами аддитивности, инвариантности, монотонности и нормированности.

Было показано, что к понятию определенного интеграла, который и интерпретируется как площадь криволинейной трапеции, приходят путем аппроксимации ступенчатыми фигурами, составленными из прямоугольников.

Также в первой главе были выведены формулы и алгоритмы нахождения площадей:

-криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной в параметрической форме;

-криволинейного сектора в полярной системе координат;

-плоских фигур с помощью двойного интеграла.

Выделенные свойства площадей, условия квадрируемости и свойства определенных интегралов в своей совокупности дают конкретный инструментарий и алгоритм для нахождения площадей плоских фигур определенных типов. Эти типы задач обобщены, систематизированы в Приложении.

Примеры решения задач с использованием выявленного математического инструментария будут представлены в следующей главе.



Глава 2. Применение методов вычисления площади плоской фигуры

2.1 Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат

Пример 1. Вычислить площадь фигуры , ограниченной синусоидой и осью, при (рис.2.1).

Решение. Так как прии при ,

,

,

.

Следовательно, .

Рис.2.1

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у = x2 -6x+5 и осью абсцисс.

Решение. На рис. 2.2 приведена плоская фигура, ограниченная параболой, вершина которой находится в точке (3, -4) , и осью ОХ . Парабола пересекает ось ОХ в точках с координатами (1,0) и (5,0) . Площадь этой фигуры, равна

S = - = - x3 -3x2+5x)|15=

= - (125/3 - 3.25+25)+(1/3 -3+5) ?10, 67

Рис.2.2

Пример 3. Найти площадь фигуры (рис. 2.3), ограниченной кривыми Найдем точки пересечения кривых

Получим . Тогда

Рис.2.3

Пример 4. Найдём площадь фигуры, ограниченной линиями

y1 , y2 =, x=, x=

Нарисуем заданную фигуру и найдем точку пересечения графиков функций у1 и у2. Получаем уравнение: х=или х2 + х - 2 = 0. На промежутке [0; 2] это уравнение имеет единственный корень х = 1. Найдем площадь заштрихованной фигуры:

Рис. 2.4

Вычисление площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной в параметрической форме

Пример 5. Вычислить площадь области, ограниченной эллипсом

, .

Решение. Вычислим площадь верхней половины эллипса и удвоим.

Здесь изменяется от , следовательно, изменяется от до ,



Рис.2.5

Пример 6. Вычислить площадь эллипса, заданного параметрически:

.

Решение. Выберем ту часть эллипса (рис.2.6), которая расположена в первом квадрате. Точке соответствует значение , а точке -- значение . Поэтому



Рис.2.6

Вычисление площади криволинейного сектора в полярной системе координат

Пример7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой (рис. 2.7). Эта фигура -- двухлепестковая роза, площадь будем искать по наименьшей симметричной части.

(рис.2.7)

Тогда .

Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла

Пример 8.С помощью двойного интеграла, вычислить площадь плоской фигуры , ограниченной линиями ,

Решение. Построим параболы, для чего представим параболу в виде двух функций: - верхняя ветвь и - нижняя ветвь.

Аналогично, представим параболу в виде верхней и нижней ветвей.

Рис. 2.8

Площадь фигуры вычислим с помощью двойного интеграла по формуле:

Выберем первый способ обхода области и разделяя данную область на две части.



Выразим обратные функции:y2 =2x+4, отсюда x=1/2у2 -2

у2= -1/2x +4, отсюда x=8 -2у2

Вычислим двойной интеграл 2-м способом решении, выбирая другой обход области:y2/2 - 2 ?x? 8-2 у2-2?y?2

Таким образом:

Результат подставляем во внешний интеграл:

Выводы по главе 2

Таким образом, во второй главе нашло отражение практическое применение методов, выявленных в процессе теоретического анализа темы. Формат курсовой работы не позволяет продемонстрировать большое количество примеров, в этой связи нами были выбраны основные типовые задачи, среди которых вычисления:

- площадей фигур различной конфигурации в прямоугольной системе координат;

- площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной в параметрической форме

- площади криволинейного сектора в полярной системе координат

- площади фигуры с помощью двойного интеграла

Был определен алгоритм работы при вычислении площадей: построение ограничивающих линий, нахождение точек пересечения, анализ полученной фигуры, применение нужной формулы для нахождения площадей. Работа показала необходимость освоения навыков вычисления определенных интегралов, кратных интегралов, а также наличия знаний из различных областей математики.



Заключение

Таким образом, в данной курсовой работе тема «Методы вычисления площадей плоских фигур» получила освещение с разных сторон: исторического обзора ее развития, теоретического обоснования разработанных в математике методов и их практического применения.

В соответствии с поставленными целями и задачами в работе было реализовано следующее:

-представлены основные теоретические положения, связанные с методами нахождения площадей плоских фигур,

- обобщены и систематизированы различные методы решения в зависимости от формы фигуры, способов задания ограничивающих линий, систем координат (декартовой и полярной), применяемых понятий (определенный интеграл, двойной интеграл). Обобщение методов нашло отражение в составленном приложении

- показано использование выделенных методов на конкретных задачах нахождения площадей фигур средствами интегрального исчисления.

Выявленный инструментарий решения задач на нахождение площадей плоских фигур еще раз убеждает в его исключительной важности и актуальности. Математический аппарат и математические методы позволяют решать широкий круг задач, связанный с вычислением площадей.



Список литературы

1. Алимов Ш.А.и др. Алгебра и начала математического анализа для 10-11 кл. М.: Просвещение,3-е изд., М.: Просвещение, 2016. - 464 с

2. Архипов Г.И.,Садовничий В.А. Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу,Изд.: М., Высшая Школа, 1999.- 695с.

3. Бронштейн М. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике. М., 1956, 428с.

4. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. - М.: URSS, 2010.

5. Гусак А.А. Математический анализ и дифференциальные уравнения: Справ.пособие к решению задач. [Текст] / А. А. Гусак. 3-е изд., стер. Минск: ТетраСистемс, 2003. 415с.

6. Давыдов Н. А. Сборник задач по математическому анализу. Учеб. посо-бие для студентов физ.-мат. фак-товпед. ин-тов. [Текст] / Н. А. Давыдов, П. Н. Коровкин, В. Н. Никольский. Изд. 4-е, доп. М., «Просвещение», 1973. 256 с.

7. Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Учеб.пособие для студентов втузов. В 2-х ч. Ч. 1. [Текст] / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. 4-е изд., испр. и доп. М., Высш. шк., 1986. 304 с.

8. Зубко И. П. Применение методов дифференциального и интегрального исчислений при решении некоторых задач прикладной механики и экономики / И. П. Зубко // НауковіпраціПівденногофіліалуНаціональногоуніверситетубіоресурсів і природокористування України "Кримський агротехнологічний університет". - 2013. - Вип. 156. - С. 189-197

9. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Математический анализ. М.: Наука, 1999

10. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ, Начальный курс.Под ред. А. Н. Тихонова.-- 2-е изд., перераб.-- М.: Изд-во МГУ,1985.-- 662 с.

11. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10--11 классы. В 2 ч. Ч.2. Задачник. Издательство: Мнемозина, 2009. 239 с.

12. Мысливец С.Г. Математический анализ: Учеб.пособие для экон. спец./С.Г.Мысливец; Краснояр. гос. ун-т.- Красноярск, 2004.- 276 с.

13. Нахман А.Д., «Интегралы функций одной и нескольких переменных. Дифференциальные уравнения». Учебно-методические разработки. Тамбов. Издательство ТГТУ, 2006.

14. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.1: Учебное пособие для втузов.-- 13-е изд.-- М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. -- 432 с.

15. Лунгу К.Н и др. Сборник задач по высшей математике, под ред.С.Н. Федина. М.: Айрис-пресс. 2011.

16. Сборник задач по курсу высшей математики. Под редакцией Г.И. Кручковича. Учебное пособие для вузов. М. «Высшая школа». 1973.

17. Смирнов В.И. Курс высшей математики, Т.1.: Изд-во "Наука". 1974. - 479 с.

18. «Физическая математика» Архимеда, формирование интегрального исчисления и механизмы новаций в математике // УЧПЛЗ (Философское антиковедение и классическая традиция) Vol. 6. 2 (2012). С. 350-364

19. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3 т., т. 2, Лань, СПб., 2009.

20. Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления», 1964 г., том 2, стр. 169.

21. Шерстнев А.Н. Конспект лекций по математическому анализу. Казань, 1998.

22. Шилов Г.Е. «Математический анализ (функции нескольких вещественных переменных)», Части 1-2, 1972.



Приложение

Основные типы задач нахождения площадей плоских фигур и методы их решения.

S =

Размещено на Allbest.ru

...