О численном решении одной дифференциальной игры с запаздыванием
Динамическая система, управляемая в условиях помех и содержащая последействие по состоянию. Задача о вычислении оптимального гарантированного результата и построении закона управления. Дискретизация показателя качества. Размерность фазового вектора.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 15.01.2019 |
| Размер файла | 156,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
о численном решении одной дифференциальной игры с запаздыванием Работа поддержана грантом РФФИ № 12-01-31300-мол_а, а также программой АВЦП 1.994.2011 "Устойчивые вычислительные методы анализа динамики сложных систем".
Гомоюнов М.И., м.н.с., ИММ УрО РАН, gomojunov@mail.ru
Аннотация
Для динамической системы, управляемой в условиях помех и содержащей последействие по состоянию, рассматривается задача о вычислении оптимального гарантированного результата и построении закона управления, обеспечивающего этот результат. Оптимизируемый показатель состоит из двух слагаемых. Первое оценивает историю движения системы, сформировавшуюся к терминальному моменту времени, второе представляет собой интегральную оценку реализаций управления и помехи. Сравниваются два подхода для решения рассматриваемой задачи. Первый основан на дискретизации показателя качества и сведении задачи к нахождению цены и седловой точки в дифференциальной игре без последействия и с терминальной оценкой движения. Второй подход базируется на использовании в качестве модели-поводыря конечномерной аппроксимации исходной системы с запаздыванием.
Постановка задачи
В рамках теоретико-игрового подхода [1] рассматривается задача об управлении по принципу обратной связи для системы
(1)
с начальным условием
(2)
и показателем качества
(3)
Здесь - время, - фазовый вектор, - вектор управления, - вектор помехи; и - начальный и терминальный моменты времени; , , и - непрерывные матрицы-функции; - непрерывная вектор-функция; и - симметричные непрерывные матрицы-функции, такие, что соответствующие им квадратичные формы положительно определены.
Цель управления - доставить показателю как можно меньшее значение.
Первый подход
Первый подход к приближенному решению поставленной задачи заключается в ее сведении к задаче управления для системы (1), (2), но уже с дискретизированным показателем качества
где , и , . Решение такой задачи подробно описано в [2] и основано на решении вспомогательной дифференциальной игры для системы уже без запаздывания
и терминальным показателем качества
где , , ; , , ; - матрица Коши уравнения (1).
Второй подход
Второй подход, опирающийся на результаты работы [3], заключается в дискретизации не только показателя качества (3), но и исходной системы (1). Рассмотрим дифференциальную игру для системы
(4)
с согласованным с (2) начальным условием
(5)
и соответствующим (3) показателем качества
(6)
Методы для эффективного решения этой игры даны, например, в [1]. Для решения исходной задачи управления систему (4) будем использовать в качестве поводыря для исходной системы (1): управление и помеху будем формировать в дискретной по времени схеме на базе некоторого разбиения промежутка времени управления из условий экстремального сдвига:
Согласно [1] и [3], при достаточно больших значениях и , такое взаимное прицеливание обеспечит нужную близость движений системы (1) и (4), а также близость интегральных оценок из показателей (3) и (6). Управление будем выбирать оптимальным в смысле дифференциальной игры (4) - (6) образом.
Заключение
Оба подхода оказываются работоспособными и позволяют решать задачу (1) - (3) для достаточно больших значений размерности фазового вектора и параметра аппроксимации . Однако первый подход, судя по численным экспериментам, оказывается более ресурсоемким. Таким образом, в работе приведен пример задачи управления, для которой использование аппроксимаций дифференциальных систем с запаздыванием при помощи систем обыкновенных дифференциальных уравнений высокого порядка в качестве поводырей приводит к эффективному решению.
оптимальный гарантированный результат управление
Литература
1. Красовский Н.Н. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985. 516 c.
2. Лукоянов Н.Ю., Решетова Т.Н. Задачи конфликтного управления функциональными системами высокой размерности // ПММ. 1998. Т.62, Вып.4. С.586 - 597.
3. Плаксин А.Р. Конечномерные поводыри в задачах управления системами с запаздыванием // «Современные проблемы математики»: тезисы Международной (43-й Всероссийской) молодежной школы-конференции. С.163 - 165. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2012.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Линейная производственная задача. Двойственная задача. Задача о "Расшивке узких мест производства". Транспортная задача. Распределение капитальных вложений. Динамическая задача управления запасами. Анализ доходности и риска.
курсовая работа [530,4 K], добавлен 29.05.2006Рассмотрение фрактальной размерности как одной из характеристик инженерной поверхности. Описание природных фракталов. Измерение длины негладкой (изломанной) линии. Подобие и скейлинг, самоподобие и самоаффинность. Соотношение "периметр-площадь".
контрольная работа [1,9 M], добавлен 23.12.2015Управляемые линейные динамические объекты (ЛДО). Оптимальное управление ЛДО с фиксированным временем и терминальным критерием качества. Задача линейного предельного быстродействия. Линейная задача теории оптимального управления как проблема моментов.
учебное пособие [1,3 M], добавлен 05.07.2010Определение собственного вектора матрицы как результата применения линейного преобразования, задаваемого матрицей (умножения вектора на собственное число). Перечень основных действий и описание структурной схемы алгоритма метода Леверрье-Фаддеева.
презентация [55,2 K], добавлен 06.12.2011Синтез вариационного исчисления и метода функций Ляпунова в основе принципа динамического программирования. Метод знакопостоянных функций Ляпунова в решении задач о стабилизации и синтезе управления для нелинейной и автономной управляемых систем.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 17.06.2011Функция распределения вероятностей двух случайных величин. Функция и плотность распределения вероятностей случайного вектора. Многомерное нормальное распределение. Коэффициент корреляции. Распределение вероятностей функции одной случайной величины.
реферат [241,8 K], добавлен 03.12.2007Схема и разность векторов. Умножение вектора на число. Координаты точки и вектора. Компланарные векторы и прямоугольная система координат. Длина, скалярное произведение, его свойства и угол между векторами. Переместительный и сочетательный законы.
творческая работа [481,5 K], добавлен 23.06.2009Математические модели процессов тепло- и массопереноса в средах с фазовыми переходами. Характеристика классической задачей Стефана. Метод ловли фазового фронта в узел сетки, выпрямления фронтов, сглаживания коэффициентов. Разностные схемы сквозного счета.
курсовая работа [404,3 K], добавлен 28.06.2011Характеристика и особенности основных типов погрешностей, возникающих при численном решении математических и прикладных задач: задачи, метода, округлений. Понятие и причины возникновения погрешностей измерений. Описание случайных погрешностей, моменты.
контрольная работа [143,9 K], добавлен 13.01.2012Оптимальная настройка параметров "алгоритма отжига" при решении задачи коммивояжера. Влияние начальной температуры, числа поворотов при одной температуре и коэффициента N на результат. Сравнение и определение лучшей функции для расчётов задачи.
контрольная работа [329,9 K], добавлен 20.11.2011Сущность глобального вектора приоритета альтернатив по данным матрицам. Анализ собственного вектора матрицы, этапы создания диагональной матрицы. Расчет глобального вектора приоритетов альтернатив с условием согласованности матриц парных сравнений.
контрольная работа [241,9 K], добавлен 05.06.2012Сущность понятия "фрактал". Сущность фрактальной размерности. Размерность Хаусдорфа и ее свойства. Канторово множество и его обобщение. Снежинка и кривая Коха. Кривая Пеано и Госпера, их особенности. Ковер и салфетка Серпинского. Дракон Хартера-Хейтуэя.
курсовая работа [862,6 K], добавлен 23.07.2011Особенности построения вектора А, удовлетворяющего заданному множеству условий и ограничений, если даны величины упорядоченных множеств. Характеристика алгоритма перебора вектора А и оценка его временной сложности. Анализ графического изображения вектора.
курсовая работа [164,1 K], добавлен 11.03.2010Данный электронный учебник по математике предназначен для изучения темы "Использование неравенств при решении олимпиадных задач". Постановка и реализация задачи. Теоретические сведения по неравенствам Йенсена, Коши, Коши-Буняковского и Бернулли.
научная работа [124,1 K], добавлен 12.12.2009Общая характеристика факультативных занятий по математике, основные формы и методы проведения. Составление календарно-тематического плана факультативного курса по теме: "Применение аппарата математического анализа при решении задач с параметрами".
курсовая работа [662,1 K], добавлен 27.09.2013Суть компьютерного моделирования. Система, модели и имитационное моделирование. Механизмы продвижения времени. Компоненты дискретно-событийной имитационной модели. Усиление и ослабление факторов сопутствующих активности гейзера, динамическая модель.
курсовая работа [776,2 K], добавлен 28.06.2013Обработка результатов информации по транспортным и технологическим машинам методом математической статистики. Определение интегральной функции нормального распределения, функции закона Вейбула. Определение величины сдвига к началу распределения параметра.
контрольная работа [488,5 K], добавлен 05.03.2017Суть задачи коммивояжера, ее применение. Общая характеристика методов ее решения: метод полного перебора, "жадные" методы, генетические алгоритмы и их обобщения. Особенности метода ветвей и границ и определение наиболее оптимального решения задачи.
курсовая работа [393,2 K], добавлен 18.06.2011Практическиое решение задач по теории вероятности. Задача на условную вероятность. Задача на подсчет вероятностей. Задача на формулу полной вероятности. Задача на теорему о повторении опытов. Задача на умножение вероятностей. Задача на схему случаев.
контрольная работа [29,7 K], добавлен 24.09.2008Определение дифференциальной функции распределения f(x)=F'(x) и математического ожидания случайной величины Х. Применение локальной и интегральной теоремы Лапласа. Составление уравнения прямой линии регрессии. Определение оптимального плана перевозок.
контрольная работа [149,6 K], добавлен 12.11.2012
