Размещено на http://www.allbest.ru/

численное моделирование задачи реконструкции граничных управлений в динамических системах гиперболического типа Работа выполнена по программе Президиума РАН «Фундаментальные проблемы нелинейной динамики в математических и физических науках» при поддержке УрО РАН (проект 12-П-1-1009), поддержана молодежным грантом ИММ УрО РАН «Восстановление управлений в динамических системах» и поддержана РФФИ (проект 11-01-00073).

Грибанова Е.И., магистрантка кафедры вычислительной математики УрФУ, egribanova@list.ru

Аннотация

Рассматривается обратная задача динамики, состоящая в восстановлении неизвестных граничных управлений, порождающих наблюдаемое движение динамической системы. Динамическая система описывается краевой задачей для уравнения с частными производными гиперболического типа. Исходной информацией для решения обратной задачи служат результаты приближенных измерений текущих фазовых положений наблюдаемого движения системы. Рассматриваемая задача некорректна и для ее решения предлагается воспользоваться методом Тихонова. В работе обоснована не только сходимость регуляризованных приближений в пространствах Лебега, но и кусочно-равномерная сходимость. Приводятся результаты численного моделирования.

динамический система граничный гиперболический

Введение

В работе рассматривается задача о восстановлении априори неизвестных граничных управлений, функционирующих в управляемой динамической системе, описываемой краевой задачей для уравнения с частными производными гиперболического типа. Управляющие воздействия заранее неизвестны и должны быть определены в результате наблюдений за системой по приближенным измерениям текущих фазовых положений системы. Известно, что рассматриваемая задача некорректна и ее решение требует привлечения методов регуляризации [1-3].

Для решения задачи предлагается воспользоваться вариационным методом Тихонова, состоящем в минимизации некоторого подходящего функционала невязки на множестве допустимых управлений. Задача будет решаться в статическом варианте, когда для решения задачи будет использоваться вся совокупность результатов измерений, накопленная в течение какого-либо заданного промежутка времени наблюдения за системой.

Стабилизирующие функционалы, содержащие нормы пространств Лебега приводят к довольно грубой аппроксимации. В данной работе показано, что при использовании стабилизатора в виде суммы классической вариации и среднеквадратичной нормы в задачах восстановления управлений можно получить поточечную сходимость, сходимость в пространствах Лебега, сходимость классических вариаций и кусочно-равномерную сходимость. В работе описан метод проекции субградиента получения минимизирующей последовательности для функционала Тихонова и выполнена двухэтапная конечномерная аппроксимация задачи. Проведены вычислительные эксперименты, которые показали, что разработанные методы и алгоритмы могут применяться для восстановления искомого управления и его тонкой структуры. Работа продолжает исследования [4-7].

Постановка задачи

Рассматривается управляемая динамическая система, состояние которой в момент времени из заданного ограниченного отрезка времени характеризуется парой функций , определенных в некоторой ограниченной в области с кусочно-гладкой границей. Эволюция состояний во времени описывается краевой задачей [35-37]

(1)

(2)

(3)

где ; -- начальное положение системы; -- начальная скорость системы; -- заданные функции; -- внешняя конормальная производная, соответствующая оператору, -- векторная функция управляющего воздействия;

Пусть -- множество всех допустимых управлений в задаче, состоящее из всех измеримых и интегрируемых с квадратом вектор-функций, которые при почти всех принадлежат выпуклому компакту .

За движением управляемой динамической систем осуществляется наблюдение в течение промежутка времени и в соответствующие текущие моменты времени приближенно измеряются состояния системы, причем результаты этих измерений удовлетворяют условию:

где -- числовой параметр, характеризующий точность измерений .

Задача восстановления состоит в том, чтобы по результатам приближенных измерений наблюдаемого движения системы приближенно определить ту реализацию управляющего воздействия на динамическую систему, которая соответствует результатам наблюдений. При этом результат , должен быть тем точнее, чем меньше ошибки измерений

Пусть ; -- множество всех возможных движений системы (1) - (3), отвечающих всем возможным управлениям ; -- множество всех допустимых управлений, порождающих движение z, -- множество всех возможных измерений этого движения, .

Искомый алгоритм отождествим с семейством отображений (методов):

.

Требуется построить алгоритм , который на любом наблюдаемом движении системы обладает регуляризующим свойством где

Все рассматриваемые числовые величины и пространства считаются вещественными, измеримость и интегрируемость понимаются по Лебегу, определения используемых пространств имеются, например, в [8].

Решение задачи

Задача восстановления управлений некорректна. Для её решения воспользуемся методом регуляризации Тихонова.

Пусть есть банахово пространство функций ограниченной полной вариации. Введем следующие обозначения:

(4)

, (5)

(6)

V[u]-полная вариация функции .

Построим алгоритм, решающий задачу восстановления. Для и определим реализацию (значение) метода по правилу

(7)

где -- неотрицательный параметр, характеризующий точность по функционалу решения экстремальной задачи (5). Величины и будут являться параметрами метода (параметрами регуляризации), они будут выбираться в зависимости от величины погрешности измерений . Доказана теорема [6]: построенный алгоритм при соответствующих условиях решает задачу восстановления, причем результаты восстановления сходятся при к искомому управлению кусочно-равномерно на T .

Построение минимизирующих последовательностей

Для приближенного решения задачи (4), т.е. для получения е-оптимальных решений, удовлетворяющих условию (7), необходимо уметь строить минимизирующие последовательности для задачи (4). Для построения таких последовательностей можно воспользоваться градиентными и субградиентными методами [9].

Представим функционал в виде суммы соответствующих слагаемых:

где

Функционал Fб субдифференцируем по переменной u:

.

Однако практическое применение субградиентных методов для минимизации функционала наталкивается на трудности, связанные со сложностью вычисления субдифференциала и описания сопряженного пространства . В данной работе реализован подход, связанный с заменой пространства пространством Соболева , которое должно быть вложено в и достаточно хорошо аппроксимировать его элементы, что позволит воспользоваться техникой гильбертова пространства и упростить вычисление субградиентов целевого функционала.

Для построения минимизирующих последовательностей в задаче (4) воспользуемся методом проекции субградиента (9): где -- начальное приближение из -- проекция точки на множество (поскольку множество выпукло и замкнуто в , то проекция существует и единственна [9, гл. 8, § 4]); -- параметры метода, подлежащие подходящему выбору [7].

Аппроксимация задачи