Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФГБОУ ВО

АНГАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ ПРОМЫШЛЕННЫХ ПРЕДПРИЯТИЙ

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к курсовой работе по дисциплине

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКЕ

На тему: Решение математических задач применяемых в электроэнергетике

Вариант № 30

Выполнил обучающийся группы ЭЭз-16-1 _________ Почекутов Р.И.

шифр подпись Фамилия И.О.

Нормоконтролер _________ Коновалов Ю.В.

подпись Фамилия И.О.

Ангарск 2017

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ЗАДАНИЕ 1

ЗАДАНИЕ 2

ЗАДАНИЕ 3

ЗАДАНИЕ 4

ЗАДАНИЕ 5



Введение

При проектировании технических систем постоянно приходится решать задачи наилучшего решения из некоторого множества допустимых решений. Такое решение называют оптимальным, процесс поиска такого решения - оптимизацией. Для решения оптимизационных задач будущему специалисту необходимы знания основ математического моделирования, методов решения оптимизационных задач, современного программного обеспечения персональных компьютеров. Формулировка любой технической задачи должна быть переведена на формальный математический язык, то есть, записана с помощью определенных математических выражений. Будущий специалист должен знать основы математического моделирования и уметь составлять математическую модель задач. Для конкретной задачи не разрабатывается специальный метод решения. Существуют математические методы, предназначенные для решения любых задач - методы математического программирования. Будущий специалист должен знать методы математического программирования и уметь выбрать целесообразный метод для решения конкретной технической задачи. Целью и основной задачей дисциплины «Математические задачи электроэнергетики» является получение будущими специалистами основ знаний.

моделирование математический задача оптимизационный



Задание 1.

Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

Линейное уравнение состояния электрической системы может быть представлено в виде системы:

(1)

которую можно представить в компактном виде

В матричной форме записи эта систем имеет вид:

AX = B, (3)

где

; ; .

Предполагается, что матрица A не вырождена, т.е. её определитель detA отличен от нуля. Задачи решения системы уравнений, возникающие в электроэнергетике, характеризуются, как правило, большой размерностью и разреженностью матрицы A, т.е. содержанием большого числа нулевых элементов. Одним из наиболее распространенных прямых методов решения системы линейных уравнений является метод Гаусса или метод последовательного исключения неизвестных. Вычисления состоят из двух этапов, называемых прямым ходом и обратным ходом. Прямой ход метода Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных из системы (1) для преобразования ее к эквивалентной системе верхней треугольной матрицы. Вычисления значений неизвестных осуществляется на этапе обратного хода.

Прямой ход состоит из n - 1 шагов исключения.

Целью первого шага прямого хода является исключение неизвестного из n ?1 уравнений. Необходимо, чтобы коэффициент ?, его называют главным (или ведущим) элементом 1-го шага. Найдем величины

(4)

называемые множителями 1-го шага. Вычтем последовательно из второго и последующих равнений системы (1) первое уравнение, умноженное на соответствующий множитель (4) первого шага. Это позволит обратить в нуль коэффициенты при 1 x во всех уравнениях кроме первого. В результате получим эквивалентную систему уравнений

(5)

в которой и вычисляются по формулам вычисляются по формулам

Целью второго шага является исключение неизвестного из третьего и последующих уравнений. Пусть , где - коэффициент, называемый главным (или ведущим) элементом 2-го шага. Вычислим множители 2-го шага

(6)

и вычтем последовательно из третьего и последующих уравнений системы второе уравнение, умноженное на соответствующий множитель (6) 2-го шага. В результате получим систему уравнений

(7)

В (7) коэффициенты и вычисляются по формулам

Аналогично производят остальные шаги.

После (n-1)-го шага исключения получим систему уравнений

(8)

которая в матричной форме записи имеет вид

где - верхняя треугольная матрица.

На этом вычисления прямого хода заканчиваются.

На первом шаге обратного хода из последнего уравнения системы (8) находим :

(9)

Подставляя найденное значение (9) в предпоследнее уравнение вычисляем :

Осуществляя обратную подстановку, далее последовательно находим все неизвестные переменные:

(10)

Исключение переменных по рассматриваемым формулам невозможно, если в ходе расчета на главной диагонали окажется нулевой коэффициент . Перестановкой строк можно переместить ненулевой элемент на главную диагональ и продолжить расчет.

Если элемент на главной диагонали мал, то при расчете эта строка умножается на большие числа, что приводит к значительным ошибкам округления при вычислениях. Чтобы избежать этого надо каждый шаг начинать с перестановки строк. Среди элементов столбца , m?k , находят главный, т.е. наибольший по модулю и перестановкой строк переводят его на главную диагональ, после чего делают исключение переменной.

Решение

Преобразуем систему уравнений к эквивалентному виду, используя прямой ход метода Гаусса, исключив x из второго и третьего уравнения. Исходную систему можно представить в виде:

Где коэффициенты равны:

Определяем множители первого шага

Вычисляем коэффициенты при x, y и z

Определяем независимые параметры

Получаем систему уравнений

Преобразуем эквивалентную систему исключив y из третьего уравнения Определяем множитель второго шага

Вычисляем коэффициенты

Определяем независимые параметры

Выполняя обратный ход методом Гаусса вычисляем неизвестные по формулам

Проверка показывает, что расчет верен:

Ответ: x= -1; y=1; z=1.

Задание 2.

Дано нелинейное алгебраическое уравнение

2.1. Найти значение этого выражения на концах заданного отрезка и оценить наличие корней. Методом бисекции, с точностью 0,01 найти корень уравнения, локализованный на отрезке [-2,1].

2.2 Методом Ньютона с точностью 0,001 найти корень уравнения, локализованный на заданном отрезке. В качестве исходного приближения сначала выбрать конец исходного отрезка, затем начало и после - среднюю точку. По результатам расчета сделать выводы.

Основные этапы решения Дано нелинейное уравнение:

(1)

где - функция, которая определена и непрерывна на конечном интервале [a,b].

Корнем уравнения является всякое число xО[a,b]--, обращающая функцию f--(x)--в нуль. Корень уравнения x--называют простым, если f ў(x)--№--_--. В противном случае корень называют кратным. Число x--называют корнем k -й кратности, если при x =--x--вместе с функцией f--(x)--равны нулю ее производные до (k---1)---го порядка включительно:

Решить уравнение (1) это значить: 1) установить, имеет ли уравнение корни; 2) определить число корней уравнения; 3) найти значения корней с заданной точностью е, где е - параметр точности. Наиболее часто решается задача отыскания простых корней и кратных корней первого порядка кратности. В общем случае решение нелинейных уравнений можно разбить на два этапа: 1) локализация корней; 2) вычисление корней на каждом из отрезков локализации. Локализация или отделение корней - процедура нахождения отрезков, на которых уравнение имеет только одно решение.

Методы решения нелинейных уравнений: метод бисекции и метод хорд.

В большинстве случаев отделение корней можно провести графически. Для этого достаточно построить график функции и определить отрезки, на которых эта функция имеет только одну точку пересечения с осью абсцисс. Графическое отделение корней необходимо подкреплять вычислениями. При этом можно использовать следующие положения: 1) если непрерывная функция принимает на концах отрезка [a,b] , значения разных знаков, то уравнение имеет на этом отрезке, по меньшей мере, один корень; 2) если функция на отрезке [a,b] строго монотонна, то корень на отрезке единственный.

Для нахождения корней используют прямые и итерационные методы решения. Прямые методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения (формулы). Такие методы разработаны для решения 8 некоторых тригонометрических, логарифмических, показательных уравнений, а так же для алгебраических уравнений степенью до 4-го порядка включительно (например, решение квадратного уравнения через дискриминант). В подавляющем большинстве случаев представить решения в виде конечной формулы оказывается невозможным. Так Н. Абелем было доказано, что для алгебраических уравнений пятой и более высокой степеней таких формул не существует. Для решения таких нелинейных уравнений используют итерационные методы, т.е. методы последовательных приближений.

Если функция непрерывна на отрезке локализации [a,b] и на его концах принимает разные знаки, то нахождения решения уравнения с заданной точностью можно использовать метод бисекции или деления отрезка пополам. Алгоритм метода бисекции имеет вид:

Итерации следует вести до тех пор, пока не будет выполнено условие

При выполнении условия корень уравнения находится по формуле

Решение задачи 2.1:

Дано нелинейное алгебраическое уравнение

Найти значение этого выражения на концах заданного отрезка и оценить наличие корней. Методом бисекции, с точностью 0,01 найти корень уравнения, локализованный на отрезке [-2,1].

Находим значение функции на концах отрезка:

Таким образом, функция на концах отрезка принимает значения разных знаков, следовательно, она имеет на этом отрезке, по меньшей мере, один корень. В соответствии с алгоритмом метода бисекции принимаем:

Далее определяем

Произведение этих функций:

Получили:

Вновь определяем функции:

Произведение этих функций:

Получили:

Вновь определяем функции:

Произведение этих функций:

Получили:

Вновь определяем функции:

Произведение этих функций:

Получили:

Вновь определяем функции:

Произведение этих функций:

Получили:

Вновь определяем функции:

Произведение этих функций:

Получили:

Вновь определяем функции:

Произведение этих функций:

Получили:

Вновь определяем функции:

Произведение этих функций:

Получили:

при которых:

Тогда корень уравнения находится по формуле

Более сложные методы решения нелинейных уравнений, такие как метод простых итераций и метод Ньютона, использующий свойство дифференцируемости функции, как правило, обладают более быстрой сходимостью. Однако сходимость к решению у этих методов не всегда гарантирована.

Задача 2.2 Решение нелинейного алгебраического уравнения методом Ньютона:

Дано нелинейное алгебраическое уравнение

Необходимо методом Ньютона с точностью 0,001 найти корень уравнения, локализованный на отрезке [-2,1].

Решение. Определяем функцию небаланса из условия Эта функция равна левой части уравнения

Находим производную функции

Таким образом, для заданного уравнения итерационная формула метода Ньютона имеет вид

Критерий окончание расчета имеет вид

где по условию задачи равно 0,001.

1) В качестве исходного приближения выбираем конец отрезка:

При первом приближении получаем:

Небаланс равен

что больше точности расчета .

Рассчитываем последующие приближения с проверкой условие окончания расчета.

Вторая итерация:

Третья итерация:

Вывод: Заданная точность была обеспечена на 3-й итерации. Корень уравнения получился другой , не находящийся на локализованном отрезке, следовательно, он не удовлетворяет условиям задачи. Вычислительный процесс сходящийся монотонный. Проверка правильности вычисления:

2) В качестве исходного приближения выбираем начало отрезка:

При первом приближении получаем:

Небаланс равен

что больше точности расчета .

Вторая итерация:

Результаты расчета остальных итераций сведем в таблицу 1.

Вывод: Заданная точность была обеспечена только на 10-й итерации. Корень уравнения тот же Вычислительный процесс сходящийся колебательный, более длительный.

3) В качестве исходного приближения выбираем середину отрезка:

При первом приближении получаем:

Небаланс равен

что больше точности расчета .

Рассчитываем последующие приближения с проверкой условие окончания расчета.

Вторая итерация:

четвертая итерация:

Вывод: На 4-й итерации заданная точность была обеспечена. Следовательно, корень уравнения . Вычислительный процесс сходящийся монотонный, менее длительный чем при методе бисекций.



Задача 3:

Решить систему нелинейных уравнений методом Ньютона с точностью 0,001.

Решение:

Компоненты вектор-функции равны

Матрица Якоби определяется как

где матрицей Якоби системы из m функций {f1(x1, …, xn), …, fm(x1, …, xn)} по переменным x1, …, xn называется матрица, составленная из всевозможных частных производных. В рассматриваемом примере две функции w1 и w2 с двумя переменными x и y.

Выполняем обращение матрицы Якоби

Обращение выполняется по правилу: если матрица А невырожденная, то её обратная матрица имеет вид

где det A - определитель матрицы А, а матрица А* получена из матрицы А заменой её элементов их алгебраическими дополнениями с последующим транспонированием.

Итерационная формула метода Ньютона будет иметь вид

Условие окончания итерационного процесса

где - точность расчета.

Задаем исходные приближения

Вычисляем элементы вектора небаланса

Первое приближение

Небаланс равен

Так как и больше точности расчета

Выполняем последующие приближения до выполнения условия остановки. Результаты расчета сводим в таблицу 2.

Задание 4

Записать формулы правой, левой, центральной разности производной и четырех точечную формулу дифференцирования для численного дифференцирования функции

Используя эти формулы найти производную функции в точке x = 2 с шагом h = 0,1, сделать вывод и оценить погрешность вычисления.

Производная - это скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует:

Процесс вычисления производной называется дифференцированием. Обратный процесс - нахождение первообразной - интегрирование.

Обычно для вычисления производных аналитически заданной функции используют готовые формулы - таблицу производных. Однако использовать эти формулы при численных расчетах на компьютерах не всегда удобно, а в случае таблично заданной функции невозможно. Исходя из определения производной функции f (x), можно предложить следующие формулы численного дифференцирования:

где h - конечная разность в отличие от бесконечно малой разности . Эти формулы получили соответственно названия правой и левой разностной производной.

Замена бесконечно малых приращений конечными h является причиной возникновения ошибки. Оценка ошибок с помощью разложения функций f(x+ h) и f(x- h) в ряд Тейлора позволила сделать вывод о том, что приведенные формулы численного дифференцирования имеют первый порядок точности по h . Для вычисления производных можно получить формулы любого порядка точности. Так формула центральной разностной производной

имеет второй порядок точности, а приближенная формула

четвертый порядок точности. С ростом порядка точности возрастает число используемых значений функции.

Для численного дифференцирования таблично заданных функций предварительно необходимо интерполировать функцию, а затем ее дифференцировать, используя приближенные формулы. Интерполяция - это метод нахождения числа, находящегося внутри некого интервала, путем приближения. Если же определяется, чему равна функция слева от них или справа, то это экстраполяция.

Решение :

Выполним дифференцирование по формуле правой разностной производной в точке x = 2 с шагом h = 0,1:

Выполним дифференцирование по формуле левой разностной производной в точке x = 2 с шагом h = 0,1:

Выполним дифференцирование по формуле центральной разностной производной в точке x = 2 с шагом h = 0,1:

и дифференцирование по четырех точечной в точке x = 2 с шагом h = 0,1:

Для оценки погрешности вычислений находим точное значение производной аналитически:

Оценим относительные погрешности вычислений по формулам численного дифференцирования: при дифференцировании по формуле правой разностной производной:

при дифференцировании по формуле левой разностной производной:

при дифференцировании по формуле центральной разностной производной:

при дифференцировании по четырех точечной формуле:

Вывод: наименьшая погрешность получена при дифференцировании по формуле центральной разности , наибольшая - при дифференцировании по формуле левой разностной производной.

Задание 5

Записать формулы трапеции и Симпсона для вычисления интеграла

Вычислить интеграл по этим формулам, разбивая отрезок интегрирования на n=10 частей, определить погрешность вычисления, сделать вывод.

В практических расчетах для определения интеграла заданной функции часто используют формулу Ньютона-Лейбница:

пусть функция f ?x??непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Если F(x) - первообразная функции f ?x??на [a, b], то:

Рисунок 1 - Определение площади фигуры

Числовой пример:

Вычислить определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейб- ница, не всегда удается по двум причинам:

1) вид функции f ?x??не допускает непосредственного интегрирования, т.е. первообразную нельзя выразить через элементарные функции;

2) значения функции f ?x??заданы на фиксированном конечном множестве точек i x ?i ?1,2,?,n?, т.е. функция задана в табличном виде (интерполирована). В этих случаях используют численные методы интегрирования.

Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения определенного интеграла

Обычно подынтегральную функцию f ?x??аппроксимируют такой функцией ??x?, интеграл от которой легко вычисляется.

Аппроксимация, или приближение - математический метод, состоящий в замене одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми. Функцию f ?x??обычно представляют в виде обобщенного многочлена

где - аппроксимирующие функции; - коэффициенты многочлена; - погрешность аппроксимации. Подставляя аппроксимирующую функцию в формулу интегрирования, получим

где - весовые множители, зависящие от узлов и не зависящие от - погрешность интегрирования. Эта формула получила название квадратурной формулы, сам процесс вычисления - интегрирования с помощью квадратурных формул.

Задачи численного интегрирования с помощью квадратурных формулы состоит в определении таких узлов и таких множителей , чтобы погрешность

была минимальной .

Для аппроксимации функции ?используют многочлен степени ; многочлены Чебышева , Ньютона , Лагранжа . Используя эти многочлены можно получить различные квадратурные формулы.

Наиболее часто для численного интегрирования используют квадратурные формулы Ньютона-Котеса, которые получаются путем замены

подынтегральной функции интерполяционным многочленом Лагранжа с разбиением отрезка интегрирования на n равных частей.

В таблице 4 приведены некоторые из этих формул и их погрешности.

Таблица 4 - Некоторые из формул Ньютона-Котеса

Решение.

Общие формулы трапеции и Симпсона имеют вид

где - подынтегральная функция; - величина шага; - узлы.

Для определения узлов сетки рассчитываем величину шага при n =10 по формуле:

Узлы сетки рассчитываем по формуле:

Значения функции в узлах:

Вычисляем интеграл по формуле трапеций:

Вычисляем интеграл по формуле Симпсона:

Для оценки погрешности вычислений находим интеграл аналитически

Относительные погрешности вычислений по формулам трапеции и Симпсона соответственно равны:

Вывод: относительная погрешность вычисления по формуле трапеций получилась немного меньше, чем по формуле Симпсона (в 2 раза).

Размещено на Allbest.ru

...