Ограниченные числовые множества

Размещено на http://www.allbest.ru/

Санкт-Петербургское

государственное БЮДЖЕТНОЕ профессиональное

образовательное учреждение «ижорский КОЛЛЕДЖ»

Реферат

по

МАТЕМАТИКЕ

ТЕМА:

ВСР 1. Ограниченные числовые множества

Специальность 19.02.10 Технология продукции общественного питания

Группа 161С

Курс 1

Студент: Зазорин Антон Васильевич

Преподаватель: Левина Татьяна Николаевна

Санкт-Петербург, 2018

Оглавление

множество число рациональный

1. Понятие множества. Операции над множествами

2. Конечные и бесконечные множества. Счетные и несчетные множества

3. Отображение множества

4. Числовые множества. Рациональные и иррациональные числа

5. Ограниченные множества

Ссылки на источники материалов использованных для работы



1.Понятие множества. Операции над множествами

Числовые множества - в математическом?анализе, и прилегающих разделах математики, ограниченное множество -- множество, которое в определенном смысле имеет конечный размер. Базовым является понятие ограниченности числового?множества, которое обобщается на случай произвольного метрического?пространства, а также на случай произвольного частично?упорядоченного?множества. Понятие ограниченности множества не имеет смысла в общих топологических?пространствах, без метрики.

Операции над множествами

Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ? В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.

Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ? B = {1,2,3,4,5,6}

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ? В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.

Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ? В = {2,4}

Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В.

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}

Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Д В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Д В = (АВ) ? (ВА).

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Д В = {1,2} ? {5,6} = {1,2,5,6}

Свойства операций над множествами

Свойства перестановочности

A ? B = B ? A

A ? B = B ? A

Сочетательное свойство

(A ? B) ? C = A ? (B ? C)

(A ? B) ? C = A ? (B ? C)

2.Конечные и бесконечные множества. Счетные и несчетные множества

Бесконечные числа. В дальнейшем очень часто будем использовать символы +Ґ и -Ґ. Эти символы будем называть бесконечными числами и условимся о следующих свойствах бесконечных чисел:

1°. Если x-действительное число, то -Ґ<x<+Ґ; x+Ґ=+Ґ, x-Ґ=-Ґ; ;

(-Ґ)+(+Ґ)=+Ґ;(-Ґ)+(-Ґ)=-Ґ;(+Ґ)-(-Ґ)=+Ґ,

2°. Если x>0, то xЧ(+Ґ)=+Ґ, xЧ(-Ґ)=-Ґ, (-Ґ)Ч(+Ґ)=-Ґ; (+Ґ)Ч(+Ґ)=+Ґ,

3°. Если x<0, то xЧ(+Ґ)=-Ґ; xЧ(-Ґ)=+Ґ.

Эти условия принимаются в качестве определения, поэтому не доказываются.

Множество действительных чисел будем обозначать в дальнейшем буквой R.

Эквивалентные множества. Конечные и бесконечные множества

Пусть заданы множества E и F. Если существует взаимно-однозначное соответствие между множествами E и F, то множества E и F называют эквивалентными и обозначают E ~ F.

О б о з н а ч е н и я. Множества, составленные из n положительных целых чисел 1,2, … ,n будем обозначать символом J_n, а множество всех целых чисел будем обозначать J.

Если для некоторого nОJ справедливо E ~ J_n, тогда будем говорить, что E-конечное множество.

Если в определении E ~ J_n, f биективная функция, то множество E составлено из элементов f(1), f(2), … , f(n). Если называть i номером элемента f(i), i=1,2, … , n; то конечное множество можно определить как множество, элементы которого можно пронумеровать от 1 до некоторого n. Такое множество называется n-элементным.

Если множество Е не ограничено, то его называют неконечным или бесконечным.

Если для любого фиксированного целого положительного n во множестве E найдутся (n+1) различный элемент, то множество E называется бесконечным.

Действительно, если E конечное множество, то для некоторого фиксированного n_o справедливо , т.е. множество E составлено изn_o элементов. Но во множестве E существует по крайней мере (n_o+1) различный элемент. Из этого противоречия и следует, что множество E-бесконечно. В качестве примера бесконечного множества можно рассматривать множество J.

Счетные и несчетные множества

 Определение (1)

 Назовем счетным множеством всякое множество, элементы которого можно биективно сопоставить со всеми натуральными числами. Иначе говоря, счетное множество -- это такое множество, элементы которого можно занумеровать в бесконечную последовательность: а₁ , а₂, а₃, …

 Примеры 

1. Множество всех целых чисел. Установим соответствие между всеми целыми и всеми натуральными числами по следующей схеме:

вообще, неотрицательному числу n?0 сопоставим нечетное число

2n + 1, а отрицательному n < 0 -- четное число 2n:

2. Множество всех четных положительных чисел. Соответствие

очевидно:  .

3. Множество 2,4, 8,..., 2ⁿ,... степеней числа 2. Здесь соответствие также очевидно. Каждому числу 2ⁿ сопоставляется число n.

4. Множество рациональных чисел (см. п.3)

 Пусть X -- счетное множество, т. е. существует взаимно однозначное отображение (биекция) множества натуральных чисел N на множество X. Элемент множества X, соответствующий при этом отображении числу n, обозначим, как и в случае последовательности, х_n и будем называть число n его номером. Поэтому можно сказать, что множество является счетным, если его элементы можно перенумеровать натуральными числами.

Замечание 1.

Отличие определения счетного множества от последовательности состоит в том, что в случае последовательности рассматриваемое отображение множества натуральных чисел не обязано быть биекцией: не исключается случай, когда разным натуральным числам окажется поставленным в соответствие один и тот же элемент. Отсюда следует, что множество значений членов последовательности либо конечно, либо счетно, т. е., как говорят, не более чем счетно.

Теорема (1).

Любое бесконечное множество содержит бесконечное счетное подмножество.

 Доказательство

Пусть X -- бесконечное множество; тогда оно во всяком случае непусто, т. е. в нем существует по крайней мере один элемент, обозначим его через х₁. Поскольку множество X бесконечно, то множество X \ {x₁} также непусто, т. е. содержит по крайней мере один элемент, обозначим его х₂. Продолжая этот процесс, на n-м шаге получим элемент х_n. Поскольку X -- бесконечное множество, то множество X \{х₁,x₂, ...,х_n} непусто, т. е. содержит по крайней мере один элемент, обозначим его х_n+1 и т. д.

Множество { х₁,x₂, ...,х_n...} -- искомое счетное подмножество множества X.

Теорема (2).

Любое бесконечное подмножество счетного множества счетно.

Доказательство

Пусть X -- счетное множество: X = { х₁,x₂, ...,х_n …}и  .

Обозначим через у₁ элемент из У, имеющий наименьший номер в X, через y₂ -- элемент множества У, имеющий следующий ближайший номер, и т. д. Поскольку каждый элемент множества Y является некоторым элементом х_n множества X и, следовательно, имеет номер n, то через конечное число шагов (не больше, чем n) он получает некоторый номер m и в множестве У, т. е. будет обозначен у_m, причем, поскольку множество Y бесконечно, этот процесс может быть продолжен неограниченно. Таким образом, все элементы множества Y окажутся перенумерованными, что и означает счетность этого множества. |

3.Отображение множества. Понятие функции. Отображение множеств

Пусть X и Y - два произвольных множества.

Определение. Говорят, что на X определена функция f, принимающая значение из Y, если каждому элементу x О X поставлен в соответствие один и только один элемент y О Y. При этом множество X называется областью определения данной функции, а множество Y - её областью значений.

Для множеств произвольной природы вместо термина «функция» часто пользуются термином «отображение», говоря об отображении одного множества в другое.

Если а элемент из X, то соответствующий ему элемент b = f(а) из Y называется образом а при отображении f. Совокупность всех тех элементов а из X, образом которых является данный элемент b О Y, называется прообразом (или точнее полным прообразом) элемента b и обозначается f -¹(b).

Пусть А - некоторое множество из X; совокупность {f (а): а О А} всех элементов вида f (а), где а О А, называется образом А и обозначается f (А). В свою очередь для каждого множества В из Y определяется его полный прообраз f -¹(В), а именно: f -¹(В) есть совокупность всех тех элементов из X, образы которых принадлежат В.

Определение. Будем говорить, что f есть отображение множества X на множество Y, если f (X) = Y; такое отображение называют сюръекцией. В общем случае, т.е. когда f(X) М Y, говорят, что f есть отображение в Y. Если для любых двух различных элементов х₁ и х₂ из X их образы y₁ = f (x₁) и y₂ = f (x₂) также различны, то f называется инъекцией. Отображение f: X®Y, которое одновременно является сюръекцией и инъекцией, называется взаимно однозначным соответствием между X и Y.



4.Числовые множества. Рациональные и иррациональные числа

Словосочетание "числовые множества" довольно часто встречается в учебниках математики. Там очень часто можно встретить фразы такого плана:

" где  принадлежит множеству натуральных чисел".

Частенько вместо окончания фразы можно увидеть вот такую запись . Она означает то же что и текст немного выше - число принадлежит множеству натуральных чисел. Многие довольно часто не придают внимания в каком множестве определена та или иная переменная. В результате применяться совершенно неверные методы при решении задачи или доказательстве теоремы. Это происходит из-за того, что свойства чисел принадлежащих различным множествам могут иметь различия.

Числовых множеств не так уж и много. Ниже можно увидеть определения различных числовых множеств.

Множество натуральных чисел

Множество натуральных чисел включает в себя все целые числа больше нуля - положительные целые числа.

Например: 1, 3, 20, 3057. Множество не включает в себя цифру 0. 

Множество целых чисел

В это числовое множество входят все целые числа больше и меньше нуля, а так же ноль.

Например: -15, 0, 139.

Множество рациональных чисел

Рациональные числа, вообще говоря, представляют собой множество дробей, которые не сокращаются (если дробь сокращается, то это уже будет целое число, и для этого случая не стоит вводить еще одно числовое множество).

Пример чисел входящих в рациональное множество: 3/5, 9/7, 1/2.

Множество вещественных чисел

,

где  - конечная последовательность цифр целой части числа, принадлежащего множеству вещественных чисел. Эта последовательность является конечной, то есть количество цифр в целофй части вещественного числа конечное количество.

 - бесконечная последовательность чисел, стоящих в дробной части вещественного числа. Выходит, что в дробной части присутствует бесконечное количество чисел. 

Такие числа невозможно представить в виде дроби. В противном случае, подобное число можно было бы отнести к множеству рациональных чисел.

Примеры вещественных чисел:

Давайте рассмотрим значение корня из двух внимательнее. В целочисленной части представлена только одна цифра - 1, поэтому мы можем записать:

В дробной части (после точки) последовательно идут числа 4, 1, 4, 2 и так далее. Поэтому для первых четырех цифр можно записать:

Смею надеяться, что теперь запись определения множества вещественных чисел стала понятней.



Заключение

множество число рациональный

Следует помнить, что одна и та же функция может проявлять совершенно разные свойства в зависимости от того к какому множеству будет принадлежать переменная. Так что помните основы - они вам пригодятся.

Рациональное число - это такое число, которое можно записать в виде дроби с целыми числителем и знаменателем.

Пример:

44 - рациональное число, т.к. его можно записать как 4141;

0,01573040,0157304 - тоже рациональное, т.к. его можно записать в виде 1573041000000015730410000000;

0,333(3)…0,333(3)…-и это рациональное число: можно представить как 1313;

v312312 - рациональное, так как можно представить как 1212. Действительно, мы можем провести цепочку преобразований v312312==v1414== 1212

Иррациональное число - это число, которое невозможно записать в виде дроби с целыми числителем и знаменателем.

Невозможно, потому что это бесконечные дроби, да еще и непериодические. Поэтому нет таких целых чисел, которые бы поделившись друг на друга, дали бы иррациональное число.

Пример:

v2?1,414213562…2?1,414213562… -иррациональное число;

р?3,1415926…р?3,1415926… -иррациональное число;

log25?2,321928…log2?5?2,321928…-иррациональное число.

Пример (Задание из ОГЭ). Значение, какого из выражений является числом рациональным?

1) v18?v718?7;

2)(v9?v14)(v9+v14)(9?14)(9+14);

3) v22v2222;

4) v54+3v654+36.

Решение:

Для понимания этого примера нужно знать, что такое квадратные корень, а также помнить его свойства.

1) v18?v7=v9?2?7=3v1418?7=9?2?7=314 - корень из 1414 взять нельзя, значит и представить число в виде дроби с целыми числами тоже нельзя, следовательно число иррационально.

2) (v9?v14)(v9+v14)=(v92?v142)=9?14=?5(9?14)(9+14)=(92?142)=9?14=?5 - корней не осталось, число легко представить в виде дроби, например такой ?51?51, значит оно рациональное.

3) v22v2=v222=v111=v11222=222=111=11 -корень нельзя извлечь - число иррациональное.

4) v54+3v6=v9?6+3v6=3v6+3v6=6v654+36=9?6+36=36+36=66 - тоже иррациональное.

Ответ: 22.

5.Ограниченные множества

Пусть  непустое множество действительных чисел.

Определение. Множество  называется ограниченным сверху, если существует такое  что для всех справедливо неравенство  Число  называется верхней границей множества Множество  называется ограниченным снизу, если существует такое  что для всех  справедливо неравенство  Число  называется нижней границеймножества 

У ограниченного сверху множества существует сколь угодно много верхних границ. Действительно, если  верхняя граница множества  то для любого положительного  число  также является верхней границей  Аналогично, у ограниченного снизу множества существует сколь угодно много нижних границ.

С геометрической точки зрения ограниченность сверху множества  означает наличие на числовой прямой такой точки  что все точки множества  расположены не правее  Аналогично, ограниченность снизу множества  означает наличие на числовой прямой такой точки  что все точки множества  расположены не левее, чем 

Определение. Множество  называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу, т. е. если существуют такие  что для всех  справедливо неравенство 

С геометрической точки зрения ограниченность  означает, что все точки множества  содержатся в некотором отрезке числовой прямой.

Определение. Элемент  называется наибольшим элементом множества  если для любого  справедливо неравенство Элемент  называется наименьшим элементом множества  если для любого  справедливо неравенство 

Очевидно, что если во множестве  существует наибольший элемент, то это множество ограничено сверху, а если в  существует наименьший элемент, то это множество ограничено снизу. Однако не каждое ограниченное сверху (снизу) множество имеет наибольший (наименьший) элемент.

Например, множество  ограничено сверху (например, числом  однако в нем нет наибольшего элемента.

Действительно, для любого  число  также принадлежит Аналогично можно показать, что  ограничено снизу, но не имеет наименьшего элемента.

Пусть  - ограниченное сверху множество. Через  обозначим совокупность всех верхних границ множества  Множество непусто и, как мы уже видели, неограничено сверху. Очевидно, однако, что  ограничено снизу (например, любой элемент множества  является нижней границей множества 

Поставим следующий вопрос: существует ли во множестве наименьший элемент?

Определение. Пусть множество  ограничено сверху. Тогда наименьшая из всех его верхних границ называется верхней гранью, или точной верхней границей, и обозначается 

Это определение равносильно следующему.

Определение. Число  называется верхней гранью множества  если выполнены следующие два условия:

1. для каждого  справедливо неравенство 

2. для любого  найдется такой , что 

Первое условие этого определения означает, что  является верхней границей множества  а второе - что  наименьшая из всех верхних границ, т. е. что никакое число  не является верхней границей множества 

Аналогично формулируется определение нижней грани.

Определение. Пусть множество  ограничено снизу. Тогда наибольшая из всех его нижних границ называется нижней гранью, или точной нижней границей, и обозначается 

Это определение равносильно следующему.

Определение. Число  называется нижней граньюмножества  если выполнены следующие два условия:

1. для каждого  справедливо неравенство 

2. для любого  найдется такой  что 

Первое условие этого определения означает, что m является нижней границей множества  а второе - что  наибольшая из всех нижних границ, т. е. что никакое число  не является нижней границей множества 

Из определения верхней и нижней граней множества не следует сам факт их существования. Существование точных границ устанавливает следующая теорема.

Теорема (о существовании верхней грани). Каждое непустое ограниченное сверху множество имеет верхнюю грань. Пусть  ограниченное сверху множество, а  множество всех его верхних границ. Оба множества непустые, и для любых   справедливо неравенство  По аксиоме полноты множества действительных чисел, существует такое число  что для любых   справедливо неравенство  Левое неравенство означает, что число  является верхней границей множества  т. е.  а правое неравенство показывает, что  наименьший элемент во множестве 

Аналогично доказывается следующая

Теорема (о существовании нижней грани). Каждое непустое ограниченное снизу множество имеет нижнюю грань.

Понятие верхней (нижней) грани мы определили для ограниченного сверху (снизу) множества. Но не каждое множество ограничено сверху (снизу). Так, само множество действительных чисел  неограничено сверху и снизу. В самом деле, для любого  найдется  такой, что  (например,  Это означает, что никакое число  не является верхней границей множества  В случае если множество  неограничено сверху, иногда пишут  Аналогично, если множество неограничено снизу, то пишут  Примером неограниченного снизу множества также может быть множество 



Ссылки на источники материалов использованных для работы

· https://wiki2.org/ru/Ограниченное_множество

· http://optoelectrosys.ru/teor/chislovye-mnozhestva.html

· http://cos-cos.ru/math/142/

· https://megaobuchalka.ru/3/33933.html

· https://lektsii.org/12-87811.html

· https://studfiles.net/preview/5427469/page:2/

· http://www.grandars.ru/student/vysshaya-matematika/mnozhestvo.html

Размещено на Allbest.ru

...