Метод трапеций является одним из методов численного интегрирования. Он позволяет вычислять определенные интегралы с заранее заданной степенью точности.

Сначала опишем суть метода трапеций и выведем формулу трапеций. Далее запишем оценку абсолютной погрешности метода и подробно разберем решение характерных примеров. В заключении сравним метод трапеций с методом прямоугольников.

Поставим перед собой следующую задачу: пусть нам требуется приближенно вычислить определенный интеграл, где подынтегральная функция непрерывна на отрезке .

Разобьем отрезок на  равных интервалов длины  точками . В этом случае шаг разбиения находим как  и узлы определяем из равенства  .

Рассмотрим подынтегральную функцию на элементарных отрезках .

Возможны четыре случая на Рис. (1.1) показаны простейшие из них, к которым все сводится при бесконечном увеличении n):

Рис. (1.1)

На каждом отрезке ,  заменим функцию  отрезком прямой, проходящей через точки с координатами  и . Изобразим их на Рис. (1.2) синими линиями:

Рис.(1.2)

трапеция определенный интеграл

В качестве приближенного значения интеграла  возьмем выражение , то есть, примем .

Давайте выясним, что означает в геометрическом смысле записанное приближенное равенство. Это позволит понять, почему рассматриваемый метод численного интегрирования называется методом трапеций.

Мы знаем, что площадь трапеции находится как произведение полу суммы оснований на высоту. Следовательно, в первом случае площадь криволинейной трапеции приближенно равна площади трапеции с основаниями и высотой , в последнем случае определенный интеграл  приближенно равен площади трапеции с основаниями  и высотой , взятой со знаком минус. Во втором и третьем случаях приближенное значение определенного интеграла  равно разности площадей красной и синей областей, изображенных на Рис. (1.3).

Рис. (1.3)

Таким образом, мы подошли к сути метода трапеций, которая состоит в представлении определенного  интеграла в виде суммы интегралов вида  на каждом элементарном отрезке и в последующей приближенной замене .

Если отрезок  разбивается узлами интегрирования и на каждом из элементарных отрезков применяется формула трапеций, то суммирование даст составную формулу трапеций (1.1).

(1.1)

Применение составной формулы трапеции:

Применение формулы трапеций для равномерной сетки:

Оценка абсолютной погрешности производится по формуле (1.2):

(1.2)

Графическая иллюстрация метода трапеции. Рис. (1.3):

Рис. (1.3)

Примеры вычислений

Разберем примеры использования метода трапеций для приближенного вычисления определенных интегралов. Особое внимание уделим двум разновидностям заданий:

- вычисление определенного интеграла методом трапеций для данного числа разбиения отрезка ;

- нахождение приближенного значения определенного интеграла с оговоренной точностью.

При заданном n все промежуточные вычисления необходимо проводить с достаточно высокой степенью точности. Точность вычислений должна быть те выше, чем больше .

Если мы имеем заданную точность вычисления определенного интеграла, то все промежуточные вычисления необходимо проводить на два и более порядков точнее. Например, если задана точность до 0,01, то промежуточные вычисления мы проводим с точностью до 0,0001 или 0,00001. При больших промежуточные вычисления необходимо проводить с еще более высокой точностью.

Рассмотрим приведенное выше правило на примере. Для этого сравним значения определенного интеграла, вычисленного по формуле Ньютона-Лейбница и полученного по методу трапеций.

Итак

Пример 1: Вычислим по методу трапеций определенный интеграл для равным 10.

Решение:

Формула метода трапеций имеет вид

Для того, чтобы применить формулу, нам необходимо вычислить шаг по формуле , определить узлы , вычислить значения подынтегральной функции .

Шаг разбиения вычисляется следующим образом: . Для вычисления подынтегральной функции в узлах будем брать четыре знака после запятой:

(2.1)

Внесем результаты вычислений в Таблицу (2.1):

Таблица 2.1

Подставим полученные значения в формулу метода трапеций:

(2.2)

Сравним наши результаты с результатами, вычисленными по формуле Ньютона-Лейбница. Полученные значения совпадают до сотых.

Ответ: .

Пример 2:

Вычислим по методу трапеций значение определенного интеграла с точностью до 0,01.

Согласно условию задачи . Найдем , которое равно количеству точек разбиения отрезка интегрирования, с помощью неравенства для оценки абсолютной погрешности . Сделаем мы это следующим образом: мы найдем значения , для которых будет выполняться неравенство . При данных формула трапеций даст нам приближенное значение определенного интеграла с заданной точностью.

Для начала найдем наибольшее значение модуля второй производной функции на отрезке .

(2.3)

Вторая производная функция является квадратичной параболой . Из ее свойств мы знаем, что она положительная и возрастает на отрезке. В связи с этим .

В приведенном примере процесс нахождения оказался достаточно простым. В сложных случаях для проведения вычислений можно обратиться к наибольшим и наименьшим значениям функции. После рассмотрения данного примера мы приведем альтернативный метод нахождения .

Подставим полученное значение в неравенство :

(2.4)

Количество элементарных интервалов, на которые разбивается отрезок интегрирования является натуральным числом. Для поведения вычислений возьмем равное шести. Такое значение позволит нам достичь заданной точности метода трапеций при минимуме расчетов.

Вычислим шаг: .

Найдем узлы определим значения подынтегральной функции в этих узлах:

(2.5)

Результаты вычислений запишем в Таблицу (2.2):

Таблица 2.2

Подставим полученные результаты в формулу трапеций:

(2.6)

Для проведения сравнения вычислим исходный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

(2.7)

Как видим, полученной точности вычислений мы достигли.

Ответ: .

Для подынтегральных функций сложного вида нахождение числа n из неравенства для оценки абсолютной погрешности не всегда просто. В этом случае будет уместен следующий метод.

Обозначим приближенное значение определенного интеграла, которое было получено по методу трапеций для узлов, как . Выберем произвольное число . По формуле метода трапеций вычислим исходный интеграл при одинарном и удвоенном числе узлов и найдем абсолютную величину разности двух полученных приближенных значений .

Если абсолютная величина разности двух полученных приближенных значений меньше требуемой точности , то мы прекращаем вычисления и выбираем значение , которое можно округлить до требуемого порядка точности.

Если абсолютная величина разности двух полученных приближенных значений больше требуемой точности, то необходимо повторить действия с удвоенным количеством узлов .

Такой метод требует проведения большого объема вычислений, поэтому разумно использовать вычислительную технику для экономии времени.

Решим с помощью приведенного выше алгоритма задачу. С целью экономии времени опустим промежуточные вычисления по методу трапеций.

Пример 3:

Необходимо вычислить определенный интеграл по методу трапеций с точностью до 0,001.

Решение:

Возьмем равное 10 и 20. По формуле трапеций получим .

, что требует продолжения вычислений.

Возьмем равное 40: .

, что также требует продолжения вычислений.

Возьмем равное 80: .

, что требует проведения еще одного удвоения числа узлов.

Возьмем равное 160: .

.

Получить приближенное значение исходного интеграла можно округлив до тысячных: .

Для сравнения вычислим исходный определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница: .

Требуемая точность достигнута.

Ответ: .

Погрешности

Промежуточные вычисления для определения значения определенного интеграла проводят в большинстве своем приближенно. Это значит, что при увеличении начинает накапливаться вычислительная погрешность.

Сравним оценки абсолютных погрешностей метода трапеций и метода средних прямоугольников:

 (3.1)

Метод прямоугольников для заданного при одинаковом объеме вычислительной работы дает вдвое меньшую погрешность. Это делает метод более предпочтительным в тех случаях, когда известны значения функции в средних отрезках элементарных отрезков.

В тех случаях, когда интегрируемые функции задаются не аналитически, а в виде множества значений в узлах, мы можем использовать метод трапеций.

Если сравнивать точность метода трапеций и метода правых и левых прямоугольников, то первый метод превосходит второй в точности результата.

Вычисления интегралов в Delphi методом трапеций

Delphi - это среда разработки программ, ориентированных на работу в операционной системе Windows. В среде Delphi используется язык Object Pascal, основой для которого является язык программирования Turbo Pascal.

Создание новой программы в объектно-программированной среде Delphi начинается с выбора опции File/New Application.

Размещаем на форме со страницы библиотеки Standard:

два компонента (объект Groupbox) для группировки установленных в форму компонентов по смыслу. См. Рис.(4.1)

в компоненте Groupbox1 три текстовых поля (объекты Edit): для ввода значений количества разбиений n, начального и конечного значения интервалов а и b;

в компоненте Groupbox1 три поля меток (объекты Label): для вывода информации, содержащейся в текстовых полях Edit;

в компоненте Groupbox2 четыре поля меток (объекты Label): Label5 и Label7 для вывода результатов значения шага h и вычисления определенного интеграла по методу трапеции; Label4 и Label6 для вывода соответствующей информации.

Распологаем компоненты страницы Standart на форме.

Рис. 4.1

Обратившись к инспектору объектов, изменяем свойство Caption формы следующим образом: щелкаем мышью по строке Caption окна инспектора объектов. Мы активизировали эту строку свойств. В правой колонке запишем «Вычисление определенного интеграла - метод трапеций». Аналогичным способом изменяем свойство Caption для компонента Groupbox1. Запишем «Исходные данные», для компонента Groupbox2 - «Расчетные данные». Аналогично изменяем свойство Caption для полей меток (объекты Label) следующим образом: Label1 - «Количество разбиений,n»; Label2 - «Начальное значение интеграла, а»; Label3 - «Конечное значение интеграла, b»; Label4 - «Значение шага, h»; Label5 - «неизвестная величина»; Label6 - «Значение интеграла по методу трапеций,S»; Label7 - «неизвестная величина» Рис.(4.2).

Рис. (4.2)

Следующим этапом является создание программного кода событийной процедуры, определяющей вычисления определенного интеграла по методу трапеции. Для этого необходимо совершить следующие действия.

Поместить на форму кнопку Button1 . Для данной кнопки в инспекторе объектов обозначить свойство Caption как «Расчет». Необходимо создать для нее событийную процедуру TForml.ButtonlClick, для этого по кнопке произведем двойной щелчок мышью, откроется окно редактора кода программы. См. Рис.(4.3).

Рис. (4.3)

В процедуре TForml.ButtonlClick нужно:

Присвоить переменным a, b, h значения, введенные в текстовые поля, с использованием функции преобразования строки в вещественное число StrToFloat (). Например: a:=StrToFloat(Edit2.Text); См. Таблица (4.1).

Таблица 4.1

При помощи цикла с параметром вычислим значение , для этого рассчитаем. Приведем пример фрагмента кода программы:

sum:=0;

for i:=1 to (n-1) do

begin

x:=a+i*h;

f:=1/sqrt((0.2*x*x)+1);

sum:=sum+f;

end;

Вычислим длину каждого элементарного отрезка (значение шага). Точки деления отрезка будут:; , .

Для того чтобы вывести значение шага в поле метки Label5 используем функцию преобразования типа данных FloatToStr(L);

Например: Label5.Caption:=FloatToStrF(h,ffFixed,4,3);

Расчет значения определенного интеграла f(x0) в точке x0=a:

Например: f0:=1/sqrt((0.2*a*a)+1);

Расчет значения определенного интеграла f (xn) в точке xn=b:

Например: fn:=1/sqrt((0.2*b*b)+1);

Расчет значения определенного интеграла при помощи метода трапеции:

sft:=h*(f0+fn/2)*sum;

Вывод значения интеграла по методу трапеций в поле метки Label7 с использованием функции преобразования типа данных FloatToStr(L);

Например: Label7.Caption:=FloatToStrF(sft,ffFixed,4,3);

Приведем пример кода программы:

procedure TForm1.Button1Click (Sender: TObject);

Var a,b,x,h,f,f0,fn,sft,sum:real; i,n:integer;

Begin

n:=StrToInt(Edit1.Text);

a:=StrToFloat(Edit2.Text);

b:=StrToFloat(Edit3.Text);

h:=(b-a)/n;

Label5.Caption:=FloatToStrF(h,ffFixed,4,3);

sum:=0;

for i:=1 to (n-1) do

begin

x:=a+i*h;

f:=1/sqrt((0.2*x*x)+1);

sum:=sum+f;

end;

f0:=1/sqrt((0.2*a*a)+1);

fn:=1/sqrt((0.2*b*b)+1);

sft:=h*(f0+fn/2)*sum;

Label7.Caption:=FloatToStrF(sft,ffFixed,4,3);

end;

Литература

1. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики: Физ-Мат. Лит., 1963. -- 659 с.

2. Пирумов У.Г. Численные методы: учебное пособие для студ. втузов / У.Г. Пирумов.-3-еизд., испр.-М.:Дрофа,2004.-224 с.

3. Фаронов В.В. Delphi 5. Учебный курс / В.В. Фаронов. - М.: Нолидж, 2001.-608 с.

Размещено на Allbest.ru