Свойства лучей, исходящих из данной точки под равными углами
Свойства трисектрисс углов треугольников. Теоремы, раскрывающие неизвестные свойства лучей, исходящих из заданной точки под постоянным углом. Выполнение эскизных работ по проективной геометрии. Применение в ходе геодезического сопровождения строительства.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 27.01.2019 |
| Размер файла | 385,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Свойства лучей, исходящих из данной точки под равными углами
Куспаев Нургалий Джумагалиевич / Kuspaev Nurgaliy Djumagalievich - инженер-строитель,
Республиканское государственное предприятие
Актюбинский региональный государственный университет имени К. Жубанова, г. Актобе, Республика Казахстан
Аннотация
в данной статье продолжено изучение свойств трисектрисс углов треугольников и приводятся новые теоремы, раскрывающие ранее неизвестные свойства лучей, исходящих из заданной точки под постоянным углом Свойства этих лучей выполняют важную роль при выполнении эскизных работ по проективной геометрии, а также в исследованиях по изучению теории распространения световых волн в оптической физике и могут на практике применяться в ходе геодезического сопровождения строительства кривых участков автомобильных и железных дорог.
Ключевые слова: внутренние углы треугольников, биссектрисы и трисектрисы внутренних углов, лучи и прямые, круговая кривая, угол поворота, тангенсы и домеры.
трисектрисса угол луч треугольник
Четвертая теорема о трисектрисах угла треугольника
В предыдущей статье [1] рассмотрено несколько свойств трисектрис угла треугольника. В этой статье мы раскрываем ранее неизвестные свойства трисектрис.
Теорема
Трисектрисы угла C треугольника отсекают на противоположной стороне треугольника отрезки, пропорционально произведениям длин векторов, образующих соответствующие отрезки.
Рис. 1. Свойство трисектрисы угла
Для доказательства на рис. 1 построим треугольник c трисектрисами . Из формул аналитического определения трисектрисс внутреннего угла треугольника[2]Размещено на http://www.allbest.ru/
имеем равенства:
AE (1) EF (2) BF = (3)
Определение
Общий множитель для всех частей основания треугольника , выраженный формулой
(4)
Назовем характеристическим числом трисектрисс угла С, характерным только для данного угла треугольника .
Для отношения AE/EF/BF из формул (2) все значения сократим
на величину характеристического числа и получаем равенство в виде формулы (5)
AE / EF / BF = (b*CE)/(CE*CF)/(CF*a) (5)
Внутри каждой из трех скобок стоят произведения длин векторов, исходящих из вершины С и образующих составные части AE, EF и BF соответственно. Теорема доказана. Теорема
Лучи, исходящие от фиксированной точки С под одним и тем же углом отсекают на прямой, проходящей от заданной точки на определенном расстоянии отрезки пропорционально произведениям длин векторов, образующих эти отрезки. Данная теорема доказывается методом математической дедукции. См. рис. 3.
Рассмотрим N лучи, исходящие из заданной точки С и имеющие углы, имеющие одинаковые значения между соседними лучами. При N=2, из теоремы о биссектрисе [1] согласно рис. 2 имеем равенство:
AD / BD = AC/BC, (6)
составляющие отношения стоящего в правой части равенства умножаем на длину биссектрисы угла С (CD) и получим тождество: AD/BD = (b*) / (.
Рис. 2. Свойство биссектрисы угла С треугольника
Cправедливость теоремы для N=3 вытекает из четвертого свойства трисектрисс угла С (формула (5).
Теперь допустим, что данная теорема справедлива для достаточно большого значения N = n и докажем справедливость теоремы для случая Cм. Рис. 3.
В треугольнике угол ACB = n, и допустим, что для всех частей стороны АВ, полученных пересечением всех лучей, делящих угол С на равные части с одинаковыми значениями теорема справедлива. В треугольнике , оставив последние два составляющих угла дополним треугольник еще одним лучом под углом Для полученного треугольника
= (n +1).
В треугольнике лучи CL и CB являются трисектрисами вершины С и для частей KL, LB и BN его основания KN теорема выполнима, согласно свойствам трисектрис по первоначально приведенной теоремы. Теорема доказана.
Рис. 3. Свойства множества лучей, исходящих из одной точки
Геодезическая разбивка круговых кривых при строительстве автомобильных и железных дорог Приведем определения основных терминов, применяемых в дорожном строительстве.
Определение 1. Расстояние от вершины угла до начала или конца круговой кривой называется тангенсом угла поворота.
Определение 2. Разница между расстоянием от центра угла поворота до точки, принадлежащей тангенсу угла поворота и радиусом круговой кривой называется Домером(см. рис. 4).
Определение 3. Отрезок тангенса угла, образованный двумя соседними лучами называется «дольками» тангенса.
Рис. 4. Схемы элементов круговой кривой
О - центр угла поворота.
R - радиус кривой.
ВУ - вершина угла поворота
НК, КК - начало и конец круговой кривой.
При подетальной разбивке предлагаемым методом, рассматриваем треугольник с вершинами в точках О, НК и ВУ, (в дальнейшем прямоугольный треугольник где В - вершина угла поворота и К - начало кривой (Рис. 5), а конец кривой КК симметрична с НК по линии ОВ.
Рис. 5. Схема разбивки кривой
Угол делим на десять равных частей (можно разделить на любое равное количество частей). Для удобства промежуточные точки на «тангенсе» пронумеруем цифрами 1,2,3 … и т. д., начиная с точки начала кривой (точка К).
Для первого деления со сторонами ОК = R,
О1 = , где и 1К = = Rtg. (7)
Для второго деления сторона которого О1 известна, вторая сторона О2 = , а третья сторона определяется с использованием предыдущей теоремы по формуле (8).
, (8)
Подетальная разбивка удобна тем, что при разбивке используются короткие расстояния, удобные в применениях и менее трудоемкие, чем привязка к отдаленной точке О (центру угла поворота).
Для третьего деления которого О2, подсчитана в предыдущем шаге алгоритма, вторая сторона О3 = , третья сторона, как последующая доля тангенса угла поворота находится по формуле (9).
и т. д.; (9)
Для i- го деления, одна сторона которого определяется в предыдущем шаге, это отрезок от центра угла до предыдущей точки, другая сторона
О(i-1) = и отрезок на «тангенсе»:
(10)
и для последнего деления, в нашем случае (десятого) треугольник сторона О9 определяется в предыдущем шаге, вторая сторона ОВ = и последний отрезок
В9 =
Литература
1. Куспаев Н. Дж. Теоремы о биссектрисе и трисектрисах треугольника // Проблемы науки. Август 2016.
2. Куспаев Н. Дж. Аналитическое определение длин трисектрис // Проблемы науки. Август 2016.
3. Справочник по элементарной математике. М., 1972. С. 284.
4. Академия коммуникации и транспорта. г. Алматы, 2014.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Понятие треугольника и его роль в геометрии. Сумма углов треугольника, вычисление площади, свойства различных видов фигур. Признаки равенства и подобия треугольников, теорема Пифагора. Медианы, биссектрисы и высоты, соотношение между сторонами и углами.
курс лекций [3,7 M], добавлен 23.04.2011Основные законы проективной геометрии. Понятие двойного отношения, параллельности и бесконечности. Теорема Дезарга и теорема Паскаля. Пространственная интерпретация теоремы Дезарга. Стереометрия помогает планиметрии. Окружность переходит в окружность.
курсовая работа [866,1 K], добавлен 05.12.2013Из истории геометрии, науки об измерении треугольников. Замечательные точки треугольника. Использование геометрических фигур в орнаментах древних народов. Бильярдная рамка, расстановка кеглей в боулинге. Бермудский треугольник. Построения прямых углов.
презентация [9,2 M], добавлен 02.10.2011Определение и свойства равнобедренного треугольника. Соотношения для углов, сторон, периметра, площади для равнобедренных треугольников по отношению к вписываемым и описываемым окружностям. Параметры биссектрис, медиан, высот, углов треугольников.
презентация [69,6 K], добавлен 23.04.2015Аксиомы: точки и прямые. Отрезки и их длины. Углы и их меры. Смежные и вертикальные углы. Параллельные прямые: определение, свойства. Треугольник и его элементы, признаки равенства. Треугольник и его виды: равнобедренный, равносторонний, прямоугольный.
презентация [77,7 K], добавлен 20.05.2009Теоремы Паскаля, Брианшона для пятиугольника, четырехугольника, треугольника. Их использование для решения задач конструктивного типа проективной геометрии линий 2-го порядка на расширенной прямой, связанные с построением точек и касательных к ним.
курсовая работа [967,1 K], добавлен 02.06.2013Обзор пяти групп аксиом, на которых зиждется планиметрия Лобачевского. Сущность модели Кэли-Клейна в высшей геометрии. Особенности доказательства теоремы косинусов, теорем о сумме углов треугольника, о четвертом признаке конгруэнтности треугольников.
курсовая работа [629,3 K], добавлен 29.06.2013Понятие окружности и круга, основные теоремы и свойства. Касание прямой и окружности, случаи их взаимного расположения. Вписанные и описанные фигуры. Относительное положение двух окружностей. Свойства хорд и расстояние до них. Определение длин и площадей.
презентация [536,1 K], добавлен 16.04.2012Геометрические понятия точки, луча и угла. Виды углов: развернутые, острые, прямые, тупые, смежные и вертикальные. Способы построения смежных и вертикальных углов. Равенство вертикальных углов. Проверка знаний на уроке геометрии: определение вида углов.
презентация [13,0 M], добавлен 13.03.2010Элементы геометрии треугольника: изогональное и изотомическое сопряжение, замечательные точки и линии. Коники, связанные с треугольником: свойства конических сечений; коники, описанные около треугольника и вписанные в него; применение к решению задач.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 17.06.2012Теоретические сведения по теме "Признаки равенства треугольников". Методика изучения темы "Признаки равенства треугольников". Тема урока "Треугольник. Виды треугольников". "Свойства равнобедренного и равностороннего треугольников".
курсовая работа [30,5 K], добавлен 11.01.2004Треугольник как геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки. Основные элементы данной фигуры: вершины и стороны. Классификация и разновидности треугольников по различным признакам.
презентация [343,2 K], добавлен 28.11.2013Роль идей и методов проективной геометрии в математической науке. Закономерности кривых второго порядка и кривых второго класса, основные теоремы Паскаля и Брианшона, описывающие замечательное свойство шестиугольника вписанного в кривую второго порядка.
курсовая работа [1,9 M], добавлен 04.11.2013Определение спирали Архимеда как лучшего способа определения площади круга. Основные свойства и способы логарифмической спирали - кривой, которая пересекает все лучи, выходящие из одной точки, под одним и тем же углом. Гиперболическая спираль в технике.
реферат [494,9 K], добавлен 13.03.2015Преобразования подобия, их свойства. Доказательство теоремы: гомотетия есть преобразование подобия. Основные признаки подобия треугольников, решение типовых задач. Углы, вписанные в окружность. Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности.
реферат [729,0 K], добавлен 02.06.2009Область определения и свойства функции (четность, нечетность, периодичность). Точки пересечения функции с осями координат. Непрерывность функции. Характер точек разрыва. Асимптоты. Экстремумы функции. Исследование функции на монотонность. Точки перегиба.
презентация [298,3 K], добавлен 11.09.2011История интегрального исчисления. Определение и свойства двойного интеграла. Его геометрическая интерпретация, вычисление в декартовых и полярных координатах, сведение его к повторному. Применение в экономике и геометрии для вычисления объемов и площадей.
курсовая работа [2,7 M], добавлен 16.10.2013- Свойства и особенности ортогонального проецирования, используемые при разработке графических моделей
Условия отображения формы и размеров геометрического объекта при его моделировании. Виды проецирования, используемые при разработке графических моделей. Свойства ортогонального проецирования, отображение на комплексном чертеже точки, прямой и плоскости.
реферат [1,2 M], добавлен 01.04.2011 Эквивалентность, ее формальные свойства и операции над отношениями. Доказательство основных теорем, лемм. Отношения эквивалентности на числовой прямой. Характерные свойства толерантности. Применение эквивалентности и толерантности в сферах различных наук.
курсовая работа [496,5 K], добавлен 20.09.2009Основы теории многочленов от одной переменной. Определение и простейшие свойства многочленов Чебышева. Основные теоремы о многочленах Чебышева. Формальная производная многочлена. Рациональные корни нормированного многочлена с целыми коэффициентами.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 04.07.2015
