Общая методика установления зависимости между различными параметрами биообъектов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Всероссийский научно-исследовательский институт метрологии им. Д.И. Менделеева

ОБЩАЯ МЕТОДИКА УСТАНОВЛЕНИЯ ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ РАЗЛИЧНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ БИООБЪЕКТОВ

В.С. Сибирцев

Аннотация

биообъект зависимость параметр исследуемый

Описана общая методика, позволяющая с высокой степенью достоверности установить возможность существования и вид зависимости между различными исследуемыми параметрами. А также приведены некоторые примеры использования этой методики в приложении к различным биообъектам.

Ключевые слова: взаимозависимости характер, регрессионный анализ, корреляционный анализ, интерполяция, аппроксимация, сплайны

Основная часть

Для того чтобы разработать какой-либо метод диагностики, установить механизм протекания тех или иных процессов и т.п. необходимо прежде всего установить если не точный, то хотя бы примерный вид зависимостей между теми или иными параметрами. Без достаточно серьезного математико-статистического анализа тут не обойтись, особенно если имеешь дело с биологическими объектами, весьма неоднородными по самому своему определению. Однако, далеко не все исследования в данной области выдерживают критику с этой точки зрения. Вследствие этого автору и захотелось привести здесь хотя бы в самых общих чертах методику установления характера зависимости между различными исследуемыми параметрами, включающую в себя алгоритмы, позволяющие:

- существенно уменьшить (если необходимо) количество исходных данных, после чего исключить из рассмотрения "аномальные" по тем или иным причинам значения и определить предварительно являются ли исследуемые параметры хоть в какой-то мере взаимозависимыми;

- провести интерполяцию, а также построить (если необходимо) "сглаживающую" кривую (или поверхность), проходящую вблизи, но не обязательно непосредственно через каждую точку анализируемой выборки данных;

- провести расширенный регрессионный и корреляционный анализ данных с использованием широкого набора различных функций и возможностью расчета не только парных, но также множественных, частных и т.д. коэффициентов корреляции между параметрами.

Предварительная обработка данных и их графический анализ

Хотя многие исследователи полагают, что чем большее количество исходных данных они используют, тем точнее получится конечный результат, первой важной проблемой при математическом анализе может оказаться необходимость существенного уменьшения количества этих данных [1-4]. Одна из наиболее широкораспространенных методик для этого заключается в следующем. Для исходной выборки, включающей в себя, в целом, Q* значений параметров Y и X, проверяется соотношение:

L=(xQ-x1)/(yQ-y1)

Далее, если L<1, то параметры Y и X меняем местами. Задаем DX=(xQ-x1)/Q (где Q<Q*). И затем, для всех Q** значений параметров X и Y исходной выборки, попавших в диапазон DXi (i=1Q) находим xi*=Sxj/Q** и yi*=Syj/Q** (j=1Q**); из коих и формируем конечную, сглаженную выборку, включающую в себя уже не Q*, а Q значений параметров xi* и yi*, с которой и производим все дальнейшие операции.

Затем, часто возникает необходимость отсечения из рассмотрения аномальных значений, возникновению которых может способствовать не только наличие каких-либо погрешностей определения анализируемых параметров, но и неоднородность (особенно, в случае живых организмов) самих объектов исследования. Кроме того, если мы, к примеру, хотим исследовать характер зависимости фактора Y именно от X, то влияние на Y иных, кроме X, факторов должно быть в наибольшей возможной степени исключено. Сделать это можно например следующим образом.

Для каждой точки (Yj,Xj) из первоначально рассматриваемой двумерной выборки (насчитывающей в целом Q таких точек) определяются еще b ближайших к ней точек, после чего если для полученных b+1 значений выполняется критерий:

|Mj-Yj| > ta--· [S(Mj-Ya)² / (b²-b)]^1/2 (1),

где Mj = 1/(b+1)·SYi, i = 1 b+1, i№j,

а ta - критерий Стьюдента для уровня значимости "a" и "b-1" числа степеней свободы, то проверяемая точка (Yj,Xj) считается аномальной и при дальнейших расчетах отбрасывается [5]. Однако, нужно быть весьма внимательным, чтобы при этом не отбросить и особые, критические точки, заключающие в себе качественно важную информацию об изменении характера изучаемой зависимости на различных ее участках.

На следующем этапе предварительной обработки анализируемых данных желательно установить в самом общем виде являются ли исследуемые параметры Y и X хоть в какой-то мере взаимозависимыми. Для этого может быть использована процедура порядковой корреляции по Спирмену, которая состоит в следующем: пусть известно, что в исследуемой выборке величины Xj и Yj занимают, соответственно, Si и Zi место, тогда если:

[Q-1]^1/2 · [1 - 6/(Q³-Q)] · S(Si-Zi)² > ua_-------- (2),

где ua - табличное значение функции Лапласа (u_0,1=0,2533, u_0,05=0,125, u_0,01=0,025, u_0,001=0,0025), то гипотеза о независимости параметров Y и X отвергается с уровнем значимости "a" [1].

Далее, если проверка по Спирмену (проведенная после соответствующего отсечения аномальных данных) дала положительные результаты, следует постараться представить себе изучаемую зависимость наглядно. Самый простой способ для этого - интерполяция, когда результирующая кривая проходит через каждую точку исходной совокупности данных [1, 5-7].

В случае линейной интерполяции вышеуказанные точки соединяются друг с другом прямыми линиями. При этом для каждых двух точек: (Yi,Xi) и (Yi₊₁,Xi₊₁) - коэффициенты a_j (j=12) функции: Y = a₁+a₂·X - находятся решением системы из двух линейных уравнений вида:



что, в конечном счете, даст выражение:

Y(X) = yi + (X-xi)·(yi+1-yi)/(xi+1-xi) (3).

Однако, такой способ мало пригоден, если исходные данные, к примеру, вследствие каких-либо причин значительно разрежены или неоднородны. В этом случае можно, например, увеличить степень интерполирующего полинома. При этом в случае кубической интерполяции для каждых двух точек: (Yi,Xi) и (Yi₊₁,Xi₊₁) (если какая-либо из них не является концевой для рассматриваемой выборки) коэффициенты aj (j=14) функции:

Y = a₁ + a₂·X + a₃·X² + a₄·X³

- находятся решением системы из 4-х линейных (относительно aj) уравнений вида:

Аналогично, решая систему линейных относительно aj уравнений вида: a₁+?aj·fj(xi)=f₀(yi) (при этом наиболее распространенными являются: f(Z) = Z, 1/Z, Z^h, h^Z, log_hZ, 1/(h+Z), h₁/(h₂+Z) и т.д., где h₁ и h₂ = const) можно найти значения коэффициентов для любой другой интерполяционной функции вида: f₀(Y)=a₁+Saj·fj(X). Но такой подход тоже далеко не всегда приводит к желаемому результату (см. рис.1).

И тогда на помощь приходят интерполирующие многочлены специального вида, называемые сплайнами и обеспечивающие на всем множестве имеющихся данных не только Y(Xi)=Yi, но и непрерывность первых, вторых и т.д. (в зависимости от степени сплайна) производных [4, 6, 8, 9]]. При этом, как и в случае с полиномиальной интерполяцией, результирующий многочлен может задаваться либо "глобально" (с учетом данных сразу по всей выборке), либо "локально" (с учетом для каждой точки только данных в более или менее близкой ее окрестности).

Для нахождения коэффициентов aj "локального" сплайна вида:

f₀(Y) = Z = a₀ + a₁·f₁(X) + a₂·f₂(X) + a₃·f₃(X),

обеспечивающего непрерывность нулевых и первых производных интерполяционной функции на диапазоне между (Yi,Xi) и (Yi+1, Xi+1) (i=1Q) точками анализируемой выборки данных, необходимо решить относительно этих коэффициентов следующую систему линейных уравнений:

где fj'(X) (j=13) - первые производные от fj(X),

а dj (j = i i+1) - первые производные от zj, определяемые, например, по формулам численного диференцирования [1, 5, 6] по 3 точкам как:

dj=(zj+1-zj)/(xj+1-xj) - если j=1 или (xj+1-xj)<2·(xj-xj-1);

dj=(zj-zj-1)/(xj-xj-1) - если j=Q или (xj+1-xj)>2·(xj-xj-1);

dj=(zj+1-zj-1)/(xj+1-xj-1) - в остальных случаях.

Для частного вида интерполирующей функции:

Y = a₀ + a₁·X + a₂·X2 + a₃·X3

вышеозначенные построения дают конечное выражение [6]:

Y(X) = [di·(xi+1-X)2·(X-xi) + di+1·(X-xi)2·(X-xi+1)] / (xi+1-xi)2 +

+ [yi·(xi+1-X)2·(2X-3xi+xi+1) + yi+1·(X-xi)2·(3xi+1-xi-2X)] / (xi+1-xi)3 (4).

Локальные сплайны для каждой (Yi,Xi) точки можно задавать также и не по одной, а по V ближайшим к ней точкам выборки. В этом случае интерполирующий сплайн-полином должен иметь вид:

f₀(Y) = Z = a₁ + ?aj·fj(X) (обычно: Y = a₁ + ?aj·Xj-1),

где j = 2 2·(V+1) для сплайнов с непрерывными только нулевой и первой производными, либо j = 2 3·(V+1) для сплайнов с непрерывными нулевой, первой и второй производными;

а решаемая относительно aj система уравнений для сплайнов с непрерывными только нулевой и первой производными имеет вид:

а для сплайнов с непрерывными нулевой, первой и второй производными имеет вид:



где dj* - вторые производные от zj, определяемые, например, по формулам численного диференцирования [1, 5, 6] по 3 точкам как:

dj*=(dj+1-dj)/(xj+1-xj) - если j=1 или (xj+1-xj)<2·(xj-xj-1);

dj*=(dj-dj-1)/(xj-xj-1) - если j=Q или (xj+1-xj)>2·(xj-xj-1);

dj*=(dj+1-dj-1)/(xj+1-xj-1) - в остальных случаях.

Глобальный сплайн-многочлен третьего порядка, обеспечивающий на всем множестве имеющихся в выборке данных непрерывность нулевых, первых и вторых производных интерполяционной функции, может быть задан для каждого отрезка xixi+1, например, в виде [6]:

Y(X) = [yi/(xi+1-xi) - ai·(xi+1-xi)/6]·(xi+1-X) +

+ [yi+1/(xi+1-xi) - ai+1·(xi+1-xi)/6]·(X-xi) +

[ai·(xi+1-X)3 + ai+1·(X-xi)3·(X-xi+1)] / [6·(xi+1-xi)] (5),

где a₁=a_Q=0, а aj находятся решением системы линейных уравнений вида:

ai·(xi+1-xi) + 2·ai+1·(xi+2-xi) + ai+2·(xi+2-xi+1) =

(yi+2-yi+1)/[6·(xi+2-xi+1)] - (yi+1-yi)/[6·(xi+1-xi)]

Асимптотическое поведение интерполяционной функции, как правило [6], задается в виде:

Y(X)=y1+d1·(X-х1) при X<х1; либо Y(X)=y_Q+d_Q·(X-х_Q) при X>х_Q (6).

При построении замкнутой или взаимопересекающейся кривой интерполяционная функция задается "локальным" способом, при котором для каждых двух (или, если необходимо, большего числа) соседних точек анализируемой выборки проверяется соотношение:

L=(xi+1-xi)/(yi+1-yi).

И если L<1 - производится интерполяция X от Y (при этом в вышеприведенных формулах Y и X просто меняются местами); а если если L>1 - проводится интерполяция Y от X.

При наличии сильно разреженных исходных данных (т.е. когда расстояние между соседними точками весьма значительно), а также в иных случаях, когда требуется исключить (или, по крайней мере, насколько возможно уменьшить) проявление необоснованных "особенностей" (точек экстремума, где меняется знак первой производной функции; точек перегиба, где меняется знак второй производной функции; и т.д.) в искомой зависимости, для интерполяции помимо вышеизложенного полезным может оказаться использование так называемых "напряженных" функций [9]. При этом результирующее значение Y при заданном значении X вычисляется в виде:

Y(X) = Y1(X) + [Y2(X) - Y1(X)]·L* (7),

где Y1(X) - определяется по выбранной в качестве исходной сплайн- (см. например выражения (4) или (5)) или иной интерполяционной функции;

Y2(X) - определяется по выбранной в качестве "стержневой" линейной (см. выражение (3)) или любой иной интерполяционной функции;

а L* - "коэффициент напряжения", значения которого могут выбираться исследователем, вообще говоря, произвольно в пределах от 0 до 1 для каждого конкретного xixi+1 диапазона анализируемой выборки.

Наконец, в случае когда нет уверенности в достаточной достоверности исходных данных, можно провести предварительное сглаживание анализируемой выборки; после чего уже по полученным модифицированным значениям параметров X и Y строить результирующий интерполяционный многочлен. Это можно осуществить несколькими различными способами [4]. Например, для каждой i-точки исходной выборки можно строить интерполяционный многочлен по значениям V ближайших к рассматриваемой точек, но без учета cамой i-точки; затем, подставляя в полученное выражение значение xi, вычислять новую величину yi*. В качестве примера, для случая кусочно-линейной интерполяции это будет выглядеть следующим образом:

yi* = yi-1 + (xi-xi-1)·(yi+1-yi-1)/(xi+1-xi-1) (8)

(сравни с выражением (3)).

Другим способом может быть нахождение нахождение модифицированных значений параметра Y при заданных xi в виде:

yi** =yi·(1-L*) + yi*·L* (9),

где yi - значение параметра Y в i-точке исходной выборки,

yi* - сглаженное значение для xi, определенное как описано выше,

а L* - поправочный коэффициент из диапазона значений от 0 до 1.

В качестве еще одного способа сглаживания данных можно предложить построить любым из описанных выше методов интерполяционный многочлен по значениям исходной выборки. Затем, разбив область задания исходной выборки по X-параметру на Q* моноширинных (DX) диапазонов, вычислить для каждого из таких диапазонов по Q** значений yij** по заданным равноотстоящим друг от друга значениям хij**. После чего произвести усреднение полученных данных по выбранным диапазонам в виде: хi*=Sхij**/Q** и yi*=Syij**/Q** (i=1Q*, j=1Q**).

Наконец, четвертым способом может быть построение "напряженного" интерполяционного многочлена (см. формулу (7)); где Y1(X) строится обычным способом по данным исходной выборки; а в качестве Y2(X) (т.е. "стержневой" функции) берется выражение (8), или аналогичное ему для 4, 6 и т.д. ближайших к сглаживаемой точек (при этом в узлах конечного интерполяционного многочлена yi** будут определяться в соответствии с формулой (9)), либо, вообще, функция не интерполирующая, а аппроксимирующая (пусть, и с весьма малой степенью достоверности) исходные данные, как будет описано ниже.

Если результаты сглаживания вас не удовлетворят, можно повторить сию процедуру как с исходными, так и с новыми (уже сглаженными) данными, используя тот же, что и ранее или иной из вышеперечисленных метод c теми же, что и ранее, либо иными параметрами сглаживания (к которым относятся: V или ?X - определяющие "ширину диапазона сглаживания"; L* - поправочный коэффициент; сам вид многочленов, интерполирующих исходную выборку данных, а также задающих "стержневую" функцию Y2(X), и т.д. ), к подбору которых тоже следует относиться весьма внимательно.

Регрессионный и корреляционный анализ данных

После того как мы представили исследуемую зависимость наглядно (см. рис.1), можно попытаться определить ее уже не как громоздкий и достаточно удобный в использовании лишь в графическом виде многочлен, а в виде функции с конечным (желательно, как можно более меньшим) числом коэффициентов, проходящей лишь вблизи, но отнюдь не через каждую точку анализируемой выборки данных. Эта процедура называется аппроксимацией. При этом если закон, предопределяющий конкретный вид искомой зависимости, заранее неизвестен (а иначе, можно было бы и не заниматься интерполяцией, а сразу перейти к нахождению коэффициентов искомой зависимости), начать, желательно, с наиболее простого:

f₀(Y) = a₀ + a₁·f₁(X) (10),

где f₀(Y) и f₁(X) (наиболее распространенными среди которых являются следующие: f(Z) = Z, 1/Z, Z^h, h^Z, log_hZ, 1/(h+Z), h₁/(h₂+Z) и т.д., где h₁ и h₂ = const) стараются подобрать таким образом, чтобы график зависимости (10) был наиболее близок по своему виду и поведению к тому, что было получено на предыдущем этапе.

Заменой переменных: Z=f₀(Y), G=f₁(X) - данную зависимость всегда можно привести к виду:

Z = a₀ + a₁·G (11),

коэффициент корреляции для которой может быть вычислен по стандартной формуле:

а коэффициенты регрессии по формулам [6]:

При этом достоверность полученного коэффициента корреляции проверяется по критерию: |r|>ra - где критическое значение коэффициента корреляции определяется как:

ra= ta/[ta²+Q-2]^1/2 (14)

(здесь ta - табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости "a" и "Q-2" числа степеней свободы).

Чтобы расширить вышеуказанный подход на случай зависимости вида:

f₀(Y) = a₀ + a₁·f₁(X) +... + ak·fk(X) (15),

описывающей протекание в организме k взаимосвязанных процессов, необходимо произвести замену переменных:

Z=f₀(Y) и G = f₁(X) + a₂/a₁·f₂(X) +... + ak/a₁·fk(X) (16),

после чего значение коэффициента корреляции (r) можно рассчитать по формуле (12).

Для того же, чтобы найти значения собственно коэффициентов регрессии a₀ak зависимости вида (15), необходимо, например по методу наименьших квадратов [10], решить относительно a₀ak систему линейных уравнений:

При этом, вид функций: f₀(Y), f₁(X)fk(X) - и их количество выбираются исследователем самостоятельно, исходя из имеющихся теоретических предпосылок о характере описываемого процесса, требований максимизации получаемых в ходе расчета величин r/r? и Кад (коэффициента адекватности уравнения регресии), а также минимизации относительной ошибки аппроксимации (e). Здесь ra определяется: для зависимостей вида (10) и (11) - по формуле (14), а для зависимости вида (15) - по формуле:

ra--= [1/(1+(Q-k+1)/[Fa·k])]^1/2 (17)

(где Fa - табличное значение критерия Фишера для уровня значимости "a" и числа степеней свободы: "k" и "Q-k+1", соответственно); а Кад и e определяются по формулам [11]:

Кад = (Q-k) · S(Yт,i)² / [k·F·S(Yт,i-Yэ,i)²] (18),

e = (100/Q) · S|(Yт,i -Yэ,i)/Yэ,i| (19)

(где Yт,i и Yэ,i - теоретические - вычисляемые по формуле (15) - и экспериментальные значения параметра Y, соответственно).

Особенности анализа многомерных выборок данных

При анализе многомерных выборок помимо вышеуказанного следует учитывать также следующие факторы. Сглаживание данных и отсечение аномальных значений - процедуры, вообще говоря, в значительной мере субъективные (т.е. часто в большей мере зависящие от интуиции исследователя, чем от конечного числа каких-либо объективных критериев). Поэтому при многомерном анализе, наглядность которого (особенно, при совместном рассмотрении более чем трех взаимосвязанных параметров) не идет ни в какое сравнение с двухпараметровым анализом, проводить вышеозначенные процедуры следует с особой осторожностью.

Многомерную интерполяцию, особенно, в случае необходимости графического ее представления, следует проводить поэтапно. Так, например, для случая трех взаимозависимых параметров X, Y и Z: сначала следует интерполировать Y от X при фиксированных уровнях Z, а затем Z от Y при фиксированных уровнях X [1, 5, 6] (см. рис.2). Случай же М-мерной интерполяции, вообще, трудно представим графически; хотя с математической точки зрения аналогичен ранее рассмотренным случаям двух и трехмерной интерполяции.

Для аппроксимации и регрессионного анализа размерность исследуемой выборки большого значения не имеет (за исключением лишь значительного увеличения участвующих в расчетах данных): просто, в выражение (15) (и остальные, связанные с ним) вместо "f₁(X)fk(X)" следует подставить "f₁(X₂,…,Xm) fk(X₂,…,Xm)" (Y здесь мы рассматриваем как X₁).

При корреляционном же анализе парные (rjp) и сводный (R₀) коэффициенты рассчитываются как и при двумерном анализе составной функции; где, единственно, для rjp в формулу (12) вместо "gi" и "zi" следует подставить "xji" и "xpi"; а для R₀ в формулу (16) вместо "f₁(X)fk(X)" следует подставить "f₁(X₂,…,Xm) fk(X₂,…,Xm)". Однако, появляются еще в рассмотрении так называемые частные (r*jp - характеризующие степень линейной взаимосвязи между параметрами Xj и Xр за вычетом линейного же влияния на них остальных М-2 участвующих в рассмотрении параметров) и множественные (Rj - характеризующие степень линейной взаимосвязи между параметром Xj и остальными М-1 участвующими в рассмотрении параметрами) коэффициенты корреляции [11].

При этом, частные коэффициенты корреляции рассчитываются по формуле [1]:

r*jp = - Ljp / (Ljj·Lpp)1/2 (20)

(где [Ljp] = [L*jp]-1 - матрица, обратная матрице центральных моментов второго порядка:

L*jp = S--(xji - Sxji / Q) / (xpi - Sxpi / Q), i=1Q, (21)

а Q - объем выборки), а проверяются по критерию [11]:

|(Q-M-4)·r*/[1-(r*)2]1/2| > ta (22)

(где ta - табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости "a" и "Q-M-4" числа степеней свободы; а M - размерность выборки).

В то время как множественные коэффициенты корреляции рассчитываются по формуле [1]:

Rj = [1 - 1 / (Ljj·L*jj)] (23)

а проверяются по критерию (17), где вместо "k" подставляется "М".

Примеры анализа экспериментальных данных

Примеры использования разных типов интерполяции и "сглаживания" при анализе биохимических данных приведены на рис.3. В качестве же достаточно простого, но в тоже время действенного примера поиска конкретного вида зависимости между двумя параметрами с помощью корреляционного и регрессионного анализа (после проведенного предварительно отсечения аномальных значений в анализируемой выборке данных) можно сослаться, в частности, на нашу работу [15], наиболее интересные зависимости из которой приведены на рис.4.

Список литературы

1. Корн Г., Корн Т. (1978) Справочник по математике. / пер. с англ. М.: Наука, 832с.

2. Пугачев В.С. (1979) Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Наука, Физматгиз, 495с.

3. Королюк В.С., Портненко Н.И., Скороход А.В., Турбин А.Ф. (1985) Справочник по теории вероятностей и математической статистике. М.: Наука, 604с.

4. Хардле В. (1993) Прикладная непараметрическая регрессия. / пер. с англ. М.: Мир, 349с.

5. Калиткин Н.Н. (1978) Численные методы. М.: Наука, Физматгиз, 486с.

6. Дьяконов В.П. (1987) Справочник по алгоритмам и программам на языке бейсик для персональных ЭВМ. М.: Наука, Физматгиз, 240с.

7. Гринчишин Я.Т., Ефимов В.И., Ломакович А.Н. (1988) Алгоритмы и программы на бейсике. М.: Просвещение, 160с.

8. Шикин Е.В., Боресков А.В., Зайцев А.А. (1993) Начала компьютерной графики. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 138с.

9. Шишкин Е.В., Плис Л.И. (1996) Кривые и поверхности на экране компьютера. Руководство по сплайнам для пользователей. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 240с.

10. Кафаров В.В. (1972) Программирование и вычислительные методы в химии и химической технологии. М.: Наука, 488с.

11. Дубров А.Н., Мхатарян А.С., Трошин Л.И., Масленченко И.В. (1991) Математико-статистический анализ на программирумых микрокалькуляторах. М.: Финансы и статистика, 168с.

12. Сибирцев В.С. (1995) Исследование механизмов флуоресцентного взаимодействия комплексов ДНК-лигандов бензимидазольного и фенилиндольного рядов: Дис.... канд. хим. наук. С.Пб.: СПбГТИ (ТУ), 230c.

13. Сибирцев В.С., Гарабаджиу А.В., Иванов С.Д. (1994) Биоорган. химия, 20, 650-668.

14. Сибирцев В.С., Гарабаджиу А.В., Иванов С.Д. (2001) Биоорган. химия, 27, 64-73.

15. Sibirtsev V.S., Tyndyk M.L., Garabadzhiu A.V. Evaluation of organism individual sensitivity to carcinogenes action. // Digest "Biotechnology and the environment including biogeotechnology". New York, "Nova science publishers" Inc., 2004. P.41-48.



Рис. 1 Примеры использования различных видов интерполяции и "сглаживания" для наглядного графического представления зависимости между двумя параметрами на основе ограниченного количества экспериментальных данных (обозначены точками). Исходные данные, приведенные на рис.а,б, взяты из работы [13] для системы "6-(2-имидазолин-2-ил-2-[4-(2-имидазолин-2-ил)фенил]индол + ДНК тимуса теленка" в водном буфере, содержащем 0,01 M NaCl + 0,01 M Na₂EDTA (этилендиаминотетраацетат натрия) + 0,01 Tris (2-амино-2-гидроксиметил-1,3-пропандиол) (pH 7,4); при этом по оси абцисс отложены соотношения молярных концентраций ДНК и красителя в системе (C_S/C_L), а по оси ординат - значения коэффициента флуоресцентной чувствительности, отражающие величину приращения интенсивности флуоресценции красителя при увеличении концентрации ДНК в системе на 1 М (?). Кривыми 1-3 показан результат интерполяции экспериментальных данных "нормальными" локально задаваемыми полиномами первой (см. формулу (3)), второй и третьей степени, соответственно. Кривой 4 показан результат интерполяции экспериментальных данных локально задаваемыми квадратичными сплайнами (см. формулу (4)). Кривыми 5 и 6 показан результат интерполяции экспериментальных данных "нормальным" и "напряженным" "глобально" заданным кубическим сплайном (см. формулы (5) и (7)). Кривыми 7 и 8 показан результат "сглаживания" экспериментальных данных разными способами (см. формулы (8), (9) и т.п.). На рис.г, кроме того, показан пример построения замкнутой зависимости при помощи интерполяции экспериментальных данных локально задаваемыми квадратичными сплайнами с выбором разной "начальной" точки и направления "обхода" других точек относительно нее (по часовой или против часовой стрелки, соответственно)



Рис. 2 Графическое представление поверхности, полученной путем локальной квадратичной сплайн-интерполяции зависимости между тремя параметрами: Hb (относительный вклад водородных связей в образование специфического активно флуоресцирующего комплекса ДНК-краситель), C_S/C_L (см. рис.1) и G_j=lg(I_j/I₀) (где I₀ и I_j - интенсивность флуоресценции красителя при C_S/C_L = 0 и j, соответственно) для десяти соединений 2-фенилбензазольного ряда (структурные формулы которых указаны в работе [14]; а экспериментальные данные, обозначенные точками с соответствующими номерами, взяты из работы [12]) в присутствии ДНК тимуса теленка в том же буфере, что указан для рис.1.а,б



Рис. 3 Примеры использования различных способов "сглаживания" и локальной квадратичной сплайн-интерполяции при анализе биохимических данных, взятых из работ [13, 14]. Здесь Ф обозначает отношение квантовых выходов красителя в присутствии насыщающего количества ДНК и в отсутствие полинуклеотида. Остальные условные обозначения и условия измерения те же, что и на рис.1,2; за исключением кривой 5, где используемый буфер содержал дополнительно 4 М мочевину



Рис.4. Зависимость индивидуальной продолжительности жизни (t) крыс от выхода (+)-транс-7,8-дигидрокси-7,8-дигидробенз(а)пирена (7,8-БП) у них в моче (С) за первые 5 суток после однократного введения бенз(а)пирена (БП) в дозе 100 мг/кг (рис.а); а также от С за первые 5 суток после 3-й инъекции (рис.б), либо от K (отношения общего содержания 7,8-БП в моче крыс за первые 5 суток после 3-й и 1-й инъекций) (рис.в) при многократном введении БП в организм животных (в дозе 10 мг/кг - 10 раз через каждые 10 дней). Точками 1-3 обозначены экспериментальные данные для животных, у которых после введения БП: 1 - образовывались опухоли внутренних органов, 2 - образовывались подкожные опухоли, 3 - опухоли не образовывалис. Точками 4 и 5 обозначены "аномальные" данные для последних двух групп животных. Кривыми обозначены расчетные уравнения регрессии для: I - всей исследуемой группы животных (рис.а - t=12,2·C, r=0,510, a<0,05; рис.б - t=477-15,6·C-309·e-^C, r=0,372, a<0,05; рис.в - t=265-377·К+147·е^К, r=0,392, a<0,05; где r - коэффициент корреляции, a - уровень значимости); II - животных, у которых после введения БП образовывались опухоли внутренних органов (рис.а - t=178+3,23·e^C/10, r=0,917, a<0,01); III - животных, у которых после введения БП образовывались подкожные опухоли (рис.б - t=454-17,5·С-296·e-^C, r=0,547, a<0,05; рис.в - t=121·е^К, r=0,663, a<0,01).

Размещено на Allbest.ru

...