Прикладная математика

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство сельского хозяйства РФ

ФГБОУ ВО «Алтайский государственный аграрный университет»

Учебно-методическое пособие

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

С.В. Морозова

Барнаул 2015



В пособии рассмотрен ряд численных методов, используемых для приближенных вычислений действительных корней уравнений и дифференциальных уравнений, определенных интегралов, а также некоторые способы интерполяции функций.Теоретический материал иллюстрируется примерами. Приведены задания для самостоятельного решения.Пособие также содержит общие методические указания и задания для выполнения контрольных работ студентами-заочниками.

Пособие предназначено для магистров направления подготовки «Землеустройство и кадастры» Алтайского ГАУ, а также может быть использовано студентами, аспирантами разных направлений при изучении разделов математики и других дисциплин, связанных с приближенными вычислениями. относительная погрешности рунге лагранж



Содержание

• Введение
• Глава 1. Элементарная теория погрешностей
• 1.1 Математическая модель
• 1.2 Источники погрешностей
• 1.3 Абсолютная и относительная погрешности
• 1.4 Понятия значащих цифр приближенного числа
• Глава 2. Приближенное решение уравнений
• 2.1 Постановка задачи
• 2.2 Метод хорд
• 2.3 Метод Ньютона (метод касательных)
• 2.4 Метод проб
• 2.5 Задания для самостоятельного решения
• Глава 3. Интерполирование функций
• 3.1 Постановка задачи интерполирования функции
• 3.2 Интерполяционный многочлен Лагранжа
• 3.3 Задания для самостоятельного решения
• 3.4 Оценка остаточного члена интерполяционного многочлена Лагранжа
• 3.5 Задания для самостоятельного решения
• 3.6 Интерполяционная формула Ньютона
• 3.7 Задания для самостоятельного решения
• 3.8 Интерполирование сплайн-функциями
• 3.9 Задания для самостоятельного решения
• 3.10Метод наименьших квадратов
• 3.11 Задания для самостоятельного решения
• 3.12 Обратное интерполирование
• Глава 4. Приближенное вычисление определенных интегралов
• 4.1 Основные формулы
• 4.2 Задания для самостоятельного решения
• 4.3 Правило Рунге практической оценки погрешности
• Глава 5. Численное интегрирование дифференциальных уравнений
• 5.1 Разностная аппроксимация задачи Коши
• 5.2 Метод Эйлера
• 5.3 Метод Рунге-Кутта
• 5.4 Задания для самостоятельного решения
• 5.5 Оценка погрешности конечно-разностных методов
• Общие методические указания к написанию контрольных работ по дисциплине «Прикладная математика»



ВВЕДЕНИЕ

Прикладная математика -- область математики, рассматривающая применение математических методов, алгоритмов в других областях науки и практики. Примерами такого применения будут: численные методы, математическая физика, линейное программирование, оптимизация и исследование операций, теория игр, теория вероятностей и статистика, финансовая математика, комбинаторика, теория графов в приложении к сетевому планированию, и во многом то, что называется информатикойи т.д. Главная задача прикладной математики -- фактическое нахождение решения с требуемой точностью.Применение математики к любой практической проблеме начинается с построения математической модели.



ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ

1.1 Математическая модель

Математическая модель- математическое представление реальности, приближенное описание объекта, выраженное с помощьюматематической символики.

Процесс построения и изучения математических моделей называется математическим моделированием.

Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути занимаются математическим моделированием: заменяют объект исследования его математической моделью и изучают ее.

Классическим средством изучения математических моделей и исследований на их основе свойств реальных объектов являются аналитические методы, позволяющие получать точные решения в виде математических формул. Эти методы дают наиболее полную информацию о решении задачи, и они до настоящего времени не утратили своего значения. Однако, к сожалению, класс задач, для которого они могут использоваться, весьма ограничен. Поэтому решение, как правило, осуществляется численными методами.

Математическая модель описывает зависимость между исходными данными и искомыми величинами.

Последовательность действий, которые надо выполнить, чтобы от исходных данных перейти к искомым величинам, называют алгоритмом. Алгоритм решения задачи связан с выбором численного метода.

Численные методы -- это методы приближенного решения задач прикладной математики, основанные на реализации алгоритмов, соответствующих математическим моделям. Численные методы, в отличие от аналитических, дают не общие, а частные решения. При этом требуется выполнить достаточное количество арифметических и логических действий над числовыми и логическими массивами. Решения, получаемые численными методами, в силу их приближенности содержат некоторые погрешности.

1.2 Источники погрешностей

Приближенным числомили приближением называется число незначительно отличающееся от точного значения величины и заменяющее его в вычислениях. Под погрешностью(ошибкой) принято понимать разность между точным значением и его приближением.

Погрешность может принимать положительное и отрицательное значения.

Наличие погрешности обусловлено рядом весьма глубоких причин:

1. Математическая модель является лишь приближенным описанием реального процесса. Характеристики процесса, вычисленные в рамках принятой модели, заведомо отличаются от истинных характеристик, причем их погрешность зависит от степени адекватности модели реальному процессу.

2. Исходные данные, как правило, содержат погрешности, поскольку они либо получаются в результате экспериментов (измерений), либо являются результатом решения некоторых вспомогательных задач.

3. Применяемые для решения задачи методы в большинстве случаев являются приближенными. Найти решение возникающей на практике задачи в виде конечной формулы возможно только в отдельных, очень упрощенных ситуациях.

4. При вводе исходных данных в компьютер, выполнении арифметических операций и выводе результатов на печать производятся округления.

1.3 

1.3 Абсолютная и относительная погрешности

Абсолютной погрешностью приближенного значения называют абсолютную величину разности между ним и соответствующим точным числом: .

Относительной погрешностью приближенного числа называют отношение абсолютной погрешности этого числа к соответствующему точному числу

Так как точное значение обычно неизвестно, то непосредственное вычисление величин погрешностей по предложенным формулам невозможно. Более реальная и часто поддающаяся решению задача состоит в получении оценок погрешности, т.е. в вычислении предельных погрешностей.

Предельной абсолютной погрешностью называется возможно меньшее число , удовлетворяющее неравенству .

Предельной относительной погрешностью называется возможно меньшее число удовлетворяющее неравенству .При этом .

Предельная относительная погрешность обычно выражается в процентах. Использование относительных погрешностей удобно, в частности, тем, что они не зависят от масштабов величин и единиц измерения.

Арифметические операции над приближенными числами:

1. Предельная абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких чисел равна сумме предельных абсолютных погрешностей

слагаемых.

2. Относительная погрешность суммы положительных слагаемых не превышает наибольшей из относительных погрешностей этих слагаемых.

3. Предельная относительная погрешность произведения и частного приближенных чисел равна сумме предельных относительных погрешностей этих чисел.

В литературе по методам вычислений часто используемая фраза «требуется найти решение с заданной точностью » означает, что ставится задача о нахождении приближенного решения, принятая мера погрешности которого не превышает заданной величины . Об абсолютной и относительной точности обычно не говорят, считая, что из контекста ясно, как измеряется величина погрешности.

Прямая задача теории погрешностейсостоит в том, чтобы определить по известным погрешностям параметров погрешность функции от этих параметров.

Обратная задача теории погрешностейсостоит в том, чтобы определить, с какой точностью необходимо задавать значения аргументов функции, чтобы ее погрешность не превосходила заданной величины.

1.5 Понятия значащих цифр приближенного числа

При работе с приближенными числами используют понятия значащих и верных значащих цифр.

Значащими цифрами приближенного числа называются все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева.

Пример.#=0,001425,=1,237. Все значащие цифры подчеркнуты.#

Значащая цифра приближенного числа называется верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Пример.#Пусть =0,026183 и =0,210^-4 Тогда имеет три верные значащие цифры (они подчеркнуты). Оставшиеся значащие цифры (в данном

случае это 8 и 3) называются сомнительными.#

Количество верных значащих цифр тесно связано с величиной относительной погрешности числа. В частности, если приближенное число содержит n верных значащих цифр, то для относительной погрешности имеет место соотношение . Это позволяет легко оценивать точность приближенного значения.

Пример.#Пусть в записи числа =2,031 оставлены только верные цифры, то относительная погрешность этого числа .#

Абсолютную и относительную погрешности обычно записывают в виде числа, содержащего одну или две значащие цифры. При округлении погрешностей округление всегда производится в большую сторону.

Информацию о том, что число является приближенным значением числа с абсолютной погрешностью часто записывают в виде причем числа и принято записывать с одинаковым числом знаков после запятой.

Пример.#Пусть в ходе вычислений, которые выполнялись с сохранением восьми десятичных знаков, было получено приближенное число=12,46104223 и известно, что абсолютная погрешность этого числа=0,02, то результат вычислений следует записать в виде 12,460,02 или 12,46210^-2.#

Информацию о том, что число является приближенным значением числа с относительной погрешностью записывают в виде

Пример.#Записи , означают, что#



ГЛАВА 2. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

2.1 Постановка задачи

Задача. Требуется получить приближенные значения действительных корней уравнения . Для этого необходимо отделить корень.

Опр.Отделением корня уравнения называют установление промежутка, в котором других корней данного уравнения нет.

Пусть действительный корень уравнения изолирован на . При этом функция непрерывна вместе со своими производными и на данном промежутке, значения и имеют разные знаки, а и сохраняют знак на .

2.2 Метод хорд

Пусть и . Тогда . Если , тогда за новый промежуток изоляции корня можно принять . При этом и т.д. Вычисление приближенных значений корней уравнения следует вести до тех пор, пока не будет достигнута заданная степень точности, т.е. пока не перестанут меняться те десятичные знаки, которые нужно сохранить в ответе.

Пример. Методом хорд найти положительный корень уравнения x⁴-2x-4=0 с точностью до 0,01.

#Так как , а , то положительный корень заключен в промежутке (1; 1,7) и Так как , то снова применим метод хорд к промежутку (1,588; 1,7): Тогда . Наконец, Следовательно, с точностью до 0,01 искомый корень равен 1,64.#

2.3 Метод Ньютона (метод касательных)

Возьмем число , при котором и имеют один и тот же знак. В частности можно взять один из концов отрезка, в котором выполняется условие. Приближенное значение корня находится по формуле, и т.д.

Пример. Методом Ньютона найти положительный корень уравнения x⁴-2x-4=0 с точностью до 0,01.

#x⁴-2x-4, =4x³-2, =12x². Так как и , то , и Применим метод повторно: . Аналогично .

Следовательно, искомый корень с точностью до 0,01 равен 1,64.#

2.4 Метод проб

Интервал изоляции действительного корня можно уменьшить путем деления его, например, пополам, определяя, на границах какой из частей первоначального интервала функция меняет знак. Затем полученный интервал снова делят на две части и т.д. Процесс продолжается до тех пор, пока не перестанут изменяться сохраняемые в ответе десятичные знаки.

Пример.Методом проб решить уравнение x³+2x-7=0 с точностью до 0,01.

#Интервал изоляции действительного корня можно определить графически, построив графики функций y=x³ и y=-2x+7. Единственная точка пересечения находится в интервале (1,2). Таким образом Получим Разделим интервал, например, пополам Вычислим Следовательно, искомый корень находится в интервале (1,5; 2). Аналогично:

примем интервал изоляции (1,5; 1,7);

примем интервал изоляции (1,5; 1,6);

интервал изоляции (1,55; 1,6);

интервал изоляции (1,55; 1,57);

интервал изоляции (1,56; 1,57);

интервал изоляции (1,565; 1,57);

. Таким образом, мы получили интервал (1,568; 1,57).Отсюда с точностью до 0,01 искомый корень x1,57.#

2.5 Задания для самостоятельного решения

Методом хорд и касательных решить с точностью до 0,01 уравнения:

1) x⁴+3x-20=0,2) x³-2x-5=0,3) x⁴-3x+1=0,

4) x³+3x+5=0,5) x⁴+5x-7=0.

Методом проб, деля интервал изоляции корня на части, решить с точностью до 0,01 уравнения:

1) x+=0,2) x⁵-x-2=0.



ГЛАВА 3. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

3.1 Постановка задачи интерполирования функции

В основе большинства численных методов математического анализа лежит подмена одной функции другой функцией, близкой к данной и обладающей «хорошими» свойствами, позволяющими легко производить над нею те или иные аналитические или вычислительные операции.

Пусть значения некоторой функции заданы в виде таблицы:

Таблица 1

Таблица значений функции для задачи интерполирования

				…
				…

В процессе же решения задачи необходимо использовать значения функции для промежуточных значений аргумента. В этом случае строят функцию , достаточно простую для вычислений, которая в заданных точках (см. табл.1), называемых узлами интерполяции, принимает соответствующие значения . В других точках отрезка приближенно представляет функцию с той или иной степенью точности. Задача построения такой функции называется задачей интерполирования. Чаще всего интерполирующую функцию отыскивают в виде многочлена.



3.2 Интерполяционный многочлен Лагранжа

Пусть дана таблица значений

Таблица 2

Таблица значений функции для построения многочлена Лагранжа

				…
				…

Требуется составить многочлен степени который принимал бы заданные значения при соответствующих значениях .

Обозначим через вспомогательный многочлен n-й степени. Тогда интерполяционный многочлен Лагранжа имеет вид

Пример. Составить многочлен Лагранжа для следующей таблицы значений:

	1	2	3	4
	2	3	4	5

#Вспомогательный многочлен имеет вид .

Вычислим +. Тогда , , , .

Подставим в формулу (1), получим .

Таким образом, интерполяционный многочлен есть линейная функция #

3.3 Задания для самостоятельного решения

Составить многочлен Лагранжа, принимающий указанные значения при заданных значениях аргумента:

1) (2,0), (4,3), (6,5), (8,4), (1,1); 2) (0,3), (2,1), (3,5), (4,7);

3) (1,-7), (3,5), (4,8), (6,14); 4) (2,3), (4,7), (5,9), (10,19).

3.4 Оценка остаточного члена интерполяционного многочлена Лагранжа

Пусть для функции построен интерполяционный многочлен Лагранжа Возникает вопрос: насколько построенный полином близок к функции в других точках, т.е. насколько велик остаточный член =

Для абсолютной погрешности можно получить следующую оценку:,где - максимум

Пример. С какой точностью с помощью интерполяционной многочлена Лагранжа можно вычислить для функции, если выбрать узлы интерполирования ?

#, , Тогда = при . Отсюда .#

3.5 Задания для самостоятельного решения

1) Функция задана таблично. Вычислить и оценить

погрешность.

	1,1	1,3	1,5
	1,032	1,091	1,145

2) Зная значения функции при вычислить значение и оценить погрешность.

3) Функция задана таблично. Вычислить и оценить погрешность.

	2,70	2,72	2,74
	1,6487	1,6653	1,6852

3.6 Интерполяционная формула Ньютона

При добавлении нового узла интерполяциимногочлен Лагранжа нужно снова составлять. Этот недостаток можно устранить, если записывать интерполяционный полином в форме Ньютона.

Пусть , , , … - значения некоторой функции , соответствующие равноотстоящим значениям аргумента , , , … (т.е.

Введем обозначения:

, ,… - разности первого порядка;

, ,… - разности второго порядка;

,… - разности n-го порядка.

Запишем таблицу разностей (табл.3).После получения треугольноговида таблицы выбираются числа из верхней стороны треугольника: именно они и являются искомыми коэффициентами интерполяционного полинома в форме Ньютона.

Интерполяционная формула Ньютона имеет вид

Таблица 3

Таблица разностей

Пример. Составить интерполяционную формулу Ньютона и вычислить используя следующую таблицу значений:

	1	2	3	4	5	6	7
	3	7	13	21	31	43	57

#Составим таблицу разностей



1 2 3 4 5 6 7	3 7 13 21 31 43 57	4 6 8 10 12 14	2 2 2 2 2	0 0 0 0

Подставим , значения а также числа из верхней стороны полученного в таблице треугольника в формулу (2), получим

y

Тогда+1=13,71.

Требуемое значение можно найти также, подставляя сразу в формулу (2) ,и значения третьей строки треугольника из таблицы разностей#

Рассмотренная формула (2) представляет собой первую (прямую) интерполяционную формулу Ньютона, она применяется для интерполирования вперёд (если точка интерполирования находится вблизи начала таблицы). Существует также вторая (обратная) интерполяционная формула Ньютона, которая применяется для интерполирования назад (если точка интерполирования находится вблизи конца таблицы).

Интерполяционный многочлен также можно построить и в случае неравноотстоящих значений

Метод Ньютона выгоднее метода Лагранжав случае увеличения количества узлов интерполяции при сохранении интерполяционных значений в изначальной таблице. Но в случае изменения хотя бы одного значения в исходной таблице метод Ньютона теряет свое преимущество -- приходится пересчитывать всю схему, в то время как в форме Лагранжа достаточно поменять значения числовых сомножителей полиномов.



3.7 Задания для самостоятельного решения

1. Составить интерполяционную формулу Ньютона и вычислить используя следующую таблицу значений

	5	6	7	8
	25	36	49	64

2. Составить интерполяционный многочлен Ньютона для функции, заданнойтаблицей:

	0	1	2	3	4
	1	4	15	40	85

3. Даны десятичные логарифмы чисел: lg 2=0,30103, lg 2,1=0,32222, lg 2,2=0,34242, lg 2,3=0,36173, lg 2,4=0,38021, lg 2,5=0,39794. Пользуясь интерполяционной формулой Ньютона, вычислить lg 2,03.

3.8 Интерполирование сплайн-функциями

Сплайном называют ломаную линию, звеньями которой служат отрезки кривых, заданных многочленами.

Рассмотрим простейший случай линейного сплайна.

Пусть на функция задана аналитически, графически или таблично. Разобьем отрезок на частей: . Тогда - значения функции при . Если функция задана таблично, то значения берутся из таблицы. На каждом из элементарных отрезков заменим функцию отрезком прямой

Таким образом, кривая на отрезке заменяется ломаной. В результате получаем линейный сплайн

Пример.Построить линейную сплайн-функцию для функции на отрезке и вычислить значение функции в точке 0,125.

#Разобьем отрезок на 4 равные части и вычислим значения функции в узлах интерполирования. Получим таблицу

	-1	-0,5	0	0,5	1
	0,25	0,5	1	2	4

Применим на каждом из полученных частичных отрезков формулу (3), получим

Точка 0,125, на котором Следовательно, Если воспользоваться таблицами, то#

3.9 Задания для самостоятельного решения

Построить линейную сплайн-функцию для заданной на отрезке функции и вычислить значение функции в точке :

1. , если , .

x	-2	-1	1	2
y	-29	-8	-2	7

2. Построить линейную сплайн-функцию для функции , заданной на отрезке :



x	-1	-0,5	0	0,5	1
y	1,732	1,8707	2	2,1213	2,2361

2.10 Метод наименьших квадратов

Пусть дана таблица значений

Таблица 4

Таблица значений для метода наименьших квадратов

				…
				…

Вид функциональной зависимости считается известным с точностью до некоторых параметров. Требуется определить эти параметры так, чтобы полученная функция как можно точнее соответствовала заданным в таблице значениям переменных.

Рассмотрим метод на примере линейной зависимости. Составим сумму вида . Вычислим частные производные функции по неизвестным параметрам и приравняем их к нулю:

После упрощения получим систему вида

(4)

Для удобства обычно составляют расчетную таблицу вида

Таблица 5

Расчетная таблица для линейной функции

		…
		…
		…
		…

В последнем столбце стоят суммы соответствующих строк.

Решая систему (4), находят неизвестные параметры

Пример.Методом наименьших квадратов подобрать линейную функцию

	-2	0	4
	0	1	3

#Составим расчетную таблицу (см. табл.5)

	-2	0	4	2
	0	1	3	4
	4	0	16	20
	0	0	12	12

Подставим суммы из последнего столбца в систему (4):

Решая ее, поучим , т.е. #



3.11 Задания для самостоятельного решения

Методом наименьших квадратов подобрать линейную функцию

	1	3	4
	1	2	4

	1	2	3	4	5	6
	2	4,9	7,9	11,1	14,1	17

	1	4	9	16	25
	0,1	3	8,1	14,9	23,9

3.12 Обратное интерполирование

Задачей обратного интерполирования называют нахождение для произвольного , если задана таблица . Для монотонных функций между прямым и обратным интерполированием нет разницы: можно читать таблицу наоборот, т.е. . Единственное отличие в том, что обратная таблица будет иметь переменный шаг, даже если прямая таблица имела постоянный. Однако для достижения заданной точности прямая и обратная интерполяция требуют разного числа узлов.



ГЛАВА 4. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

4.1 Основные формулы

Часто в процессе решения конкретных задач возникает необходимость вычисления определенных интегралов вида , причем значения не могут быть получены аналитически.

Разобьем отрезок на n равных частей. Назовем шагом интегрирования. Тогда (k=1,2,…,n). Вычислим значения функции в полученных точках . Тогда имеют место следующие формулы для приближенного вычисления определенного интеграла: формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона.

1. Формула прямоугольников

(формула левых прямоугольников),

(формула правых прямоугольников).

Если положить , то получим формулу средних прямоугольников . Она является более точной, чем формулы левых и правых прямоугольников.

2. Формула трапеций

3. Формула Симпсона

Для метода Симпсона число разбиений n должно быть четным.

Пример., разбив интервал интегрирования на 10 частей. Вычисления проводить с тремя знаками после запятой.

#Имеем =0,1.

Получим , …, Вычислим значения функции в полученных точках: , , , , , , , , , , .

1) По формуле левых прямоугольников получим

2) По формуле трапеций получим

3) По формуле Симпсона получим

Для сравнения по формуле Ньютона-Лейбница получим

=#

4.2 Задания для самостоятельного решения

Используя формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона, вычислить (при необходимости округлять до трех знаков после запятой):

1. , n=4, n=10.

2. , n=8, n=10.

3. , n=10.



4.3 Правило Рунге практической оценки погрешности

Правило Рунге - это эмпирический способ оценки погрешности, основанный на сравнении результатов вычислений, проводимых с разными шагами h.

Пусть - приближенное значение интеграла с шагом h, вычисленное по одной из формул. Тогда оценка погрешности имеет вид

для формул прямоугольников и трапеций,

для формулы Симпсона.

Используя правило Рунге, можно построить процедуру приближенного вычисления интеграла с заданной точностью. Нужно, начав вычисления с некоторого значения шага h, последовательно уменьшать это значения в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение Вычисления прекращаются тогда, когда результаты двух последующих вычислений будут различаться меньше, чем на .

Пример.Найти значение интеграла с точностью =10^-4, используя формулу трапеций и применяя вышеизложенную процедуру дробления шага.

#При h₁=0,1 получим =0,746221079. Уменьшим шаг вдвое: h₂=0,05 и вычислим=0,74667084, тогда= (0,74667084 - 0,74621079) . Так как , то снова дробим шаг: h₃ = 0,025, вычисляем= 0,74678581, = (0,74678581 - 0,74667084) 4. Поскольку , требуемая точность достигнута и 0,7468 ± 0,0001.#



ГЛАВА 5. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

5.1 Разностная аппроксимация задачи Коши

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка , с начальным условием Сформулированная таким образом задача называется начальной задачей или задачей Коши.

При решении дифференциальных уравнений, возникающих из практических задач, полученные интегралы часто не выражаются в элементарных функциях. В этом случае необходимо использовать численные методы решения.

Численные методы обычно не позволяют найти точное решение дифференциальных уравнений в аналитической форме. С их помощью получается таблица приближенных (иногда точных) значений искомого решения в некоторых точках рассматриваемой области решения, именуемых сеткой. В силу этого численные методы называют иначе разностными методами или методами сеток.

Разностная схема -- это конечная система алгебраических уравнений, поставленная в соответствие какой-либо дифференциальной задаче, содержащей дифференциальное уравнение и дополнительные условия (например, начальные).

Разностная схема, приближенно описывающая дифференциальное уравнение, строится следующим образом:

1. Область непрерывного изменения аргумента заменяется конечным (дискретным) множеством точек (узлов), называемым сеткой.

2. Искомая функция непрерывного аргумента приближенно заменяется функцией дискретного аргумента, определенной в узлах сетки (сеточной функцией).

3. Производные, входящие в уравнение, а также начальные и граничные условия заменяются разностными отношениями, т.е. линейными комбинациями значений функции в некоторых узлах сетки.

4. Результатом этой процедуры является алгебраическая система уравнений или система разностных уравнений, которая подлежит решению.

Такая замена дифференциального уравнения называется его аппроксимацией на сетке (или разностной аппроксимацией). Таким образом, решение дифференциального уравнения сводится к отысканию значений сеточной функции в узлах сетки.

Рассмотрим некоторые виды разностных схем: методы Эйлера и Рунге-Кутта.

5.2 Метод Эйлера

Пусть дана задача Коши для уравнения 1-го порядка: , с начальным условием Требуется получить приближенное решение этого уравнения в точке

Разделим отрезок на равных частей и положим- шаг изменения аргумента.Тогда .

Соединяя на координатной плоскости точки отрезками прямой, получим ломаную, которая называется ломаной Эйлера.

Пример.При определить приближенное значение решения уравнения , удовлетворяющего начальному условию =1. Отрезок разделить на 4 части.При вычислении округлять до 3 знаков после запятой.

#Тогда

,

	0	0,1	0,2	0,3	0,4
	1	1,1	1,183	1,254	1,315

5.3 Метод Рунге-Кутта

Пусть дана задача Коши для уравнения 1-го порядка: , с начальным условием Требуется получить приближенное решение этого уравнения в точке

Разделим отрезок на равных частей и положим - шаг изменения аргумента. При численном интегрировании методом Рунге-Кутта для определяют 4 числа:

Тогда , .

Пример.Методом Рунге-Кутта проинтегрировать уравнение при начальном условии =0 в промежутке , если шаг (точное решение ).При вычислении округлять до двух знаков после запятой.

#Перепишем исходное уравнение в виде. Тогда , .

1) :

,

.

2) :

,

.

Таким образом, Используя известное точное решение ), получим .#

5.4 Задания для самостоятельного решения

Определить требуемое приближенное значение решения уравненияметодами Эйлера и Рунге-Кутта, если задано начальное условие, шаг и точность:

1) , округлять до 4 знаков после запятой, по методу Эйлера по методу Рунге-Кутта

2) , округлять до 3 знаков после запятой, по методу Эйлера по методу Рунге-Кутта

3) , округлять до 4 знаков после запятой, по методу Эйлера по методу Рунге-Кутта

4) , округлять до 3 знаков после запятой, по методу Эйлера по методу Рунге-Кутта

5.5 Оценка погрешности конечно-разностных методов

Погрешность на шаге или локальная погрешность - это разность между численным решением после одного шага вычисления и точным решением в точке .

Погрешность в целом, глобальная или накопленная погрешность - это погрешность в последней точке произвольного конечного отрезка интегрирования уравнения.

Ввиду невысокой точности для практического нахождения решений задачи Коши метод Эйлера применяется редко. Однако благодаря простоте метод Эйлера находит свое применение в теоретических исследованиях дифференциальных уравнений, задач вариационного исчисления и ряда других математических проблем.



ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К НАПИСАНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА»

1.Работу следует выполнять в отдельной тетради, на внешней обложке которой должны быть указаны фамилия и инициалы студента, полный шифр, курс и направление подготовки.

2. Для каждой задачи должно быть написано условие. Решения всех задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными. Следует делать соответствующие ссылки на вопросы теории с указанием формул, теорем, выводов, которые используются при решении данной задачи. Все вычисления необходимо делать полностью. В конце контрольной работы приводится список использованной литературы.

3.После получения работы (как зачтенной, так и не зачтенной) студент должен исправить в ней все отмеченные рецензентом недостатки. В случае незачета студент обязан в кратчайший срок выполнить все требования рецензента и представить работу на повторное рецензирование, приложив при этом первоначально выполненную работу.

4. В период экзаменационной сессии студент обязан представить прорецензированную и зачтенную контрольную работу. При необходимости студент должен давать на экзамене устные пояснения ко всем или некоторым задачам, содержащимся в этих работах.

5. Студент выполняет тот вариант контрольной работы (см. табл.5), который совпадает с последней цифрой его учебного шифра (номер зачетной книжки).

6. Если в процессе изучения материала или при решении той или иной задачи у студента возникают вопросы, на которые он не может ответить сам, то ему следует обратиться к ведущему преподавателю для получения консультации.



Таблица 5

Таблица вариантов для контрольных работ

Номер варианта	Номера задач
1	1	11	21	31	41	51
2	2	12	22	32	42	52
3	3	13	23	33	43	53
4	4	14	24	34	44	54
5	5	15	25	35	45	55
6	6	16	26	36	46	56
7	1	15	23	32	44	56
8	2	16	24	33	45	51
9	3	11	25	34	46	52
0	4	12	26	35	41	53

Задания для контрольных работ

В задачах 1 - 6 составить интерполяционный многочлен Лагранжа, график которого проходит через точки:

1. (2,0), (4,3), (6,5), (8,4). 2.(0,3), (2,1), (3,5), (4,7).

3. (1,-7), (3,5), (4,8), (6,14). 4. (2,3), (4,7), (5,9), (10,19).

5. (-1,-11), (1,-3), (2,1), (3,13). 6. (0,1), (2,3), (3,2), (5,5).

В задачах 11 - 16 вычислить определенный интеграл по формуле прямоугольников (n=10). Вычисления вести с пятью знаками после запятой:

11. . 12. . 13. .

14. . 15. . 16.

В задачах 21 - 26 вычислить определенный интеграл по формуле трапеций при n=10. Вычисления вести с четырьмя знаками после запятой:



21. 22. 23. .

24. . 25. 26. .

В задачах 31 - 36 вычислить определенный интеграл по формуле Симпсона при n=8. Вычисления вести с тремя знаками после запятой:

31. . 32. 33. .

34. . 35. . 36. .

В задачах 41 - 46 методом Эйлера найти первые три значения функции , определяемой уравнением, при заданном начальном условии при h=0,1:

41. . 42. .43. .

44. .45. . 46. .

В задачах 51 - 56 методом Рунге-Кутта найти одно значение функции , определяемой уравнением, при заданном начальном условии и шаге h=0,2:

51. . 52. .

53. . 54. .

55. . 56. .

Размещено на Allbest.ru

...