Алгебраические заметки

Размещено на http://www.allbest.ru/

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАМЕТКИ

Е. В. Бурлаченко

Настоящие заметки посвящены изучению алгебры формальных степенных рядов. Формальный степенной ряд отождествляется с вектором в бесконечномерном пространстве. Оказывается, что представление векторов в виде степенных рядов находит отклик со стороны структуры векторного пространства. Базисы, образованные степенными рядами, в бесконечномерном пространстве играют такую же конструктивную роль, какую ортогональные базисы играют в конечномерном пространстве. Алгебра формальных степенных рядов как бы погружается в свою естественную среду обитания. Освободившись от смысловых нагрузок, связанных с комбинаторикой и другими математическими дисциплинами, она демонстрирует свойства, присущие ей как организатору структуры бесконечномерного векторного пространства. Одним из организующих начал является аналогичная вращению операция, знакомая нам по разложению функции в ряд Лагранжа и образующая неразрывное единство с операциями логарифмирования и возведения в степень. Благодаря пониманию этого единства, факты, казавшиеся ранее разрозненными, начинают складываться в общую схему.

Введение

Будем рассматривать формальный степенной ряд с действительными коэффициентами как последовательность этих коэффициентов, т.е. как элемент векторного пространства. Обозначим:

Базис пространства, в котором координаты каждой последовательности (т.е. коэффициенты разложения по базисным векторам) совпадают с ее значениями, назовем основным. Каждой матрице поставим в соответствие преобразование, отоброжающее последовательность векторов основного базиса на последовательность столбцов матрицы . Матрицу и соответствующее ей преобразование будем обозначать одним и тем же символом. Столбцы и строки матрицы пронумеруем целыми неотрицательными числами. Транспонированную к матрицу обозначим . Образ вектора при преобразовании обозначим .

Целые неотрицательные числа будем обозначать буквами , , , , целые числа - буквами , , действительные числа - буквами , , .

Произведением назовем вектор , где

,

или, что то же самое, - вектор , где

.

Матрицу вида ( -й член -го столбца матрицы равен и нулю при ) назовем матрицей умножения на вектор .

Обратным к назовем вектор , определяемый уравнением

.

Вектор

назовем -й степенью . -й вектор основного базиса представим как -ю степень . Каждый вектор запишется в виде

.

Матрицу, -й столбец которой является -й степенью , назовем матрицей степеней вектора и обозначим .

Матрица степеней отображает произведение векторов на произведение их образов:

,

так что , .

Если рассматривать и как функции и , то выражению соответствует подстановка .

Обозначим:

.

Убедимся, что векторы данного вида умножаются по правилу

.

Так как ,

То .

Обозначим:

,

так что .

Пусть - элемент матрицы , где - номер строки, - номер столбца.

Тогда

,

где - комплексные числа. Так как все члены вектора , начиная с -го, равны нулю, то . Таким образом,

.

Вектор

, ,

назовем -й степенью . Так как

,

То .

Пусть .

Так как , ,

То .

Получаем правило: если

,

То .

Среди матриц степеней особое место занимает матрица : транспонированную к ней матрицу можно рассматривать одновременно как произведение матрицы степеней и матрицы умножения и как трансформацию матрицы умножения:

,

,

где - диагональная матрица, диагональные элементы которой равны значениям вектора :

.

Например,



.

Первый столбец матрицы обозначим . Вектор , , назовем логарифмом вектора и обозначим ; вектор , где произвольно, назовем экспонентой вектора и обозначим . Так как

,

То .

Так как

,

то

.

Так как

,

то

.

Пусть и - преобразования, соответствующие дифференцированию и интегрированию в алгебре формальных степенных рядов:

, .

Обозначим:

, .

Убедимся, что

,

или

.

Следовательно,

,

,

или

.

Так как

,

то

,

.

Отсюда находим:

.

Таблицу, -й строкой которой является вектор , обозначим . Рассмотрим таблицу , например, при :

Каждую строку таблицы заменим восходящей диагональю, имеющей со строкой общий нулевой член. Полученную таблицу обозначим . С таблицей проделаем ту же операцию, результат обозначим . С таблицей проделаем ту же операцию, и т.д. Например:

Каждую строку таблицы заменим нисходящей диагональю, имеющей со строкой общий нулевой член. Полученную таблицу обозначим . С таблицей проделаем ту же операцию, и т.д. Например:

Найдем преобразование , отображающее каждую строку таблицы на одноименную строку таблицы .

Пусть и - формальные степенные ряды, , , где - коэффициенты ряда . раскладывается в ряд Лагранжа по правилам [1, с.147]:

,

.

Если - нулевая строка таблицы , то выражения и означают соответственно -й член нулевой восходящей диагонали и -й член нулевой нисходящей диагонали таблицы . Пусть . -ю восходящую и -ю нисходящую диагонали таблицы обозначим соответственно и . Так как

, ,

То ,

.

Отсюда видно, что

,

,

где и - определенные векторы,

,

.

Следовательно,

,

.

Вернемся к прежним обозначениям:

.

Мы выяснили, что

,

,

,

.

Нулевая строка таблицы совпадает с нулевой строкой таблицы , нулевая строка таблицы совпадает с нулевой строкой таблицы . Следовательно,

, ,

где означает -ю степень ,

,

Таким образом, является решением уравнения

.

Так как

То

Обозначим: . Тогда

.

Решая уравнение

,

находим:

.

Таким же образом находим и :

,

,

.

,

,

.

Обозначим: . Тогда

,

,

.

Применительно к : так как

,

То .

Пусть .

Так как

,

,

То .

Например,

,

,

.

-ю строку матрицы

обозначим . Так как

,

То .

В [2] показано, что если

, ,

где - корни полинома , то -я строка матрицы

имеет вид

.

Например, если , то

, .

1. Теория биномиальных последовательностей

1.1 В математической литературе последовательности строк матриц

,

называются соответственно аппелевой и биномиальной последовательностями. Оператор

называется оператором сдвига на (или просто оператором сдвига, если ) и обозначается . Операторы

,

где - тождественный оператор, и

называются соответственно разностным оператором и оператором центральных разностей. Оператор

называется оператором дифференцирования и обозначается .

Отсюда видно, что изучение биномиальных последовательностей сводится к изучению свойств матриц , и применению к полученным результатам операций трансформирования и транспонирования по правилу умножения транспонированных матриц: если , то .

Основные свойства матриц и :

,

,

,

где левая формула имеет смысл всегда, правая - при ,

,

,

,

,

, ,

,

,

Где , , .

Классическое определение [3, стр.124]: последовательность полиномов называется биномиальной, если

, ,

что в наших обозначениях соответствует равенству

.

Наше определение биномиальной последовательности совпадает с другим традиционным определением: последовательность полиномов называется биномиальной, если

для некоторого формального степенного ряда .

Оператор , удовлетворяющий условиям

, , ,

называется базисным оператором последовательности полиномов , которая, в свою очередь, называется базисной последовательностью оператора .

Пусть

.

Так как

,

то - базисный оператор последовательности строк матрицы . Например - базисный оператор последовательности полиномов , - базисный оператор последовательности строк матрицы , т.е. последовательности полиномов .

По определению преобразование является оператором, перестановочным со сдвигами. Так как

,

То .

Так как ,

то элементы матрицы равны произведению одноименных элементов матриц и :

,

Где .

Обозначим . Пусть

.

Тогда

,

где

.

Таким образом,

,

где - базисный оператор последовательности строк матрицы . Это тривиальное утверждение в теории биномиальных последовательностей считается одним из основных результатов, что демонстрирует преимущество наших обозначений по сравнению с традиционными. В классической теории много энергии уходит на доказательство того, что заложено в наших обозначениях.

Обозначим . Так как

,

То .

Из равенства

вытекает, что если

,

то

.

Следовательно,

,

что равнозначно формуле Родригеса

, ,

где - -я строка матрицы , .

Если - формальный степенной ряд, то по правилу разложения в ряд Лагранжа

,

где выражение означает -й коэффициент ряда . В наших обозначениях:

,

где . Так как

,

то

,

,

где

, .

Так как -й член вектора равен -му члену вектора , то -я строка матрицы совпадает с -й строкой матрицы .

Таким образом, равенство

равнозначно формуле Стеффенсена

, ,

где - -я строка матрицы , - -я строка матрицы .

1.2 Рассмотрим два класса биномиальных последовательностей, связанных с векторами и .

Обозначим , . -ю строку матрицы обозначим . Тогда

, , ,

.

Например,

,

,

,

.

Так как

,

,

,

то

.

Так как

,

,

то

.

Так как -й столбец матрицы , элементами которой являются числа Стирлинга второго рода, имеет вид , -й столбец матрицы имеет вид , -й столбец матрицы имеет вид , то -й столбец матрицы

имеет вид

Например, -й столбец матрицы



имеет вид

,

так что четные и нечетные столбцы имеют вид

, .

Обозначим , . -ю строку матрицы обозначим . Тогда

, , ,

.

Так как

,

то

,

.

Так как элементы матрицы равны произведению одноименных элементов матриц , и , то -й столбец матрицы имеет вид

.

Полиномы называются полиномами Абеля, базисный оператор называется оператором Абеля.

1.3 Введем в рассмотрение векторы нового вида.

Обозначим

, ,

,

,

так что

, ,

, ,

.

Так как

,

То ,

.

Так как

,

То .

Так как

,

То .

Таким образом, получаем равенство

.

Покажем, что преобразование, собственным вектором которого является , , , с собственным значением , является трансформацией оператора . Так как

,

То .

Следовательно,

,

.

Пусть - полином степени , т.е. вектор, все члены которого, начиная с -го номера, равны нулю. Тогда является собственным вектором преобразования

с собственным значением .

Так как

, ,

то

, ,

или

, .

Отметим также равенство

.

1.4 Выявим одну интересную особенность строк матрицы .

Представим таблицу, строки которой образуются последовательным умножение различных векторов:

, , , , …

Алгоритм операции умножения приводит к тому, что множеству слагаемых в разложении -го члена -й строки таблицы соответствует множество размещений неразличимых предметов по различным ячейкам: различным векторам соответствуют различные ячейки, номеру члена соответствует число предметов в ячейке.

Если … , таблица принимает вид

Множеству слагаемых в разложении -го члена -й строки таблицы соответствует множество размещений неразличимых предметов по неразличимым ячейкам: выражение означает, что в соответствующем слагаемому размещении ячеек содержат одинаковое число предметов, равное . Коэффициент при равен .

Множество размещений неразличимых предметов по неразличимым ячейкам можно разбить на подмножества размещений с одинаковым числом пустых ячеек, равным . Каждому такому подмножеству соответствует множество разбиений числа на слагаемых. При число подмножеств равно , при число подмножеств равно .

Таким образом, -й столбец таблицы можно представить в виде

,

где

, ,

и суммирование ведется по всем разбиениям числа на слагаемых. Коэффициент при в -й строке таблицы равен вынесенному за знак суммы произведению величины с ее долей комбинаторного коэффициента, т.е. .

Матрицу, -й строкой которой является полином

, ,

обозначим . Тогда, как видно из таблицы,

,

и, следовательно,

.

Отсюда, при , получаем выражение значений через значения : -й член равен

.

1.5

Найдем преобразование, отображающее -ю строку матрицы на -ю строку матрицы .

Рассмотрим равенства

,

,

где , .Так как -я строка матрицы , , - вектор , -я строка матрицы , , - вектор , то -я строка матрицы имеет вид , где - полином степени , -я строка матрицы имеет вид , где - полином степени .

Матрицу, которая получается из единичной матрицы размерности перестоновкой столбцов в обратном порядке, обозначим . Например,

.

-ю строку матрицы обозначим . Обозначим также , где - произвольный вектор. Тогда, как показано в [2],

,

,

так что

.

Например, если , то , .

-ю строку матрицы обозначим . Тогда

,

, .

Найдем корни полинома в разложении

при

, , .

Так как, соответственно

, , ,

то

,

,

.

Обобщая, выводим

, .

Матрицу, -м столбцом которой является полином

, ,

обозначим . Например

, ,

.

По определению преобразования , если

,

то

.

Таким образом, если - -я строка матрицы , - -я строка матрицы , то

.

Так как

,

, то

.

Если , то , , где - полином Эйлера [4, стр.253], [5, стр.139]:

, , ,

, …

Так как ,

То , .

Таким образом, -м столбцом матрицы является полином :

, ,

.

Итак, если - -я строка матрицы , , , - -я строка матрицы , то

,

.

2. Обобщенные биномиальные коэффициенты

Рассмотрим известное обобщение биномиальных коэффициентов [6, с.106].

Для последовательности , , при , обозначим:

, ,

; , .

Тогда

.

Диагональную матрицу, диагональные элементы которой равны значениям вектора , обозначим :

.

Вектор, -й член которого является обратной величиной -го члена вектора , , обозначим :

, .

Рассмотрим трансформацию

.

Первый столбец матрицы обозначим . Элемент матрицы, стоящий на пересечении -й строки и -го столбца обозначим . Если , то

, .

Если - произвольная матрица умножения, то элементы матрицы равны произведению одноименных элементов матриц и .

Особый интерес представляет случай

, ,

который при принимает вид

.

Обозначим

, , , ,

, .

Элементы матрицы равны коэффициентам Гаусса:

.

Пусть , - соседние столбцы бесконечной матрицы. Если

, ,

то

, .

Следовательно, -й столбец матрицы имеет вид

.

В [6] показано, что если последовательность столбцов матрицы имеет вид

,

где - произвольная последовательность чисел, то последовательность строк обратной матрицы имеет вид

.

Например, при получаем матрицы и ; при получаем матрицы и ; при получаем матрицы и ; при получаем матрицы и .

Таким образом, -я строка матрицы имеет вид

.

Гаусс показал, что

.

Следовательно,

,

где

, ,

.

Обозначим

.

Первый столбец матрицы обозначим , элемент, стоящий на пересечении -й строки и -го столбца обозначим . Тогда

,

.

Таким образом,

.

Представим как функцию от и . Тогда

.

1. Риордан Д. Комбинаторные тождества. М.: Наука, 1982.

2. Бурлаченко Е. В. Биномиальная форма записи степенного ряда. http://www.burlachenko-evgeniy.narod.ru

3. Айгнер М. Комбинаторная теория. М.: Мир, 1982.

4. Риордан Д. Введение в комбинаторный анализ. М.: ИЛ, 1963.

5. Сачков В. Н. Комбинаторные методы дискретной математики. М.: Наука, 1977.

6. Платонов М. Л. Комбинаторные числа класса отображений и их приложения. М.: Наука, 1979.

Размещено на Allbest.ru

...