Взаимосвязь проявлений золотого сечения в математических объектах, физических и биологических системах

Размещено на http://www.allbest.ru/

Взаимосвязь проявлений золотого сечения в математических объектах, физических и биологических системах

Удивительная пропорция “золотое сечение” привлекает внимание исследователей со времен античности. В настоящее время накоплен большой материал о проявлениях золотого сечения в самых разнообразных объектах и явлениях [1,2]. Тем не менее, попытки объяснения этого феномена и систематизации всех его частных случаев почти не известны, или не получили всеобщего признания.

Некоторые подходы к решению отмеченной проблемы предложены и автором этой статьи на страницах журнала “Инженер” в № 8 за 2006 г. и в № 8 за 2008 г. Но они не лишены существенных недостатков. Во-первых, в них содержатся уязвимые для критики и в некоторых пунктах не совсем убедительные предположения о сути взаимосвязи систем, содержащих золотое сечение. Во-вторых, в этих публикациях не рассматриваются проявления золотого сечения в математических объектах. В-третьих, некоторые физические системы, основанные на золотом сечении, а именно квазикристаллы, были незаслуженно пропущены, поэтому умозаключения автора оказались неполными.

Развитие методологии исследования позволило автору достичь значительного продвижения в понимании феномена золотого сечения. В предыдущих работах автор основывал свои рассуждения на методе последовательного восхождения от боле простых форм движения к более сложным. Это положение было дополнено тезисом о существовании промежуточных ступеней и переходов между противоположностями. Из этого тезиса следует, что могут существовать разные типы связи между объектами, содержащими золотое сечение. При этом некоторые конкретные объекты могут быть связаны с другими группами объектов особенными для каждой группы связями.

Поэтому оказалось возможным построить следующую иерархическую систему, максимально охватывающую проявления золотого сечения в окружающем нас мире.

Вначале в ней рассматриваются нелинейные динамические системы, которые описывают многообразные физические, технические и биофизические объекты и явления. Математический анализ таких систем производится с помощью различных отображений: кошка Арнольда, квадратичное отображение, отображение окружности. Во всех них возникает золотое сечение, как параметр отображения [3]. Кроме того, эти отображения имеют самоподобные символические динамики.

Особенно любопытно отображение окружности, описывающее поведение системы нелинейных связанных осцилляторов. В [3] показано многообразие проявлений золотого сечения и чисел Фибоначчи в этом отображении. Нас особо интересует то обстоятельство, что одна из символических динамик отображения окружности связана с золотым сечением и в точности повторяет символическую запись решения задачи о кроликах Фибоначчи (кроличья последовательность) [3], которая обладает свойством самоподобия. Как известно, именно из решения этой задачи был получен ряд чисел Фибоначчи, в котором предел отношения двух последовательных членов ряда стремится к золотому числу.

Оказывается, что с помощью геометрических операций на базе кроличьей последовательности можно построить квазикристаллическую решетку с осью симметрии пятого порядка [2,3]. Материалы с такими решетками получены в настоящее время экспериментально и широко изучаются.

Переходя к рассмотрению биологических тел, нужно обратить внимание на следующее. Еще В. И. Вернадский и Дж. Бернал высказывали идею, что золотое сечение в живых телах связано с осью симметрии пятого порядка, а формы живых тел - особые кристаллы. Этим формам присущи самоподобие и спиральный рост [4]. Сопоставляя это положение со свойствами квазикристаллов можно утверждать, что нелинейные динамические системы связаны с квазикристаллами общей для них символической динамикой, квазикристаллы с биологическим формами - симметрией пятого порядка и самоподобием, а все эти объекты связаны с золотым сечением, которое существует в математических свойствах нелинейной динамики и симметрии пятого порядка, из динамики формирующейся.

Анализ структур квазикристаллов позволяет выявить в них пятиугольники и плитки Пенроуза, отношения отрезков которых выражаются через золотое сечение [2]. В стереометрии на базе пятиугольников строятся икосаэдры и додекаэдры. Эти тела подчиняются симметрии пятого порядка, а объемы, площади, радиусы касательных сфер этих фигур связаны золотым сечением. Так путем абстрагирования в математику приходят из физики и биофизики объекты, геометрические свойства которых неразрывны с золотым сечением и симметрией пятого порядка.

Для математики естественны попытки наибольшего обобщения закономерностей. В данном случае они приводят к построению других фигур, а именно: прямоугольников, треугольников, эллипсов, чаш, содержащих ту же пропорцию. Решение задачи о построении отрезка, разделенного в золотой пропорции, алгебраическим методом позволяет сформулировать квадратное уравнение для золотого сечения. А на основе дальнейших обобщений вырабатывается целый набор алгебраических уравнений и числовых последовательностей, которые порождают ряд т.н. “металлических” пропорций [5]. Изучение “золотых” фигур дает, помимо прочего, построения самоподобных спиральных форм, подобных формам живых тел, содержащих числа Фибоначчи в ростовых спиралях [4,6].

Из всего сказанного вырисовывается физическая и биофизическая основа для развития геометрических и алгебраических теорий золотого сечения и родственных “металлических” пропорций.

Следует упомянуть и о проявлениях золотого сечения в изобразительных искусствах и архитектуре. Уже отмечалось, что золотое сечение присуще синхронным явлениям и воспринимается, как прекрасное, мозгом, который является системой синхронизированных нейронов [7]. Этот факт может использоваться деятелями искусства, как интуитивно, так и сознательно, с учетом достижений геометрии и алгебры [2,4].

Проведенное исследование позволяет с еще большей обоснованностью утверждать, что золотое сечение является неотъемлемым свойством существенно нелинейных объектов. Кроме того, отчетливо выявлены разновидности связей между физическими и биологическими системами, в которых проявляется золотое сечение. Показано возникновение математических абстракций, построенных на базе золотой пропорции, из обобщения природных явлений.

Таким образом, можно полагать, что описанная система взаимосвязей максимального числа объектов и явлений разной природы, содержащих золотую пропорцию, позволяет объяснить причины и характер возникновения в них указанной пропорции, опираясь на физические свойства нелинейных систем и, тем самым, основать понимание золотого сечения на достижениях современной физики и механики.

золотой сечение нелинейный математический

ЛИТЕРАТУРА

1. Волошинов А. В. Математика и искусство. - М.: Просвещение, 2000. - 399 с.

2. Стахов А., Слученкова А., Щербаков И. Код Да Винчи и ряды Фибоначчи. - СПБ.: Питер, 2007. - 320 с.

3. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. - Ижевск, МИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2005. - 528 с.

4. Петухов С. В. Биомеханика, бионика и симметрия. - М.: Наука, 1982 . - 240 с.

5. Ясинский С. А. Прикладная “золотая математика” и ее приложения в технике электросвязи. - М.: Горячая линия-Телеком, 2004. - 239 с.

6. Газале М. Гномон. От фараонов до фракталов. - Москва-Ижевск, институт компьютерных исследований, 2002. - 272 с.

7. Евин И. А. Синергетика мозга и синергетика искусства. - Москва-Ижевск, институт компьютерных исследований, 2005. - 164 с.

Размещено на Allbest.ru