О распределении простых чисел p, удовлетворяющих условию р = 2p + 1, в натуральном ряду

Размещено на http://www.allbest.ru/

О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ p, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ УСЛОВИЮ p? = 2p + 1, В НАТУРАЛЬНОМ РЯДУ

В.И. Гончаров



Среди поставленных проблем теории простых чисел, которые еще ждут своего решения, необходимо отметить следующую задачу: «Доказать существование бесконечного множества простых чисел p?, таких, что p = (p? - 1) 2 тоже простое число» ([1], С. 367). Это условие определяет взаимно однозначное отображение f = {p?, p | p? P, p = (p? - 1) 2 p P} множества простых чисел M₂ = {p? | p? P (p? - 1) 2 P} на множество простых чисел M₁ = {p | p P 2p + 1 P}. Взаимно однозначное отображение f имеет обратное отображение f-¹ = {p, p? | p P, p? = 2p + 1 p? P}, сопоставляющее элементу p из множества M₁ его прообраз p? = f-¹(p) из множества M₂.

Необходимо отметить, что в теории множеств взаимно однозначное соответствие между двумя множествами принято в качестве основы установления сравнительной количественной оценки множеств. В частности, используя взаимно однозначное соответствие f между множествами M₂ и M₁ как критерий их количественной равносильности, можно утверждать, что множество M₂ равномощно множеству M₁ и употребить обозначение M₂ M₁ ([2], С. 17).

Кроме того, в результате предварительных исследований было установлено, что в множествах M₂ и M₁ имеются некоторые соотношения, которые сохраняются при взаимно однозначном отображении f множества M₂ на множество M₁. Многие свойства остаются неизменными (инвариантными) при отображении f. Это дает возможность заменить изучение соотношений между элементами множества M₂ изучением соотношений между элементами множества M₁.

Другими словами, свести решение поставленной задачи теории простых чисел к решению следующей задачи: «Доказать существование бесконечного множества простых чисел p, таких, что p? = 2p + 1 тоже простое число». В этом случае решение задачи оказалось более простым.

В данной статье приведены результаты исследований числовых характеристик и свойств простых чисел p: решена задача о распределении простых чисел p в натуральном ряду и в арифметических прогрессиях; даны обоснование и формулировка теоремы, утверждающей, что простые числа p составляют бесконечное множество. Приведены также результаты исследований о распределении простых чисел p на отрезках натурального ряда, которые по определению поставлены во взаимно однозначное соответствие с простыми числами p.

Для решения задачи были применены численные методы анализа и теории вероятностей.

В качестве исходных данных была использована таблица, содержащая 1775675 пар простых чисел p, p?. Например, первые десять пар простых чисел имеют вид: 2, 5, 3, 7, 5, 11, 11, 23, 23, 47, 29, 59, 41, 83, 53, 107, 83, 167, 89, 179.

Приведем основные обозначения, используемые для формулировки результатов данной статьи.

Обозначим через P - множество простых чисел; N - множество натуральных чисел; Q - множество рациональных чисел; R - множество действительных чисел; M₁ = {p | p P 2p + 1 P} - множество простых чисел; M₂ = {p? | p? P (p? - 1) 2 P} - множество простых чисел;

Определение 1 ([1], С. 17). Пусть мы имеем n множеств A₁, A₂, …, A_n. Комплексами из элементов этих множеств будем называть множества ((a₁, a₂, …, a_n)), где a₁, a₂, …, a_n - элементы, взятые так, что a₁ A₁, a₂ A₂, …, a_n A_n, причем выбор элементов может быть подчинен и некоторым дополнительным условиям. Элементы a_i, входящие в комплекс, будем называть элементами комплекса. Комплекс из двух элементов ((a₁, a₂)) обычно называют парой.

В дальнейшем используется определение, приведенное в ([2], С. 9). Здесь пара элементов рассматривается как упорядоченный набор из двух элементов a и b и обозначается символом a, b.

Элемент a называют первым (левым) компонентом пары a, b, элемент b - вторым (правым).

Саму пару a, b называют также кортежем из элементов a, b.

Обозначим символом p_k, p?_k пару элементов с порядковым номером k N, где p_k M₁, p?_k = 2p_k + 1 и p?_k M₂.

Для определения каждой пары и однозначной идентификации установим два параметра: порядковый номер пары в натуральном ряду k; значение первого элемента пары p_k. Значение второго элемента пары p?_k, согласно определению, равно 2p_k + 1.

Тогда решение задачи сводится к исследованию свойств простых чисел p_k, принадлежащих упорядоченному множеству M₁. Например, p₁ = 2, p₂ = 3, p₃ = 5, p₄ = 11, p₅ = 23, p₆ = 29, p₇ = 41, p₈ = 53, p₉ = 83, p₁₀ = 89 и т. д.

Для характеристики распределения простых чисел p_k в натуральном ряду определим функцию ₅(x).

Определение 2. Числовая функция ₅(x) обозначает число простых чисел p_k M₁, k N, меньших или равных x.

Для рассматриваемой функции характерными точками, определяющими значение функции и в других точках, являются не натуральные значения аргумента x, а простые числа. Действительно, если задано упорядоченное множество простых чисел M₁, то значение функции ₅(x) может быть вычислено по следующему алгоритму

k N; если p_k x p_k+1, то ₅(x) = k.

Алгоритмический способ задания функции ₅(x) задает правило соответствия, которое устанавливает зависимость функции от двух атрибутов простого числа: значения простого числа и его порядкового номера.

Отметим некоторые свойства функции:

а) функция имеет бесконечное множество разрывов первого рода в точках p_k, k N слева;

б) значения функции в точках p_k, k N равны ₅(p_k) = k (согласно определению);

в) значения функции в точках p_k, k N слева равны ₅(p_k 0) = k 1;

г) скачки функции в точках p_k слева, k N равны ₅(p_k 0) ₅(p_k) = 1;

д) на частичных промежутках [p_k, p_k+1), k N функция сохраняет постоянные значения

₅(x) = k, p_k x p_k+1;

е) при увеличении аргумента значения функции изменяются крайне нерегулярно.

В дальнейшем частные значения функции ₅(p_k), которые отвечают частным значениям аргумента x = p_k, k N, рассматриваются как сложная функция от аргумента k (p_k интерпретируется как функция натурального аргумента k).

Для решения задачи аппроксимации функции ₅(x) в качестве исходных данных используется таблица, содержащая 1775675 простых чисел, принадлежащих множеству M₁. При этом с целью уменьшения объема вычислений точками аппроксимации приняты x = p_k, k = 70, 80, 90, …, 955440.

Численное решение задачи разбивается на следующие этапы:

а) выбор типа приближающей функции;

б) выбор параметров приближающей функции.

Эта функция обозначает среднюю разность между соседними простыми числами, которые принадлежат отрезку [0, p_k], k = 1, 2, 3, …, 955440. Функция изменяется довольно гладко и может быть аппроксимирована выражением

где a и b - числовые параметры.

Согласно определению значения функции в точках p_k, k N равны ₅(p_k) = k.

Так как k, то функция ₅(x) для x p_k связана с функцией _k соотношением

Тогда тип приближающей функции для ₅(x) будет иметь вид

Для выбора числовых параметров a и b приближающей функции используется метод наименьших квадратов ([3], с. 326 344).

Указанные параметры согласно методу наименьших квадратов требуется выбрать так, чтобы сумма квадратов отклонений приближающей функции (x) от табличных значений функции ₅(x) была минимальной. Эта сумма квадратов отклонений есть некоторая функция параметров a и b. Обозначим ее через S(a, b)

S(a, b) = ((p_k) ₅(p_k))², (2)

где суммирование выполняется по точкам аппроксимации p_k, k = 70, 80, 90, …, 955440.

Тогда в качестве меры наилучшего приближения функции ₅(x) принимается величина

min ((p_k) ₅(p_k))².

Решение задачи подбора совокупности двух параметров (a, b), удовлетворяющих принципу наименьших квадратов, численными методами разобьем на пять этапов.

На первом этапе зададимся рядом значений параметра a и для каждого из них определим по формуле (2) значение параметра b, доставляющее минимальное значение функции S(a, b).

Результаты расчетов приведены в таблице 1.

На втором этапе выполним интерполяцию функции S(a, b), используя данные табл.1.

число множество задача квадрат



Узлами интерполяции выбраны значения параметра a, равные 23,000; 23,375; 23,750. Для интерполяции функции S(a, b) используем полином второй степени

S(a, b) = a² + a + , (3)

где = 244836067,1289063; = 11445951788,80556; = 136079171015,18520.

На третьем этапе определим значение параметра a, доставляющего минимум минимального значения функции S(a, b)

При этом минимум минимального значения функции S(a, b), вычисленный по формуле (3), равен 2306179674,53.

На четвертом этапе для параметра a = 23,37472563 определим по формуле (2) значение параметра b, доставляющее минимальное значение функции S(a, b). Минимуму функции S(a, b) отвечает b = 2,503964569. Минимальное значение функции S(a, b) равно 2306178854,22.

Минимальное значение функции S(a, b), вычисленное по формуле (2) для a = 23,37472563 и b = 2,503964569, отличается от минимального значения функции S(a, b), определенного по формуле (3), на 820,31. Эта разность вызвана погрешностью интерполяции функции S(a, b).

На пятом этапе для уменьшения погрешности интерполяции функции S(a, b) зададимся рядом значений параметра a в окрестности точки a = 23,37472563 и для каждого из них определим по формуле (2) значение параметра b, доставляющее минимальное значение функции S(a, b). Результаты расчетов приведены в таблице 2.

Используя данные, приведенные в табл.2, уточненные значения параметров a и b приняты соответственно равными 23,37472563 и 2,503964569. При этом приближающая функция для ₅(x) имеет вид



В табл.3 приведены отклонения приближающей функции (x) от исходной функции ₅(x) для значений аргумента, принадлежащих отрезку [659, 499999751].



Абсолютная погрешность приближенного представления функции ₅(x) составляет:

для 659 x 41609 (x) ₅(x) 25;

для 41609 x 84659 (x) ₅(x) 42;

для 84659 x 138923 (x) ₅(x) 57;

для 138923 x 8352251 (x) ₅(x) 99;

для 8352251 x 14676041 (x) ₅(x) 147;

для 14676041 x 15384179 (x) ₅(x) 200;

для 15384179 x 60149081 (x) ₅(x) 379;

для 60149081 x 83282891 (x) ₅(x) 206;

для 83282891 x 107261663 (x) ₅(x) 379;

для 107261663 x 131648813 (x) ₅(x) 508;

для 131648813 x 156562421 (x) ₅(x) 271;

для 156562421 x 167646599 (x) ₅(x) 135;

для 167646599 x 176282861 (x) ₅(x) 239;

для 176282861 x 199543199 (x) ₅(x) 169;

для 199543199 x 219278789 (x) ₅(x) 253;

для 219278789 x 233819363 (x) ₅(x) 169;

для 233819363 x 249999149 (x) ₅(x) 156 (см. табл.3).

Приближающая функция (x) для исходной функции ₅(x) допускает экстраполяцию на отрезок [249999150, 499999751] с погрешностью, не превышающей 1560 (см. табл.3).

Оценки погрешностей, указанные выше, дают основание принять приближенное представление функции ₅(x) в виде

Формула (5) дает возможность установить важное свойство функции ₅(x). При x функция ₅(x) стремится к бесконечности.

Полученный результат можно выразить также в виде следующей теоремы.

Теорема 1. Множество простых чисел p, таких, что p? = 2p + 1 тоже простое число, бесконечно.

Установлено, что мощность множества M₂ равна мощности множества M₁. Как следствие можно дать формулировку следующей теоремы.

Теорема 2. Множество простых чисел p?, таких, что p = (p? - 1)/2 тоже простое число, бесконечно.

Для установления свойств простых чисел p_k, k N определим функцию r_k.

Определение 3. Функция натурального аргумента r_k обозначает разность между соседними простыми числами p_k-1 и p_k

r_k p_k p_k-1, k N.

Условно примем, что для k = 1 значение функции r₁ не определено.

В качестве указателя этой функции выбран порядковый номер k простого числа p_k.

Областью изменения функции является множество {1, 2, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96, 102, 108, 114, 120, 126, 132, …}.

Для исследования свойств функции r_k была использована таблица, содержащая 1775674 значения этой функции.

Для этой функции характерно, что при увеличении указателя значения функции изменяются крайне нерегулярно. При достаточно больших значениях указателя функция может принимать сколь угодно большие значения и вместе с тем может иметь значение, равное 6.

Отметим, что функция r_k принимает в таблице 504 различных значений. Так, например, разность между простыми числами 3 и 2 равна 1, разность между простыми числами 5 и 3 равна 2, разность между простыми числами 11 и 5 равна 6. Это значение, наименьшее из всех остальных значений, кратных 6, функция принимает среди других значений 19436 раз. Вместе с тем разность между соседними простыми числами 416857823 и 416854019 равна 3804. Это наибольшее значение, кратное 6, функция r_k принимает среди других табличных значений только 1 раз.

Для определения этого свойства функции используем сравнения по модулю, равному 6

r_k 0(mod 6), k 4;

p_k p_k-1 0(mod 6), k 4.

Пусть в качестве указателя функции r_k произвольно выбраны m 4 и n m. Тогда для всех значений аргумента m k n сравнения по модулю имеют вид

p_m p_m-1 0(mod 6), p_m+1 p_m 0(mod 6), p_m+2 p_m+1 0(mod 6), …, p_n-1 p_n-2 0(mod 6),

p_n p_n-1 0(mod 6). Тогда согласно теореме 83? ([1], С. 74)

(p_m p_m-1) + (p_m+1 p_m) + (p_m+2 p_m+1)+ … + (p_n-1 p_n-2) + (p_n p_n-1) 0(mod 6);

p_n p_m-1 0(mod 6), т. е. разность между любыми двумя простыми числами p_k, k 4 кратна 6.

Очевидно, что все простые числа p_k, k 4 содержатся в арифметической прогрессии, разность которой равна 6. Эта прогрессия может быть задана формулой n-го члена прогрессии a₁ + 6n.

Для определения первого члена арифметической прогрессии рассмотрим разность между вторым и первым элементами пары простых чисел p_k, p?_k, k N. Эта разность для всех пар

p_k, p?_k, k 4 кратна 6, т. е.

p?_k p_k 0(mod 6), (2p_k + 1) p_k 0(mod 6), p_k + 1 0(mod 6), p_k

Таким образом, первый член арифметической прогрессии можно принять равным 1 и сформулировать следующую теорему.

Теорема 3. Арифметическая прогрессия -1 + 6n содержит бесконечное множество простых чисел p_k, k 4 таких, что p?_k = 2p_k + 1 тоже простое число.

Допустим, что n_k-й член арифметической прогрессии -1 + 6n равен p_k = -1 + 6n_k, k 4.

Тогда второй элемент пары p_k, p?_k будет равен p?_k = 2(-1 + 6n_k) + 1= -1 + 12n_k, т. е. простые числа p?_k, k 4 содержатся в арифметической прогрессии -1 + 12n. Таким образом, согласно теореме 2 можно дать формулировку следующей теоремы.

Теорема 4. Арифметическая прогрессия -1 + 12n содержит бесконечное множество простых чисел p?_k, k 4 таких, что p_k = (p?_k - 1)/2 тоже простое число.

Следует также отметить, что вид простых чисел p_k, k 4 определяет некоторые свойства функции r_k, k 4. В качестве признака для разбиения множества простых чисел p_k, k 4 на три непересекающихся подмножества (вида) используется единичный разряд простых чисел p_k.

Пара простых чисел p_k, p?_k, k 4 накладывает ограничения на значения единичных разрядов простых чисел p_k, k 4. Например, простые числа p_k могут содержать в разряде единиц только цифры “1”, “3” или “9”. Наличие цифры “7” в разряде единиц простого числа p_k привело бы к тому, что простое число p?_k пары p_k, p?_k было бы составным числом. Таким образом, простые числа p_k, k 4 первого вида содержат в разряде единиц цифру “1”, второго вида - цифру “3”, третьего вида - цифру “9”.

Обозначим простые числа p_k первого вида через p_k = “…1”, второго вида - через p_k = “…3”, третьего вида - через p_k = “…9”.

Также простые числа p?_k пар p_k, p?_k, k 4 могут содержать в разряде единиц только цифры “3”, “7” или “9”. Наличие цифры “1” в разряде единиц простого числа p?_k привело бы к тому, что простое число p_k этой пары p_k, p?_k было бы составным числом. Таким образом, простые числа p?_k, k 4 первого вида содержат в разряде единиц цифру “3”, второго вида - цифру “7”, третьего вида - цифру “9”.

Обозначим простые числа p?_k, k 4 первого вида через p?_k = “…3”, второго вида - через p?_k = “…7”, третьего вида - через p?_k = “…9”.

В результате анализа данных, приведенных в таблице пар простых чисел p_k, p?_k, k 4, установлено, что значения функции r_k, k 5 принадлежат следующим подмножествам в зависимости от вида простых чисел p_k:

если p_k-1 = “…1” и p_k = “…3”, то r_k {x | x = 12 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k-1 = “…3” и p_k = “…1”, то r_k {x | x = 18 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k-1 = “…1” и p_k = “…1”, то r_k {x | x = 30 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k-1 = “…3” и p_k = “…9”, то r_k {x | x = 6 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k-1 = “…9” и p_k = “…3”, то r_k {x | x = 24 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k-1 = “…3” и p_k = “…3”, то r_k {x | x = 30 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k-1 = “…1” и p_k = “…9”, то r_k {x | x = 18 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k-1 = “…9” и p_k = “…1”, то r_k {x | x = 12 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k-1 = “…9” и p_k = “…9”, то r_k {x | x = 30 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

Также установлено, что разность между произвольно выбранными простыми числами p_k и p_j, k 4, j > k принадлежит следующим подмножествам в зависимости от вида простых чисел p_k и p_j:

если p_k = “…1” и p_j = “…1”, то (p_j - p_k) {x | x = 30 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k = “…3” и p_j = “…3”, то (p_j - p_k) {x | x = 30 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k = “…9” и p_j = “…9”, то (p_j - p_k) {x | x = 30 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

Последние три свойства простых чисел p_k дают основания для формулировки следующих теорем.

Теорема 5. Арифметическая прогрессия -19 + 30n содержит бесконечное множество простых чисел p_k, k 4 первого вида (содержат в разряде единиц цифру “1”), таких, что p?_k = 2p_k + 1 тоже простое число.

Теорема 6. Арифметическая прогрессия -7 + 30n содержит бесконечное множество простых чисел p_k, k 4 второго вида (содержат в разряде единиц цифру “3”), таких, что p?_k = 2p_k + 1 тоже простое число.

Теорема 7. Арифметическая прогрессия -1 + 30n содержит бесконечное множество простых чисел p_k, k 4 третьего вида (содержат в разряде единиц цифру “9”), таких, что p?_k = 2p_k + 1 тоже простое число.

Допустим, что n_k-й член арифметической прогрессии -19 + 30n равен p_k = -19 + 30n_k, k 4, где p_k - простое число первого вида (содержит в разряде единиц цифру “1”). Тогда второй элемент пары p_k, p?_k будет равен p?_k = 2(-19 + 30n_k) + 1= -37 + 60n_k, т. е. простые числа p?_k, k 4 содержатся в арифметической прогрессии -37 + 60n. Таким образом, согласно теореме 2 можно дать формулировку следующей теоремы.

Теорема 8. Арифметическая прогрессия -37 + 60n содержит бесконечное множество простых чисел p?_k, k 4 первого вида (содержат в разряде единиц цифру “3”), таких, что p_k = (p?_k - 1)/2 тоже простое число.

Допустим, что n_k- й член арифметической прогрессии -7 + 30n равен p_k = -7 + 30n_k, k 4, где p_k - простое число второго вида (содержит в разряде единиц цифру “3”). Тогда второй элемент пары p_k, p?_k будет равен p?_k = 2(-7 + 30n_k) + 1= -13 + 60n_k, т. е. простые числа p?_k, k 4 содержатся в арифметической прогрессии -13 + 60n. Таким образом, согласно теореме 2 можно дать формулировку следующей теоремы.

Теорема 9. Арифметическая прогрессия -13 + 60n содержит бесконечное множество простых чисел p?_k, k 4 второго вида (содержат в разряде единиц цифру “7”), таких, что p_k = (p?_k - 1)/2 тоже простое число.

Допустим, что n_k- й член арифметической прогрессии -1 + 30n равен p_k = -1 + 30n_k, k 4, где p_k - простое число третьего вида (содержит в разряде единиц цифру “9”). Тогда второй элемент пары p_k, p?_k будет равен p?_k = 2(-1 + 30n_k) + 1= -1 + 60n_k, т. е. простые числа p?_k, k 4 содержатся в арифметической прогрессии -1 + 60n. Таким образом, согласно теореме 2 можно дать формулировку следующей теоремы.

Теорема 9. Арифметическая прогрессия -1 + 60n содержит бесконечное множество простых чисел p?_k, k 4 третьего вида (содержат в разряде единиц цифру “9”), таких, что p_k = (p?_k - 1)/2 тоже простое число.

Для характеристики распределения простых чисел p_k на отрезках натурального ряда определим две функции натурального аргумента f_k и g_k.

Каждому простому числу p_k поставим в соответствие три отрезка натурального ряда

[2p_k, 2p_k+1 - 1], [1, p_k] и [p_k + 1, 2p_k+1 - 1], k N.

Определение 4. Функция натурального аргумента f_k обозначает число простых чисел p на отрезке натурального ряда [2p_k, 2p_k+1 - 1]. Определение отрезка смотри в ([2], С. 57).

В качестве указателя этой функции выбран порядковый номер k N простого числа p_k.

Областью изменения функции является множество {0, 1, 2, 3, …}.

Для исследования свойств функции f_k была использована таблица, содержащая 955440 значение этой функции.

Для этой функции характерно, что при увеличении указателя значения функции изменяются крайне нерегулярно. При достаточно больших значениях указателя функция может принимать сколь угодно большие значения и вместе с тем может иметь значение 0. В табл.4 в качестве примера приведены различные значения функции, которые она принимает на множестве значений указателя [1, 955440]. Для каждого значения указано, сколько раз функция принимает это значение среди других значений, а также рассчитана частота этого значения относительно 955440 значений функции.



В связи с этим в дальнейшем будем рассматривать средние значения ([1], с. 324) этой функции.

Определение 5. Функция натурального аргумента h_n обозначает среднее значение функции



В качестве указателя этой функции выбран порядковый номер n N простого числа p_n.

Областью изменения функции является множество Q.

Функция h_n выражает среднее число простых чисел p на n отрезках натурального ряда

[2p_k, 2p_k+1 - 1], k [1, n].

Значения функции меняются довольно гладко. Функция может быть аппроксимирована простым выражением. В результате предварительных исследований функции h_n численными методами установлено, что приближающая функция для нее может быть принята в виде

где c и d - числовые параметры.

Для выбора числовых параметров c и d приближающей функции _n используется метод наименьших квадратов.

Указанные параметры согласно методу наименьших квадратов требуется выбрать так, чтобы сумма квадратов отклонений приближающей функции _n от табличных значений исходной функции h_n была минимальной. Эта сумма квадратов отклонений есть некоторая функция параметров c и d. Обозначим ее через S₁(c, d)



S₁(c, d) = (_n h_n)², (6)

где суммирование выполняется по точкам аппроксимации n = 1, 2, 3, …, 955440.

Для оценки близости исходной функции h_n и приближающей ее функции _n используется минимальное значение S₁(c, d).

Решение задачи подбора совокупности двух параметров (c, d), удовлетворяющих принципу наименьших квадратов, разобьем на пять этапов.

На первом этапе зададимся рядом значений параметра c и для каждого из них определим численным методом значение параметра d, доставляющее минимальное значение функции S₁(c, d). Результаты расчетов приведены в таблице 5.

На втором этапе выполним интерполяцию функции S₁(c, d), используя данные табл.5.

Узлами интерполяции выберем значения параметра c, равные 2,10; 2,27; 2,29; 2,50.

Для интерполяции функции S₁(c, d) используем полином четвертой степени

S₁(c, d) = c⁴+ c²+ c + , (7)

где = 10,5987034979; = 385,0578181432; = 1252,4014944236; =1147,2708273439.

На третьем этапе определим значение параметра c, доставляющего минимум минимального значения функции S₁(c, d) c 2,27117701.

При этом минимум минимального значения функции S₁(c, d), вычисленный по формуле (7), равен 7,0630010132.

На четвертом этапе для параметра c = 2,27117701 определим численным методом значение параметра d, доставляющее минимальное значение функции S₁(c, d). Минимуму функции S₁(c, d) отвечает d = 1,006980863. При этом минимальное значение функции S₁(c, d), вычисленное по формуле (6), равно 7,0632144909.

Минимальное значение функции S₁(c, d), вычисленное по формуле (6) для c = 2,27117701 и d = 1,006980863, отличается от минимального значения функции S₁(c, d), вычисленного по формуле (7), на 0,0002134777. Эта разность вызвана погрешностью интерполяции функции S₁(c, d).

На пятом этапе для уменьшения погрешности интерполяции функции S₁(c, d) зададимся рядом значений параметра c в окрестности точки c = 2,27117701 и для каждого из них определим по формуле (6) значение параметра d, доставляющее минимальное значение функции S₁(c, d). Результаты расчетов приведены в таблице 6.



Используя данные, приведенные в табл.6, уточненные значения параметров c и d приняты соответственно равными 2,2694000 и 1,002739340. При этом приближающая функция для h_n имеет вид

где c = 2,2694000; d = 1,002739340.

В табл.7 приведены отклонения _n h_n приближающей функции _n от исходной функции h_n для значений указателя, принадлежащих отрезку [30, 955440].

Погрешность приближенного представления функции h_n составляет:

для 30 n 100 _n h_n 0,1832;

для 100 n 300 _n h_n 0,0778;

для 300 n 5000 _n h_n 0,0331;

для 5000 n 20000 _n h_n 0,0188;

для 20000 n 95000 _n h_n 0,0107;

для 95000 n 190000 _n h_n 0,0036;

для 190000 n 285000 _n h_n 0,0028;

для 285000 n 380000 _n h_n 0,0019;

для 380000 n 570000 _n h_n 0,0012;

для 570000 n 665000 _n h_n 0,0015;

для 665000 n 760000 _n h_n 0,0011;

для 760000 n 855000 _n h_n 0,0008;

для 855000 n 950000 _n h_n 0,0006;

для 950000 n 955440 _n h_n 0,0002 (см. табл.7).



Оценки погрешностей, указанные выше, дают основание принять приближенное представление функции h_n в виде

где c = 2,2694000; d = 1,002739340.

Формула (9) дает возможность установить важное свойство функции h_n. При больших асимптотическое равенство h_n 2. (10)

Полученный результат можно выразить также в виде следующей теоремы.

Теорема 10. Среднее число простых чисел p, таких, что p? = 2p + 1 тоже простое число, на n отрезках натурального ряда [2p_k, 2p_k+1 - 1], k [1, n], где p_k и p_k+1 - простые числа соответственно с порядковыми номерами k и k+1, при n стремится к пределу, равному 2.

Дадим определение функции g_k.

Определение 6. Функция натурального аргумента g_k обозначает отношение числа простых чисел p, таких, что p? = 2p + 1 тоже простое число, на отрезке натурального ряда [p_k + 1, 2p_k+1 - 1] к числу простых чисел p на отрезке натурального ряда [1, p_k].

В качестве указателя этой функции выбран порядковый номер k N простого числа p_k. Областью изменения функции является множество Q.

Для исследования свойств функции g_k была использована таблица, содержащая 955440 значений этой функции.

Для этой функции характерно, что при увеличении указателя значения функции изменяются довольно гладко в пределах от 0,333 до 2,000.

В результате предварительных исследований функции g_k численными методами установлено, что выражение

где c и d - числовые параметры, является функцией, хорошо аппроксимирующей исходную функцию g_k. Обозначим ее через _k.



Для выбора числовых параметров c и d приближающей функции _k используется метод наименьших квадратов.

Указанные параметры согласно методу наименьших квадратов требуется выбрать так, чтобы сумма квадратов отклонений приближающей функции _k от табличных значений исходной функции g_k была минимальной. Эта сумма квадратов отклонений есть некоторая функция параметров c и d. Обозначим ее через S₂(c, d)

S₂(c, d) = (_k g_k)², (12)

где суммирование выполняется по точкам аппроксимации k = 1, 2, 3, …, 955440.

Для оценки близости исходной функции g_k и приближающей ее функции _k используется минимальное значение S₂(c, d).

Решение задачи подбора совокупности двух параметров (c, d), удовлетворяющих принципу наименьших квадратов, разобьем на пять этапов.

На первом этапе зададимся рядом значений параметра c и для каждого из них определим численным методом значение параметра d, доставляющее минимальное значение функции S₂(c, d). Результаты расчетов приведены в таблице 8.

На втором этапе выполним интерполяцию функции S₂(c, d), используя данные табл.8.

Узлами интерполяции выберем значения параметра c, равные 2,30; 2,40; 2,45; 2,50.



Для интерполяции функции S₂(c, d) используем полином четвертой степени

S₂(c, d) = c⁴+ c²+ c + , (13)

где = 6,7291947326; = 278,8812787205; = 969,9703813896; = 952,7748378337.

На третьем этапе определим значение параметра c, доставляющего минимум минимального значения функции S₂(c, d) c 2,44057189.

При этом минимум минимального значения функции S₂(c, d), вычисленный по формуле (13), равен 7,8759932327.

На четвертом этапе для параметра c = 2,44057189 определим численным методом значение параметра d, доставляющее минимальное значение функции S₂(c, d). Минимуму функции S₂(c, d) отвечает d = 1,391327224. При этом минимальное значение функции S₂(c, d), вычисленное по формуле (12), равно 7,8763097756.

Минимальное значение функции S₂(c, d), вычисленное по формуле (12) для c = 2,44057189 и d = 1,391327224, отличается от минимального значения функции S₂(c, d), вычисленного по формуле (13), на 0,0003165429. Эта разность вызвана погрешностью интерполяции функции S₂(c, d).

На пятом этапе для уменьшения погрешности интерполяции функции S₂(c, d) зададимся рядом значений параметра c в окрестности точки c = 2,44057189 и для каждого из них определим по формуле (12) значение параметра d, доставляющее минимальное значение функции S₂(c, d). Результаты расчетов приведены в таблице 9.

Используя данные, приведенные в табл.9, уточненные значения параметров c и d приняты соответственно равными 2,44097239 и 1,392156840. При этом приближающая функция для g_k имеет вид

где c = 2,44097239; d = 1,392156840.

В табл.10 приведены отклонения _k g_k приближающей функции _k от исходной функции g_k для значений указателя, принадлежащих отрезку [30, 955440].



Погрешность приближенного представления функции g_k составляет:

для 30 k 100 _k g_k 0,1589;

для 100 k 300 _k g_k 0,0855;

для 300 k 5000 _k g_k 0,0416;

для 5000 k 20000 _k g_k 0,0138;

для 20000 k 95000 _k g_k 0,0091;

для 95000 k 190000 _k g_k 0,0039;

для 190000 k 285000 _k g_k 0,0030;

для 285000 k 380000 _k g_k 0,0019;

для 380000 k 570000 _k g_k 0,0015;

для 570000 k 665000 _k g_k 0,0010;

для 665000 k 760000 _k g_k 0,0007;

для 760000 k 855000 _k g_k 0,0008;

для 855000 k 950000 _k g_k 0,0009;

для 950000 k 955440 _k g_k 0,0007 (см. табл.10).

Оценки погрешностей, указанные выше, дают основание принять приближенное представление функции g_k в виде



где c = 2,44097239; d = 1,392156840.

Формула (15) дает возможность установить важное свойство функции g_k. При больших k

g_k 1. (16)

Полученный результат можно выразить также в виде следующей теоремы.

Теорема 11. Отношение числа простых чисел p, таких, что p? = 2p + 1 тоже простое число, на отрезке натурального ряда [p_k + 1, 2p_k+1 - 1] к числу простых чисел p на отрезке натурального ряда [1, p_k], где p_k и p_k+1 - простые числа соответственно с порядковыми номерами k и k+1, при k стремится к пределу, равному 1.

Следствие 1. Число простых чисел p, таких, что p? = 2p + 1 тоже простое число, на отрезке натурального ряда [p_k + 1, 2p_k+1 - 1], где p_k и p_k+1 - простые числа соответственно с порядковыми номерами k и k+1, при k стремится к бесконечности.

Свойства простых чисел p M₁, формулировки которых приведены в теоремах 10 и 11, сохраняются при взаимно однозначном отображении f-¹ множества M₁ на множество M₂.

Другими словами, простые числа p?, которые принадлежат множеству M₂, в данном случае имеют такие же свойства, как и простые числа p.

Введем обозначения: p?_k - значение простого числа; k - порядковый номер простого числа p?_k в натуральном ряду.

В качестве примера приведем первые десять простых чисел p?: p?₁ = 5; p?₂ = 7; p?₃ = 11; p?₄ = 23; p?₅ = 47; p?₆ = 59; p?₇ = 83; p?₈ = 107; p?₉ = 167; p?₁₀ = 179.

Для характеристики распределения простых чисел p?_k на отрезках натурального ряда определим две функции натурального аргумента w_k и y_k.

Каждому простому числу p?_k поставим в соответствие три отрезка натурального ряда

[2p?_k, 2p?_k+1 - 1], [1, p?_k] и [p?_k + 1, 2p?_k+1 - 1], k N.

Определение 7. Функция натурального аргумента w_k обозначает число простых чисел p?, таких, что p = (p? 1)/2 тоже простое число, на отрезке натурального ряда [2p?_k, 2p?_k+1 - 1].

В качестве указателя этой функции выбран порядковый номер k N простого числа p?_k.

Областью изменения функции является множество {0, 1, 2, 3, …}.

Для исследования свойств функции w_k была использована таблица, содержащая 955440 значение этой функции. В результате анализа было установлено, что значения функции w_k для всех значений аргумента k равны значениям функции f_k, т. е. w_k = f_k, k N.

Для функции w_k также характерно, что при увеличении указателя значения функции изменяются крайне нерегулярно. При достаточно больших значениях указателя функция может принимать сколь угодно большие значения и вместе с тем может иметь значение 0.

В связи с этим в дальнейшем будем рассматривать средние значения ([1], с. 324) этой функции.

Определение 8. Функция натурального аргумента z_n обозначает среднее значение функции w_k на отрезке [1, n]



В качестве указателя этой функции выбран порядковый номер n N простого числа p?_n.

Областью изменения функции является множество Q.

Функция z_n выражает среднее число простых чисел p? на n отрезках натурального ряда

[2p?_k, 2p?_k+1 - 1], k [1, n].

Значения функции z_n для всех значений аргумента n равны значениям функции h_n, т. е. z_n = h_n, n N.

Значения функции меняются довольно гладко. Для аппроксимации функции z_n может быть использована приближающая функция _n для функции h_n, которая имеет вид

где c = 2,2694000; d = 1,002739340.

Отклонения _n z_n приближающей функции _n от исходной функции z_n для значений указателя, принадлежащих отрезку [30, 955440], совпадают с отклонениями для функции h_n.

Оценки погрешностей (см. погрешности для функции h_n) дают основание принять приближенное представление функции z_n в виде



где c = 2,2694000; d = 1,002739340.

Формула (18) дает возможность установить важное свойство функции z_n. При больших асимптотическое равенство z_n 2. (19)

Полученный результат можно выразить также в виде следующей теоремы.

Теорема 12. Среднее число простых чисел p?, таких, что p = (p? 1)/2 тоже простое число, на n отрезках натурального ряда [2p?_k, 2p?_k+1 - 1], k [1, n], где p?_k и p?_k+1 - простые числа соответственно с порядковыми номерами k и k+1, при n стремится к пределу, равному 2.

Дадим определение функции y_k.

Определение 9. Функция натурального аргумента y_k обозначает отношение числа простых чисел p?, таких, что p = (p? 1)/2 тоже простое число, на отрезке натурального ряда [p?_k + 1, 2p?_k+1 - 1] к числу простых чисел p? на отрезке натурального ряда [1, p?_k].

В качестве указателя этой функции выбран порядковый номер k N простого числа p?_k. Областью изменения функции является множество Q.

Для исследования свойств функции y_k была использована таблица, содержащая 955440 значений этой функции. В результате анализа было установлено, что значения функции y_k для всех значений аргумента k равны значениям функции g_k, т. е. y_k = g_k, k N.

Для этой функции характерно, что при увеличении указателя значения функции изменяются довольно гладко в пределах от 0,333 до 2,000. Для аппроксимации функции y_k может быть использована приближающая функция _k для функции g_k, которая имеет вид

где c = 2,44097239; d = 1,392156840.

Отклонения _k y_k приближающей функции _k от исходной функции y_k для значений указателя, принадлежащих отрезку [30, 955440], совпадают с отклонениями для функции g_k.

Оценки погрешностей (см. погрешности для функции g_k) дают основание принять приближенное представление функции y_k в виде

где c = 2,44097239; d = 1,392156840.

Формула (21) дает возможность установить важное свойство функции y_k. При больших асимптотическое равенство

y_k 1. (22)

Полученный результат можно выразить также в виде следующей теоремы.

Теорема 13. Отношение числа простых чисел p?, таких, что p = (p? 1)/2 тоже простое число, на отрезке натурального ряда [p?_k + 1, 2p?_k+1 - 1] к числу простых чисел p? на отрезке натурального ряда [1, p?_k], где p?_k и p?_k+1 - простые числа соответственно с порядковыми номерами k и k+1, при k стремится к пределу, равному 1.

Следствие 2. Число простых чисел p?, таких, что p = (p? 1)/2 тоже простое число, на отрезке натурального ряда [p?_k + 1, 2p?_k+1 - 1], где p?_k и p?_k+1 - простые числа соответственно с порядковыми номерами k и k+1, при k стремится к бесконечности.



Литература

1. Бухштаб А.А. Теория чисел. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1966. -С. 384

2. Нечаев В.И. Числовые системы. - М.: Просвещение, 1975. -С. 199

3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1958. -С. 464

Размещено на Allbest.ru

...