О распределении троек соседних простых чисел, образующих арифметическую прогрессию, в натуральном ряду

Размещено на http://www.allbest.ru/

О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ТРОЕК СОСЕДНИХ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ, ОБРАЗУЮЩИХ АРИФМЕТИЧЕСКУЮ ПРОГРЕССИЮ, В НАТУРАЛЬНОМ РЯДУ

В.И. Гончаров



В теории чисел не решена до сих пор проблема доказательства существования бесконечного множества троек соседних простых чисел p_i-1, p_i, p_i+1, образующих арифметическую прогрессию, т. е. таких, что p_i = (p_i-1 + p_i+1) 2 ([1], С. 367). Это условие, которому должны удовлетворять простые числа тройки, может быть преобразовано к виду p_i - p_i-1 = p_i+1 - p_i = d, где d - разность арифметической прогрессии, а p_i-1, p_i, p_i+1 - первый, второй и третий члены арифметической прогрессии. В дальнейшем простые числа p_i-1, p_i, p_i+1, составляющие тройку простых чисел, будут рассматриваться как один математический объект и называться кратко тройкой простых чисел. В качестве примера приведем первые десять троек простых чисел: ((3, 5, 7)), ((47, 53, 59)), ((151, 157, 163)), ((167, 173, 179)), ((199, 211, 223)), ((251, 257, 263)), ((257, 263, 269)), ((367, 373, 379)), ((557, 563, 569)), ((587, 593, 599)).

В данной статье рассматривается задача о распределении троек простых чисел в натуральном ряду. Даны обоснование и формулировка теоремы, утверждающей, что тройки простых чисел составляют бесконечное множество. Приведены также результаты исследований распределения троек простых чисел на отрезках натурального ряда, которые по определению поставлены во взаимно однозначное соответствие с тройками простых чисел.

Приведем основные обозначения, используемые для формулировки результатов данной работы.

Для определения каждой тройки простых чисел и однозначной идентификации установим три параметра: порядковый номер k тройки простых чисел в натуральном ряду; второй член p_k арифметической прогрессии, которую образует тройка простых чисел с порядковым номером k; разность d_k арифметической прогрессии, которую образует тройка простых чисел c порядковым номером k.

Тогда первый и третий члены арифметической прогрессии будут соответственно равны p_k - d_k и p_k + d_k.

Для характеристики распределения троек простых чисел в натуральном ряду имеют значение только два параметра: порядковый номер k тройки простых чисел и значение второго простого числа p_k тройки простых чисел. Внутренняя структура тройки простых чисел, определяющая зависимость первого и третьего простых чисел тройки простых чисел от второго простого числа тройки простых чисел, в этом случае не влияет на распределение троек простых чисел в натуральном ряду.

Обозначим через ((p_k - d_k, p_k, p_k + d_k)) тройку простых чисел с порядковым номером k;

P - множество простых чисел; N - множество натуральных чисел; Q - множество рациональных чисел; R - множество действительных чисел.

Тогда решение задачи о распределении троек простых чисел в натуральном ряду сводится к решению задачи о распределении простых чисел, принадлежащих упорядоченному подмножеству P₄ = {p_k | p_k P, k N}, где k - порядковый номер тройки простых чисел, p_k - второе простое число тройки простых чисел. Например, p₁ = 5, p₂ = 53, p₃ = 157, p₄ = 173, p₅ = 211, p₆ = 257, p₇ = 263, p₈ = 373, p₉ = 563, p₁₀ = 593, p₁₁ = 607, p₁₂ = 653 и т. д.

Для характеристики распределения троек чисел простых в натуральном ряду определим функцию ₄(x).

Определение 1. Числовая функция ₄(x) обозначает число троек простых чисел ((p_k - d_k, p_k, p_k + d_k)), k N, меньших или равных x, т. е. p_k x.

Для рассматриваемой функции характерными точками, определяющими значение функции и в других точках, являются не натуральные значения аргумента x, а простые числа. Действительно, если задано упорядоченное множество простых чисел P₄, то значение функции ₄(x) может быть вычислено по следующему алгоритму

k N; если p_k x p_k+1, то ₄(x) = k.



Алгоритмический способ задания функции ₄(x) задает правило соответствия, которое устанавливает зависимость функции от двух атрибутов простого числа: значения простого числа p_k и его порядкового номера k.

Отметим некоторые свойства функции:

а) функция имеет бесконечное множество разрывов первого рода в точках p_k, k N слева;

б) значения функции в точках p_k, k N равны ₄(p_k) = k (согласно определению);

в) значения функции в точках p_k, k N слева равны ₄(p_k 0) = k 1;

г) скачки функции в точках p_k слева, k N равны ₄(p_k 0) ₄(p_k) = 1;

д) на частичных промежутках [p_k, p_k+1), k N функция сохраняет постоянные значения

₄(x) = k, p_k x p_k+1;

е) при увеличении аргумента значения функции изменяются крайне нерегулярно.

В дальнейшем частные значения функции ₄(p_k), которые отвечают частным значениям аргумента x = p_k, k N, рассматриваются как сложная функция от аргумента k (p_k интерпретируется как функция натурального аргумента k).

Для решения задачи аппроксимации функции ₄(x) в качестве исходных данных используется таблица, содержащая 1328401 простых чисел, принадлежащих множеству P₄. При этом с целью уменьшения объема вычислений точками аппроксимации приняты x = p_k, k = 70, 80, 90, 100, 110, …, 710680.

Численное решение задачи разбивается на следующие этапы:

а) выбор типа приближающей функции;

б) выбор параметров приближающей функции.

При выборе типа приближающей функции была выполнены предварительные расчеты табличных значений функции натурального аргумента

Эта функция обозначает среднюю разность между тройками простых чисел, которые принадлежат отрезку [0, p_k], k = 1, 2, 3, …, 710680. Функция ф_k изменяется довольно гладко и может быть аппроксимирована выражением

где a и b - числовые параметры.

Согласно определению значения функции ₄(x) в точках x = p_k, k N равны ₄(p_k) = k.

Тогда тип приближающей функции для ₄(x) будет иметь вид



Для выбора числовых параметров a и b приближающей функции используется метод наименьших квадратов ([2], с. 326 344).

Указанные параметры согласно методу наименьших квадратов требуется выбрать так, чтобы сумма квадратов отклонений приближающей функции q(x) от табличных значений функции ₄(x) была минимальной. Эта сумма квадратов отклонений есть некоторая функция параметров a и b. Обозначим ее через S(a, b)

S(a, b) = (q(p_k) ₄(p_k))², (2)

где суммирование выполняется по точкам аппроксимации p_k, k = 70, 80, 90, …, 710680.

Тогда в качестве меры наилучшего приближения функции ₄(x) принимается величина

min (q(p_k) ₄(p_k))².

Решение задачи подбора совокупности двух параметров (a, b), удовлетворяющих принципу наименьших квадратов, численными методами разобьем на пять этапов.

На первом этапе зададимся рядом значений параметра a и для каждого из них определим по формуле (2) значение параметра b, доставляющее минимальное значение функции S(a, b).

Результаты расчетов приведены в таблице 1.



В результате анализа данных, приведенных в табл.1, можно сделать вывод, что значение параметра a, доставляющего функции S(a, b) минимум минимального значения, принадлежит промежутку [108,55, 108,85].

На втором этапе выполним интерполяцию функции S(a, b), используя данные табл.1.

Узлами интерполяции выбраны значения параметра a, равные 108,55, 108,70 и 108,85. Для интерполяции функции S(a, b) используем полином второй степени

S(a, b) = a² + a + , (3)

де = 1262818,599538319; = 274371523,9283057; = 16443916080,32733.

На третьем этапе определим значение параметра a, доставляющего минимум минимального значения функции S(a, b)

При этом минимум минимального значения функции S(a, b), вычисленный по формуле (3), равен 1540799122,31.

На четвертом этапе для параметра a = 108,63457508 определим по формуле (2) значение параметра b, доставляющее минимальное значение функции S(a, b). Минимуму функции S(a, b) отвечает b = 1,143073407. Минимальное значение функции S(a, b) равно 1540799127,79.

Минимальное значение функции S(a, b), вычисленное по формуле (2) для a = 108,63457508 и b = 1,143073407, отличается от минимального значения функции S(a, b), определенного по формуле (3), на 5,48. Эта разность вызвана погрешностью интерполяции функции S(a, b).

Следует подчеркнуть, что в этом случае максимальная абсолютная погрешность вычисления значения параметра a, доставляющего функции S(a, b) минимум минимального значения, не превышает 0,30, т. е. длину числового промежутка [108,55, 108,85].

На пятом этапе для уменьшения этой погрешности зададим параметру a несколько значений в окрестности точки a = 108,63457508 и определим по формуле (2) значение параметра b, доставляющее минимальное значение функции S(a, b):

a = 108,60 b = 1,143015799 S(a, b) = 1540800636,07;

a = 108,62 b = 1,143049127 S(a, b) = 1540799393,82;

a = 108,66 b = 1,143115746 S(a, b) = 1540799952,40.

Минимуму функции S(a, b) отвечает a = 108,62 и b = 1,143049127. Минимальное значение функции S(a, b) равно 1540799393,82.

Сопоставляя значения функции S(a, b), вычисленные по формуле (2) для значений параметра a = 108,62, a = 108,63457508 и a = 108,66, можно сделать вывод, что значение параметра a, доставляющего функции S(a, b) минимум минимального значения, равно 108,62457508. При этом максимальная абсолютная погрешность вычисления значения параметра a не превышает 0,040, т. е. длину числового промежутка [108,62, 108,66].

Совокупность двух параметров (a, b), удовлетворяющих принципу наименьших квадратов, выбрана. Значения параметров a и b приняты соответственно равными 108,63457508 и 1,143073407. При этом приближающая функция для ₄(x) имеет вид

В табл.2 приведены отклонения приближающей функции q(x) от исходной функции ₄(x) для значений аргумента, принадлежащих отрезку [3307, 999998789].



теорема число задача погрешность

Абсолютная погрешность приближенного представления функции ₄(x) составляет:

для 593 x 788897 q(x) ₄(x) 60;

для 788898 x 1459957 q(x) ₄(x) 100;

для 1459958 x 5749619 q(x) ₄(x) 137;

для 5749620 x 78484151 q(x) ₄(x) 266;

для 78484152 x 171790607 q(x) ₄(x) 494;

для 171790608 x 315161767 q(x) ₄(x) 438;

для 315161768 x 421271771 q(x) ₄(x) 357;

для 421271772 x 444221683 q(x) ₄(x) 225;

для 444221684 x 448273439 q(x) ₄(x) 140;

для 448273440 x 478292791 q(x) ₄(x) 106;

для 478292792 x 499998607 q(x) ₄(x) 166 (см. табл.2).

Приближающая функция q(x) для исходной функции ₄(x) допускает экстраполяцию на отрезок [499998608, 999998789] с погрешностью, не превышающей 2500 (см. табл.2).

Оценки погрешностей, указанные выше, дают основание принять приближенное представление функции ₄(x) в виде



Формула (5) дает возможность установить важное свойство функции ₄(x). При x функция ₄(x) стремится к бесконечности.

Полученный результат можно выразить также в виде следующей теоремы.

Теорема 1. Множество троек соседних простых чисел, образующих арифметическую прогрессию, бесконечно.

Дополнительно следует отметить некоторые характеристики троек простых чисел, которые непосредственно не влияют на их распределение в натуральном ряду.

Среди 1328401 троек простых чисел только тройка ((3, 5, 7)) имеет разность арифметической прогрессии, равную 2. Остальные тройки простых чисел имеют разности арифметических прогрессий, кратные 6. В таблице 3 приведены 23 различных значений разности арифметических прогрессий, которые образуют 1328401 тройка простых чисел, число троек простых чисел, имеющих эти разности, и частота этих троек относительно всех троек.



Определим следующие 12 видов троек простых чисел в зависимости от цифр, которые первое, второе и третье простые числа тройки содержат в единичных разрядах. Для этого используем следующие обозначения: p_k = “…9 …1 … 3” - первое, второе и третье простые числа тройки p_k содержат соответственно цифры “9”, “1” и “3”;

p_k = “…3 …1 … 9” - первое, второе и третье простые числа тройки p_k содержат соответственно цифры “3”, “1” и “9”;

p_k = “…1 …1 … 1” - первое, второе и третье простые числа тройки p_k содержат соответственно цифры “1”, “1” и “1”;

p_k = “…7 …3 … 9” - первое, второе и третье простые числа тройки p_k содержат соответственно цифры “7”, “3” и “9”;

p_k = “…9 …3 … 7” - первое, второе и третье простые числа тройки p_k содержат соответственно цифры “9”, “3” и “7”;

p_k = “…3 …3 … 3” - первое, второе и третье простые числа тройки p_k содержат соответственно цифры “3”, “3” и “3”;

p_k = “…1 …7 … 3” - первое, второе и третье простые числа тройки p_k содержат соответственно цифры “1”, “7” и “3”;

p_k = “…3 …7 … 1” - первое, второе и третье простые числа тройки p_k содержат соответственно цифры “3”, “7” и “1”;

p_k = “…7 …7 … 7” - первое, второе и третье простые числа тройки p_k содержат соответственно цифры “7”, “7” и “7”;

p_k = “…7 …9 … 1” - первое, второе и третье простые числа тройки p_k содержат соответственно цифры “7”, “9” и “1”;

p_k = “…1 …9 … 7” - первое, второе и третье простые числа тройки p_k содержат соответственно цифры “1”, “9” и “7”;

p_k = “…9 …9 … 9” - первое, второе и третье простые числа тройки p_k содержат соответственно цифры “9”, “9” и “9”.

В результате анализа данных, приведенных в таблице троек простых чисел, установлено, что значение разности d_k арифметической прогрессии принадлежит следующим множествам в зависимости от вида тройки простых чисел p_k:

если p_k = “…9 …1 … 3”, то d_k {x | x = 12 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k = “…3 …1 … 9”, то d_k {x | x = 18 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k = “…1 …1 … 1”, то d_k {x | x = 30 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k = “…7 …3 … 9”, то d_k {x | x = 6 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k = “…9 …3 … 7”, то d_k {x | x = 24 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k = “…3 …3 … 3”, то d_k {x | x = 30 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k = “…1 …7 … 3”, то d_k {x | x = 6 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k = “…3 …7 … 1”, то d_k {x | x = 24 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k = “…7 …7 … 7”, то d_k {x | x = 30 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k = “…7 …9 … 1”, то d_k {x | x = 12 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k = “…1 …9 … 7”, то d_k {x | x = 18 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k = “…9 …9 … 9”, то d_k {x | x = 30 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …}.

В результате анализа данных, приведенных в таблице троек простых чисел, установлено, что разность между двумя соседними тройками простых чисел также зависит от вида этих троек простых чисел.

Для исследования этой зависимости определим функцию r_k.

Определение 2. Функция натурального аргумента r_k обозначает разность между соседними тройками простых чисел p_k и p_k-1

r_k p_k p_k-1, k N.

Условно примем, что для k = 1 значение функции r₁ не определено.

В качестве указателя этой функции выбран порядковый номер k тройки простых чисел p_k.

Областью изменения функции является множество {6, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, …}.

Для исследования свойств функции r_k была использована таблица, содержащая 1328400 значений этой функции.

Для этой функции характерно, что при увеличении указателя значения функции изменяются крайне нерегулярно. При достаточно больших значениях указателя функция может принимать сколь угодно большие значения и вместе с тем может иметь значение, равное 6.

Отметим, что функция r_k принимает в таблице 3382 различных значений. Так, например, разность между тройками чисел ((251, 257, 263)) и ((257, 263, 269)) равна 6. Это наименьшее значение функция принимает среди других значений 42754 раза. Вместе с тем разность между соседними тройками простых чисел ((608776411, 608776417, 608776423)) и ((608787631, 608787637, 608787643)) равна 11220. Это наибольшее значение функция принимает среди других табличных значений только 1 раз.

Для установления зависимости разности r_k между соседними тройками простых чисел от вида их троек определим следующие типы пар этих троек простых чисел p_k.

Определение 3. Две соседние тройки простых чисел ((p_k - d_k, p_k, p_k + d_k)) и ((p_k+1 - d_k+1, p_k+1, p_k+1 + d_k+1)) называются сопряженными, если выполнены следующие условия:

d_k = d_k+1;

r_k+1 = p_k+1 - p_k = d_k.

Из этих условий следует, что p_k = p_k+1 - d_k+1, p_k + d_k = p_k+1.

Следующие пары соседних троек простых чисел p_k и p_k+1 удовлетворяют этим условиям:

В таблице общее число пар сопряженных троек простых чисел равно 72131.

Определение 4. Две соседние тройки простых чисел ((p_k - d_k, p_k, p_k + d_k)) и ((p_k+1 - d_k+1, p_k+1, p_k+1 + d_k+1)) называются смежными, если выполнены следующие условия:

d_k d_k+1;

p_k + d_k = p_k+1 - d_k+1.

Из этого условия следует, что r_k+1 = d_k + d_k+1.

Следующие пары соседних троек простых чисел p_k и p_k+1 удовлетворяют этим условиям:

если p_k = “…7 …3 … 9” и p_k+1 = “…9 …1 … 3”, то r_k+1 {x | x = 18 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k = “…7 …9 … 1” и p_k+1 = “…1 …7 … 3”, то r_k+1 {x | x = 18 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k = “…1 …7 … 3” и p_k+1 = “…3 …1 … 9”, то r_k+1 {x | x = 24 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k = “…1 …9 … 7” и p_k+1 = “…7 …3 … 9”, то r_k+1 {x | x = 24 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k = “…1 …7 … 3” и p_k+1 = “…3 …7 … 1”, то r_k+1 {x | x = 30 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k = “…7 …3 … 9” и p_k+1 = “…9 …3 … 7”, то r_k+1 {x | x = 30 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k = “…9 …3 … 7” и p_k+1 = “…7 …3 … 9”, то r_k+1 {x | x = 30 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k = “…3 …7 … 1” и p_k+1 = “…1 …7 … 3”, то r_k+1 {x | x = 30 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k = “…7 …3 … 9” и p_k+1 = “…9 …9 … 9”, то r_k+1 {x | x = 36 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k = “…1 …7 … 3” и p_k+1 = “…3 …3 … 3”, то r_k+1 {x | x = 36 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k = “…1 …1 … 1” и p_k+1 = “…1 …7 … 3”, то r_k+1 {x | x = 36 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k = “…7 …7 … 7” и p_k+1 = “…7 …3 … 9”, то r_k+1 {x | x = 36 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k = “…7 …9 … 1” и p_k+1 = “…1 …9 … 7”, то r_k+1 {x | x = 30 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k = “…9 …1 … 3” и p_k+1 = “…3 …1 … 9”, то r_k+1 {x | x = 30 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k = “…1 …9 … 7” и p_k+1 = “…7 …9 … 1”, то r_k+1 {x | x = 30 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k = “…3 …1 … 9” и p_k+1 = “…9 …1 … 3”, то r_k+1 {x | x = 30 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k = “…9 …1 … 3” и p_k+1 = “…3 …7 … 1”, то r_k+1 {x | x = 36 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k = “…9 …3 … 7” и p_k+1 = “…7 …9 … 1”, то r_k+1 {x | x = 36 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k = “…9 …1 … 3” и p_k+1 = “…3 …3 … 3”, то r_k+1 {x | x = 42 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k = “…7 …9 … 1” и p_k+1 = “…1 …1 … 1”, то r_k+1 {x | x = 42 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k = “…9 …9 … 9” и p_k+1 = “…9 …1 … 3”, то r_k+1 {x | x = 42 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k = “…7 …7 … 7” и p_k+1 = “…7 …9 … 1”, то r_k+1 {x | x = 42 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k = “…3 …1 … 9” и p_k+1 = “…9 …3 … 7”, то r_k+1 {x | x = 42 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k = “…3 …7 … 1” и p_k+1 = “…1 …9 … 7”, то r_k+1 {x | x = 42 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k = “…3 …1 … 9” и p_k+1 = “…9 …9 … 9”, то r_k+1 {x | x = 48 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k = “…1 …9 … 7” и p_k+1 = “…7 …7 … 7”, то r_k+1 {x | x = 48 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k = “…3 …3 … 3” и p_k+1 = “…3 …1 … 9”, то r_k+1 {x | x = 48 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k = “…1 …1 … 1” и p_k+1 = “…1 …9 … 7”, то r_k+1 {x | x = 48 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k = “…9 …3 … 7” и p_k+1 = “…7 …7 … 7”, то r_k+1 {x | x = 54 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k = “…3 …7 … 1” и p_k+1 = “…1 …1 … 1”, то r_k+1 {x | x = 54 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k = “…9 …9 … 9” и p_k+1 = “…9 …3 … 7”, то r_k+1 {x | x = 54 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …};

если p_k = “…3 …3 … 3” и p_k+1 = “…3 …7 … 1”, то r_k+1 {x | x = 54 + 30n, n = 0, 1, 2, 3, …}.

В таблице общее число пар смежных троек простых чисел равно 24624.

Определение 5. Две соседние тройки простых чисел ((p_k - d_k, p_k, p_k + d_k)) и ((p_k+1 - d_k+1, p_k+1, p_k+1 + d_k+1)) называются несмежными, если выполнены следующие условия:

r_k+1 > d_k + d_k+1;

d_k = d_k+1 или d_k d_k+1.

Разность между несмежными тройками простых чисел не может быть равна 8, 10, 12 и 18.

С другой стороны, только некоторые пары несмежных троек простых чисел могут иметь разность, равную 14, 16, 20, 22, 24, 26, 28, 30 и т. д.

В качестве примера приведены указанные пары несмежных троек простых чисел p_k и p_k+1, для которых эти условия выполняются:

если p_k = “…7 …3 … 9” и p_k+1 = “…1 …7 … 3” и d_k = 6 и d_k+1 = 6 и r_k+1 = 14;

если p_k = “…1 …7 … 3” и p_k+1 = “…7 …3 … 9” и d_k = 6 и d_k+1 = 6 и r_k+1 = 16;

если p_k = “…7 …3 … 9” и p_k+1 = “…7 …3 … 9” и d_k = 6 и d_k+1 = 6 и r_k+1 = 20;

если p_k = “…1 …7 … 3” и p_k+1 = “…1 …7 … 3” и d_k = 6 и d_k+1 = 6 и r_k+1 = 20;

если p_k = “…1 …7 … 3” и p_k+1 = “…7 …9 … 1” и d_k = 6 и d_k+1 = 12 и r_k+1 = 22;

если p_k = “…9 …1 … 3” и p_k+1 = “…7 …3 … 9” и d_k = 12 и d_k+1 = 6 и r_k+1 = 22;

если p_k = “…7 …3 … 9” и p_k+1 = “…1 …7 … 3” и d_k = 6 и d_k+1 = 6 и r_k+1 = 24;

если p_k = “…1 …7 … 3” и p_k+1 = “…9 …1 … 3” и d_k = 6 и d_k+1 = 12 и r_k+1 = 24;

если p_k = “…7 …9 … 1” и p_k+1 = “…7 …3 … 9” и d_k = 12 и d_k+1 = 6 и r_k+1 = 24;

если p_k = “…1 …7 … 3” и p_k+1 = “…7 …3 … 9” и d_k = 6 и d_k+1 = 6 и r_k+1 = 26;

если p_k = “…7 …3 … 9” и p_k+1 = “…7 …9 … 1” и d_k = 6 и d_k+1 = 12 и r_k+1 = 26;

если p_k = “…9 …1 … 3” и p_k+1 = “…1 …7 … 3” и d_k = 12 и d_k+1 = 6 и r_k+1 = 26;

если p_k = “…7 …3 … 9” и p_k+1 = “…1 …9 … 7” и d_k = 6 и d_k+1 = 18 и r_k+1 = 26;

если p_k = “…3 …1 … 9” и p_k+1 = “…1 …7 … 3” и d_k = 18 и d_k+1 = 6 и r_k+1 = 26;

если p_k = “…7…3 … 9” и p_k+1 = “…9 …1 … 3” и d_k = 6 и d_k+1 = 12 и r_k+1 = 28;

если p_k = “…7 …9 … 1” и p_k+1 = “…1 …7 … 3” и d_k = 12 и d_k+1 = 6 и r_k+1 = 28;

если p_k = “…7…3 … 9” и p_k+1 = “…3 …1 … 9” и d_k = 6 и d_k+1 = 18 и r_k+1 = 28;

если p_k = “…1 …9 … 7” и p_k+1 = “…1 …7 … 3” и d_k = 18 и d_k+1 = 6 и r_k+1 = 28;

если p_k = “…9 …1 … 3” и p_k+1 = “…7 …9 … 1” и d_k = 12 и d_k+1 = 12 и r_k+1 = 28;

если p_k = “…7 …3 … 9” и p_k+1 = “…7 …3 … 9” и d_k = 6 и d_k+1 = 6 и r_k+1 = 30;

если p_k = “…1…7 … 3” и p_k+1 = “…1 …7 … 3” и d_k = 6 и d_k+1 = 6 и r_k+1 = 30;

если p_k = “…9 …1 … 3” и p_k+1 = “…9 …1 … 3” и d_k = 12 и d_k+1 = 12 и r_k+1 = 30;

если p_k = “…7 …9 … 1” и p_k+1 = “…7 …9 … 1” и d_k = 12 и d_k+1 = 12 и r_k+1 = 30.

В таблице общее число пар несмежных троек простых чисел равно 1231645.

Для характеристики распределения троек простых чисел на отрезках натурального ряда определим две функции натурального аргумента f_k и g_k.

Каждой тройке простых чисел p_k поставим в соответствие три отрезка натурального ряда

[2p_k, 2p_k+1 - 1], [1, p_k] и [p_k + 1, 2p_k+1 - 1], k N.

Определение 6. Функция натурального аргумента f_k обозначает число троек простых чисел на отрезке натурального ряда [2p_k, 2p_k+1 - 1]. Определение отрезка смотри в ([3], С. 57).

В качестве указателя этой функции выбран порядковый номер k N тройки простых чисел p_k.

Областью изменения функции является множество {0, 1, 2, 3, …}.

Для исследования свойств функции f_k была использована таблица, содержащая 710681 значение этой функции.

Для этой функции характерно, что при увеличении указателя значения функции изменяются крайне нерегулярно. При достаточно больших значениях указателя функция может принимать сколь угодно большие значения и вместе с тем может иметь значение 0. В табл.4 в качестве примера приведены различные значения функции, которые она принимает на множестве значений указателя [1, 710681]. Для каждого значения указано, сколько раз функция принимает это значение среди других значений, а также рассчитана частота этого значения относительно 710681 значения функции.

В связи с этим в дальнейшем будем рассматривать средние значения ([1], с. 324) этой функции.

Определение 7. Функция натурального аргумента h_n обозначает среднее значение функции f_k на отрезке [1, n]



В качестве указателя этой функции выбран порядковый номер n N тройки простых чисел p_n.

Областью изменения функции является множество Q.

Функция h_n выражает среднее число троек простых чисел на n отрезках натурального ряда

[2p_k, 2p_k+1 - 1], k [1, n].

Значения функции меняются довольно гладко. Функция может быть аппроксимирована простым выражением. В результате предварительных исследований функции h_n численными методами установлено, что приближающая функция для нее может быть принята в виде

где c и d - числовые параметры.

Для выбора числовых параметров c и d приближающей функции _n используется метод наименьших квадратов.

Указанные параметры согласно методу наименьших квадратов требуется выбрать так, чтобы сумма квадратов отклонений приближающей функции _n от табличных значений исходной функции h_n была минимальной. Эта сумма квадратов отклонений есть некоторая функция параметров c и d. Обозначим ее через S₁(c, d)



S₁(c, d) = (_n h_n)², (6)

где суммирование выполняется по точкам аппроксимации n = 1, 2, 3, …, 710681.

Для оценки близости исходной функции h_n и приближающей ее функции _n используется минимальное значение S₁(c, d).

Решение задачи подбора совокупности двух параметров (c, d), удовлетворяющих принципу наименьших квадратов, разобьем на пять этапов.

На первом этапе зададимся рядом значений параметра c и для каждого из них определим численным методом значение параметра d, доставляющее минимальное значение функции S₁(c, d). Результаты расчетов приведены в таблице 5.

На втором этапе выполним интерполяцию функции S₁(c, d), используя данные табл.5.

Узлами интерполяции выберем значения параметра c, равные 2,18750; 2,21875; 2,25000.

Для интерполяции функции S₁(c, d) используем полином второй степени



S₁(c, d) = c²+ c + , (7)

где = 24,1204403711; = 106,9601689137; = 132,9431258026.

На третьем этапе определим значение параметра c, доставляющего минимум минимального значения функции S₁(c, d)

При этом минимум минимального значения функции S₁(c, d), вычисленный по формуле (7), равен 14,3665413991.

На четвертом этапе для параметра c = 2,21721012 определим численным методом значение параметра d, доставляющее минимальное значение функции S₁(c, d). Минимуму функции S₁(c, d) отвечает d = 1,706001745. При этом минимальное значение функции S₁(c, d), вычисленное по формуле (6), равно 14,3664916557.

Минимальное значение функции S₁(c, d), вычисленное по формуле (6) для c = 2,21721012 и d = 1,706001745, отличается от минимального значения функции S₁(c, d), вычисленного по формуле (7), на -0,0000497434. Эта разность вызвана погрешностью интерполяции функции S₁(c, d).

На пятом этапе для уменьшения погрешности интерполяции функции S₁(c, d) зададимся рядом значений параметра c в окрестности точки c = 2,21721012 и для каждого из них определим по формуле (6) значение параметра d, доставляющее минимальное значение функции S₁(c, d). Результаты расчетов приведены в таблице 6.



Используя данные, приведенные в табл.6, уточненные значения параметров c и d приняты соответственно равными 2,216630 и 1,704577391.

В табл.7 приведены отклонения _n h_n приближающей функции _n от исходной функции h_n для значений указателя, принадлежащих отрезку [30, 710681].

Погрешность приближенного представления функции h_n составляет:

для 10 n 161 _n h_n 0,3137;

для 162 n 402 _n h_n 0,1159;

для 403 n 5000 _n h_n 0,0537;

для 5001 n 17505 _n h_n 0,0260;

для 17506 n 27869 _n h_n 0,0145;

для 27870 n 47536 _n h_n 0,0084;

для 47537 n 75604 _n h_n 0,0065;

для 75605 n 142000 _n h_n 0,0088;

для 142001 n 168000 _n h_n 0,0084;

для 168001 n 213000 _n h_n 0,0049;

для 213001 n 320889 _n h_n 0,0022;

для 320890 n 353081 _n h_n 0,0035;

для 353082 n 412020 _n h_n 0,0021;

для 412021 n 505967 _n h_n 0,0014;

для 505968 n 598764 _n h_n 0,0021;

для 598765 n 690000 _n h_n 0,0033;

для 690001 n 710681 _n h_n 0,0030 (см. табл.7).



Оценки погрешностей, указанные выше, дают основание принять приближенное представление функции h_n в виде

где c = 2,216630; d = 1,704577391.

Формула (9) дает возможность установить важное свойство функции h_n. При больших n асимптотическое равенство h_n 2. (10)

Полученный результат можно выразить также в виде следующей теоремы.

Теорема 2. Среднее число троек простых чисел на n отрезках натурального ряда [2p_k, 2p_k+1 - 1], k [1, n], где p_k и p_k+1 - тройки простых чисел соответственно с порядковыми номерами k и k+1, при n стремится к пределу, равному 2.

Дадим определение функции g_k.

Определение 8. Функция натурального аргумента g_k обозначает отношение числа троек простых чисел на отрезке натурального ряда [p_k + 1, 2p_k+1 - 1] к числу троек простых чисел на отрезке натурального ряда [1, p_k].

В качестве указателя этой функции выбран порядковый номер k N тройки простых чисел p_k. Областью изменения функции является множество Q. Для исследования свойств функции g_k была использована таблица, содержащая 710681 значений этой функции.

Для этой функции характерно, что при увеличении указателя значения функции изменяются довольно гладко в пределах от 0,333 до 2,500.

В результате предварительных исследований функции g_k численными методами установлено, что выражение



где c и d - числовые параметры, является функцией, хорошо аппроксимирующей исходную функцию g_k. Обозначим ее через _k.

Для выбора числовых параметров c и d приближающей функции _k используется метод наименьших квадратов.

Указанные параметры согласно методу наименьших квадратов требуется выбрать так, чтобы сумма квадратов отклонений приближающей функции _k от табличных значений исходной функции g_k была минимальной. Эта сумма квадратов отклонений есть некоторая функция параметров c и d. Обозначим ее через S₂(c, d)

S₂(c, d) = (_k g_k)², (12)

где суммирование выполняется по точкам аппроксимации k = 1, 2, 3, …, 710681.

Для оценки близости исходной функции g_k и приближающей ее функции _k используется минимальное значение S₂(c, d).

Решение задачи подбора совокупности двух параметров (c, d), удовлетворяющих принципу наименьших квадратов, разобьем на пять этапов.

На первом этапе зададимся рядом значений параметра c и для каждого из них определим численным методом значение параметра d, доставляющее минимальное значение функции S₂(c, d). Результаты расчетов приведены в таблице 8.

На втором этапе выполним интерполяцию функции S₂(c, d), используя данные табл.8.

Узлами интерполяции выберем значения параметра c, равные 2,280; 2,300; 2,320. Для интерполяции функции S₂(c, d) используем полином второй степени

S₂(c, d) = c² + c + , (13)

где = 21,9071583718; = 100,9844251599; = 132,8920554019.

На третьем этапе определим значение параметра c, доставляющего минимум минимального значения функции S₂(c, d)



При этом минимум минимального значения функции S₂(c, d), вычисленный по формуле (13), равен 16,5162348620.

На четвертом этапе для параметра c = 2,30482711 определим численным методом значение параметра d, доставляющее минимальное значение функции S₂(c, d). Минимуму функции S₂(c, d) отвечает d = 1,917431104. При этом минимальное значение функции S₂(c, d), вычисленное по формуле (12), равно 16,5162868333.

Минимальное значение функции S₂(c, d), вычисленное по формуле (12) для c = 2,30482711 и d = 1,917431104, отличается от минимального значения функции S₂(c, d), вычисленного по формуле (13), на 0,0000519713. Эта разность вызвана погрешностью интерполяции функции S₂(c, d).

На пятом этапе для уменьшения погрешности интерполяции функции S₂(c, d) зададимся рядом значений параметра c в окрестности точки c = 2,30482711 и для каждого из них определим по формуле (12) значение параметра d, доставляющее минимальное значение функции S₂(c, d). Результаты расчетов приведены в таблице 9.



Используя данные, приведенные в табл.9, уточненные значения параметров c и d приняты соответственно равными 2,30465 и 1,917028216. При этом приближающая функция для g_kимеет вид

где c = 2,30465; d = 1,917028216.

В табл.10 приведены отклонения _k g_k приближающей функции _k от исходной функции g_k для значений указателя, принадлежащих отрезку [30, 710681]. Погрешность приближенного представления функции g_k составляет:

для 10 k 160 _k g_k 0,3098;

для 161 k 1000 _k g_k 0,1487;

для 1001 k 5000 _k g_k 0,0408;

для 5001 k 20000 _k g_k 0,0268;

для 20001 k 30000 _k g_k 0,0128;

для 30001 k 85000 _k g_k 0,0059;

для 85001 k 105875 _k g_k 0,0031;

для 105876 k 132000 _k g_k 0,0062;

для 132001 k 157686 _k g_k 0,0086;

для 157687 k 193255 _k g_k 0,0056;

для 193256 k 335000 _k g_k 0,0027;

для 335001 k 350000 _k g_k 0,0036;

для 350001 k 373000 _k g_k 0,0029;

для 373001 k 510000 _k g_k 0,0017;

для 510001 k 620995 _k g_k 0,0019;

для 620996 k 710681 _k g_k 0,0030 (см. табл.10).



Оценки погрешностей, указанные выше, дают основание принять приближенное представление функции g_k в виде

где c = 2,30465; d = 1,917028216.

g_k 1. (16)

Полученный результат можно выразить также в виде следующей теоремы.

Теорема 3. Отношение числа троек простых чисел на отрезке натурального ряда [p_k + 1, 2p_k+1 - 1] к числу троек простых чисел на отрезке натурального ряда [1, p_k], где p_k и p_k+1 - тройки простых чисел соответственно с порядковыми номерами k и k+1, при k стремится к пределу, равному 1.

Следствие 1. Число троек простых чисел на отрезке натурального ряда [p_k + 1, 2p_k+1 - 1], где p_k и p_k+1 - тройки простых чисел соответственно с порядковыми номерами k и k+1, при k стремится к бесконечности.



Литература

1. Бухштаб А.А. Теория чисел. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1966. -С. 384

2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1958. -С. 464

3. Нечаев В.И. Числовые системы. - М.: Просвещение, 1975. -С. 199

Размещено на Allbest.ru

...