О чем говорят "металлические пропорции"?
Рассмотрение формулы "металлической пропорции" - частного случая формулы корня квадратного уравнения. Определение связи квадратных уравнений с гиперболическими функциями. Рассмотрение формального степенного ряда с действительными коэффициентами.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 26.01.2019 |
| Размер файла | 260,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
О чем говорят «металлические пропорции»?
Е.В. Бурлаченко
«Металлической пропорцией» (в честь «золотой пропорции») называется положительный корень уравнения :
, .
Отсюда видно, что если , то . Следовательно,
.
Так как формула «металлической пропорции» являются частным случаем формулы корня квадратного уравнения, она указывает на определенную связь квадратных уравнений с гиперболическими функциями.
Полагая формальный степенной ряд самым красноречивым алгебраическим объектом, переведем проблематику «металлических пропорций» на язык степенных рядов.
Будем рассматривать формальный степенной ряд с действительными коэффициентами как последовательность этих коэффициентов, т.е. как элемент векторного пространства. Обозначим:
Матрицу и соответствующее ей преобразование будем обозначать одним и тем же символом. Столбцы и строки матрицы пронумеруем целыми неотрицательными числами. Транспонированную к матрицу обозначим . Образ вектора при преобразовании обозначим .
Матрицу вида
,
(-й член -го столбца матрицы равен и нулю при ) назовем матрицей умножения на вектор . Тогда
.
Обратным к назовем вектор , определяемый уравнением
.
Вектор
назовем -й степенью .Каждый вектор представим в виде
.
Матрицу, -й столбец которой является -й степенью , назовем матрицей степеней вектора и обозначим . Матрица степеней отображает произведение векторов на произведение их образов:
.
Если и рассматривать как функции и , то выражению соответствует подстановка .
Обозначим:
.
Векторы данного вида умножаются по правилу
.
Произвольная степень формального степенного ряда определяется следующим образом:
,
, .
Среди матриц степеней особое место занимает матрица : транспонированную к ней матрицу можно рассматривать одновременно как произведение матрицы степеней и матрицы умножения и как трансформацию матрицы умножения:
,
,
где - диагональная матрица, диагональные элементы которой равны значениям вектора :
.
Например,
.
Обозначим:
металлическая пропорция квадратное уравнение
,
.
Тогда для вектора имеем
,
.
Преобразование является отражением:
.
Пространство векторов, отображаемых преобразованием на себя, обозначим ; пространство векторов, отображаемых на противоположные, обозначим . Составляющие вектора в пространствах и соответственно равны:
,
.
Векторы и назовем спаренными. Например, спарен с . Преобразование векторы пространства отображает на спаренные, векторы пространства - на противоположные спаренным.
Вектор , , обладающий свойством
обозначим . Его составляющие в пространствах и обозначим соответственно и . Так как
, ,
то
, ,
,
,
,
.
Рассмотрим ряд
.
Он является решением уравнения , поэтому
,
где - целое число. Кроме того
,
,
,
где - полином степени , корни которого отличаются от корней полинома Чебышева множителем :
, ,
- полином степени , корни которого отличаются от корней полинома Чебышева множителем :
, , .
Пояснение: полиномы Чебышева
, ,
,
определяются также следующим образом:
,
,
,
.
Отсюда видно, что
, , ,
или, если рассматривать как функцию ,
;
, , ,
.
Так как
,
,
,
,
то
, ,
, .
Рассмотрим аналогичный случай. Чтобы не усложнять символику и подчеркнуть аналогию, будем пользоваться обозначениями из предыдущего раздела.
Вектор , , обладающий свойством
,
обозначим . Его составляющие в пространствах и обозначим соответственно и . Так как
, ,
то
, ,
,
,
,
.
Рассмотрим ряд
.
Он является решением уравнения
,
поэтому
.
Раскладывая в бином Ньютона и группируя члены, можно представить его в виде
,
где - полином степени ( - целая часть от ), - полином степени . Сравнивая алгоритм получения полиномов и с алгоритмом получения полиномов и при разложении в бином Ньютона
,
заключаем, что и получаются из и перестановкой коэффициентов в обратном порядке и понижением степени на единицу для и . Например:
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, .
Таким образом,
,
где
,
;
(два последних равенства не нуждаются в доказательстве, поскольку начальные члены полиномов известны),
,
Где , .
Так как , или
,
то
.
Отсюда видно, что
, ,
, .
Так как
,
то при
, ,
,
,
, ,
, .
Рассмотрим еще один аналогичный случай.
Вектор , , обладающий свойством
,
обозначим . Его составляющие в пространствах и обозначим соответственно и . Так как
, ,
то
, ,
, ,
, .
Рассмотрим ряд .
Он обладает свойствами:
,
,
,
где
, .
Найдем корни полиномов и .Обозначим:
,
.
Тогда:
,
,
.
Переставляя коэффициенты в обратном порядке, получаем:
,
,
где
, .
Так как
,
то
,
.
Аналогично
.
Таким образом,
,
,
, .
Так как
,
то при
, ,
, ,
, .
Так как
,
то при
, ,
, ,
, ,
, .
Отметим, что
, .
Итак, мы видим, что в бесконечномерном векторном пространстве формальных степенных рядов существует некий алгебраический механизм, в котором векторы различных «видов» «работают» как притертые друг к другу детали. «Металлическим пропорциям», воплощением которых служит ряд
,
отводится если не центральная, то важная функциональная роль. Назначение и устройство этого механизма нам не ясны, но, как всякий механизм, он может быть исследован и понят вплоть до малейших деталей.
Литература
1. Справочная математическая библиотека. Математический анализ. Вычисление элементарных функций. М., Физматгиз, 1963., 248 стр.
2. Стахов А. П., Ткаченко И. С. Гиперболическая тригонометрия Фибоначчи. Доклады Академии наук Украины, 1993, № 7.
3. Стахов А. П. Металлические Пропорции - новые математические константы Природы. http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02321079.htm
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
История квадратных уравнений: уравнения в Древнем Вавилоне и Индии. Формулы четного коэффициента при х. Квадратные уравнения частного характера. Теорема Виета для многочленов высших степеней. Исследование биквадратных уравнений. Сущность формулы Кордано.
реферат [75,8 K], добавлен 09.05.2009Выведение формулы решения квадратного уравнения в истории математики. Сравнительный анализ технологий различных способов решения уравнений второй степени, примеры их применения. Краткая теория решения квадратных уравнений, составление задачника.
реферат [7,5 M], добавлен 18.12.2012Определение понятия пропорции, ее крайних и средних членов и их соотношения. Примеры решения уравнений и практическое применение пропорции. Основные свойства соразмерностей и изменение положения ее членов в равенстве. Поиск неизвестного пропорции.
презентация [308,9 K], добавлен 15.02.2011Решение кубического уравнения на основе современных методов: разложение левой части на линейные множители; с помощью формулы Кардана; специальных таблиц. Рассмотрение метода решения кубических уравнений, включая неприводимый случай формулы Кардана.
задача [276,1 K], добавлен 20.02.2011Извлечение квадратного корня - операция нахождения квадратного корня из неотрицательного числа. Сравнительный анализ способов приближенного извлечения квадратных корней. Характеристика арифметического способа. Вавилонский способ (первый метод Герона).
реферат [48,7 K], добавлен 15.05.2012Основные понятия и определения кубических уравнений, способы их решения. Формула Кардано и тригонометрическая формула Виета, сущность метода перебора. Применение формулы сокращенного умножения разности кубов. Определение корня квадратного трехчлена.
курсовая работа [478,4 K], добавлен 21.10.2013Подход к решению уравнений. Формулы разности степеней. Понижение формы члена уравнения. Компьютерный поиск данных чисел. Система Диофантовых уравнений. Значения натурального ряда. Уравнения с нечётным числом членов решений в натуральных числах.
доклад [166,1 K], добавлен 26.04.2009История развития формул корней квадратных уравнений. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне. Решение квадратных уравнений Диофантом. Квадратные уравнения в Индии, в Хорезмии и в Европе XIII - XVII вв. Теорема Виета, современная алгебраическая запись.
контрольная работа [992,3 K], добавлен 27.11.2010Открытие формулы австрийским математиком Георгом Пиком в 1899 году. Доказательство Теоремы Пика, последовательность этапов для различных вариантов. Нахождение и расчет площадей четырехугольников в квадратных сантиметрах с использованием данной формулы.
презентация [1,1 M], добавлен 14.04.2013Ознакомление с основными свойствами линейных дифференциальных уравнений первого, второго и n-го порядков с постоянными коэффициентами. Рассмотрение методов решения однородных и неоднородных уравнений и применения их при решении физических задач.
дипломная работа [181,3 K], добавлен 18.09.2011Выведены формулы, возможно ранее неизвестные, для решений уравнения Пифагора, Формулы отличаются от общеизвестных формул древних индусов и вавилонян.
статья [31,7 K], добавлен 26.06.2008Правила вычисления коэффициентов n-образов. Рассмотрение алгоритмов решения линейных ОДУ с переменными коэффициентами второго и произвольного порядков. Общепринятые способы определения частного решения неоднородного дифференциального уравнения.
книга [1,7 M], добавлен 03.10.2011Понятие и математическая сущность квадратного корня, его назначение и методика вычисления. Теоремы, отображающие свойства квадратного коря, их обоснование и доказательство. Применение характеристик квадратных корней в решении геометрических задач.
реферат [132,1 K], добавлен 05.01.2010Система линейных алгебраических уравнений. Основные формулы Крамера. Точные, приближенные методы решения линейных систем. Алгоритм реализации метода квадратных корней на языке программирования в среде Matlab 6.5. Влияние мерности, обусловленности матрицы.
контрольная работа [76,6 K], добавлен 27.04.2011Определенное отношение длин отрезков. Сооружения, построенные в золотой пропорции. Основы симметрии и ассиметрии. Пропорции мужского тела и золотого сечения. Золотые пропорции в частях тела человека. "Золотое сечение" в математике, архитектуре, живописи.
презентация [290,4 K], добавлен 12.05.2011Изучение истории квадратных уравнений. Анализ общего правила решения квадратных уравнений, изложенного итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки, с помощью номограммы, способом "переброски".
презентация [840,6 K], добавлен 16.01.2011Изучение биографии и деятельности Франсуа Виета и его вклада в математику. Определение понятия квадратного уравнения. Сущность уравнений частного порядка и их решение рациональным способом. Анализ теоремы Виета как инструмента для решения уравнений.
презентация [320,7 K], добавлен 31.05.2019Применение формулы Грина к решению задач. Понятие ротора векторного поля. Вывод формулы Грина из формулы Стокса и ее доказательство. Определение непрерывно дифференцируемых функций. Применение формулы Грина для вычисления криволинейного интеграла.
курсовая работа [2,9 M], добавлен 11.07.2012Соотношения между операторами дифференцирования и конечных разностей. Разностная аппроксимация дифференциальных уравнений. Интерполяционные рекуррентные формулы, метод Эйлера. Интерполяция конечными разностями "назад". Рекуррентные формулы Адамса.
реферат [156,8 K], добавлен 08.08.2009Теоретические аспекты обучения решению уравнений в 8 классе. Основные направления изучения линий уравнений в школьном курсе алгебры. Методика изучения квадратных уравнений. Методико-педагогические основы обучения решению квадратных уравнений.
курсовая работа [134,3 K], добавлен 01.07.2008
