Міжпредметні зв'язки алгебри і тригонометрії
Застосуванню тригонометрії до розв'язування задач з алгебри у старшій школі. Методичні особливості застосування тригонометрії до розв'язування. Встановлення коренів рівняння на певному відрізку. Розв'язування системи рівнянь і доведення нерівності.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 05.02.2019 |
| Размер файла | 26,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
міжпредметні зв'язки алгебри і тригонометрії
І.В. Житарюк
Статтю присвячено застосуванню тригонометрії до розв'язування задач з алгебри у старшій школі. На конкретних прикладах показано методичні особливості застосування тригонометрії до розв'язування рівняння, встановлення кількості коренів рівняння на певному відрізку, розв'язування системи рівнянь і доведення нерівності.
Ключові слова: корінь рівняння, нерівність, рівняння, старша школа, тригонометрія.
И.В. Житарюк
Межпредметные связи алгебры и тригонометрии
Статья посвящена применению тригонометрии к решению задач по алгебре в старшей школе. На конкретных примерах показаны методические особенности применения тригонометрии к решению уравнения, установления количества корней уравнения на определенном отрезке, решения системы уравнений и доказательства неравенства.
Ключевые слова: корень уравнения, неравенство, уравнение, старшая школа, тригонометрия.
тригонометрія задача рівняння нерівність
I.V. Zhitaryuk
Intersubject bonds of algebra and trigonometry
The article deals with application of trigonometry while doing sums in algebra at senior school. On certain examples the methodical features of application of trigonometry in solving an equation, establishing the amount of equation roots on a certain segment, solving a system of equations and establishing an inequation are shown. We analyzed collections of mathematic tasks for senior school and publications in magazines "Quantum” and "Mathematician at school”. As a conclusion it is important to notice that intersubject relations are a new modern teaching principle, which influences the choosing and structure of the training materials of a set of subjects, strengthening the systematization of pupils' knowledge, activates teaching methods etc. Application of basic concepts of trigonometry, trigono metric functions and their properties makes doing some sums in algebra easier. The skill to use them while doing tasks in different subdisciplines of Math will help pupils in the preparation for academic competitions in Math and self-development.
Keywords: root of equalization, inequality, equalization, senior school, trigonometry.
Постановка проблеми
Навчання математики у старшій школі має бути розвивальним і мати прикладну спрямованість: розвиток інтелекту, математичної інтуїції, вміння застосовувати отримані знання для розв'язування практичних і прикладних задач - як внутрішньо-, так і міжпредметних. Особливо це стосується математики старшої школи профільного рівня.
Застосування основних понять тригонометрії, тригонометричних функцій та їх властивостей дає можливість знайти витончені підходи розв'язування як окремих алгебраїчних, так і геометричних задач, що й обумовлює вибір зазначеної теми.
Аналіз останніх досліджень і публікацій
Формуванню світогляду учнів, розвитку їх логічного і творчого мислення сприяють спеціально підібрані задачі у підручниках і методичних посібниках з математики для старшої школи, збірниках олімпіадних задач і задач вступних іспитів з математики, зокрема, Ш. А. Алімовим, Г. П. Бевзом, В. Н. Березіним, А. М. Колмогоровим, А. Г. Мордковичем, Є. П. Неліним, Ю. В. Нестеренком, О. О. Панчішкіним, М. І. Шкілем та ін.
В окремих з них учні, які проявляють підвищену зацікавленість до математики, мають можливість поглиблено вивчити тригонометрію шляхом розгляду задач, що потребують нестандартного підходу при їх розв'язанні. Зазначену проблематику розглядав й П. І. Горнштейн у [3], де окремі типи задач з алгебри (задачі на вступних іспитах з математики чи олімпіадні) розв'язано за допомогою тригонометрії.
Мета статті - показати на прикладах застосування тригонометрії розв'язування алгебраїчних задач у старшій школі.
Виклад основного матеріалу дослідження
Зазначимо, що певний матеріал з курсу математики засвоюється суб'єктами навчання не тоді, коли він є метою навчання, а тоді, коли стає засобом задля розв'язування інших завдань. При цьому переслідуються цілі: провести міжпредметні зв'язки між тригонометрією і алгеброю, сприяти формуванню в суб'єктів навчання умінь розв'язувати певні задачі алгебри за допомогою тригонометрії.
Після того, як учні достатньо добре навчилися виконувати тригонометричні перетворення, оперувати властивостями тригонометричних функцій та розв'язувати тригонометричні рівняння, доцільно показати застосування вивченого матеріалу до розв'язування алгебраїчних рівнянь, нерівностей та їх доведення за допомогою тригонометричних підстановок. При цьому, якщо в алгебраїчному рівнянні (нерівності) від однієї змінної допустимі значення останньої належать відрізку [-1; 1], то вибирають заміну
x=sina, ає[-л/2; П2] або x=cosa, ає[0; тс];
якщо ж змінна набуває довільні дійсні значення, тоді
- x=tga, ає(-тс/2; тс/2]) або x=ctga, ає(0; тс).
Проілюструємо сказане на розв'язуванні таких задач (див. [3, 5]).
Приклад 1. Розв'язати рівняння
V1 - х2 = 4х3 - 3х.
Розв'язання. Областю допустимих значень змінної даного рівняння є відрізок [- 1; 1], а тому введемо, наприклад, заміну x=cosa. Виберемо для зручності довільний відрізок, на якому функція косинус набуває значення від -1 до 1, наприклад, - [0; тс].
Підставимо х=cosa у задане рівняння, отримаємо
- cos2 а = 4cos3 a- 3cosa.
Звідси з урахуванням того, що
sin2a+cos2a=1 i 4cos3a-3cosa=cos3a
Размещено на http://www.allbest.ru/
матимемо
|sina|=cos3a.
Оскільки ae[0; n], то sina>0 і з останньої рівності отримуємо
sina=cos3a,
sina-cos3a=0.
Врахувавши, що sinx=cos(n/2-a), маємо cos(n/2-a)-cos3a=0. Скориставшись формулою
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
а + Р Р~а
cosa-cosP=2sin sin-
Размещено на http://www.allbest.ru/
одержимо
а + 3а
2sin-2 sin
або 4 +а \sinІ 2а-ЈІ =0.
Звідки
sin|:n + aJ =0 або sin|2а-nj =°.
Розв'язками отриманих рівнянь є
-- + а = пп, п є Z, 2а---- = пт, m є Z.
4 4
Звідси
n n пт „
а = -- +nn, п є Z, а= + , т є Z .
4 8 2
Розв'язання. Нехай х=sina, y=cosa, aє[0; 2n]. То" 2 ' ді друге рівняння системи набуває вигляду
4sina^cosa(2co s2a-1)=1,
2sin2a-cos2a=1,
sin4a=1.
Звідки
Умові aє[0; n] з отриманих значень a задовольняють лише три
n 5n 3n
*8 8 4
Врахувавши заміну x=cosa, отримуємо корені заданого рівняння
2 + 42
In яЛ . n „ = cosl --I-- I = -- sin-- = --1
I 2 8 I 8
In n = cosl +
12 4
Зауваження. Зазначимо, що алгебраїчний метод розв'язання цієї задачі приводить до рівняння шостого степеня, корені якого знайти непросто або навіть неможливо.
Приклад 2. Скільки коренів на відрізку [0;1] має рівняння
8х(1 -2х2)(8х4-8х2+1)=1?
Розв'язання. Дану задачу найпростіше розв'язати за допомогою тригонометричної підстановки. Заміна х=cosa, де aє[0; n/2] ставить у відповідність кожному значенню х на [0; 1] рівно одне значення a. Отже, число розв'язків заданого рівняння на [0; 1] дорівнює числу розв'язків відповідного йому рівняння на [0; n/2], причому, оскільки х=0 і х=1 не є розв'язками заданого рівняння, то можна взяти aє(0; n/2).
З урахуванням заміни рівняння набуває вигляду
S^sa^-Z^s^)^ TOS4a-8 сos2a+1)=1, 8сosa(-сos2a)(8 rns2a^ (сos2a-1)+1)=1, ^osaxosZa- (-8сos2a sin2a+1)=1, -8сosa*сos2a*сos4a =1.
Помноживши останнє рівняння на sina^0, отримаємо
-Ssina*сosa*сos2a*сos4a=sina,
-4sin2a*сos2a*сos4a=sina,
-2sin4a*сos4a=sina,
-sinSa=sina,
sinSa+sina =0,
а + 8а 8а -- а
sin tos 8а а =0,
2 2
* 9а 7а
sin tos =0.
2 2
Звідси
9а 7а
sin =0 або tos =0.
2 2
Розв'язавши дані рівняння, отримуємо
9а 7а n
= nn, п є Z і = +nm, т є Z.
2 2 2
Звідки
2nn n 2nm
а = , п є Z і а = + , т є Z .
9 7 7
Умові aє(0; n/2) задовольняють такі значення
2n 4n n 3n
аі , а2 , аз , а4 .
1 9 9 7 7
Отже, задане рівняння на проміжку [0; 1] має рівно чотири корені.
Зауваження. Зазначимо, що дану задачу можна розв'язати ще й за допомогою теореми Штурма про число дійсних коренів на заданому відрізку многочлена з дійсними коефіцієнтами.
Приклад 3. Розв'язати систему рівнянь
Г х2 + у2 = 1,
4а = + 2nm, m є Z,
2
Умові aє[0; 2n] задовольняють чотири значення n 5n 9n 13n
З урахуванням заміни x=sina, y=cosa, отримуєморозв язки заданої системи
2 -- 2
1 -- cos -- 4
2
42 + 42
а4 =
(Зж ж . ж 2 -- 42
= cosl + І = sin = .
І 2 8 ) 8 2
Приклад 4. Числа a, b, c, d такі, що a +b -1, c2+d2=1, ac+bd=0. Чому дорівнює ab+cd?
Розв'язання. Нехай
а=sina, b=cosa, ає[0; 2ж), c=sinp, d=cosfi, вє[0; 2ж).
Тоді ac+bd=0 набуває вигляду
sma^sinp+cosaxosp=0 або cos(a-P)=0.
Перетворимо вираз ab+cd з урахуванням заміни
ab+cd=sina-cosa+sinp-cosP= -- sin2a+ -- sin2p=sin( a+P)^cos(a-P).
Оскільки cos(a-P)=0, то sin(a+P)-cos(a-P)=0, отже ab+cd=0.
Приклад 5. Довести, що при довільних дійсних х і у 1 ^ (х + У)(1 -- ху) < 1 .
2 (1 + х 2)(1 + у2) 2
Розв'язання. Нехай x=tga, y=tgfi, де а, вє(-п/2; ж/2). Тоді
(х + у)(1 -- ху) _ (tgc + tgfi)(1 -- tgс ¦ tgfi)
Оскільки -1<sin2(a+P)<1, то
1 < 1 sin 2(с + /2) < 1.
2 2 2
Отже, всі значення виразу (х + у)(1 -- Xу)
(1 + х 2)(1 + у2) знаходяться у вказаних межах. Що й потрібно було довести.
Висновки
Підсумовуючи вищевикладене, зазначимо, що міжпредметність - сучасний принцип навчання, який впливає на відбір і структуру навчального матеріалу низки предметів, посилюючи системність знань суб'єктів навчання, активізує методи навчання, орієнтує на застосування комплексних форм організації навчання.
Застосування основних понять тригонометрії, тригонометричних функцій та їх властивостей значно полегшує розв'язування певних задач з алгебри, а вміння їх використовувати при розв'язуванні задач з різних розділів математики допоможе учням у підготовці до олімпіад з математики та самовдосконалення.
Література
1. Айзенштат Я.И. Решение задач по тригонометрии. Книга для учителя / Айзенштат Я.И., Бородуля И.Т. - М. : Просвещение, 1989. - 239 с.
2. Березин В.Н. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике / В.Н. Березин, Л.Ю. Березина, Й.Л. Никольская. - М. Просвещение, 1985. - 175 с.
3. Горнштейн П.И. Тригонометрия помогает алгебре [Текст] / Горнштейн П.И. // Квант. - 1989. - № 5. - С. 68-70.
4. Мордкович А.Г. Методические проблемы изучения тригонометрии в общеобразовательной школе [Текст] / Мордкович А.Г. // Математика в школе. - 2002. - № 6. - С. 32-38.
5. Нестеренко Ю.В. Задачи вступительных экзаменов по математике / Нестеренко Ю.В., Олехник С.Н., Потапов М.К. - М. : Наука, 1980. - 627 с.
6. Панчишкин А.А. Тригонометрические функции в задачах [Текст] / Панчишкин А.А., Шавгулидзе Е.Т. - М. : Наука, 1986. - 160 с.
7. Рыбкин Н. Сборник задач по тригонометрии / Рыбкин Н., Белоцерковская Б.Г. - М. : Учпедгиз, 1960. - 256 с.
References
1. Aizenshtat, Ya.I., & Borodulia, І.Т. (1989). Reshenie zadach po trigonometrii. Kniga dlya uchitelya [Decision of tasks on trigonometry, teacher's book]. М. : Prosvescheniie [in Russian].
2. Berezin, V.N., Berezina, L.Yu., & Nikolska, I.L. (1985). Sbornik zadach dlya fakultativnyih i vneklassnyikh za- nyatiy po matematike [Collection of tasks for extracurricular tasks on mathematics]. М. : Prosvescheniie [in Russian].
3. Gornshtein, P.I. (1989). Trigonometriya pomogaet algebra [Trigonometry helps Algebra]. Kvant, 5, 68-70 [in Russian].
4. Моrdkovich A.G. (2002). Metodicheskie problemyi izucheniya trigonometrii v obscheobrazovatelnoy shkole [Methodical problems of studying Trigonometry at general academic school]. Matamatika v shkole - Mathematics is at school, 6, 32-38 [in Russian].
5. №sterenko, Yu.V., Olekhnik, S.N., & Potapov, M.K. (1980). Zadachi vstupitelnykh ekzamenov po matematike [Tasks of entrance examinations on Mathematics]. М. : Nau- ka.
6. Panchishkin, А.А., & Shavgulidze, E.T. (1986). Tri- gonometricheskie funktsii v zadachakh [Trigonometric functions in tasks. M. : Nauka [in Russian].
7. Rybkin, N., & Belotserkovska B.G. (1960). Sbornik zadach po trigonometrii [Collection of tasks on Trigonometry]. М. : Ychpedgiz [in Russian].
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Основні етапи розв'язування алгебраїчних рівнянь: аналіз задачі, пошук плану розв'язування та його здійснення; перевірка та розгляд інших способів виконання. Раціоналізація розв'язування алгебраїчних рівнянь вищих степенів методом заміни змінних.
курсовая работа [229,8 K], добавлен 13.05.2013Розгляд теоретичних основ рівнянь з параметрами. Основні види даних рівнянь. Аналітичний та графічний методи розв’язування задач із використанням формул, властивостей функцій. Ознайомлення із системою розв’язування задач з параметрами для 9 класу.
курсовая работа [605,9 K], добавлен 29.04.2014Теоретичні основи розв’язування рівнянь з параметрами. Функція пряма пропорційність. Загальне поняття про аналітичний та графічний метод. Дробово-раціональні рівняння з параметрами, що зводяться до лінійних. Система розв’язування задач для 9 класу.
курсовая работа [596,8 K], добавлен 21.03.2013Етапи розв'язування задачі дослідження певного фізичного явища чи процесу, зведення її до диференціального рівняння. Методика та схема складання диференціальних рівнянь. Приклади розв'язування прикладних задач за допомогою диференціального рівняння.
контрольная работа [723,3 K], добавлен 07.01.2016Аналіз найвідоміших методів розв’язування звичайних диференціальних рівнянь і їх систем, користуючись рекомендованою літературою. Розробка відповідної схеми алгоритму. Розв’язання системи звичайних диференціальних рівнянь в за допомогою MathCAD.
лабораторная работа [412,4 K], добавлен 21.10.2014Задача Коші і крайова задача. Двоточкова крайова задача для диференціального рівняння другого порядку. Види граничних умов. Метод, заснований на заміні розв’язку крайової задачі розв’язком декількох задач Коші. Розв'язування систем нелінійних рівнянь.
презентация [86,2 K], добавлен 06.02.2014Неперервність функцій в точці, області, на відрізку. Властивості неперервних функцій. Точки розриву, їх класифікація. Знаходження множини значень функції та нулів функції. Розв’язування рівнянь. Дослідження функції на знак. Розв’язування нерівностей.
контрольная работа [179,7 K], добавлен 04.04.2012Умова існування цілих розв’язків лінійних діофантових рівнянь, алгоритм Евкліда. Розв’язування лінійних рівнянь з двома змінними в цілих числах. Методика вивчення діофантових рівнянь в загальноосвітніх школах. Діофантові рівняння вищих порядків.
курсовая работа [758,4 K], добавлен 15.05.2019Класичні та сучасні наближені методи розв'язання диференціальних рівнянь та їх систем. Класифікація наближених методів розв'язування. Розв'язування трансцендентних, алгебраїчних і диференціальних рівнянь, методи чисельного інтегрування і диференціювання.
отчет по практике [143,9 K], добавлен 02.03.2010Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гауса. Еквівалентні перетворення системи, їх виконання як елемент методів розв’язування системи рівнянь. Базисні та вільні змінні. Лінійна та фундаментальна комбінації розв’язків, таблиці коефіцієнтів.
контрольная работа [170,2 K], добавлен 16.05.2010Вивчення методів розв'язання лінійної крайової задачі комбінуванням двох задач Коші. Переваги та недоліки інших методів: прицілювання, колокацій, Гальоркіна, найменших квадратів та ін. Пошук єдиного розв'язку звичайного диференціального рівняння.
курсовая работа [419,2 K], добавлен 29.08.2010Загальні відомості про раціональні нерівності, теореми про рівносильність нерівностей. Методи розв'язування раціональних нерівностей вищих степенів узвгальненим методом інтервалів, методом заміни змінної. Розв'язування дробово-раціональних нерівностей.
курсовая работа [774,9 K], добавлен 01.04.2010Визначення системи лінійних рівнянь та її розв’язання. Поняття рангу матриці, правило Крамера та види перетворень з матрицею. Способи знайдення оберненої матриці А–1 до невиродженої матриці А. Контрольні запитання та приклади розв’язування задач.
задача [73,5 K], добавлен 25.03.2011Використання методів розв’язування одновимірних оптимізаційних задач (метод дихотомії, золотого перерізу, Фібоначі) для визначення найменшого значення функції на відрізку. Задача мінімізації за допомогою методу Ньютона і методу найшвидшого спуску.
курсовая работа [739,5 K], добавлен 05.05.2011Класифікація та типи чисельних методів розв’язування систем лінійних рівнянь і обернення звернення матриць точні, ітераційні та комбіновані. Їх порівняльна характеристика та умови використання в окремих випадках. Вектори та операції над ними, норми.
презентация [85,6 K], добавлен 06.02.2014Основні типи стереометричних задач на побудову та методи їх розв’язування. Методичні рекомендації до проведення уроків з навчання учнів розв’язуванню цих задач на побудову. Комп’ютерна підтримка навчання учнів розв’язуванню задач засобами пакету GRAN.
дипломная работа [2,1 M], добавлен 26.08.2014Схема класифікації та методи розв'язування рівнянь. Метод половинного ділення. Алгоритм. Метод хорд, Ньютона, їх проблеми. Граф-схема алгоритму Ньютона. Метод простої ітерації. Питання збіжності методу простої ітерації. Теорема про стискаючі відображення.
презентация [310,1 K], добавлен 06.02.2014Методика викладання теми, що стосується графічних методів розв’язування задач з параметрами. Обережне відношення до фіксованого, але невідомого числа при роботі з параметром. Побудова графічного образу на координатній площині, застосування похідної.
дипломная работа [7,5 M], добавлен 20.08.2010Історія створення теорії алгебраїчних рівнянь. Сутність системи лінійних алгебраїчних рівнянь в лінійній алгебрі. Повна характеристика методів розв'язання рівнянь: точні, ітераційні та ймовірнісні. Особливості теорем Гауса-Жордана та Габріеля Крамера.
реферат [543,7 K], добавлен 23.04.2015Системи лінійних алгебраїчних рівнянь, головні означення. Коротка характеристика головних особливостей матричного способу, методу Жордано-Гаусса. Формули Крамера, теорема Кронекера-Капеллі. Практичний приклад розв’язання однорідної системи рівнянь.
курсовая работа [690,9 K], добавлен 25.04.2013
