Изучение построений сопряженных элементов в гиперкомплексных числовых системах
Методы построения сопряженных чисел в различных гиперкомплексных числовых системах. Существенные свойства сопряженных чисел, отличие их свойств от сопряженных в комплексной системе. Правило построения сопряженного числа для систем второго порядка.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.01.2019 |
| Размер файла | 22,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.Allbest.Ru/
Размещено на http://www.Allbest.Ru/
Размещено на http://www.Allbest.Ru/
НАН Украины
Институт проблем регистрации информации
Изучение построений сопряженных элементов в гиперкомплексных числовых системах
Я.А. Калиновский, Т.Г. Постникова
М.В. Синьков, Т.В. Синькова
Киев, Украина
Аннотация
Рассмотрены методы построения сопряженных чисел в различных гиперкомплексных числовых системах. Показано, что их свойства могут отличаться от свойств сопряженных в комплексной системе чисел.
Ключевые слова: гиперкомплексные числовые системы, сопряженный элемент, норма, мнимая единица.
Целью данной работы является исследование возможности построения сопряженных элементов в различных гиперкомплексных числовых системах, что обеспечит выполнение операции деления в них.
Исторически гиперкомплексные числа возникли как развитие и обобщение комплексных чисел. Свойства гиперкомплексных чисел не совпадают со свойствами комплексных. Но при развитии теории гиперкомплексных чисел целесообразно стремиться к тому, чтобы она была возможно ближе к теории комплексных чисел.
Для комплексных чисел можно построить сопряженное число, или симметричное относительно вещественной оси. Сопряженное число определяется по простому правилу.
Если:
а = a1 + a2i, (1). то:
= a1 - a2i. (2)
Пара сопряженных чисел обладает следующими двумя существенными свойствами.
Сумма сопряженных чисел есть число вещественное:
а + = 2 a1 R. (3)
Произведение сопряженных чисел -- есть также число вещественное, называемое нормой исходного и сопряженного чисел
a = a1 2 + a2 2 R. (4)
Для таких гиперкомплексных числовых систем второго порядка как система двойных чисел и система дуальных чисел, результаты совершенно аналогичны.
Если i 2 = + 1, то = a1 - a2i;
a = a1 2 - a2 2 R;
a + = 2 a1 R
Если же i 2 = 0, тогда:
= a1 - a2i;
a = a1 2 R;
a + = 2 a1 R
Но для гиперкомплексных числовых систем второго порядка, у которых закон композиции
i = p + qi2,
правило определения сопряженного числа несколько сложнее. Действительно, пусть
a = a1 + a2i;
= х + yi, тогда
а + = a1 + x + (a2 +y)i; (5)
a = a1x + a2py + (a2x + (a1 + a2 q) y) i. (6)
сопряженный число гиперкомплексный система
Условия (3) и (4) дают систему:
a2 + y = 0;
a2x + (a1 + a2 q) y = 0,
решая которую, получим сопряженное число
= a1 + a2q - a2i. (7)
Выражение (7) дает обобщенное правило построения сопряженного числа для систем второго порядка с единицей в базисе. Действительно, при q = 0 и p = 1 или 0, (7) переходит в правило определения сопряженного элемента для комплексных, двойных и дуальных чисел.
Рассматривавшиеся до сих пор гиперкомплексные числовые системы содержат в базисе единичный элемент. Если число в таких гиперкомплексных числовых системах таково, что все коэффициенты при неединичных базисных элементах равны нулю, то считается, что это число -- вещественное. Поэтому в гиперкомплексных числовых системах без единичного элемента в базисе целесообразно считать аналогом вещественного числа такое число, которое может быть представлено произведением вещественного числа на единичный элемент.
Рассмотрим в качестве примера гиперкомплексную числовую систему R R. Ее таблица умножения будет выглядеть
|
e1 |
e2 |
||
|
e1 |
e1 |
0 |
|
|
e2 |
0 |
e2 |
Единичный элемент такой гиперкомплексной числовой системы
E = e1 + e2.(8)
Тогда число вида
a = a1e1 + a1e2 = a1(e1 + e2) = a1E , (9)
где a1 R, является аналогом вещественного числа. Найдем в такой системе выражение для сопряженного элемента. Пусть
a = a1e1 + a2e2;
= xe1 + ye2;
a + = (a1 + x)e1 + (a2 +y)e2; (10)
a = a1xe1 a2ye2. (11)
Число a должно быть аналогом вещественного числа, то есть
a = N(e1 + e2). (12)
Требование того, что выражения (10) и (11) должны иметь вид (9), приводят к системе
(13)
решение которой x = a2, y = a1, и пара сопряженных имеет вид:
a = a1e1 + a2e2;
= a2e1 + a1e2.
Они обладают обоими свойствами сопряженных для комплексных чисел.
Рассмотрим гиперкомплексные числовые системы более высоких порядков. Здесь при построении сопряженных чисел возникает вопрос не только об их структуре, но и их количестве. Если в системах второго порядка сопряженные числа образуют пару, то в системах n-го порядка следует ожидать того, что сопряженные числа будут образовывать совокупности из п элементов. Об этом говорят и рассмотренные в работе [1] представления сопряженных чисел в триплексной и квадриплексной числовых системах. Но произведение всех п сопряженных чисел должно быть равно норме.
Для некоторых систем сопряженные элементы можно построить, анализируя структуру системы. Так, система квадриплексных чисел получается путем удвоения системы комплексных чисел системой комплексных чисел, то есть
a = a1 + ia2, (14), где:
a = a11 + ja12;
a2 = a21 + ja22;
i2 = -1, j2 = -1.
В этом случае число (14) имеет три сопряженных:
a = a11 + ia2 = a11 + ja12 + ia21 + ija22; ac2 = = a11 - ja12 + ia21 - ija22;
ac1 = a1 - ia2 = a11 + ja12 - ia21 - ija22 ; ac3 = = a11 - ja12 - ia21 + ija22.
Тогда можно показать, что:
R;
R.
Однако, попытки применить такой подход к другим гиперкомплексным числовым системам, полученным удвоением, успеха не принесли. Методы построения сопряженных чисел в таких системах, а также полупростых гиперкомплексных числовых системах будут рассмотрены во второй части статьи.
Литература
1. Синьков М.В., Губарени Н.М. Непозиционные представления в многомерных числовых системах. - К.: Наук. думка, 1979. - 136 с.
Размещено на allbest.ru
...Подобные документы
Анализ теорем сопряженных функторов. Естественное преобразование как семейство морфизмов. Характеристика свойств рефлективных подкатегорий. Знакомство с универсальными стрелками. Рассмотрение особенностей метода построения сопряженных функторов.
курсовая работа [3,1 M], добавлен 27.01.2013Сущность сопряженных направлений, знакомство с основными алгоритмами. Особенности поиска минимума функции методом Пауэлла. Разработка приложений с графическим интерфейсом. Исследование квадратичных функций, решение задач методом сопряженных направлений.
курсовая работа [2,8 M], добавлен 14.07.2012Методы решения систем линейных алгебраических уравнений, их характеристика и отличительные черты, особенности и сферы применения. Структура метода ортогонализации и метода сопряженных градиентов, их разновидности и условия, этапы практической реализации.
курсовая работа [197,8 K], добавлен 01.10.2009Свойства чисел натурального ряда. Периодическая зависимость от порядковых номеров чисел. Шестеричная периодизация чисел. Область отрицательных чисел. Расположение простых чисел в соответствии с шестеричной периодизацией.
научная работа [20,2 K], добавлен 29.12.2006Система, свойства и модели комплексных чисел. Категоричность и непротиворечивость аксиоматической теории комплексных чисел. Корень четной степени из отрицательного числа. Матрицы второго порядка, действительные числа. Операции сложения и умножения матриц.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 15.06.2011Доказательство первой, второй и третей теоремы Силова. Описание групп порядка pq. Смежные классы по подгруппе и теорема Лагранжа. Классы сопряженных элементов. Нормализатор множества в группе. Теоремы о гомоморфизмах. Примеры силовских подгрупп.
курсовая работа [246,9 K], добавлен 21.04.2011Закон сохранения количества чисел Джойнт ряда в натуральном ряду чисел как принцип обратной связи чисел в математике. Структура натурального ряда чисел. Изоморфные свойства рядов четных и нечетных чисел. Фрактальная природа распределения простых чисел.
монография [575,3 K], добавлен 28.03.2012Ознакомление с записью чисел в алфавитной системе счисления. Особенности установления числовых значений букв у славянских народов. Рассмотрение записи больших чисел в славянской системе счисления. Обозначение "тем", "легионов", "леордов" и "колод".
презентация [1,0 M], добавлен 30.09.2012Свойства действительных чисел, их роль в развитии математики. Анализ построения множества действительных чисел в историческом аспекте. Подходы к построению теории действительных чисел по Кантору, Вейерштрассу, Дедекинду. Их изучение в школьном курсе.
презентация [2,2 M], добавлен 09.10.2011Методика преобразования вращения и ее значение в решении алгебраических систем уравнений. Получение результирующей матрицы. Ортогональные преобразования отражением. Итерационные методы с минимизацией невязки. Решение методом сопряженных направлений.
реферат [116,3 K], добавлен 14.08.2009Множество неотрицательных действительных чисел как интерпретируемое подмножество R. Делимость в мультипликативных полугруппах. Строение числовых НОД и НОК полугрупп. Изучение мультипликативных полугрупп неотрицательных действительных чисел с 0 и 1.
дипломная работа [177,9 K], добавлен 27.05.2008Решение дифференциальных уравнений в частных производных. Метод минимальных невязок, минимальных поправок, скорейшего спуска, сопряженных градиентов. Алгоритмы и блок-схемы решения. Руководство пользователя программы. Решение системы с матрицей.
курсовая работа [380,3 K], добавлен 21.01.2014Основные положения теории инверсии. Определение инверсии-симметрии относительно окружности. Неподвижные точки и окружность инверсии. Образы прямых и окружностей при обобщенной инверсии. Свойства обобщенной инверсии.
дипломная работа [348,1 K], добавлен 08.08.2007Математическое описание последовательности чисел Фибоначчи. Представление фрагмента корзины "Гармония Мироздания" как образца формирования числовых рядов. Особенности построения живой спирали "Китовраса", ее практическое применение в древнем мире.
доклад [6,4 M], добавлен 16.01.2011Использование кривых второго порядка в компьютерных системах. Кривые второго порядка в 3d grapher. Жезл, гиперболическая спираль. Спираль Архимеда, логарифмическая спираль. Улитка Паскаля, четырех и трехлепестковая роза. Эпициклоида и гипоциклоида.
реферат [221,1 K], добавлен 26.12.2014Рассмотрение эффективности применения методов штрафов, безусловной оптимизации, сопряженных направлений и наискорейшего градиентного спуска для решения задачи поиска экстремума (максимума) функции нескольких переменных при наличии ограничения равенства.
контрольная работа [1,4 M], добавлен 16.08.2010Кватернион как один из самых интересных и приметных представителей гиперкомплексных чисел, его отражение в современных информационных компьютерных интерактивно-игровых технологиях. Алгебра кватернионов над полем R. Сущность и применение тождества Эйлера.
статья [60,4 K], добавлен 08.12.2009Основные свойства кривых второго порядка. Построение кривой в канонической и общей системах координат. Переход уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду. Исследование формы поверхности методом сечений и построение полученных сечений.
курсовая работа [166,1 K], добавлен 17.05.2011Формирование функции Лагранжа, условия Куна и Таккера. Численные методы оптимизации и блок-схемы. Применение методов штрафных функций, внешней точки, покоординатного спуска, сопряженных градиентов для сведения задач условной оптимизации к безусловной.
курсовая работа [1,8 M], добавлен 27.11.2012Збагачення запасу чисел, введення ірраціональних чисел. Зведення комплексних чисел у ступінь і знаходження кореня. Окремий випадок формули Муавра. Труднощі при витягу кореня з комплексних чисел. Витяг квадратного кореня із негативного дійсного числа.
курсовая работа [130,8 K], добавлен 26.03.2009
