Исследование алгоритмов решения некоторых типов дифференциальных уравнений от гиперкомплексного переменного
Алгоритмы решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений в коммутативных гиперкомплексных числовых системах для различных типов правых частей уравнений. Особенности, возникающие при решении уравнений в связи с существованием делителей нуля.
Рубрика | Математика |
Вид | статья |
Язык | русский |
Дата добавления | 29.01.2019 |
Размер файла | 62,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
М. В. Синьков, Я. А. Калиновский
Размещено на http://www.allbest.ru/
54
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2004, Т. 6, № 1 53
УДК 519.68; 620.179.15; 681.3
Институт проблем регистрации информации НАН Украины
Исследование алгоритмов решения некоторых типов дифференциальных уравнений от гиперкомплексного переменного
М.В. Синьков
Я.А. Калиновский
Постановка проблемы
Вопросы эффективного представления информации были и остаются важнейшими для моделирования и решения задач в различных отраслях науки и техники. Опыт показывает, что форма представления информации обуславливает возможные характеристики по производительности обработки данных, а также возможности по созданию эффективной процедуры моделирования. Особое место среди нетрадиционных форм представления информации занимают гиперкомплексные числовые системы [1, 2]. Эта форма представления информации глубоко связана с фундаментальными основами математики.
Для использования гиперкомплексных числовых систем при моделировании необходимы методы решения дифференциальных уравнений от гиперкомплексного переменного. Авторы обращались ранее к данной теме в работах [3-5], где рассматривались в основном методы решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений в ассоциативных гиперкомплексных системах. В данной работе исследуются алгоритмы решения неоднородных уравнений. При этом рассматриваются различные типы правых частей уравнений, а также особые случаи, связанные с тем, что в рассматриваемых коммутативных гиперкомплексных числовых системах имеются, как правило, делители нуля.
Анализ последних достижений и публикаций
Впервые дифференциальные уравнения с гиперкомплексными переменными рассматривал основатель теории гиперкомплексных чисел В.Р.Гамильтон. В работах [6, 7] исследуются дифференциальные уравнения в системе кватернионов, которые описывают движение Луны. Вообще кватернионные дифференциальные уравнения оказались очень удобным инструментом для решения задач ориентации, численным методам решения которых посвящено много исследований и, прежде всего, [8, 9]. Аналитические методы решения кватернионных линейных и нелинейных уравнений рассматриваются в работах [15, 16, 19]. Нелинейные дифференциальные уравнения определенных типов представлены в [10, 12-14, 17, 18]. В работе [20] исследуются методы решения дифференциальных уравнений первого порядка для некоммутативных ассоциативных алгебр. То большое внимание, которое уделяется исследованиям по дифференциальным уравнениям в гиперкомплексных переменных, говорит о несомненной актуальности этого вопроса.
Цель работы
Целью работы является повышение эффективности моделирования различных процессов, описываемых дифференциальными уравнениями от гиперкомплексных переменных, путем создания алгоритмов их решения аналитическими методами на основе представлений нелинейных функций от гиперкомплексного переменного.
Результаты исследований
Неоднородным линейным дифференциальным уравнением первого порядка от гиперкомплексного переменного с постоянным коэффициентом будем называть уравнение вида
где А -- гиперкомплексное число, F(t) -- гиперкомплексная функция.
Покажем, что общее решение уравнения (1) есть сумма решения однородного уравнения
и какого-либо частного решения уравнения (1). Пусть U(t) частное решение уравнения (1), а V(t) -- решение уравнения (2). Тогда
.
Но . И так как U(t) -- частное решение, то последнее равенство обращается в тождество.
Учитывая, что решение уравнений вида (2) исследовалось раннее в работах [3-5], то в данном разделе будет рассмотрен только вопрос о поиске частных решений уравнения (1).
Правая часть неоднородного линейного уравнения (1) -- гиперкомплексная функция, т.е. функция, которая либо имеет вид
,
либо может быть сведена к такому виду. Рассмотрим, например, эту процедуру в системе квазидвойных чисел [2]:
В том случае, когда компоненты гиперкомплексной функции представляют собой полиномы от независимой переменной, то уравнение (1) превращается в систему из неоднородных уравнений от вещественных переменных, которая решается известными методами теории дифференциальных уравнений. Поэтому в данной работе будем рассматривать случай, когда правая часть представляет собой гиперкомплексную функцию в свернутом виде.
Рассмотрим случай, когда правая часть уравнения (1) имеет форму экспоненты
где А, В и М -- гиперкомплексные числа.
Будем искать частное решение в виде
Определяя производную и подставляя ее в (4), получим
.
Если число А + М не является делителем нуля, то
,
и частное решение имеет вид
.
Тогда общее решение уравнения (1)
,
где К -- гиперкомплексная произвольная постоянная, а и не является делитель нуля.
Рассмотрим теперь уравнения с гиперболическими функциями в правой части: дифференциальный уравнение гиперкомплексный числовой
Будем искать частное решение в виде линейной комбинации гиперсинуса и гиперкосинуса:
Подставляя (6) в исходные уравнения (5), получим:
соответственно для первого и второго уравнений.
Единственным условием существования решения является неравенство нулю , которое также не должно быть делителем нуля в той гиперкомплексной числовой системе (ГЧС), в которой задано уравнение.
Рассмотрим, наконец, случай, когда правая часть -- экспоненциальный полином. Экспоненциальным полиномом называется выражение вида где F(t) -- гиперкомплексный полином, т.е.
.
Здесь, как и ранее, n -- порядок ГЧС, -- полином от вещественной переменной t, а -- элементы базиса ГЧС.
Пусть (1) -- неоднородное уравнение с экспоненциальным полиномом в правой части
.
Ввиду его линейности, учитывая (8), частное решение есть сумма частных решений уравнений вида
Поэтому достаточно рассмотреть поиск решения уравнения именно такого вида. Так как элемент базиса ГЧС является постоянной величиной, он будет входить в решение как постоянный множитель.
В соответствии с общей теорией линейных дифференциальных уравнений имеем частное решение в виде
где -- полином той же степени, что и .
Пусть степень и равна r:
где верхний индекс у t является показателем степени.
.
.
Для упрощения формы записи здесь принято, что при
Тогда подставляя (11), (12) в (10) и приравнивая коэффициенты при равных степенях t, получим систему:
Решение этой системы определяется рекуррентными формулами.
Пусть теперь правая часть является полиномом с гиперкомплексными коэффициентами:
где , а -- гиперкомплексное число.
Ввиду линейности (13) достаточно рассмотреть случай, когда
.
Будем искать решение в том же виде, что и правая часть
где -- гиперкомплексное число.
Таким образом,
Подставляя (14) в уравнение (13), получаем
.
Приравнивая коэффициенты при равных степенях t, получим систему:
Решение этой системы имеет вид
Как видим, условием существования решения является неравенство нулю или одному из делителей нуля коэффициентов исходного уравнения.
Рассмотрим некоторые особые случаи. Как отмечалось ранее, при поиске частных решений дифференциальных уравнений в знаменателях коэффициентов решений могут получаться либо нули, либо делители нуля. В обоих случаях деление становится невозможным, и решения в таком виде не существуют.
Определим вид частного решения в таких случаях.
Частным решением уравнения (4) является
.
Пусть. Тогда знаменатель обращается в нуль.
Будем искать частное решение в виде:
Подставляем (15) в (4) и делим на :
Тогда частное решение примет вид
.
Этот вид частного решения пригоден для всех коммутативных ГЧС независимо от размерности.
Рассмотрим особый случай, когда но -- делитель нуля, т.е. существует такое гиперкомплексное число в той же системе, что при
Представим решение в виде суммы степенного ряда
,
где -- гиперкомплексные коэффициенты.
Таким образом
.
Подставляя (17) в (4) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях независимой переменной t, получим:
Свернуть ряд (16) в общем виде не представляется возможным. Однако, если выбрана конкретная гиперкомплексная система, вид делителей нуля в которой известен, то частное решение можно построить численно.
Выводы
Проведенные исследования позволили получить алгоритмы решения неоднородных дифференциальных уравнений от гиперкомплексного переменного в различных коммутативных гиперкомплексных системах в аналитическом виде, что ведет к повышению эффективности моделирования процессов в различных областях науки и техники.
Литература
Синьков М.В., Губарени Н.М. Непозиционные представления в многомерных числовых системах. -- К.: Наук. думка, 1979. -- 138 с.
Синьков М.В., Калиновский Я.А, Роенко Н.В. Методы построения нелинейностей в расширениях комплексных чисел // Кибернетика и систем. анализ. -- 1996. -- № 4. -- С. 178-181.
Калиновский Я.А. Разработка алгоритмов решения однородных линейных дифференциальных уравнений первого порядка от гиперкомплексного переменного // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. -- 2001. -- Т. 3, № 1. -- С. 22-29.
Калиновский Я.А. Алгоритм решения систем однородных линейных дифференциальных уравнений первого порядка от гиперкомплексного переменного, основанный на удвоении исходной гиперкомплексной числовой системы // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. -- 2001. -- Т. 3, № 3. -- С. 43-48.
Калиновский Я.А., Синьков М.В., Синькова Т.В. Применение гиперкомплексных чисел для эффективного представления систем дифференциальных уравнений // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. -- 2001. -- Т. 3, № 4. -- С. 32-36.
Hamilton W.R. On the application of the Calculus of Quaternions to the Theory of the Moon // Proceedings of the Royal Irish Academy. -- 1847. -- 3. -- Р. 507.
Hamilton W.R. Additional applications of the Theory of algebraic Quaternions // Proceedings of the Royal Irish Academy. -- 1847. -- 3. -- Appendix. -- Р. li-lx.
Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. -- М.: Наука, 1973. -- 319 с.
Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Введение в теорию бесплатформенных инерциальных навигационных систем. -- М.: Наука, 1992. -- 278 с.
Стельмашук Н.Т. Об интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений с Н-производными // Дифференциальные уравнения. -- 1987. -- № 2. -- С. 357-358.
Kдhler U. Die Anwendung der hyperkomplexen Funktionentheorie auf die Losung partieller Differential gleichungen, 1998. On line: www.tu-chemnitz.de/mathematik/prom_habil/promint.pdf.
Clyde M. Davenport. An Analytical Solution for the Boussinesq Equation. -- 2003. On line: home.usit.net/~cmdaven/boussnsq.htm
Clyde M. Davenport. The General Analytical Solution for the Burgers Equation. -- 2003. On line: home.usit.net/~cmdaven/burgers.htm.
Leo S.De, Ducati C.C. Solving simple quaternionic differential Equations // J. Math. Physic. -- 2003. -- 44. -- Р. 2224-2233.
Erlebacher G., Sobczyk E. First Order Linear ordinary differential Equations in associative Algebras // Electronic J. Differential Equations. -- 2004. -- Vol. 2004, N 1. -- Р. 1-18. On line: http://ejde.math.txstate.edu
Аннотация
Рассмотрены алгоритмы решения некоторых типов неоднородных линейных дифференциальных уравнений в коммутативных гиперкомплексных числовых системах для различных типов правых частей уравнений, а также особенности, возникающие при решении уравнений в связи с существованием делителей нуля.
Ключевые слова: гиперкомплексная числовая система, линейные дифференциальные уравнения, делители нуля.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Виды дифференциальных уравнений: обыкновенные, с частными производными, стохастические. Классификация линейных уравнений второго порядка. Нахождение функции Грина, ее применение для решения неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями.
курсовая работа [4,8 M], добавлен 29.04.2013Понятия и решения простейших дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений произвольного порядка, в том числе с постоянными аналитическими коэффициентами. Системы линейных уравнений. Асимптотическое поведение решений некоторых линейных систем.
дипломная работа [395,4 K], добавлен 10.06.2010Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, однородных, линейных уравнений первого порядка и уравнений допускающего понижение порядка. Введение функций в решение уравнений. Интегрирование заданных линейных неоднородных уравнений.
контрольная работа [92,7 K], добавлен 09.02.2012Ознакомление с основными свойствами линейных дифференциальных уравнений первого, второго и n-го порядков с постоянными коэффициентами. Рассмотрение методов решения однородных и неоднородных уравнений и применения их при решении физических задач.
дипломная работа [181,3 K], добавлен 18.09.2011Анализ методов решения систем дифференциальных уравнений, которыми можно описать поведение материальных точек в силовом поле, законы химической кинетики, уравнения электрических цепей. Этапы решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений.
курсовая работа [791,0 K], добавлен 12.06.2010Неизвестная функция, ее производные и независимые переменные - элементы дифференциального уравнения. Семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений, их систем. Методы наименьших квадратов, золотого сечения, прямоугольников.
контрольная работа [138,9 K], добавлен 08.01.2016Предмет и методы изучения дифференциальной векторно-матричной алгебры, ее структура. Векторное решение однородных и неоднородных дифференциальных уравнений. Численное решение векторно-матричных уравнений. Формулы построения вычислительных процедур.
реферат [129,3 K], добавлен 15.08.2009Общий вид системы линейных уравнений и ее основные понятия. Правило Крамера и особенности его применения в системе уравнений. Метод Гаусса решения общей системы линейных уравнений. Использование критерия совместности общей системы линейных уравнений.
контрольная работа [35,1 K], добавлен 24.06.2009Частное решение неоднородных дифференциальных уравнений. Геометрический смысл комплексного числа. Аргумент комплексного числа, его поиск с учетом четверти. Комплексное число в тригонометрической форме, извлечение корня третьей степени, формула Эйлера.
контрольная работа [24,8 K], добавлен 09.09.2009Представления линейных дифференциальных уравнений как средств математического решения практических задач в естествознании. Простейшая модель однородных популяций на примере определения роста численности карасей. Отлов с постоянной и относительной квотой.
курсовая работа [413,2 K], добавлен 11.07.2011Нахождение особых точек уравнений, определение их типов, построение фазовых траекторий в окрестности каждой особой точки. Исследование циклических траекторий на изохронность, устойчивости нулевого решения, доказывание существования циклов в уравнениях.
контрольная работа [457,9 K], добавлен 23.09.2010Решение дифференциальных уравнений в частных производных. Метод минимальных невязок, минимальных поправок, скорейшего спуска, сопряженных градиентов. Алгоритмы и блок-схемы решения. Руководство пользователя программы. Решение системы с матрицей.
курсовая работа [380,3 K], добавлен 21.01.2014Классификация гиперболических уравнений в общей классификации уравнений математической физики. Классификация уравнений: волновое, интегро-дифференциальные, уравнение теплопроводности. Методы решения в зависимости от видов гиперболических уравнений.
контрольная работа [249,3 K], добавлен 19.01.2009Рассмотрение теории дифференциальных уравнений. Выделение классов уравнений с систем, решения которых не имеют подвижных критических особых точек. Установление достаточности найденных условий путем сравнения с классическими системами типа Пенлеве.
курсовая работа [137,0 K], добавлен 01.06.2015Обобщенные решения линейных дифференциальных уравнений. Основные примеры построения фундаментальных решений линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, метод преобразования Фурье. Преимущества использования методов спуска.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 10.04.2014Практическое решение дифференциальных уравнений в системе MathCAD методами Рунге—Кутты четвертого порядка для решения уравнения первого порядка, Булирша — Штера - системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и Odesolve и их графики.
лабораторная работа [380,9 K], добавлен 23.07.2012Основные понятия теории погрешностей. Приближенное решение некоторых алгебраических трансцендентных уравнений. Приближенное решение систем линейных уравнений. Интерполирование функций и вычисление определенных интегралов, дифференциальных уравнений.
методичка [899,4 K], добавлен 01.12.2009Общая характеристика параболических дифференциальных уравнений на примере уравнения теплопроводности. Основные определения и конечно-разностные схемы. Решение дифференциальных уравнений параболического типа методом сеток или методом конечных разностей.
контрольная работа [835,6 K], добавлен 27.04.2011Вычисление общего решения дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными. Расчет определенного интеграла с точностью до 0,001. Определение вероятности заданных событий, математического ожидания и дисперсии случайной величины.
контрольная работа [543,4 K], добавлен 21.10.2012Способы решения системы уравнений с двумя переменными. Прямая как график линейного уравнения. Использование способов подстановки и сложения при решении систем линейных уравнений с двумя переменными. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
реферат [532,7 K], добавлен 10.11.2009